自然対数表を作ろう　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　底が １０ の常用対数だと、 ｌｏｇ₁₀２＝０．３０１０　、ｌｏｇ₁₀３＝０．４７７１　、　・・・　という
風に、すらすらそらんじていられる方も多いと思うが、底が Ｎａｐｉｅｒ の数 ｅ の自然対数だ
と、ｌｏｇ_ｅ２ の値すら、１より小さそうという実感はあるが、その値を常用対数並みにそらん
じていられる方は多分そんなにはいないだろうと思う。

　　　　　　　ｌｏｇ_ｅ２ ＝０．６９３１４６・・・

という値であるが、この値は、実際どんな方法で求めているのであろうか？

　その方法が分かれば、自然対数表を自前で作成することも可能となる。

このページでは、次のような数表（小数第３位まで正しい値）

の作成を試みるつもりである。

　関数電卓を用いれば数表を作ることは簡単であるが、もちろん、それは本意ではない。
関数電卓を用いないで、手計算で求めることを主眼とする。

　ｌｏｇ ｘ （底 ｅ は省略）の値は、定積分

　　　　　　　 　　

の値として計算される。（ →　（参考）　直角双曲線の面白い性質　）

　上記の定義を用いて、ｌｏｇ２ の値を求める場合、通常定積分の近似計算が有効だろう。
台形公式やシンプソンの公式などがよく知られた方法である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ →　（参考）　モンテカルロ法　）

　区間 ［１，２］ を１０等分して、実際に、台形公式から、ｌｏｇ２ の近似値を求めると、

ｌｏｇ ２ ≒ （０．１）（１/２）（１＋２（０．９０９＋０．８３３＋０．７６９＋０．７１４＋０．６６７

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋０．６２５＋０．５８８＋０．５５６＋０．５２６）＋０．５）

より、　　　　ｌｏｇ ２ ≒ ０．６９３７　　　となる。

　台形公式の特徴から、この値は、ｌｏｇ２ の真の値よりも若干大きめの値となっている。

計算量が少なく、できるだけ誤差を抑えた形で求める方法が必要とされる。

　計算の見通しをよくするために、定積分で定義された対数の式を次のように変形する。

　　　　　　　　　

　ここで、
　　　　　　　
なので、
　　　　　　　
よって、
　　　　　　
となる。

　右辺にある定積分の被積分関数は、十分小さい ｘ に対しては、無視できる値であること
が予想される。

　実際に、例えば、ｎ＝６　の場合について、グラフを考察すると、

　　　　　　　　　　

となっている。ただ、どこまで無視できる値かは直ぐには分からないし、もっとも定積分の値
の計算が結構大変そうである。

　例えば、ｘ＝１　のとき、

なので、

よって、
　　　　　　

で、ｌｏｇ ２ の近似値を計算する場合、その誤差を、０．０１以内の範囲で収めようとすれば、

　　　　　　　　　　　

から、ｎ ≧５０　となる。

　わずか小数点以下第２位まで求める場合でも、ｎ＝５０　程度の計算が必要になり、手
計算で求めようとするこのページの趣旨からすれば、ちょっと「違うな〜！」という印象を
拭えない。

　今度は、ｘ＝−１/２　としてみよう。

なので、

　よって、ｎ ＝３　とすると、誤差は、

　　　　　　　　

の範囲に収まる。

　このとき、

　

から、　ｌｏｇ ２ ≒ ０．６９・・・・・・・・　であることが分かる。

　ｎ ＝４　とすれば、誤差は、０．００１の範囲に収まり、ｌｏｇ ２ ≒ ０．６９３・・・　である。

（ちょっと、手計算では、分数の計算が大変ですね！）

　そこで、もっと計算が少なくて済むような、自然対数の実用的な計算方法が求められる。

　上記と同様な計算をして、



　　　　　　誤差の絶対値は、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　より小さい。



　　　　　　誤差の絶対値は、
　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　より小さい。

２つの式を辺々引いて、

　　　

　　

ここで、
　　　　

であるので、

この近似式の誤差の絶対値は、

　　

より小さい。　　　であるので、誤差の絶対値は、

　　　

より小さいとしてよい。

　この近似式を用いると、順次　ｌｏｇ ２　、ｌｏｇ ３　、ｌｏｇ ４　、・・・　が求められる。

　数表は、小数点以下第３位まで正しく求まればよいというスタンスなので、各分数の小数
表示は、小数点以下第５位まで求めればよい。
　そうすれば、小数計算による誤差は、０．０００００５ 以内に抑えられる。

ｍ＝１　のとき、ｎ＝４ とすれば、誤差は、１/（９・３⁸） ≒ ０．００００１６９　程度である。

　このとき、



で、誤差は、　０．００００１６９＋０．０００００５×４＝０．００００３６９　程度に抑えられる。

　したがって、　ｌｏｇ ２ ≒ ０．６９３　であるとしてよい。

ｍ＝２　のとき、ｎ＝３ とすれば、誤差は、１/（２・７・５⁶） ≒ ０．０００００４５７　程度である。

　このとき、

　　　

で、誤差は、　０．０００００４５７＋０．０００００５×３＝０．００００１９５７　程度に抑えられる。

　したがって、

　ｌｏｇ ３ ≒ ｌｏｇ ２ ＋０．４０５４５＝１．０９８４５　で、誤差は、０．００００５６４７　以内である。

これより、　　ｌｏｇ ３ ≒ １．０９８　　であるとしてよい。

　以下同様にして、３個程度の分数計算で、順次に自然数の自然対数が求められる。

　計算精度を高めるには、ｎ の値を大きくすればよいが、ｌｏｇ ２ の計算のところで、ｎ ＝５
位にしておけば十分であると思う。

（参考文献：マルクシェヴィチ　著　宮本敏雄・北原　泰　訳　面積と対数　（東京図書））