当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＫＳ」さんが四角形の定理の数々をまとめられまし
た。（平成２６年１２月１７日付け）
Ａ トレミーの定理
円の内接四角形ＡＢＣＤについて、ＡＢ・ＣＤ＋ＡＤ・ＢＣ＝ＡＣ・ＢＤ が成り立つ。
Ｂ ブラマグプタの面積公式
ＡＢＣＤが円の内接四角形のとき、
Ｃ 同じく内接四角形のとき、対角線が直行して交わるとき、その交点から下した辺の、垂
線は、対辺の長さを二等分する。
Ｄ 任意の四角形ＡＢＣＤの対角線ＡＣとＢＤの交角がθのとき面積 Ｓ＝ＡＣ・ＢＤ・ｓｉｎθ÷２
Ｅ ニュートンの定理
四角形ＡＢＣＤの内接円の中心Ｏと対角線ＡＣ、ＢＤの中点Ｍ，Ｎは一直線上にある。
Ｆ 四角形ＡＢＣＤが円に外接するとき、ＡＢ＋ＣＤ＝ＢＣ＋ＡＤ が成り立つ。
Ｇ ヤグロムの定理
任意の四角形について、各辺に等しい長さの正方形を外側に作るとき、各正方形の中心
を結ぶと、結ばれた四角形は、正方形になる。
Ｍｅｌｔｙさんからのコメントです。（平成２８年３月１５日付け）
「ヤグロムの定理」の仮定ですが、「任意の四角形」まで弱められず難儀しています。次項
「オーベルの定理」よりかなり強いように見えるのですが...。
DD++さんからのコメントです。（平成２８年３月１５日付け）
ヤグロムの定理の仮定は、「任意の平行四辺形」が正しいと思います。向かいの正方形の
真ん中同士を結んだ２本の線分が垂直かつ長さが等しいまでは任意の四角形で成立します
が、それらが互いの中点で交わるには元の四角形の対角線も互いの中点で交わっているこ
とが必要十分なはずなので。
Ｍｅｌｔｙさんからのコメントです。（平成２８年３月１５日付け）
確かに、仮定が「任意の平行四辺形」ですと主張が成立しそうです。これまで逆は検討して
いませんでしたが、必要十分ということは逆も成立するのでしょうか。
DD++さんからのコメントです。（平成２８年３月１５日付け）
私が暗算した時に計算ミスをしていなければそのはずです。
四角形内部に原点O（凹四角形の場合はOと各頂点を結ぶ線分が辺と交わらない位置に）
をとり、複素数平面として4点に対応する複素数を反時計回りにα、β、γ、δとすると、それ
ぞれの正方形の真ん中が ((1+i)/2)α+((1-i)/2)β などと書けます。これを用いると正方形に
なる必要十分条件が α+γ=β+δ であるとわりと簡単に証明できると思います。たぶん。
Ｈ オーベルの定理
任意の四角形について、各辺に等しい長さの正方形を作るとき、各正方形の中心を対辺
どうしで結ぶ線分は、直交する。
Ｉ 任意の四角形について、各辺の中点を結んだ四角形は、平行四辺形になる。
Ｊ 平行四辺形の隣り合う内角の二等分線の交点は、長方形をつくる。
Ｋ 長方形の隣り合う内角の二等分線の交点は、正方形をつくる。
Ｌ コリョンの定理
平行四辺形について、各辺に等しい長さの正方形を外側に作るとき、四つの正方形の面
積の和は、対角線の長さに等しい正方形二つの和に等しい。
ベクトルを使うと、意味が明白になる。四角形をＯＡＣＢとして、
ＯＡ＝ａ、ＯＢ＝ｂ、ＯＣ＝ａ＋ｂ、２（｜ａ｜2＋｜ｂ｜2）＝｜ａ＋ｂ｜2＋｜ａ−ｂ｜2
が成り立つ。
特に、長方形のときは、対角線の長さが等しいので、三平方の定理が導かれる。
平行四辺形の面積をＳ，辺から作る面積をＳ1、Ｓ2とし、正方形の中心を結んで作る大き
な正方形の面積をＴとおくと、Ｔ−Ｓ＝（Ｓ1＋Ｓ2）/２ が成り立つ。
以下、工事中！