例えば、方程式 ｙ＝２ｘ＋１ は、ｙ 切片が １ で傾き ２ の直線を表す。座標平面上では、
ただ1つの直線が描かれる。
これに対して、方程式 ｙ＝２ｍｘ＋ｍ において、定数 ｍ が、０＜ｍ＜２ の範囲の値
をとるとき、方程式は無数の直線群を表す。この場合に、その直線群の通り得る範囲を求
めることは、入試問題の頻出分野であると同時に大変興味ある問題といえよう。
グラフ描画ソフトを用いて、左図のような範囲
となる。
通常、計算では次のようにして示すのだろう。
ｙ＝ｍ（２ｘ＋１） より、直線群は、
定点 （ －１/２ ， ０ ）
を通過する。０＜ｍ＜２ より、傾き ２ｍ は、
０＜２ｍ＜４ なので、左図を得る。
定点通過のテクニックは、ｍ の １ 次式の時は有効だが、２次以上になると無力だ。
例 方程式 ｙ＝２ｍｘ＋ｍ2 において、実数 ｍ の値が変化するとき、その直線群は、ｙ
軸を軸とする、ある放物線に常に接しているという。この放物線の方程式を求めよ。
（解） 与式を、ｍ に関する２次方程式 ： ｍ2＋２ｍｘ－ｙ＝０ と考えて、実数解を持つ条
件を調べる。判別式を Ｄ とおくと、 Ｄ/４＝ｘ2＋ｙ≧０ より、 ｙ ≧－ｘ2
このとき、求める２次関数は、 ｙ ＝－ｘ2 である。
実際に、 ｙ＝２ｍｘ＋ｍ2 と連立して、 ｘ2＋２ｍｘ＋ｍ2＝０
よって、 Ｄ/４＝ｍ2－ｍ2＝０ から、
直線群は常に放物線 ｙ ＝－ｘ2 に接している。 （終）
（コメント） この問題で、放物線を直接的に求めることは少し大変だろう。
参考までに、直線群の通過範囲は下図となる。
ｍ の２次式で、ｍ が全ての実数全体を動くときは、判別式を用いて解決される。
ところが、入試問題では ｍ に制限を付けたり種々の規制のもとに解くことを要求される。
例 方程式 ｙ＝２ｍｘ＋ｍ において、定数 ｍ が、０＜ｍ＜２ の範囲の値をとるとき、直
線群の通り得る範囲を別な方法で求めてみよう。
ｘ を定数とし、ｍ の関数 Ｆ（ｍ）＝２ｍｘ＋ｍ を考え、ｙ＝Ｆ（ｍ） （０＜ｍ＜２） から、
ｙ の値域を求めようとする方法である。
この方法の優れている点は、ｍ の２次式に限らず、任意の場合に対応出来るところで
ある。
早速、解法を考察していこう。
Ｆ（ｍ）＝（２ｘ＋１）ｍ （０＜ｍ＜２） なので、
（イ） ２ｘ＋１＞０ のとき、 ｙ＝Ｆ（ｍ） は単調増加で、 Ｆ（０）＜ｙ＜Ｆ（２）
すなわち、 ｘ＞－１/２ のとき、 ０＜ｙ＜４ｘ＋２
（ロ） ２ｘ＋１＝０ のとき、 ｙ＝Ｆ（ｍ）＝０ で、 ｘ＝－１/２ のとき、 ｙ＝０
（ハ） ２ｘ＋１＜０ のとき、 ｙ＝Ｆ（ｍ） は単調減少で、 Ｆ（２）＜ｙ＜Ｆ（０）
すなわち、 ｘ＜－１/２ のとき、 ４ｘ＋２＜ｙ＜０
以上から、求める範囲は、
上記の範囲に、点（ －１/２ ，０ ）は含まれるが、境界線上の点は含まれない。
この解法の威力は、上記の問題ではあまり認識されないかもしれないが、次の問題では、
その有難味が痛いほど分かるであろう。
例 方程式 ｙ＝２ｍｘ＋ｍ2 において、定数 ｍ が、０＜ｍ＜２ の範囲の値をとるとき、直
線群の通り得る範囲を求めてみよう。
ｘ を定数とし、ｍ の関数 Ｆ（ｍ）＝２ｍｘ＋ｍ2 を考え、ｙ＝Ｆ（ｍ） （０＜ｍ＜２） から、
まず、ｙ の値域を求める。
Ｆ（ｍ）＝ｍ2＋２ｍｘ＝（ｍ＋ｘ）2－ｘ2 （０＜ｍ＜２） なので、
（イ） －ｘ≦０ すなわち、ｘ≧０ のとき、 ０＜ｍ＜２ で ｙ＝Ｆ（ｍ） は単調増加なので、
Ｆ（０）＜ｙ＜Ｆ（２） すなわち、 ０＜ｙ＜４ｘ＋４
（ロ） ０＜－ｘ≦１ すなわち、 －１≦ｘ＜０ のとき、 ｍ＝－ｘ で最小で、
Ｆ（－ｘ）≦ｙ＜Ｆ（２） すなわち、 －ｘ2≦ｙ＜４ｘ＋４
（ハ） １＜－ｘ＜２ すなわち、 －２＜ｘ＜－１ のとき、 ｍ＝－ｘ で最小で、
Ｆ（－ｘ）＜ｙ＜Ｆ（０） すなわち、 －ｘ2≦ｙ＜０
（ニ） －ｘ≧２ すなわち、ｘ≦－２ のとき、 ０＜ｍ＜２ で ｙ＝Ｆ（ｍ） は単調減少なので、
Ｆ（２）＜ｙ＜Ｆ（０） すなわち、 ４ｘ＋４＜ｙ＜０
以上から、求める範囲は、
上記の範囲に、放物線 ｙ＝－ｘ2 （－２＜ｘ＜０）上の点は含まれるが、それ以外の
境界線上の点は含まれない。
上記では、ｙ＝２ｍｘ＋ｍ2 を ｍ の関数として、その値域に注目したが、ｍ の方程式と
見て、その解の存在に注目する次のような別解も考えられる。
ただ、上記の解法を知った後では煩雑に思えることだろう。
（別解） Ｇ（ｍ）＝ｍ2＋２ｍｘ－ｙ＝０ が、０＜ｍ＜２ で少なくとも一つ解がある条件を求め
ればよい。 Ｇ（ｍ）＝ｍ2＋２ｍｘ－ｙ＝（ｍ＋ｘ）2－ｙ－ｘ2 より、軸の式は、ｍ＝－ｘ
よって、 －ｘ≦０ すなわち、ｘ≧０ のとき、条件を満たすためには、
Ｇ（０）・Ｇ（２）＜０ すなわち、 －ｙ・（４＋４ｘ－ｙ）＜０
ゆえに、 ｙ・（ｙ－４ｘ－４）＜０
０＜－ｘ≦１ すなわち、 －１≦ｘ＜０ のとき、条件を満たすためには、
判別式 Ｄ/４＝ｘ2＋ｙ≧０ で、Ｇ（２）＝４＋４ｘ－ｙ＞０
ゆえに、 －ｘ2≦ｙ＜４ｘ＋４
１＜－ｘ＜２ すなわち、 －２＜ｘ＜－１ のとき、条件を満たすためには、
判別式 Ｄ/４＝ｘ2＋ｙ≧０ で、Ｇ（０）＝－ｙ＞０
ゆえに、 －ｘ2≦ｙ＜０
－ｘ≧２ すなわち、ｘ≦－２ のとき、条件を満たすためには、
Ｇ（０）・Ｇ（２）＜０ すなわち、 －ｙ・（４＋４ｘ－ｙ）＜０
ゆえに、 ｙ・（ｙ－４ｘ－４）＜０
以上から、求める範囲は、
上記の範囲に、放物線 ｙ＝－ｘ2 （－２＜ｘ＜０）上の点は含まれるが、それ以外の
境界線上の点は含まれない。
さらに、次のような別解も考えられる。
これは、冒頭の例で示した「直線群 ｙ＝２ｍｘ＋ｍ2 は、放物線 ｙ＝－ｘ2 に常に接
している」という性質を利用するものである。
（別解） 直線 ｙ＝２ｍｘ＋ｍ2 と放物線 ｙ＝－ｘ2 は、接点Ｐ（－ｍ，－ｍ2）で接する。
０＜ｍ＜２ より、接点Ｐは、放物線 ｙ＝－ｘ2 上を、－２＜ｘ＜０ の範囲で動く。
よって、下図を得る。
上記の範囲に、放物線 ｙ＝－ｘ2 （－２＜ｘ＜０）上の点は含まれるが、それ以外の
境界線上の点は含まれない。
（コメント） この別解は感動的に美しい！．．．ですね。でも、これを答案に書いたら、多分
採点者によって点をあげるべきかどうか意見がわかれそうな．．．予感。
さらに、ｍ の次数をあげてみよう。
例 方程式 ｙ＝２ｍｘ＋ｍ3 において、定数 ｍ が、０＜ｍ＜２ の範囲の値をとるとき、直
線群の通り得る範囲を求めてみよう。
まずは、グラフ描画ソフトを用いて見当をつけよう。
ｘ を定数とし、ｍ の関数 Ｆ（ｍ）＝２ｍｘ＋ｍ3 を考え、ｙ＝Ｆ（ｍ） （０＜ｍ＜２） から、
まず、ｙ の値域を求める。
Ｆ（ｍ）＝ｍ3＋２ｍｘ より、 Ｆ’（ｍ）＝３ｍ2＋２ｘ
（イ） ｘ≧０ のとき、 Ｆ’（ｍ）≧０ より、 ｙ＝Ｆ（ｍ） は単調増加なので、
Ｆ（０）＜ｙ＜Ｆ（２） すなわち、 ０＜ｙ＜４ｘ＋８
（ロ） ｘ＜０ とする。
において、
のとき、 ｘ＝－２また、
とおき、 α＝２ のときは、 ｘ＝－６
そこで、
（ⅰ） －２≦ｘ＜０ のとき、 Ｆ（α）≦ｙ＜Ｆ（２） すなわち、－２α3≦ｙ＜４ｘ＋８
（ⅱ） －６＜ｘ＜－２ のとき、 Ｆ（α）≦ｙ＜０ すなわち、－２α3≦ｙ＜０
（ⅲ） ｘ≦－６ のとき、 Ｆ（２）＜ｙ＜Ｆ（０） すなわち、 ４ｘ＋８＜ｙ＜０
となる。これを図示すれば下図を得る。
上記の範囲に、曲線 ｙ＝－２α3 （－６＜ｘ＜０）上の点は含まれるが、それ以外の
境界線上の点は含まれない。