アルベロス                               戻る

  左図のような形をした図形は、アルベロスと呼
 ばれる。靴屋のナイフを意味するギリシア語であ
 るが、本当に靴屋さんで使っていたのだろうか?

  アルキメデスがそう名付けたらしいので、アルキ
 メデスの生きた時代(紀元前287年〜紀元前212年)に
 は確かに使われていたのだろう?
  (「見たんか〜!」と、どっかからつっこまれそう...

 アルベロスは、下図のように3つの半円で囲まれた図形である。

  

 アルベロスの面積は容易に求められる。

 上図から、 (π(r+s)2−πr2−πs2)/2=πrs である。

  この値は、驚くべきことに、左図の垂線CDを直
 径とする円の面積に等しい。

 実際に、CD2=OD2−OC2=(r+s)2−(r−s)2

 より、 CD2=4rs なので、求める円の面積は、

  π(CD/2)2=πrs となり、一致する。

 また、下図のように半円A、Bの共通接線の接点を結ぶ線分EFと線分CDを対角線にもつ
四角形CFDEを作ると、四角形CFDEは長方形になるという美しい性質がある。

 

 証明は易しいだろう。

(証明) EF2=(r+s)2−(r−s)2=4rs=CD2 なので、CD=EF が成り立つ。

 また、 ∠AEF=∠R より、 ∠AEC+∠GEC=∠R

 ∠ACD=∠R より、 ∠ACE+∠GCE=∠R

ここで、 △ACEは、 AC=AE の二等辺三角形なので、∠AEC=∠ACE

 よって、   ∠GEC=∠GCE  より、△GECは二等辺三角形

 このとき、 EG=GC が成り立つ。

同様にして、 △GCFは二等辺三角形となり、 GC=GF が成り立つ。

 よって、 EG=GC=GF で、 CD=EF より、 EG=GC=GF=GD となる。

このことは、四角形CFDEにおいて対角線が互いに他を2等分していることを示す。

 したがって、 四角形CFDEは、平行四辺形である。

 さらに、△CEFの内角の和は、180°なので、∠GEC+∠ECF+∠GFC=180°

すなわち、 ∠GEC+∠GCE+∠GCF+∠GFC=180°

ここで、 ∠GEC=∠GCE 、 ∠GCF=∠GFC が成り立つので、

 2∠GCE+2∠GCF=180° すなわち、 ∠GCE+∠GCF=90°が成り立つ。

 よって、 ∠ECF=∠R である。

 以上から、 四角形CFDEは、長方形である。 (証終)


(コメント) 上記の性質は何れも、アルキメデスにより証明されているとのことである。アルキ
      メデスの偉大さを再認識しました!


 また、アルベロスの内部に描く内接円についても面白い性質がある。これについては、次
のページで詳しく議論されている。

○ 曲率の真実 ・・・ 反転を利用した、内接円の半径の計算など

○ 基本の作図(円に接する円) ・・・ 定木・コンパスによる内接円の作図など


(参考文献:D.ウェルズ 著 宮崎興二 他 訳 不思議おもしろ幾何学事典 (朝倉書店))