中学入試問題に挑戦！（その１）　　　　　　　　　　　　　　

　平成２５年２月５日（火）付け朝日新聞朝刊に平成２５年度麻布中学入試問題が掲載され
た。いくつか面白そうな問題があったので、小学生が解くレベルで考えてみた。

１．　満月から次の満月まで29.53日かかるものとします。ある閏年の９月３０日が満月
　　であるとき、次の満月を１回目として、１００回目の満月となるのは、何年後の何月
　　何日ですか。ただし、閏年は４年に１度必ずあるものとします。

（解）　１００回目の満月となるのは、29.53×100＝2953日後

　　　　最初の１年目：365日　、２年目：365日　、３年目：365日　、４年目（閏年）：366日　、

　　　　　　　　５年目：365日　、６年目：365日　、７年目：365日　、８年目（閏年）：366日

　　　　から、８年後の９月３０日が、2922日目。

　　　　　　2953−2922＝31　より、2953日後は、８年後の１０月３１日　（終）

２．　半径が３cmの円の周上に点Ａがあります。点Ａを中心として、この円を30°回転
　　させてできる円が図のようにあります。黄色い部分の面積を求めなさい。

　　　　　　

（解）　対称性から、右側半分の面積を求めれば十分である。

　　　∠ＡＯＢ＝150°から、

　　　扇形ＡＯＢの面積＝π・3²・（150/360）＝15π/4

　　　△ＡＯＢの面積＝（1/2）・3・（3/2）＝9/4

　　　よって、求める図形の面積は、

　　　　2・（15π/4−9/4）＝15π/2−9/2（ｃｍ²）　（終）


（参考）　小学校では、円周率πは用いられず、3.14なので、上記に代入すれば、

　　　　　15π/2−9/2＝15・1.57−4.5＝23.55−4.5＝19.05（ｃｍ²）

（コメント）　上記の解答が小学生レベルかどうか少し不安？小学生に、30°、60°、90°の
　　　　　　三角形の辺の比は既知としていいのだろうか？

３．　Ａ君とＢ君がＸ地点を同時に出発して、Ｙ地点までそれぞれ一定の速さで歩き続
　　けました。Ｃ君は２人が出発してから５分後にＸ地点を出発し、一定の速さで走り続
　　けて２人を追いかけました。Ｃ君は出発して５分後にＢ君に追いつき、その１０分後
　　にＡ君に追いつきました。

（１）　Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の速さの比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

（解）　Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の速さをそれぞれ ａ、ｂ、ｃ とおく。

　　　このとき、題意より、　５ｃ＝１０ｂ　、１５ｃ＝２０ａ　すなわち、　ｃ＝２ｂ　、３ｃ＝４ａ

　　　　ａ＝（3/4）ｃ＝（3/4）・２ｂ＝（3/2）ｂ

　　　よって、　ａ ： ｂ ： ｃ ＝ （3/2）ｂ ： ｂ ： 2ｂ ＝ ３ ： ２ ： ４　（終）

（２）　Ｃ君はＡ君に追いついて、すぐに来た道を同じ速さで引き返しました。次に、Ｃ君
　　　がＢ君に出会うのは、Ｃ君がＡ君に追いついてから何分後ですか。分数で答えな
　　　さい。

（解）　Ｃ君がＡ君に追いついてから ｘ 分後にＣ君がＢ君に出会うとすると、

　　　　　　２０ａ−２０ｂ＝ｘｂ＋ｘｃ　より、　３０ｂ−２０ｂ＝ｘｂ＋２ｘｂ

　　　　　　　よって、　ｘ＝１０/３　より、　１０/３分後に出会う。　（終）


（コメント）　算数の問題に方程式を使うのはやはり大人げないですね！次のようにも解ける
　　　　　　ようです。

（別解）　Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の速さをそれぞれ ３ｋ、２ｋ、４ｋ とおく。

　　　　Ｃ君がＡ君に追いついたとき、Ａ君とＢ君の間の距離は、１０×（４ｋ−２ｋ）＝２０ｋ

　　　　したがって、Ｃ君がＢ君に追いつくのは、　２０ｋ÷（４ｋ＋２ｋ）＝１０/３　　（終）

（コメント）　こちらの方が美しい解答ですね！

（３）　Ｃ君はＢ君に出会って、すぐにまた同じ速さでＹ地点に向かったところ、Ａ君と同
　　　時にＹ地点に到着しました。Ｃ君の走った道のりの合計が５ｋｍのとき、Ｘ地点か
　　　らＹ地点までの距離を求めなさい。

（解）　Ｃ君がＢ君に出会ってから ｙ 分後にＹ地点に到着したとする。

　　　Ｃ君の走った道のりは、　１５ｃ＋（１０/３）ｃ＋ｙｃ＝５

　　　さらに、　２０ａ＋（１０/３）ａ＋ｙａ＝１５ｃ−（１０/３）ｃ＋ｙｃ　なので、

　　　　　３０ｂ＋５ｂ＋（3/2）ｂｙ＝３０ｂ−（２０/３）ｂ＋２ｂｙ

　　　　よって、　５＋（3/2）ｙ＝−２０/３＋２ｙ　より、　ｙ＝７０/３

　　　このとき、　３０ｂ＋（２０/３）ｂ＋（１４０/３）ｂ＝５　より、　（２５０/３）ｂ＝５

　　　　　　ゆえに、　ｂ＝３/５０

　　　したがって、Ｘ地点からＹ地点までの距離は、

　　　３０ｂ−（２０/３）ｂ＋（１４０/３）ｂ＝９/５−２/５＋１４/５＝２１/５＝４．２（ｋｍ）　（終）

（コメント）　３．の問題は、ＴＶのクイズ番組に使えそうな問題ですね！方程式を解いている
　　　　　　ので、小学生レベルの解答ではないと断言できますが、算数的にはどう解くのか
　　　　　　興味がわきますね！

（コメント）　やはり、上記の解答も十分大人げないですね！次のようにも解けるようです。

（別解）　Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の速さをそれぞれ ３ｋ、２ｋ、４ｋ とおく。

　　　　Ｃ君がＢ君に出会ってから ｙ 分後にＹ地点に到着したとすると、題意より、

　　　　　　　４ｋｙ−３ｋｙ＝３ｋ×（１０/３）＋４ｋ×（１０/３）　なので、　ｙ＝７０/３

　　　　このとき、Ｃ君の走った道のりは、

　　　　　　１５×４ｋ＋（１０/３）×４ｋ＋（７０/３）×４ｋ＝５　なので、　ｋ＝３/１００

　　　したがって、Ｘ地点からＹ地点までの距離は、

　　　　　　５−２×４×（３/１００）×（１０/３）＝５ー０．８＝４．２（ｋｍ）　（終）


（コメント）　まだ算数レベルにはほど遠いと思われるが多少は近づいたかな？


（追記）　平成２９年５月４日付け

　上記の３．の問題を塾生達に考えてもらったところ意外と苦戦するようだ。私自身も上記
の解答に満足しているわけはないので、再度検討してみた。

　長い文章題と時間の経過が絡んでくるので、問題文を整理して次のような図にまとめてみ
た。少しは見通しがよくなって考えやすくなるだろう。

　　

（１）　Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の速さの比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

（解）　上図より、　ｂ ： ｃ＝１/１０ ： １/５＝１ ： ２ なので、　ｃ＝２ｂ

　同様にして、　ａ ： ｃ＝１/２０ ： １/１５＝３ ： ４ なので、　ａ＝（３/４）ｃ＝（３/２）ｂ

　よって、　ａ ： ｂ ： ｃ ＝ （３/２）ｂ ： ｂ ： ２ｂ ＝ ３ ： ２ ： ４　（終）

（２）　Ｃ君はＡ君に追いついて、すぐに来た道を同じ速さで引き返しました。次に、Ｃ君
　　　がＢ君に出会うのは、Ｃ君がＡ君に追いついてから何分後ですか。分数で答えな
　　　さい。

（解）　ｘ 分後にＢとＣが出会うとすると、上図より、

　　　　ｂｘ＋ｃｘ＝２０ａ−２０ｂ　なので、　３ｂｘ＝１０ｂ　　よって、ｘ＝１０/３

（３）　Ｃ君はＢ君に出会って、すぐにまた同じ速さでＹ地点に向かったところ、Ａ君と同
　　　時にＹ地点に到着しました。Ｃ君の走った道のりの合計が５ｋｍのとき、Ｘ地点か
　　　らＹ地点までの距離を求めなさい。

　　Ｙ地点まで ｙ 分かかったとき、上図より、

　　　ｙｃ＝（１０/３）ｃ＋（１０/３）ａ＋ｙａ　なので、　２ｙｂ＝（２０/３）ｂ＋５ｂ＋（３/２）ｙｂ

　　　よって、　（１/２）ｙｂ＝（３５/３）ｂ　より、　ｙ＝７０/３

　　このとき、Ｃ君の走った道のりは、

　　　１５ｃ＋（１０/３）ｃ＋（７０/３）ｃ＝（１２５/３）ｃ＝５　より、　ｃ＝３/２５

　よって、

　　ＸＹ＝１５ｃ＋（７０/３）ｃ−（１０/３）ｃ＝（１０５/３）ｃ＝（１０５/３）（３/２５）＝２１/５（ｋｍ）


４．（１）　コインがたくさんあり、そこからＡ君とＢ君の２人が交互にコインを取っていき
　　　　ます。１回目はＡ君が１枚、２回目はＢ君が３枚、３回目はＡ君が５枚、４回目は
　　　　Ｂ君が７枚、５回目はＡ君が９枚、・・・というように、２人は自分が前に取った枚
　　　　数より４枚多くコインを取ります。何回か取った後、２人の持っているコインの枚
　　　　数を比べたところ、差が３１枚でした。コインを多く持っているのはどちらですか。
　　　　また、その人が最後に取ったコインは何枚ですか。

（解）　２ｎ−１回目にＡ君が取るコインの枚数は、　１＋４（ｎ−１）＝４ｎ−３（枚）　なので、

　　　２ｎ−１回目までにＡ君が取るコインの総数は、　

　　　　　１＋５＋・・・・＋（４ｎ−３）＝ｎ（４ｎ−２）/２＝ｎ（２ｎ−１）

　　同様にして、

　　　　２ｎ回目にＢ君が取るコインの枚数は、　３＋４（ｎ−１）＝４ｎ−１（枚）　なので、

　　　２ｎ回目までにＢ君が取るコインの総数は、　

　　　　　３＋７＋・・・・＋（４ｎ−１）＝ｎ（４ｎ＋２）/２＝ｎ（２ｎ＋１）

　　　ｎ（２ｎ＋１）−ｎ（２ｎ−１）＝２ｎ（偶数）　で、３１にはなり得ない。

　　　そこで、Ａ君が２ｎ＋１回目にコインを取った後のコインの総数は、（ｎ＋１）（２ｎ＋１）で、

　　　　　（ｎ＋１）（２ｎ＋１）−ｎ（２ｎ＋１）＝２ｎ＋１＝３１

　　　から、ｎ＝１５　となる。

　　　　よって、コインを多く持っているのは、Ａ君で、最後に取ったコインの枚数は、

　　　　　　　４×（１５＋１）−３＝６１（枚）　（終）

（コメント）　小学生が上記のように解くとは信じられないので、多分もっと算数的な解法が
　　　　　　あるのだろう。

　次のように考えると算数レベルかな？そんなに違わないかな？

（別解）　２ｎ−１回目にＡ君が取るコインの枚数は、　１＋４（ｎ−１）＝４ｎ−３（枚）　なので、

　　　２ｎ−１回目までにＡ君が取るコインの総数は、　

　　　　　１＋５＋・・・・＋（４ｎ−３）＝ｎ（４ｎ−２）/２＝ｎ（２ｎ−１）

　　　２ｎ回目までにＢ君が取るコインの総数は、１回当たりＡ君より２枚ずつ多いから、

　　　　　ｎ（２ｎ−１）＋２ｎ＝ｎ（２ｎ＋１）

　　　差が奇数の３１個になるのは、Ａ君が２ｎ＋１回目にコインを取ったとき。

　　　　よって、　（ｎ＋１）（２ｎ＋１）−ｎ（２ｎ＋１）＝２ｎ＋１＝３１　から、ｎ＝１５　となる。

　　　したがって、コインを多く持っているのは、Ａ君で、最後に取ったコインの枚数は、

　　　　　　　４×（１５＋１）−３＝６１（枚）　（終）

（２）　コインがたくさんあり、そこからＡ君、Ｂ君、Ｃ君が順にコインを取っていきます。
　　１回目はＡ君が１枚、２回目はＢ君が２枚、３回目はＣ君が４枚、４回目はＡ君が
　　８枚、５回目はＢ君が９枚、６回目はＣ君が１１枚、・・・というように、３人は自分が
　　前に取った枚数より７枚多くコインを取ります。何回か取った後、３人の持っている
　　コインの枚数を比べたところ、１番多い人と１番少ない人の差が８７枚でした。
　　　コインを一番多く持っているのは誰ですか。また、その人が最後に取ったコイン
　　は何枚ですか。考えられる場合をすべて答えなさい。

（解）　３ｎ−２回目にＡ君が取るコインの枚数は、　１＋７（ｎ−１）＝７ｎ−６（枚）　なので、

　　　３ｎ−２回目までにＡ君が取るコインの総数は、　

　　　　　１＋８＋・・・・＋（７ｎ−６）＝ｎ（７ｎ−５）/２

　　同様にして、

　　　　３ｎ−１回目にＢ君が取るコインの枚数は、　２＋７（ｎ−１）＝７ｎ−５（枚）　なので、

　　　３ｎ−１回目までにＢ君が取るコインの総数は、　

　　　　　２＋９＋・・・・＋（７ｎ−５）＝ｎ（７ｎ−３）/２

　　また、

　　　　３ｎ回目にＣ君が取るコインの枚数は、　４＋７（ｎ−１）＝７ｎ−３（枚）　なので、

　　　３ｎ回目までにＣ君が取るコインの総数は、　

　　　　　４＋１１＋・・・・＋（７ｎ−３）＝ｎ（７ｎ＋１）/２

　　考えられる場合は、

　　　・　Ｃ君が最大、Ａ君が最小で、　ｎ（７ｎ＋１）/２−ｎ（７ｎ−５）/２＝８７

　　　　　　３ｎ＝８７　で、ｎ＝２９。

　　　・　Ａ君が最大、Ｂ君が最小で、　（ｎ＋１）（７（ｎ＋１）−５）/２−ｎ（７ｎ−３）/２＝８７

　　　　　　６ｎ＋１＝８７　で、解なし。

　　　・　Ｂ君が最大、Ｃ君が最小で、（ｎ＋１）（７（ｎ＋１）−３）/２−ｎ（７ｎ＋１）/２＝８７

　　　　　　５ｎ＋２＝８７　で、ｎ＝１７。

　　以上から、コインを一番多く持っているのは、Ｂ君またはＣ君で、

　　　Ｂ君が最後に取ったコインは、　７（ｎ＋１）−５＝１２１（枚）

　　　Ｃ君が最後に取ったコインは、　７ｎ−３＝７・２９−３＝２００（枚）

（コメント）　多分、この問題は小学生にとっては難問？

５．　三角すいの体積は、（底面積）×（高さ）÷３で求められます。以下の問いに答え
　　なさい。

　　三角すいＡ-ＢＣＤにおいて、ＡＢ＝６ｃｍ、ＢＣ＝５ｃｍ、ＢＤ＝６ｃｍとし、辺ＡＢ、辺
　ＢＣ、辺ＢＤ上にそれぞれ３点Ｐ、Ｑ、Ｒを、ＡＰ＝２ｃｍ、ＢＱ＝３ｃｍ、ＢＲ＝３ｃｍ と
　なるようにとる。

（１）　三角すいＡＢＣＤ、三角すいＡＢＱＲ、三角すいＰＢＱＲの体積の比をできるだけ
　　　簡単な整数の比で表しなさい。

（解）　三角すいＡＢＣＤの体積をＶとおくと、三角すいＡＢＱＲの体積は、

　　　　Ｖ×（３／５）×（１／２）＝（３／１０）Ｖ

　　　　同様に、三角すいＰＢＱＲの体積は、

　　　　（３／１０）Ｖ×（２／３）＝（１／５）Ｖ

　　　　よって、３つの三角すいの体積の比は、

　　　　　　　　　　　Ｖ：（３／１０）Ｖ：（１／５）Ｖ＝１０ ： ３ ： ２　　（終）

（２）　ＥＦ＝２２ｃｍ、ＦＧ＝１８ｃｍ、ＧＥ＝２０cmの△ＥＦＧの形をした紙を使って２つ
　　の三角すいを作ります。ＥＦ、ＦＧ、ＧＥの中点Ｍ、Ｎ、Ｋを結ぶ線分を折り目として
　　頂点Ｅ、Ｆ、Ｇを一致させるように折って作った三角すいをＶ₁、ＥＦ、ＦＧ、ＧＥ上に
　　それぞれ３点Ｐ、Ｑ、Ｒを、ＥＰ＝１０ｃｍ、ＦＱ＝８ｃｍ、ＧＲ＝１２ｃｍとなるようにと
　　り、三角形ＥＦＧの形をした紙を線分ＰＱ、ＱＲ、ＲＰで切り離し、同じ長さの辺を重
　　ね合わせて作った三角すいをＶ₂とします。Ｖ₁とＶ₂の体積の比をできるだけ簡単
　　な整数の比で表しなさい。

（解）　△ＥＰＲと△ＥＭＫの面積の比は、頂角Ｅが共通なので、　１１×１０：８×１０＝１１：８

　　　また、面ＥＰＲに対するＥＱの向きと、面ＥＭＫに対するＥＮの向きは同じなので、

　　　△ＥＰＲ、△ＥＭＫを底面とするそれぞれの三角すいの高さの比は、ＥＱ：ＥＮ＝９：１２

　　　となる。したがって、求める体積の比は、　１１×９：８×１２＝３３：３２　である。　　（終）

（コメント）　空間把握が難しいですね！△ＥＰＲ、△ＥＭＫを底面として、２つの三角すいの体
　　　　　　積を考えることがポイントでした。算数レベルを遙かに超える超難問です．．．！

６．　８つの面がすべて合同な正三角形からなる立体（正８面体）について考えます。
　　それぞれの面には、次のように１から８までの数字が書かれています。

　　　△ＡＢＣ・・・１　、△ＡＣＤ・・・２　、△ＡＤＥ・・・３　、△ＡＥＢ・・・４
　　　△ＦＤＣ・・・５　、△ＦＣＢ・・・６　、△ＦＢＥ・・・７　、△ＦＥＤ・・・８

　　この立体を面ＡＢＣが底面となるようにおきます。底面のいずれか１辺を軸として、
　隣り合う面が底面となるようにこの立体を動かすことを「転がす」ということにします。

　　　　　　　

（１）　１回目に辺ＡＣを軸として転がし、続けて２回目に辺ＣＤを軸として転がしました。
　　　その結果、最後に底面と重なる位置を、下の図の三角形に黄色に色つけして示
　　　しなさい。また、そのときの底面に書かれた数字を答えなさい。

（解）　△ＡＢＣの下の右側の三角形で底面に書かれた数字は、５

　底面が面ＡＢＣである状態から４回自由に転がします。このとき、以下の（２）、（３）、
（４）に答えなさい。

（２）　黄色部アは、最後に底面と重なる位置の１つです。ア以外の、最後に底面と重
　　　なる位置全てを、図の三角形に黄色に色つけして示しなさい。また、アの位置に
　　　最後に重なる底面に書かれた数字として考えられるものをすべて答えなさい。

（解）
　　　　　　　

　　　初期状態から右回りに転がして数字は７、左回りに転がして数字は１。

（３）　４回自由に転がす転がし方は、全部で何通りありますか。ただし、最後の底面
　　　の位置が同じでも、途中の経路が違う場合は別の転がし方とします。

（解）　３×３×３×３＝８１（通り）

（４）　最後に底面となる面に書かれた数字を、（３）のすべての転がし方について足し
　　合わせます。その和を求めなさい。

（解）　底面の数字１から移り得る数字は、２、４、６の３通り。

　　　　底面の数字２から移り得る数字は、１、３、５の３通り。

　　　　底面の数字３から移り得る数字は、２、４、８の３通り。

　　　　底面の数字４から移り得る数字は、１、３、７の３通り。

　　　　底面の数字５から移り得る数字は、２、６、８の３通り。

　　　　底面の数字６から移り得る数字は、１、５、７の３通り。

　　　　底面の数字７から移り得る数字は、４、６、８の３通り。

　　　　底面の数字８から移り得る数字は、３、５、７の３通り。

　　このとき、樹形図により、底面の数字１から始まって４回自由に転がした後の底面の数

　字が、１となるものは２１通り、３となるものは２０通り、５となるものは２０通り、７となるも

　のは２０通りで、したがって、最後に底面となる面に書かれた数字の和は、

　　　　１×２１＋３×２０＋５×２０＋７×２０＝３２１

（コメント）　算数レベルのいろいろな解法を考えましたが、結局は樹形図利用に落ち着きま
　　　　　　した。機械的な計算なので、試験時間以内に十分解答可能と思われます。


　このページをまとめるにあたり、ますいしいさんのブログを参考にさせていただいた。ます
いしいさんに感謝します。


　平成２５年６月８日（土）、電車に乗って東京に向かっているとき、日能研の広告が目に留
まった。白百合学園中学（２０１３年）の入試問題である。以下は一部表現を変えている。

　１７頭のラクダと遺言「長男に１/２、二男に１/３、三男に１/９ずつ与える。」が遺された。

そこに賢者が現れ、自分のラクダ１頭を加えて、長男に９頭、二男に６頭、三男に２頭ときれ

いに分配され、賢者はとても感謝され、しかも、自分のラクダも戻って、めでたしめでたし！

　これって昔からある有名な話じゃんと思って読んでいると、この話には続きがあったらしい。

　１７頭のラクダと遺言「長男に１/２、二男に１/３、三男に１/６ずつ与える。」が遺された。

そこに愚者が現れ、賢者と同様に自分のラクダ１頭を加えて、長男に９頭、二男に６頭、三

男に３頭と分配したものの、自分のラクダも失ってしまった。う〜ん、残念！

　そこで、あなたが１頭のラクダを持つ賢者となるように、２３頭のラクダを

　　　「長男に１/２、二男に１/ｘ、三男に１/ｙずつ与える。」

という遺言を実行するとき、ｘ、ｙ の値は何でしょう？

　賢者となるためには、次の等式

　　１/２＋１/ｘ＋１/ｙ＝２３/２４　（ｘ＜ｙ）

をみたすように ｘ、ｙ の値（整数）を見いだせばよい。

　さらに、ｘ、ｙ の値は当然２４の約数で、３以上でなければならない。

　等式から、　１/ｘ＋１/ｙ＝１１/２４　すなわち、　（ｘ＋ｙ）/ｘｙ＝１１/２４

　２４の約数で、和（ｘ＋ｙ）が１１で積（ｘｙ）が２４となるのは、　ｘ＝３、ｙ＝８　である。


（コメント）　「長男に１/２、二男に１/３、三男に１/６ずつ与える。」という遺言では、愚者にな
　　　　　　ってしまいますね！．．．ｆ(^^;)。


　平成２６年２月４日（火）付け朝日新聞朝刊に平成２６年度開成中学入試問題が掲載され
た。高校生対象でも十分通用しそうな問題について考察してみた。（一部改題）

１．　３つの整数Ａ、Ｂ、Ｃがある。ＡとＢの最大公約数は２１、ＢとＣの最大公約数は
　　３５、ＡとＣの最大公約数は９８である。ただし、Ａ＋Ｂ＋Ｃ≦１０００　とする。
　　　このような性質を持つ、３つの整数Ａ、Ｂ、Ｃの組を１組求めよ。

（解）　題意より、　Ａ＝２１ａ＝３・７・ａ　、Ｂ＝２１ｂ＝３・７ｂ　（ａ、ｂは互いに素）

　　　　　　　　　　　Ｂ＝３５ｂ’＝５・７ｂ’　、Ｃ＝３５ｃ＝５・７ｃ　（ｂ’、ｃは互いに素）

　　　　　　　　　　　Ａ＝９８ａ’＝１４・７ａ’　、Ｃ＝９８ｃ’＝１４・７ｃ’　（ａ’、ｃ’は互いに素）

　　上式より、　３ａ＝１４ａ’　、３ｂ＝５ｂ’　、５ｃ＝１４ｃ’　なので、

　ａ＝１４　、ａ’＝３　、ｂ＝５　、ｂ’＝３　、ｃ＝１４　、ｃ’＝５　のとき、条件を満たす。

　このとき、　Ａ＝２９４　、Ｂ＝１０５　、Ｃ＝４９０　で、Ａ＋Ｂ＋Ｃ≦１０００　を満たす。　　（終）


２．　下図は、２つの扇形と三角形を組み合わせたものである。弧ＰＱ＝５・弧ＱＲのと
　　き、角θ、φおよび２つの扇形の面積の和を求めよ。ただし、円周率π＝３．１４と
　　する。
　　　　　　

（解）　条件より、　２×９π×φ/３６０°＝５×２×３π×θ/３６０°なので、　３φ＝５θ

　　　△ＡＢＣにおいて、　２０°＋１８０°−φ＝θ　より、　６００°−３φ＝３θ

　　　よって、　８θ＝６００°　より、　θ＝７５°　また、　φ＝１２５°である。

　　　２つの扇形の面積の和は、

　８１π×φ/３６０°＋９π×θ/３６０°＝８１π×１２５°/３６０°＋９π×７５°/３６０°

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２２５π/８＋１５π/８＝３０π＝９４．２　　（終）


（コメント）　弧度法を知っていれば、もっとスッキリした解答になるだろう。


（追記）　Ｓ（Ｈ）さんから、早稲田中学（２００８年度）の入試問題をご紹介いただいた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２７年１月１７日付け）

　２つの扇形を組み合わせた図がある。Ａの扇形は半径が１ｃｍで、面積が２ｃ�uである。Ｂ
の扇形は半径が１０ｃｍである｡Ｂの扇形の面積を求めよ。但し、円周率は、３．１４とする。

　　　　　　

（解）　扇形Ｂを含む同心円の面積は、　１００×３．１４＝３１４（ｃ�u）　である。扇形の面積

　は（半径）²に比例するので、扇形Ａの半径を１０倍に拡大した扇形の面積は、

　１０²×２＝２００（ｃ�u）である。

　よって、求める面積は、３１４−２００＝１１４（ｃ�u）　である。　　（終）


（追記）　平成２７年２月５日（木）付け朝日新聞朝刊に平成２７年度桜蔭中学入試問題が掲
　　　　載された。菊川怜さんや三浦奈保子さんなどが桜蔭の卒業生である。（一部改題）

１．（１）次の（　　）にあてはまる数を答えなさい。

（�@）　｛（５．６−２．８×（１＋５/７））÷（１８/３５）＋（２＋２/３）｝÷４．７５＝（　　）

（�A）　（４７/５５−８/２５÷（　　））×（１９/３６×９−（１＋１/２４）÷（５/７）＋２/３）
　　　＝２＋３/８

（解）（�@）　左辺＝｛（２８/５−（１４/５）×（１２/７））×（３５/１８）＋８/３｝×４/１９
　　　　　　　　　＝（９８/９−２８/３＋８/３）×４/１９
　　　　　　　　　＝（３８/９）×４/１９
　　　　　　　　　＝８/９

（�A）　（４７/５５−８/２５÷（　　））×（１９/４−（２５/２４）×（７/５）＋２/３）＝１９/８　より、
　　（４７/５５−８/２５÷（　　））×（９５/２４）＝１９/８　なので、
　　４７/５５−８/２５÷（　　）＝３/５
　よって、　８/２５÷（　　）＝４７/５５−３/５＝１４/５５　より、
　　　（　　）＝８/２５×（５５/１４）＝４４/３５　　（終）

（２）　下の図のようなアからケの９個のマスがあります。このアからケのマスの中に、
　　約数が全部で９個ある整数の約数を小さい順に入れます。このとき、次の（　　）に
　　あてはまる数を答えなさい。

　　（�@）　ア＋ケ＋オ＝２４１ となる整数は（　　）です。

　　（�A）　ウ×ケ×キ＝３８４１６ となる整数は（　　）です。







（解）　求める整数をＮとすると、約数が全部で９個あることから、素数ｐ、ｑを用いて、

　　　Ｎ＝ｐ⁸　　または、　Ｎ＝ｐ²ｑ²　（ｐ＜ｑ）

（�@）　Ｎ＝ｐ⁸　のとき、　１、ｐ、ｐ²、ｐ³、ｐ⁴、ｐ⁵、ｐ⁶、ｐ⁷、ｐ⁸

　Ｎ＝ｐ²ｑ²　（ｐ＜ｑ）　のとき、１、ｐ、（ｑ　または　ｐ²）、ｐｑ、（ｑ²　または　ｐ²ｑ）、ｐｑ²、ｐ²ｑ²

　よって、　１＋ｐ⁴＋ｐ⁸＝２４１　のとき、（ｐ⁴−１５）（ｐ⁴＋１５）＝０　で、この式を満たす素
　　　　　数ｐは存在しない。

　　　　　１＋ｐｑ＋ｐ²ｑ²＝２４１　のとき、（ｐｑ−１５）（ｐｑ＋１６）＝０　で、　ｐ＝３、ｑ＝５

　したがって、　Ｎ＝３²・５²＝２２５

（�A）　３８４１６＝２⁴・７⁴　であるので、Ｎ＝ｐ⁸　の場合は起こりえない。

　ｑ＜ｐ²　のとき、ｑ²＜ｐ²ｑ　なので、ｑ・ｐ²ｑ・ｐ²ｑ²＝ｐ⁴ｑ⁴＝２⁴・７⁴　より、ｐ＝２、ｑ＝７

　ｑ＞ｐ²　のとき、ｑ²＞ｐ²ｑ　なので、ｐ²・ｑ²・ｐ²ｑ²＝ｐ⁴ｑ⁴＝２⁴・７⁴　より、ｐ＝２、ｑ＝７

　したがって、　Ｎ＝２²・７²＝１９６　　（終）


（コメント）　解答の仕方がとても小学生的でないものになってしまった。小学生だったら、ど
　　　　　　う計算するのだろう？


２．いろいろな大きさの正三角形を、次のように置いていきます。はじめに、１辺の長さ
　が１ｃｍの正三角形３枚（１、２、３）と１辺の長さが２ｃｍの正三角形２枚（４、５）を置
　きます。次からは、できた図形の最も長い辺を１辺とする正三角形をもとの図形のと
　なりに、下図のようにうずまき状に置いていきます。このとき、次の問いに答えなさい。

　　　　　

（１）　１７番目の正三角形を置いたとき、できる図形の周の長さは何ｃｍですか。
（２）　１５番目の正三角形を置いたとき、できる図形の面積は、１番目の正三角形の
　　　面積の何倍ですか。

（解）（１）　２１＋２８＋３７＋４９＋６５＋６５＝２６５（ｃｍ）

　（２）　３＋４＋４＋９＋１６＋２５＋４９＋８１＋１４４＋２５６＋４４１＋７８４＋１３６９
　　　＝３１８５（倍）

（コメント）　数列的に考えようとしましたが、実際に絵を描いて数えた方が速そうだったので、
　　　　　　泥臭く求めてみました。

　１番目の正三角形から始めて１辺の長さの数列は、

　１，１，１，２，２，３，４，５，７，９，１２，１６，２１，２８，３７，４９，６５，・・・

である。その階差数列を調べてみると、

　　０，０，１，０，１，１，１，２，３，４，５，７，９，１２，１６，・・・

となるので、最初のいくつかの項を除いて、何となく規則性が見えてくる。


３．　あるお店でチーズケーキとプリンを買います。どちらも少なくとも１個は買うことに
　　します。チーズケーキは１個３００円、プリンは１個１２０円です。値段は消費税をふ
　　くんでいます。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）　チーズケーキとプリンを合わせて１８個買い、代金が３５００円以上４５００円以下
　　になるようにします。考えられる個数の組合せをすべて答えなさい。
（２）　セールの期間には、チーズケーキは１０個をこえると、こえた分はもとの値段の
　　５％引きになります。セール期間中に買い物をし、その代金がちょうど９０００円に
　　なる場合の個数の組合せをすべて答えなさい。

（解）（１）　チーズケーキをｘ個買うとすると、プリンは、１８−ｘ個なので、題意より、

　　３５００≦３００ｘ＋１２０（１８−ｘ）≦４５００　から、１３４０≦１８０ｘ≦２３４０

　　よって、７．・・・≦ｘ≦１３　より、

　（チーズケーキ，プリン）＝（８，１０）、（９，９）、（１０，８）、（１１，７）、（１２，６）、（１３，５）

（２）　チーズケーキをｘ個、プリンをｙ個買うとする。１≦ｘ≦１０のとき、題意より、ｘが奇数は

　　起こりえないので、　ｘ＝２、４、６、８、１０

　　このとき、それぞれ　ｙ＝（９０００−３００ｘ）/１２０＝７０、６５、６０、５５、５０

　　　ｘ＞１０　のとき、　　３００×１０＋２８５（ｘ−１０）＋１２０ｙ＝９０００

　　　　すなわち、　２８５ｘ＋１２０ｙ＝８８５０　より、　１９ｘ＋８ｙ＝５９０

　　　このとき、　１９×（−２）＋８×５＝２　より、　１９×（−５９０）＋８×１４７５＝５９０

　　　よって、　１９（ｘ＋５９０）＝８（１４７５−ｙ）

　　　１９と８は互いに素なので、　ｘ＋５９０＝８ｋ　、　１４７５−ｙ＝１９ｋ

　　　　ｘ＝８ｋ−５９０＞１０　より、　ｋ＞７５　　よって、ｋ≧７６

　　　　ｙ＝１４７５−１９ｋ≧１　より、　ｋ≦７７．・・・

　　　以上から、　ｋ＝７６、７７

　　　　ｋ＝７６　のとき、　ｘ＝６０８−５９０＝１８　、ｙ＝１４７５−１４４４＝３１

　　　　ｋ＝７７　のとき、　ｘ＝６１６−５９０＝２６　、ｙ＝１４７５−１４６３＝１２

　以上から、

（チーズケーキ，プリン）＝（２，７０）、（４，６５）、（６，６０）、（８，５５）、（１０，５０）、（１８，３１）、（２６，１２）


（追記）　平成２８年２月５日（金）付け朝日新聞朝刊に平成２８年度桜蔭中学入試問題が掲
　　　　載された。興味ある問題があったので挑戦してみた。（一部改題）

　等間隔に（１）から（９）までの番号がついた道路がある。３人Ａ、Ｂ、Ｃの歩く速さ、走
る速さ、自転車の速さはそれぞれ等しいとするとき、次の問いに答えよ。

　２つの間隔の間を７５秒で歩き、４０秒で走り、２５秒で自転車を走らせるものとする。

（イ）　Ａは１０時に地点（１）を歩いて出発し、途中の地点から走って地点（９）に達した。
　　地点（９）では１分休み、自転車で地点（１）に戻った。Ｂは１０時に地点（１）を自転
　　車で出発し、地点（５）に着いて４分４５秒休み、その後は歩いて、地点（１）に戻っ
　　た。２人が同時刻に地点（１）に戻ったとき、Ａはどの地点から走り始めたか。

（ロ）　（イ）のとき、Ｃは１０時に地点（８）から自転車で地点（１）に向かった。地点（１）
　　に着く途中で、Ａ、Ｂとすれ違った。Ｂとすれ違った後、何秒後にＡとすれ違ったか。


　長文を読んで頭がクラクラしてくるが、動きを次のように図示すると分かりやすい。

　　


（解）（イ）　地点（ｘ＋１）から走り始めたとすると、

　　　　　７５ｘ＋４０（８−ｘ）＋６０＋２５・８＝４・２５＋２８５＋７５・４

　　　すなわち、　３５ｘ＋５８０＝６８５　より、　３５ｘ＝１０５　　よって、ｘ＝３

　　　したがって、Ａは地点（４）より走り始めた。

（ロ）　Ｂとすれ違うまでの時間をｘとおくと、

　　　　（４/１００）ｘ＝−（７/１７５）ｘ＋７　より、ｘ＝１７５/２

　　Ａとすれ違うまでの時間をｘとおくと、−（７/１７５）ｘ＋７＝（３/２２５）ｘ　より、　ｘ＝５２５/４

　　よって、　５２５/４−１７５/２＝１７５/４　より、　４３．７５秒後にＡとすれ違う。


（追記）　平成２９年２月４日（土）付け朝日新聞朝刊に平成２９年度開成中学入試問題が掲
　　　　載された。背後に木部先生の気配を感じつつ挑戦してみた。（一部改題）

１．　次の各問いに答えなさい。

（１）　次の（　）には同じ数が入ります。その数を求めなさい。

　　　（３５/３）×（（　）×１．４＋（　）÷（１/２）＋２０）÷（７/６０）＝２０１７

（２）　１から２０１７までの整数のうち、３でも４でも割り切れないものを考えます。その
　　　うち、２の倍数と５の倍数はそれぞれ何個ありますか。

　何れも当ＨＰの「パズル２０１７」に類別されそうな問題で面白そう！

（解）（１）　まず、（　）×１．４＋（　）×２＋２０＝２０１７/１００　より、（　）×３．４＝１７/１００

　　　　　　よって、　（　）＝１/２０

（２）　１から２０１７までの整数のうち、２の倍数は全部で、１００８個ある。この中から、３また
　　は４で割り切れるものを除けばよい。

　２・１、２・２、２・３、・・・・・・、２・１００８　より、１、２、３、・・・・・・・、１００８で、２または３また
は４で割り切れるものは、　５０４＋３３６＋２５２−１６８−８４−２５２＋８４＝６７２（個）

　よって、条件を満たす２の倍数は、　１００８−６７２＝３３６（個）　ある。

　同様にして、１から２０１７までの整数のうち、５の倍数は全部で、４０３個ある。この中から、
３または４で割り切れるものを除けばよい。

　５・１、５・２、５・３、・・・・・・、５・４０３　より、１、２、３、・・・・・・・、４０３で、３または４で割り切
れるものは、　１３４＋１００−３３＝２０１（個）

　よって、条件を満たす５の倍数は、　４０３−２０１＝２０２（個）　ある。


（コメント）　（１）は普通レベルにしても（２）は「小学生に個数定理？」と思うくらい難問ですね。
　　　　　　それとも他に小学生レベルの解法があるのかな？


２．は問題文が長すぎてパス！


３．　次の各問いに答えなさい。
（１）　下の図において、四角形ＡＢＣＤと四角形ＡＢＥＦはどちらも長方形で、３つの直
　　線ＡＧ、ＢＤ、ＥＦが１点Ｈで交わっています。ＧＥの長さが１ｃｍ、ＤＦの長さが９ｃｍ、
　　ＡＦの長さがｘ cmのとき、ｘ の値を求めなさい。

　　　　

（２）　Ａ地点とＢ地点の間に一本道があります。阿部君はこの道をＡ地点からＢ地点
　　へ向かって分速５０ｍで進みます。馬場君もこの道をＢ地点からＡ地点へ向かって
　　一定の速さで進みます。二人は同時に出発し、Ｂ地点から２５０ｍ離れた地点です
　　れ違いました。また、阿部君がＢ地点に着いてから４６分１２秒後に、馬場君はＡ地
　　点に着きました。右の図は、二人が出発してからの時間とＡ地点からの道のりの関
　　係を表しています。二人が出発してからすれ違うまでにかかった時間をｙ分とすると
　　き、ｙの値を求めなさい。

　　　　

　これは、中学入試らしい問題ですね。

（解）（１）　相似比から、　ｘ＝９/ｘ　より、　ｘ＝３（ｃｍ）

（２）　阿部君がＢ地点に到着するのは、すれ違ってから、　２５０÷５０＝５（分後）。

　　よって、（１）と同様に考えて、　ｙ＝（４６．２＋５）×（５/ｙ）　から、　ｙ²＝２５６

　　したがって、　ｙ＝１６（分）


（コメント）　小学生に平方根は無謀かな？違う解法があるのかも。


４．　底面がAB＝４ｃｍ、ＢＣ＝３ｃｍ、ＣＡ＝５ｃｍ、∠ＡＢＣの大きさが９０°の三角形
　　であり、側面がすべて長方形の透明な三角柱ABC-DEFのガラスでできた容器があ
　　ります。この容器には水を入れることができ、どのような向きに置いても水は漏れな
　　いものとします。また、容器のガラスの厚さは考えません。

　　　　

　　　まず、この容器に少し水を入れたところ、面DEFを下にして水平な床に置いたとき
　　と、面BCFEを下にして水平な床に置いたときとで、容器の下の面から水面までの高
　　さが等しくなりました。

　　　　

　　　次に、この容器に、これまで入っていた量の５/４倍の水をさらに追加したところ、
　　面DEFを下にして水平な床に置いたときと、面ABEDを下にして水平な床に置いた
　　ときとで、容器の下の面から水面までの高さが等しくなりました。

　　　　

　　　次の問いに答えなさい。

（１）　長さ ｃ は長さ ａ の何倍ですか。

（２）　長さ ｄ は、長さ ｂ より何ｃｍ長いですか、または、短いですか。

（３）　長さ ａ は何ｃｍですか。

（４）　BEの長さは何ｃｍですか。

（５）　
　　　　

　　の状態のあと、この容器に水をさらに追加したところ、面DEFを下にして水平な床に
　　置いたときと、面ACFDを下にして水平な床に置いたときとで、容器の下の面から水
　　面までの高さが等しくなりました。このとき、等しい水面の高さは何ｃｍですか。

（解）（１）　最初に水を入れて面DEFを下にして水平な床に置いたときの水面の高さをｈとお
　　　　　くと、題意より、　ｈ＝ａ　である。

　　　　また、この容器に、これまで入っていた量の５/４倍の水をさらに追加したので高さは、
　　　　９ｈ/４で、題意より、　９ｈ/４＝ｃ　である。

　　　　よって、　ｃ＝（９/４）ａ　となり、長さ ｃ は長さ ａ の９/４倍である。

（２）　△ＡＢＣの面積は、６ｃｍ²で、ＢＥ＝ｘ とおくと、題意より、　６ｈ＝（３＋ｂ）ａｘ/２

　　　また、　６ｈ×（９/４）＝（４＋ｄ）ｃｘ/２＝（４＋ｄ）×（９/４）ａｘ/２　より、

　　　　　　６ｈ＝（４＋ｄ）ａｘ/２　なので、　（３＋ｂ）ａｘ/２＝（４＋ｄ）ａｘ/２

　　　よって、　３＋ｂ＝４＋ｄ　となり、　ｄ−ｂ＝−１

　　　したがって、長さ ｄ は、長さ ｂ より １ｃｍ短い。

（３）　４−ａ ： ４＝ｂ ： ３　より、　ｂ＝３（４−ａ）/４

　　同様にして、　３−ｃ ： ３＝ｄ ： ４　より、　ｄ＝４（３−ｃ）/３＝４−３ａ

　（２）より、　４−３ａ−３（４−ａ）/４＝−１　なので、　ａ＝８/９（ｃｍ）

（４）　（３）より、　ｃ＝２、ｂ＝７/３、ｄ＝４/３　で、　ｈ＝８/９　となるので、

　　　６ｈ＝（３＋ｂ）ａｘ/２　に代入して、　ｘ＝９/４（ｃｍ）

（５）　容器に水をさらに追加して、面DEFを下にして水平な床に置いたときの水面の高さをＨ
　　とし、面ACFDを下にして水平な床に置いたときの側面の台形の上底の長さをｅとおくと、
　　題意より、
　　　　　　　　　６Ｈ＝（５＋ｅ）Ｈ×（９/４）/２　なので、　ｅ＝１/３

　　　このとき、△ＡＢＣのＡＣを底辺とする高さｙは、　５ｙ/２＝６　より、　ｙ＝１２/５　なので、

　　　　１２/５ ： ５＝（１２/５−Ｈ） ： １/３　が成り立つ。

　　　これを解いて、　Ｈ＝５６/２５（ｃｍ）　となる。　　（終）


（追記）　平成２９年２月５日（日）付け朝日新聞朝刊に平成２９年度桜蔭中学入試問題が掲
　　　　載された。面白そうなので挑戦してみた。（一部改題）

１．　次の（　　）にあてはまる数を答えなさい。

（１）�@　｛１．０４÷９×（１２−５−４/７）−１３/４２｝×（２＋２３/２６）＝（　　）

　　�A　｛７＋６/１１−（４＋１/１６）÷６．８７５｝÷｛１５−（（　　）＋５＋１/３）｝＝６＋３/４

（２）　０から９までの１けたの数字１０個から、異なる２個の数字を選びます。その２個
　　　の数字をどちらも１回以上使って４個を並べた数を作ります。ただし、０を使うとき
　　　は、たとえば、００３０は３０、０１０１は１０１と考えることとします。

　�@　このようにしてできる数は全部で（　　）個あります。

　�A　２０２０は小さい方から数えて（　　）番目の数です。

　�B　大きい方から数えて９２番目の数は（　　）です。

（解）（１）�@　｛１．０４÷９×（１２−５−４/７）−１３/４２｝×（２＋２３/２６）
　　　　　　＝（１．０４/９）×（４５/７）×（７５/２６）−（１３/４２）×（７５/２６）
　　　　　　＝１５/７−７５/８４
　　　　　　＝１０５/８４
　　　　　　＝５/４

　�A　｛７＋６/１１−（４＋１/１６）÷６．８７５｝÷｛１５−（（　　）＋５＋１/３）｝＝６＋３/４
　　　　（８３/１１）−（１３/２２）＝（２７/４）｛（２９/３）−（　　）｝
　　　　（１５３/２２）×（４/２７）＝（２９/３）−（　　）
　　　　（　　）＝（２９/３）−（３４/３３）＝２８５/３３＝９５/１１

（２）�@　₁₀Ｃ₂×（４！/３！＋４！/（２！２！）＋４！/３！）＝４５×１４＝６３０（個）

　�A　０***　のタイプは、　９×３＋９×３＋９＝６３
　　　１***　のタイプは、　９×３＋９×３＋９＝６３
　　　２０００、２００２　の次が２０２０

　　　より、　６３＋６３＋２＋１＝１２９（番目）

　�B　９***　のタイプは、　９＋９×３＋９×３＝６３（個）　なので、９２番目の数は、８***
　　　のタイプ。

　　　８９**　のタイプは、　４通り
　　　８８**　のタイプは、　９＋９×２＝２７通り　これで、９４個目
　　　　９２番目の数は、８８**　のタイプで小さい方から３番目の数なので、
　　　８８００、８８０８、８８１１、８８１８、８８２２、８８２８、８８３３、・・・　から、答えは、８８１１


２．　下の図は、ＡＤ＝ＤＨ＝１６ｃｍ、ＧＨ＝１２ｃｍの直方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨで、
　　ＡＦ＝２０ｃｍです。２つの動く点ＰとＱが同時に出発して、毎秒２ｃｍの速さで点Ｐ
　　は長方形ＡＤＧＦの周上を、点Ｑは三角形ＣＤＧの周上を次のように動きます。

　点Ｐ：Ａ→Ｄ→Ｇ→Ｆ→Ａ→Ｄ→Ｇ→・・・
　点Ｑ：Ｇ→Ｄ→Ｃ→Ｇ→Ｄ→・・・

　　　

（１）　２点Ｐ、Ｑが初めて出会うのは、２点が出発してから何秒後ですか。
（２）　２点Ｐ、Ｑが４回目に出会うのは、２点が出発してから何分何秒後ですか。


（解）　点Ｐが長方形ＡＤＧＦを一周するのに要する時間は、　８→１０→８→１０　の計３６秒
　　　点Ｑが三角形ＣＤＧを一周するのに要する時間は、　１０→６→８　の計２４秒

（１）　２点Ｐ、Ｑが初めて出会うのは、線分ＤＧ上で、それが出発から ｘ 秒後とすると、

　　　２ｘ＝３６−２ｘ　から、　ｘ＝９　　よって、２点が出発してから９秒後に初めて出会う。

（２）　２点Ｐ、Ｑが出会うのは線分ＤＧ上である。点Ｐが線分ＤＧ上にある時間は、出発から、

　８〜１８、４４〜５４、８０〜９０、１１６〜１２６、１５２〜１６２、・・・

　　点Ｑが線分ＤＧ上にある時間は、出発から、

　０〜１０、２４〜３４、４８〜５８、７２〜８２、９６〜１０６、１２０〜１３０、１４４〜１５４、・・・

　よって、２点Ｐ、Ｑが４回目に出会うのは、点Ｐが点Ｄを１１６秒後に出発し、点Ｑが点Ｇを
１２０秒後に出発して線分ＤＧ上で出会うので、　（２０−２×４）÷２÷２＝３

　よって、２点が出発してから、１２０＋３＝１２３（秒後）　すなわち、２分３秒後　に４回目の
出会いがある。　　（終）


（コメント）　こういう問題って、いかにも算数っぽくて好きですね。（１）で方程式を立ててしま
　　　　　　いましたが、立てなくても　３６÷２÷２＝９（秒後）　としても、直ぐ分かります。


３．　１辺の長さがそれぞれ３ｃｍ、１２ｃｍ、２１ｃｍの正方形を底面とする直方体から
　　上の面を取り除いてできた３つの水槽Ａ、Ｂ、Ｃを重ねて（Ｃの中にＢ、Ｂの中にＡ）
　　底面を固定した容器がある。この容器を水平な床の上に置き、水槽Ａ、Ｂ、のそれ
　　ぞれに、蛇口ａ、ｂ、ｃから毎秒一定の量の水を同時に入れ始め、全ての水槽が水
　　で満たされるまで３つの蛇口から水を入れ続けました。ただし、容器の厚さは考え
　　ないものとします。

（１）　下の図は、水を入れ始めてから容器が水で満たされるまでの時間と水面の高さ
　　　の関係を表したグラフです。水を入れ始めてから（ア）秒後までの水槽Ｂの水面が
　　　上昇する速さが毎秒１/２７ｃｍ、（ウ）が１８９であるとき、次の�@、�Aを求めなさい。

　　�@　１つの蛇口から１秒間に出る水の量
　　�A　水槽Ｃの高さ

　　　　

（２）　この容器を空にして、再び３つの蛇口から毎秒一定の量の水を入れました。全
　　　ての水槽が水で満たされるまでに２分かかったとき、１つの蛇口から１秒間に出
　　　る水の量を求めなさい。

（解）（１）�@　水槽Ｂの中に水槽Ａがあるので、水槽Ｂの実際の底面積は、

　　　　　　　　１２×１２−３×３＝１３５（ｃｍ²）

　　　　　　　よって、１つの蛇口から１秒間に出る水の量は、　１３５×１/２７＝５（ｃｍ³）

�A　水槽Ａが水で満たされるのに要する時間は、　３×３×１５÷５＝２７（秒）

　　水槽Ｂが水で満たされるのに要する時間は、

　　　　（１３５×９−５×２７）÷１０＋２７＝１３５（秒）

　　水槽Ｃの高さをｈ（ｃｍ）とすると、

　　　　（２１×２１−１２×１２）×ｈ−５×１３５＝１５×（１８９−１３５）

　　すなわち、　２９７ｈ＝１４８５　より、　ｈ＝５（ｃｍ）

（２）　１つの蛇口から１秒間に出る水の量を ｘ ｃｍ³とすると、

　　水槽Ａが水で満たされるのに要する時間は、　３×３×１５÷ｘ＝１３５/ｘ（秒）

　　水槽Ｂが水で満たされるのに要する時間は、

　　　　（１３５×９−ｘ×（１３５/ｘ））÷２ｘ＋１３５/ｘ＝６７５/ｘ（秒）

　　水槽Ｃの高さは５ｃｍなので、

　　　　（２１×２１−１２×１２）×５−ｘ×（６７５/ｘ）＝３ｘ×（１２０−６７５/ｘ）

　　すなわち、　１４８５−６７５＝３６０ｘ−２０２５　より、　３６０ｘ＝２８３５

　　よって、１つの蛇口から１秒間に出る水の量は、６３/８ ｃｍ³ となる。　　（終）


（コメント）　よく考えられた問題ですね！解いて楽しかったです。


４．　立体１（底面が半径６ｃｍの直円錘（ただし、母線の長さ２５ｃｍ））、立体２（底面
　　が半径３ｃｍ、高さ２０ｃｍの直円柱）、立体３（底面が半径４ｃｍ、高さ１５ｃｍの直
　　円柱から底面が半径２ｃｍ、高さ１５ｃｍの直円柱をくりぬいたもの）のそれぞれが
　　１個以上あります。

　　　立体１の下の面は赤、立体２の上下の面は青、立体３の上下の面は黄色に塗ら
　　れていて、どの立体もその他の面は全て白く塗られています。このとき、次の問い
　　に答えなさい。ただし、円周率は、３．１４とします。

（１）　立体１、２、３の１個ずつについて、白く塗られている部分の面積と、赤、青、黄
　　　色に塗られている部分の面積をそれぞれ求めなさい。

（２）　全ての立体の赤く塗られている部分の面積の合計と、青く塗られている部分の
　　　面積の合計と、黄色く塗られている部分の面積の合計がどれも同じとき、全ての
　　　立体の白く塗られている部分の面積の合計は最も少なくて何ｃｍ²ですか。

（３）　全ての立体の白く塗られている部分の面積の合計が５６５２ｃｍ²であるとき、立
　　　体１、２、３はそれぞれ何個ずつありますか。考えられる個数の組を全て答えなさ
　　　い。ただし、立体１、２、３はどれも異なる個数あるとします。

（解）（１）　白　立体１・・・２５×２５×３．１４×（２×３．１４×６）÷（２×３．１４×２５）
　　　　　　　　　　　　　　　＝２５×３．１４×６＝４７１（ｃｍ²）
　　　　　　　　　立体２・・・２×３．１４×３×２０＝３７６．８（ｃｍ²）
　　　　　　　　　立体３・・・２×３．１４×４×１５＋２×３．１４×２×１５
　　　　　　　　　　　　　　　＝２×３．１４×６×１５＝５６５．２（ｃｍ²）
　　　　　　　赤　立体１・・・６×６×３．１４＝１１３．０４（ｃｍ²）
　　　　　　　青　立体２・・・３×３×３．１４×２＝５６．５２（ｃｍ²）
　　　　　　　黄　立体３・・・２×（４×４×３．１４−２×２×３．１４）
　　　　　　　　　　　　　　　＝２×１２×３．１４＝７５．３６（ｃｍ²）

（２）　（１）より、立体１、立体２、立体３の個数の比は、　２ ： ４ ： ３　なので、求める面積は、

　　少なくとも　４７１×２＋３７６．８×４＋５６５．２×３＝４１４４．８（ｃｍ²）

（３）　題意より、　４７１×ｘ＋３７６．８×ｙ＋５６５．２×ｚ＝５６５２

　　５６５２は４７１で割り切れるが、立体２、立体３は０個（同数）となり、不適。よって、立体２、
　立体３は、１個以上ある。このとき、　ｘ≦１０、ｙ≦１３、ｚ≦９　の範囲で求めればよい。　　　

　右辺の小数部分がないので、起こり得る組合せは、

　（ｙ，ｚ）＝（６，１）、（７，２）、（８，３）、（９，４）、（１１，１）、（１３，３）、（１，６）、（２，７）、
　　　　　　（３，８）、（４，９）

　（ｙ，ｚ）＝（６，１）のとき、　４７１×ｘ＋３７６．８×６＋５６５．２×１＝５６５２　より、
　　　　　　　　　　　　４７１×ｘ＝２８２６　　このとき、　ｘ＝６　となり、不適

　（ｙ，ｚ）＝（７，２）のとき、　４７１×ｘ＋３７６．８×７＋５６５．２×２＝５６５２
　　　　　　　　　　　　４７１×ｘ＝１８８４　　このとき、　ｘ＝４

　（ｙ，ｚ）＝（８，３）のとき、　４７１×ｘ＋３７６．８×８＋５６５．２×３＝５６５２
　　　　　　　　　　　　４７１×ｘ＝９４２　　このとき、　ｘ＝２

　（ｙ，ｚ）＝（９，４）のとき、　４７１×ｘ＋３７６．８×９＋５６５．２×４＝５６５２
　　　　　　　　　　　　４７１×ｘ＝０　　このとき、　ｘ＝０　となり、不適

　（ｙ，ｚ）＝（１１，１）のとき、　４７１×ｘ＋３７６．８×１１＋５６５．２×１＝５６５２
　　　　　　　　　　　　４７１×ｘ＝９４２　　このとき、　ｘ＝２

　（ｙ，ｚ）＝（１３，３）のとき、　４７１×ｘ＋３７６．８×１３＋５６５．２×３＝５６５２
　　　　　　　　　　　　４７１×ｘ＝−９４２　　このとき、ｘ は負数となり、不適

　（ｙ，ｚ）＝（１，６）のとき、　４７１×ｘ＋３７６．８×１＋５６５．２×６＝５６５２
　　　　　　　　　　　　４７１×ｘ＝１８８４　　このとき、　ｘ＝４

　（ｙ，ｚ）＝（２，７）のとき、　４７１×ｘ＋３７６．８×２＋５６５．２×７＝５６５２
　　　　　　　　　　　　４７１×ｘ＝９４２　　このとき、　ｘ＝２　となり、不適

　（ｙ，ｚ）＝（３，８）のとき、　４７１×ｘ＋３７６．８×３＋５６５．２×８＝５６５２
　　　　　　　　　　　　４７１×ｘ＝０　　このとき、　ｘ＝０　となり、不適

　（ｙ，ｚ）＝（４，９）のとき、　４７１×ｘ＋３７６．８×４＋５６５．２×９＝５６５２
　　　　　　　　　　　　４７１×ｘ＝−９４２　　このとき、ｘ は負数となり、不適

　以上から、考えられる個数の組は、

　　（ｘ，ｙ，ｚ）＝（４，７，２）、（２，８，３）、（２，１１，１）、（４，１，６）


（コメント）　文章は長いが、比較的平易な問題と言えるでしょう。（３）は考えられる個数の組
　　　　　　をすべて答える問題で、これは少し身構えてしまいますね！

　　途中で計算しながら気づいたのですが、４７１×ｘ＋３７６．８×ｙ＋５６５．２×ｚ＝５６５２
　から、両辺を簡約して、　５ｘ＋４ｙ＋６ｚ＝６０　と出来るんですね。


（追記）　平成３０年２月４日（日）付け朝日新聞朝刊に平成３０年度桜蔭中学入試問題が掲
　　　　載された。面白そうなのをチョイスして挑戦してみた。（一部改題）

�T　次の□にあてはまる数、文字を答えなさい。
（２）�@　ある整数ｎを２回かけてできた数を１０で割った余りを＜ｎ＞と表すことにします。
　　　　たとえば、２×２＝４　なので、＜２＞＝４
　　　　　　　　　　７×７＝４９、４９÷１０＝４　あまり　９　なので、＜７＞＝９　です。
　　　　このとき、１から１２７までの整数で、＜ｎ＞＝４　となる整数ｎは□個あります。

　�A　ある整数ｎを２回かけてできた数を１５で割った余りを≪ｎ≫と表すことにします。
　　　このとき、１７を１７回かけた数をｍとすると、≪ｍ≫＝□　です。

（解）�@　題意より、　ｎ＝１０ｍ＋ｋ　とおける。

　ただし、ｍ＝０　のとき、整数ｋは、１≦ｋ≦９　を満たす。ｍ＝１２　のとき、整数ｋは、
０≦ｋ≦７　を満たす。それ以外のｍ（１≦ｍ≦１１）のとき、整数ｋは、０≦ｋ≦９　を満たす。

　＜ｎ＞＝ｋ²＝４　を満たす整数ｋは、　ｋ＝２、８

　ｋ＝２　のとき、適するｍは、　ｍ＝０、１、２、・・・、１２　の１３個

　ｋ＝８　のとき、適するｍは、　ｍ＝０、１、２、・・・、１１　の１２個

　　よって、求める整数ｎは、　１３＋１２＝２５（個）ある。

�A　１７¹⁷＝（１５＋２）¹⁷≡２¹⁷　（ｍｏｄ　１５）　より、　（１７¹⁷）²≡２³⁴　（ｍｏｄ　１５）

　　ここで、　２⁴≡１　（ｍｏｄ　１５）　なので、　２³⁴＝（２⁴）⁸・２²≡４　（ｍｏｄ　１５）

　　よって、　≪１７¹⁷≫＝４　となる。


（コメント）　�Aは少し大人げない解法だったかな？

（３）　４７人のクラスで、５月７日月曜日から出席番号順に７人ずつ教室掃除をします。
　　つまあり、５月７日は１番から７番、５月８日は８番から１４番の人が掃除をします。日曜
　　日と祝祭日は掃除はしません。５月７日に掃除をした７人がそろって次に掃除をするの
　　は、□月□日□曜日です。

（解）　４７＝７×６＋５、４７＋５＝７×７＋３、４７＋３＝７×７＋１、４７＋１＝７×６＋６

　　　４７＋６＝７×７＋４、４７＋４＝７×７＋２、４７＋２＝７×７、４７＝７×６＋５　より、

　　　５月７日月曜日から数えて、　６＋７＋７＋６＋７＋７＋７＋１＝４８（日目）に再度同じ

　　番号の人が掃除をする。単純計算して、月曜から土曜の週は、全部で、４８÷６＝８（週）

　　ただし、この期間に祝祭日はないので、再度同じ番号の人が掃除をするのは、８週目の

　　最終日となる。よって、６月３０日土曜日となる。


�V　１冊あたりの税込み定価が１００円のノートをＡ店、Ｂ店、Ｃ店で売っています。売り方は
次の通りです。

　今、３店のうち１店または２店でノートを買うことにします。
（１）２０冊のノートを手に入れるためには最低いくらかかりますか。ただし、ノートは余分に
　　手に入れてもよいものとします。
（２）４９００円以内で手に入れることができるノートは最大何冊ですか。
（３）（２）で求めた冊数を４９００円未満で手に入れるとき、それぞれの店で何冊ずつ手に入
　　れればよいですか。考えられる組をすべて書きなさい。

（解）　売り方をまとめると、
　　Ａ店：　最初の１０冊は、１０００円。次の１０冊は、８００円。・・・
　　Ｂ店：　１冊目は１００円、２冊目は・・・・・・・・・・、１０冊買うと１０００円で１２冊手に入る。
　　Ｃ店：　１冊目は９２円、２冊目は９２円、・・・・・・・・・・。

（１）　Ａ店のみで２０冊　→　１８００円
　　　Ｂ店のみ　→　２０００円　ただし、２４冊手に入る。
　　　Ｃ店のみ　→　９２円×２０＝１８４０円

　　よって、Ｂ店で１０冊買うと代金は１０００円で１２冊手に入る。残りの８冊をＣ店で買うこと
　にすれば代金は、９２円×８＝７３６円。

　　以上から、２０冊のノートを手に入れるためには最低１７３６円かかる。

（２）　Ａ店のみだと、１０００円×１＋８００円×４＝４２００円　で、５０冊手に入る。
　　　残りの７００円分で、Ｃ店より、９２円×７＝６４４円買い、７冊手に入る。以上で、５７冊。

　　　Ｂ店のみだと、１０００円×４＝４０００円　で、４８冊手に入る。
　　　残りの９００円分で、Ｃ店より、９２円×９＝８２８円買い、９冊手に入る。以上で、５７冊。

　　　Ｃ店のみだと、９２円×５３＝４８７６円　で、５３冊しか買えない。

　　以上から、４９００円以内で手に入れることができるノートは最大５７冊。

（３）　考えられる組は、全部で１０通り。

（追記）　平成３０年２月６日（火）付け朝日新聞朝刊に平成３０年度開成中学入試問題が掲
　　　　載された。面白そうなのをチョイスして挑戦してみた。（一部改題）

１（２）赤球、青球、黄球が２個ずつ６個あります。同じ色の球が隣り合わないように６個すべ
　　　てを左から右へ一列に並べます。このような並べ方は何通りあるか求めなさい。ただし、
　　　同じ色の球は区別しないことにします。

　順列・組合せの公式を使おうとするも挫折。素直に樹形図で攻めるのが良さそうだ。

（解）　一番左が赤球でその隣が青球のとき、

　　　　赤−青−赤−青　は起こりえない。
　　　　赤−青−赤−黄−青−黄
　　　　赤−青−黄−赤−青−黄
　　　　赤−青−黄−赤−黄−青
　　　　赤−青−黄−青−赤−黄
　　　　赤−青−黄−青−黄−赤　　の５通り

　一番左とその隣の組合せ　赤−黄、青−赤、青−黄、黄−赤、黄−青　でも同様。

　よって、求める場合の数は、　５×６＝３０（通り）


（３）　川の上流のＡ町と下流のＢ町の間を船で往復します。Ａ町からＢ町までは４２分かかり、
　　Ｂ町からＡ町までは１時間５２分かかります。船の静水での速さは川の流れる速さの何倍
　　か答えなさい。船の静水での速さと、川の流れる速さはそれぞれ一定とします。

（解）　Ａ町とＢ町の間の距離をＬ、船の静水での速さをＶ、川の流れる速さをＷとすると、

　　　Ｌ/（Ｖ＋Ｗ）＝７/１０　、Ｌ/（Ｖ−Ｗ）＝２８/１５　なので、

　　　（７/１０）（Ｖ＋Ｗ）＝（２８/１５）（Ｖ−Ｗ）

　　　よって、　３５Ｖ＝７７Ｗ　より、　Ｖ＝（１１/５）Ｗ

　　　以上から、船の静水での速さは川の流れる速さの２．２倍


（コメント）　文字を使った解法だが、算数的にはどう解くのだろう？


（４）　容器Ａには濃度１．６２％の食塩水が６００ｇ、容器Ｂには濃度の分からない食塩水が
　　４００ｇ入っています。Ａの食塩水のうちＮｇをＢに移してよくかき混ぜたのち、同じＮｇをＡ
　　に戻しました。さらにまた同じことを繰り返したところ、Ａ、Ｂの食塩水の濃度は、順に
　　１．８８％と２．０４％になりました。最初のＢの食塩水の濃度を求めなさい。

　当ＨＰの「意外な実験」での考察が役に立ちそうだ。

（解）　容器Ｂの食塩水の濃度を ｘ ％とする。Ａ→ＢおよびＢ→Ａの操作の前と後で食塩量
　　　は不変なので、

　　　（０．０１６２×６００＋（ｘ/１００）×４００＝０．０１８８×６００＋０．０２０４×４００

　　　　９．７２＋４ｘ＝１１．２８＋８．１６　より、　４ｘ＝９．７２　すなわち、　ｘ＝２．４３（％）


（５）　下の図は、ある立体の展開図です。Ｂ、Ｃ、Ｄは一辺が６ｃｍの正方形、Ａ、Ｅ、Ｆは直
　　角二等辺三角形、Ｇは正三角形です。この立体の体積を求めなさい。

　　　　　

（解）　元の立体は、一辺が６ｃｍの立方体から角の三角錐を取り除いた下図の通りである。

　　　　　

　立方体の体積は、６×６×６＝２１６（ｃｍ³）

　三角錐の体積は、６×６×（１/２）×６×（１/３）＝３６（ｃｍ³）

　よって、求める立体の体積は、　２１６−３６＝１８０（ｃｍ³）


（６）　面積が９ｃｍ²である正六角形ＡＢＣＤＥＦの各辺の中点を結んで新しい正六角形を作
　　ります。新しい正六角形の面積を求めなさい。下の図の点Ｏは対称の中心です。

　　　　

（解）　元の正六角形と新しい正六角形の相似比は、　２：　なので、面積比は、　４：３

　　　よって、新しい正六角形の面積は、　９×（３/４）＝２７/４（ｃｍ²）


（７）　下の図において、四角形ABCDは正方形で、ＢＥ＝ＥＦ＝ＦＣ、ＣＧ＝ＧＤ　です。

（�@）　三角形ＡＩＪと四角形ABCDの面積比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

（�A）　四角形ＨＩＪＫと四角形ABCDの面積比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

　　　　

（解）
　　　　

（�@）　上図において、四角形ABCDの面積＝９、△ＡＥＦの面積＝３/２

　　　AI ： ＩＥ＝６：１　なので、△ＡＩＦの面積＝（３/２）（６/７）＝９/７

　　　ＡＪ ： ＪＦ＝３：１　なので、△ＡＩＪの面積＝（９/７）×（３/４）＝２７/２８

　　よって、　三角形ＡＩＪと四角形ABCDの面積比は、　２７/２８ ： ９＝３ ： ２８　となる。

（�A）　上図において、四角形ABCDの面積＝９、△ＡＥＦの面積＝３/２

　　　ＡＨ ： ＨＥ＝３：１　なので、△ＡＨＦの面積＝（３/２）（３/４）＝９/８

　　　ＡＫ ： ＫＦ＝３：２　なので、△ＡＨＫの面積＝（９/８）（３/５）＝２７/４０

　　よって、　四角形ＨＩＪＫの面積＝△ＡＩＪ−△ＡＨＫ＝２７/２８−２７/４０＝８１/２８０　より、

　　四角形ＨＩＪＫと四角形ABCDの面積比は、　８１/２８０ ： ９＝９ ： ２８０


２．直線上に中心を持つ半円が上下交互に繋がった「道路」があります。この道路の一番左
　の点をＡとします。

　　　　

　１/７を小数で表し、その小数第１位の数字を１番目の半円の半径、小数第２位の数字を
２番目の半円の半径、・・・　とします。

　Ａからこの道路を道のり２０１８ｍ進んだ地点は、左から何番目の半円上の点となるか、答
えなさい。

（解）　１/７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・　と循環する小数である。

　　１周期分の円弧の長さは、円周率を３．１４として、

　　　（１＋４＋２＋８＋５＋７）×３．１４＝２７×３．１４＝８４．７８

　　よって、　２０１８÷８４．７８＝２３．８０２・・・

　　　８４．７８×２３＝１９４９．９４　　　２０１８−１９４９．９４＝６８．０６

　　そこで、　１×３．１４＝３．１４　・・・・・　３．１４
　　　　　　　４×３．１４＝１２．５６　・・・・・　１５．７
　　　　　　　２×３．１４＝６．２８　・・・・・　２１．９８
　　　　　　　８×３．１４＝２５．１２　・・・・・　４７．１
　　　　　　　５×３．１４＝１５．７　・・・・・　６２．８
　　　　　　　７×３．１４＝２１．９８　・・・・・　８４．７８

　したがって、求める点は、左から　６×（２３＋１）＝１４４番目の半円上にある。


３．　正方形のマスの中に、１は１個、２は２個、３は３個のように整数ｎはｎ個使い、ある整
　　数から連続した３種類以上の整数を図のように小さい順に並べます。

　　　　

　図１では３マス四方の正方形に、２を２個、３を３個、４を４個、ちょうど並べきりました。図２、
図３では、６マス四方の正方形に１１から１３まで、１から８までの整数をちょうど並べきりまし
た。（６マス四方に並べる並べ方はこの２通り以外ありません。）

　図１の解を、【２〜４】、図２の解を、【１１〜１３】、図３の解を、【１〜８】と表すことにします。

　次の問いに答えなさい。（１）、（２）では、２通り以上の並べ方がある場合は、すべて答える
こと。

（１）　７マス四方の正方形にちょうど並べきるには、いくつからいくつまでの整数を並べれば
　　よいですか。

（２）　１０マス四方の正方形にちょうど並べきるには、いくつからいくつまでの整数を並べれ
　　ばよいですか。

（３）　３０マス四方の正方形にちょうど並べきる並べ方は何通りありますか。また、それぞれ
　　の並べ方は何種類の整数を使うか求めなさい。
　　（６マス四方の正方形にちょうど並べきる並べ方は図２、図３の【１１〜１３】、【１〜８】の２
　　通りです。この場合には２通りの並べ方があり、それぞれ［３，８］種類の整数を使う」と答
　　えること。また、種類を示す整数は小さい順に並べること。）

（解）（１）　７²＝４９　で、　ｎ＋（ｎ＋１）＋・・・＋ｍ＝４９　となる ｎ、ｍ （ｎ≦ｍ）を見つければよい。

　　　　　（ｎ＋ｍ）・ｄ＝９８＝２・７²

　　　ｄ≧３　に注意して、

　　　　　ｄ＝７　のとき、　ｎ＋ｍ＝ｎ＋（ｎ＋６）＝２ｎ＋６＝１４　より、　ｎ＝４　、ｍ＝１０
　　　　　ｄ＝１４　のとき、　ｎ＋ｍ＝ｎ＋（ｎ＋１３）＝２ｎ＋１３＝７　は解なし。
　　　　　ｄ＝４９　のとき、　ｎ＋ｍ＝ｎ＋（ｎ＋４８）＝２ｎ＋４８＝２　は解なし。

　　　　よって、解は、【４〜１０】

（２）　１０²＝１００　で、　ｎ＋（ｎ＋１）＋・・・＋ｍ＝１００　となる ｎ、ｍ （ｎ≦ｍ）を見つければ
　　よい。

　　　　　（ｎ＋ｍ）・ｄ＝２００＝２³・５²

　　　ｄ≧３　に注意して、

　　　　　ｄ＝４　のとき、　ｎ＋ｍ＝ｎ＋（ｎ＋３）＝２ｎ＋３＝５０　は解なし
　　　　　ｄ＝５　のとき、　ｎ＋ｍ＝ｎ＋（ｎ＋４）＝２ｎ＋４＝４０　より、　ｎ＝１８　、ｍ＝２２
　　　　　ｄ＝８　のとき、　ｎ＋ｍ＝ｎ＋（ｎ＋７）＝２ｎ＋７＝２５　より、　ｎ＝９　、ｍ＝１６
　　　　　ｄ＝１０　のとき、　ｎ＋ｍ＝ｎ＋（ｎ＋９）＝２ｎ＋９＝２０　は解なし
　　　　　ｄ＝２０　のとき、　ｎ＋ｍ＝ｎ＋（ｎ＋１９）＝２ｎ＋１９＝１０　は解なし
　　　　　ｄ＝２５　のとき、　ｎ＋ｍ＝ｎ＋（ｎ＋２４）＝２ｎ＋２４＝８　は解なし
　　　　　ｄ＝４０　のとき、　ｎ＋ｍ＝ｎ＋（ｎ＋３９）＝２ｎ＋３９＝５　は解なし
　　　　　ｄ＝５０　のとき、　ｎ＋ｍ＝ｎ＋（ｎ＋４９）＝２ｎ＋４９＝４　は解なし
　　　　　ｄ＝１００　のとき、　ｎ＋ｍ＝ｎ＋（ｎ＋９９）＝２ｎ＋９９＝２　は解なし
　　　　　ｄ＝２００　のとき、　ｎ＋ｍ＝ｎ＋（ｎ＋１９９）＝２ｎ＋１９９＝１　は解なし

　　　　よって、解は、【１８〜２２】、【９〜１６】

（３）　３０²＝９００　で、　ｎ＋（ｎ＋１）＋・・・＋ｍ＝９００　となる ｎ、ｍ （ｎ≦ｍ）を見つけれ
　　ばよい。

　　　　　（ｎ＋ｍ）・ｄ＝１８００＝２³・３²・５²

　　ｄ≧３　に注意して、

　　ｄ＝３、４、５、６、８、９、１０、１２、１５、１８、２０、２４、２５、３０、３６、４０、４５、５０、６０、
　　　　７２、７５、９０，１００、１２０１５０、１８０、２００、２２５、３００、３６０、４５０、６００、９００、
　　　　１８００

　このうち、ｄ＝４、６、１０、１２、１８、２０、３０、３６、４５、５０、６０、７２、７５、９０，１００、
　　　　　　　　　１２０１５０、１８０、２００、２２５、３００、３６０、４５０、６００、９００、１８００

　　については、解はない。解があるのは、ｄ＝３、５、８、９、１５、２４、２５、４０　の８通り。

　よって、［３、５、８、９、１５、２４、２５、４０］種類の整数を使う。


（コメント）　整数論の知識を用いればもっと美しく解けると思われるが、小学生になった気分
　　　　　　で泥臭く解いてみました。


（追記）　筑波大学附属駒場中学（平成３０年度入試）から面白そうな問題に挑戦してみた。

[３]　三角形ＡＢＣの内側に点Ｐがあり、Ｐから辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢにそれぞれ垂直な線を引き、
　　交わった点を順に、Ｄ、Ｅ、Ｆとします。次の問いに答えなさい。

（２）　下の図のように、三角形ＡＢＣは正三角形であり、ＡＦの長さは７ｃｍ、ＢＤの長さは８ｃｍ、
　　　ＣＥの長さは１０ｃｍです。このとき、正三角形の一辺の長さを求めよ。

　　　


　一見すると難しそうなのだが、（１）に（２）に繋がる補助線のヒントも与えられているので、次
のように考えることは、ほぼ一本道だろう。

　　　

（解）　△ＡＢＣの各辺に平行に点Ｐを通る直線を引き、△ＡＢＣ内に小正三角形を作る。

　　　このとき、　８−ｙ＝２ｘ　、７−ｘ＝２ｚ　、１０−ｚ＝２ｙ　が成り立つので、

　　３式を辺々加えて、　２５＝３（ｘ＋ｙ＋ｚ）　より、　ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５/３

　　このとき、正三角形の一辺の長さは、　２（ｘ＋ｙ＋ｚ）＝５０/３


（追記）　平成３１年２月１２日付け

　平成３１年２月６日（水）付け朝日新聞朝刊に平成３１年度桜蔭中学入試問題が掲載され
た。いくつか面白そうな問題があったので、小学生になったつもりで考えてみた。

�T（１）　（３＋５/２４＋０．２２５）÷（１＋１１/１５）−１．２５×１０/１３　を計算せよ。

（解）　与式＝（３＋５/２４＋９/４０）÷（１＋１１/１５）−（５/４）×１０/１３

　　　　　　＝（３＋５２/１２０）÷（２６/１５）−（２５/２６）

　　　　　　＝（１０３/３０）÷（２６/１５）−（２５/２６）

　　　　　　＝（１０３/５２）−（２５/２６）

　　　　　　＝５３/５２（＝１＋１/５２）　　（終）


（コメント）　いろいろ計算の工夫を考えてみましたが上記のように真面目に計算するしかな
　　　　　　いですかね？


�T（２）平成３１年２月１日は金曜日です。元号が平成になってから、うるう年は（　）回
　　あり、３回目のうるう年の２月２９日は（　）曜日でした。ただし、次にうるう年になる
　　のは２０２０年で、平成になってからうるう年は４年ごとにありました。

（解）　１９８９年から２０１８年まで、うるう年は、

　　　１９９２年、１９９６年、２０００年、２００４年、２００８年、２０１２年、２０１６年　の７回

　　３回目のうるう年は２０００年で、３月１日〜１２月３１日は、３０６日間

　　２００１年〜２０１８年までの１８年間は、　３６５×１４＋３６６×４＝６５７４日間

　　２０１９年１月１日〜２月１日は、３２日間

　　　以上の合計は、　３０６＋６５７４＋３２＝６９１２日間

　　ここで、　６９１２÷７＝９８７・・・３　なので、２０００年３月１日は水曜日

　　よって、３回目のうるう年の２月２９日は、火曜日となる。　　（終）


（コメント）　上記では日数計算で求めたが、３６５÷７＝５２・・・１なので、平成３１年２月１日
　　　　　　が金曜日ならば、前年の２月１日は木曜日となり、１つ分繰り上がる。特に、うる
　　　　　　う年は２つ分繰り上がる。このように考えると、２０００年２月１日は火曜日となり、
　　　　　　よって、２月２９日も火曜日となる。


　次の問題は題意の理解に戸惑い解答方針が立てにくい。難問の部類に入るかな？

�W　右の図のようなかわった時計があります。この時計 　には、７から１７までの数字と目盛りが書いてあります。 　７と８、８と９、９と１０、・・・、１６と１７の目盛りの間隔は、 　すべて等しいとします。午前７時を７時０分、午後１時を 　１３時０分のように表すことにします。８時０分のとき、右 　の図のように時計の長針は７、短針は８を指します。長 　針と短針は右回りになめらかに動きます。

　長針は次の�@�Aの規則に従って動きます。
�@　長針は７時０分から１７時０分までは６０分で１周します。このとき、長針と短針は
　　それぞれ一定の速さで動きます。
�A　長針は１７時０分から翌日の７時０分までは１６８分で１周します。このとき、長針
　　と短針はそれぞれ一定の速さで動きます。

　長針が１周する間に短針が回転する角度は、�@のときも�Aのときも同じで、短針は
２４時間で１周します。ただし、普通の時計と同じように１時間は６０分です。

（１）　次の（　　）にあてはまる数を答えなさい。

　長針が１周する間に短針が回転する角度は（　　）°です。
　時刻が１２時４５分のときの長針と短針のつくる角の大きさは（　　）°です。
　ただし、長針と短針のつくる角の大きさは０°以上１８０°以下とします。

（２）　１０時０分から１１時０分までの１時間で、長針と短針のつくる角の大きさが６０°
　　になる時刻は何時何分ですか。すべて求めなさい。

（３）　１７時０分から翌日の７時０分の間で、長針と短針が重なる時刻は何時何分です
　　か。すべて求めなさい。

（解）（１）　長針は１７時０分から翌日の７時０分までは１６８分で１周するので、

　　　　　　６０×１４÷１６８＝５　すなわち、長針は５周することになる。

　　　　　長針は、７時０分から１７時０分までは、１０周するので、合わせて１日で、１５周

　　　　したがって、短針は、長針が１周する間に　３６０°÷１５＝２４°回転する。

　　　時刻が１２時４５分のとき、長針の位置は、「７」から右回りに測って、２７０°

　　　短針の位置は、「７」から右回りに測って、　２４°×（５＋３/４）＝１３８°

　　　よって、長針と短針のつくる角の大きさは、　２７０°−１３８°＝１３２°

（２）　求める時刻を１０時ｍ分とすると、

　　長針の位置は、「７」から右回りに測って、３６０°×（ｍ/６０）＝６°×ｍ

　　短針の位置は、「７」から右回りに測って、２４°×（３＋ｍ/６０）＝７２°＋（２/５）°×ｍ

　よって、題意より、　　７２°＋（２/５）°×ｍ±６０°＝６°×ｍ

　すなわち、　（２８/５）°×ｍ＝１２°または　１３２°より、　ｍ＝１５/７　、１６５/７

　　以上から、求める時刻は、　１０時（２＋１/７）分　、１０時（２３＋４/７）分


（コメント）　上記では文字ｍを用いてしまったが、文字を用いない解法ももちろん存在する。
　　　　　　相対速度の考え方を用いる。


（別解）　１０時までに短針は、２４°×３＝７２°進んでいる。

　　　　　短針は、６０分で２４°進むので、毎分０．４°進む。

　　　　　長針は、６０分で３６０°進むので、毎分６°進む。

　　　よって、短針を固定したときの長針の進む速さは、　６°−０．４°＝５．６°

　　　題意より、長針と短針のつくる角の大きさが６０°なので、

　　　　（７２°−６０°）÷５．６°＝１５/７（分）

　　　　（７２°＋６０°）÷５．６°＝１６５/７（分）

　　以上から、求める時刻は、　１０時（２＋１/７）分　、１０時（２３＋４/７）分


（３）　これも相対速度の考え方で求めた方がいい問題だろう。

　１７時０分から翌日の７時０分の間で、

　　長針は、１６８分で３６０°なので、毎分３６０°/１６８＝（１５/７）°

　　短針は、１６８分で２４°なので、毎分２４°/１６８＝（１/７）°

　なので、短針を固定したときの長針の相対速度は、　（１５/７）°−（１/７）°＝２°

　短針の位置が「１７」にあるとき、「７」の位置から右回りに測って、２４°×１０＝２４０°

　この２４０°の位置に長針が届くには、　２４０°÷２°＝１２０（分）　かかる。

　よって、　１７＋２＝１９　より、　１９時０分に長針と短針が重なる。

　この「１９」の位置から長針が１周してまた長針と短針が重なるのは、

　３６０°÷２°＝１８０（分）　かかる。以下、同様にして、長針と短針が重なるのは、

　２２時０分　、１時０分　、４時０分　、７時０分

　以上から、求める時刻は、

　１９時０分　、２２時０分　、１時０分　、４時０分　、７時０分　　（終）


（追記）　平成３１年３月４日付け

�V　空の大きな水そう ａ、ｂ、ｃ と、容器Ａ、Ｂ、Ｃが１つずつあります。容器Ａ、Ｂ、Ｃに
　　入れることができる食塩水の重さは、合わせて６００ｇです。３つの容器にそれぞれ
　　食塩水をいっぱいになるまで入れてから、３つの容器に入れた食塩水をすべて１つ
　　の水そうに移す、という作業をします。
　　　容器Ａ、Ｂ、Ｃのすべてに濃度が１０％の食塩水をいっぱいになるまで入れたあと、
　　水そうａに移しました。

（１）容器Ａ、Ｂ、Ｃにそれぞれ濃度が１５％、１０％、１０％の食塩水をいっぱいになる
　　まで入れたあと、水そうｂに移し、さらに水そうｂに水を１００ｇ入れると、水そうａと
　　水そうｂの濃度は同じになりました。容器Ａには何ｇの食塩水が入りますか。

（２）容器Ａ、Ｂ、Ｃにそれぞれ濃度が１２％、７％、１３％の食塩水をいっぱいになるま
　　で入れたあと、水そうｃに移したところ、水そうａと比べて水そうｃに含まれる食塩の
　　量は５．８ｇ多くなりました。容器Ｂには何ｇの食塩水が入りますか。

（解）　容器Ａ、Ｂ、Ｃに入る食塩水の重さをＡ、Ｂ、Ｃで表すとき、　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝６００

（１）　０．１５Ａ＋０．１Ｂ＋０．１Ｃ＝０．１×７００＝７０

　　　０．１Ａ＋０．１Ｂ＋０．１Ｃ＝６０　なので、　０．０５Ａ＝１０　よって、　Ａ＝２００ｇ

（２）　０．１２×２００＋０．０７Ｂ＋０．１３（４００−Ｂ）＝６５．８　より、　Ｂ＝１７０ｇ　　（終）


（コメント）　方程式を用いて解いていますが、算数的な解法も存在するでしょう。桜蔭の受験
　　　　　　生にとっては、絶対完答すべき平易な問題でした。


（追記）　平成３１年３月７日付け

�U　（１）半径６ｃｍ、中心角１９度の扇形Aの紙と，半径３ｃｍ、中心角１９度の扇形B
　　　　の紙がたくさんあります。

　　　　　　　　　　　　　　

（イ） Aの紙だけを下図のようにはり合わせて円を作ります。のりしろ部分の面積の合
　計がいちばん小さくなるようにはり合わせたとき、のりしろ部分の面積の合計は
　何ｃｍ²ですか。

　　　　　　　

（ロ） A、Bの紙を下図のようにAとBが必ず交互になるように、平らにはり合わせます。
　のりしろ部分の面積の合計がいちばん小さくなるようにはり合わせたとき、できた図
　形の周の長さは何ｃｍですか。

　　　　　　

　（イ）（ロ）において，最後にはる紙は1枚目の紙にはり合わせ、のりしろ部分の扇形
の中心角はどれも３度以上になります。また、紙が３枚上重なる部分はありません。

（解）（１）　のりしろ部分の扇形の中心角をθとおき、のりしろ部分の個数を ｎ 個とすると、

　　題意より、　（１９°−θ）×ｎ＝３６０°

　　ここで、θ≧３°なので、１９°−θ≦１６°より、ｎ≧３６０/１６＝２２．５

　　ｎは自然数なので、最小値は、２３個

　このとき、　（１９°−θ）×２３＝３６０°より、　θ＝１９°−３６０°/２３＝７７°/２３

　よって、のりしろ部分の面積の合計は、

　　３６π×（７７°/２３）×２３÷３６０°＝２４．１７８（ｃｍ²）

（２）　のりしろ部分の扇形の中心角をθとおき、のりしろ部分の個数を ｎ 個とすると、

　　（１）と同様にして、　ｎ≧３６０/１６＝２２．５

　　題意より、AとBが必ず交互になるので、ｎは偶数。よって、ｎの最小値は、２４個

　このとき、　（１９°−θ）×２４＝３６０°より、　θ＝１９°−３６０°/２４＝４°

　よって、求める図形の周の長さは、

　　１２π×１９°×１２÷３６０°＋６π×１１°×１２÷３６０°＋６×１２

　＝４９π/５＋７２＝１０２．７７２（ｃｍ）


（追記）　平成３１年２月２２日付け

　平成３１年２月５日（火）付け朝日新聞朝刊に平成３１年度開成中学入試問題が掲載され
た。いくつか面白そうな問題があったので、小学生になったつもりで考えてみた。

３．　空間内または平面上に引かれた道を選んで、点Ａから点Ｂまで移動するとき、そ
　　の移動経路が何通り在るかを考える。点Ａと点Ｂを結ぶ太線が通ることが出来る
　　道である。これらの道を、右、上または奥の何れかの方向に進むことで、点Ａから
　　点Ｂまで移動するとき、考えられる移動経路は、≪図１≫、≪図２≫のそれぞれに
　　ついて何通りありますか。

（１）　次の≪図１≫は、一辺の長さが１の立方体を４個組み合わせたものである。

（解）　平面で考えて、　5Ｃ2＝１０（通り）　　（終）

　次の≪図２≫は一辺の長さが１の立方体を４個組み合わせたものである。

（解）　Ａ→Ｃ→Ｂ　は、　１×3Ｃ1＝３（通り） 　　　　　　Ａ→Ｄ→Ｅ→Ｂ　で、1,2,3,4,5,6のどこで上に 　　　　上がるかで場合分けすれば、 　　1→3通り、2→2通り、3→1通り、4→1通り、5→2通り、 　　6→3通り 　　　Ａ→Ｄ→Ｆ→Ｂ　は、１×3Ｃ1×１＝３（通り） 　よって、　３＋１２＋３＝１８（通り）　　（終）

（２）　 次のような規則に従ってこれらの道を通り、点Ａから点Ｂまで移動することを考
　　　える。

　　規則：一回だけ左に１進み、それ以外は右または上に進む

　ただし、進む方向を変更できるのは正方形の頂点の場所だけである。点Ａに戻った
り、点Ｂから戻ったりは出来ない。また、規則に従う限り、同じ道を２回以上通ることも
可能である。

　次の≪図３≫、≪図４≫、≪図５≫のそれぞれについて、考えられる移動経路は何
通りあるか。

　次の≪図３≫は一辺の長さが１の正方形を２個並べたものである。

（解）　2,4,6のどこかで左に進むので、 　　　　　2→3通り、4→4通り、6→3通り 　　　　よって、　３＋４＋３＝１０（通り）　　（終）

　次の≪図４≫は一辺の長さが１の正方形を３個並べたものである。

（解）　2,3,4,6,7,8のどこかで左に進むので、 　　　　　2→4通り、3→3通り、4→2通り、 　　　　　6→2通り、7→3通り、8→4通り 　　　　よって、　２（４＋３＋２）＝１８（通り）　　（終）

　次の≪図５≫は一辺の長さが１の正方形を６個並べたものである。

（解）　2,3,4,6,7,8,10,11,12のどこかで左に進むので、 　　　　　2→10通り、3→6通り、4→3通り、 　　　　　6→8通り、7→9通り、8→8通り 　　　　　10→3通り、11→6通り、12→10通り 　　　　よって、　２（１０＋６＋３＋８）＋９＝６３（通り）　　（終）

（コメント）　上記の計算では、組合せ（_nＣ_r）を用いているが、手計算でも十分対応可能で
　　　　　　しょう。


（追記）　平成３１年３月３日付け

１．　Ｋ君は、自宅からおばさんの家まで、スイカ２つを一人で運ぶつもりでした。ところ
　　が、弟のＳ君が「ぼくも手伝う!」と言ったので、次のようにしました。

　１）Ｋ君とＳ君がそれぞれスイカを1つずつ持って、同時に自宅を出発する。
　２）Ｋ君の方がＳ君より進む速さが速いので、おばさんの家に先に着く。そこで、すぐ
　　にスイカを置いて、Ｓ君に出会うまで引き返す。
　３）Ｋ君は、Ｓ君に出会ったらすぐにＳ君からスイカを受け取り、すぐにおばさんの家
　　に向かう。

ここで、Ｋ君の進む速さは
　スイカを２つ持っているときは 毎分 ６０ｍ
　スイカを１つ持っているときは 毎分 ８０ｍ
　スイカを持っていないときは 毎分 １００ｍ
です。

スイカ２つを運び終えたＫ君がおばさんの家で休んでいると、後から追いかけてきたＳ
君が到着しました。

Ｓ君 「おにいちゃん、ぼく、役に立った?」
Ｋ君 「もちろんだよ! ぼくが一人で運ぶつもりだったけど、そうするのに比べて、15/16
　　　倍の時間で運び終えられたからね。ありがとう!」
Ｓ君 「ほんと!? よかった!」

次の問に答えなさい。

（１）Ｋ君が一度目におばさんの家に着いてから、二度目におばさんの家に着くまでの
　　時間は、Ｋ君がはじめに一人でスイカ２つを運ぶのにかかると考えていた時間の何
　　倍ですか。

（２）引き返したＫ君がＳ君に出会った地点から、おばさんの家までの距離は、自宅か
　　らおばさんの家までの距離の何倍ですか。

（３）Ｓ君がスイカを１つ持って進む速さは毎分何ｍですか。

（解）　自宅からおばさんの家までの距離を ｘ ｍ、Ｋ君がＳ君に出会ってからおばさんの家

　　までの距離を ｙ ｍ、当初の予定時間をＴ分とすると、題意より、

　　　　ｘ/８０＋ｙ/１００＋ｙ/８０＝（１５/１６）Ｔ　、　ｘ/６０＝Ｔ

が成り立つ。

（１）　求める時間は、ｙ/１００＋ｙ/８０　なので、

　　　ｙ/１００＋ｙ/８０＝（１５/１６）Ｔ−ｘ/８０＝（１５/１６）Ｔ−（６０/８０）Ｔ＝（３/１６）Ｔ

　　よって、当初の予定時間の　３/１６　倍である。

（２）　ｙ/１００＋ｙ/８０＝（３/１６）Ｔ＝（３/１６）（ｘ/６０）＝（１/３２０）ｘ　より、

　　　（９/４００）ｙ＝（１/３２０）ｘ　なので、　ｙ＝（５/３６）ｘ

　　よって、求める距離は、自宅からおばさんの家までの距離の　５/３６　倍である。

（３）　Ｓ君の進む速さを毎分 ｚ ｍとすると、題意より、

　　　　　ｘ/８０＋ｙ/１００＝（３１/３６）ｘ/ｚ

　ｙ＝（５/３６）ｘ　を代入して整理すると、　ｚ（１/８０＋１/７２０）＝３１/３６

　　よって、　ｙ＝（３１/３６）×７２＝６２　より、Ｓ君の進む速さは毎分 ６２ ｍ　　（終）


（コメント）　大人げなく方程式を立てて解いてしまいましたが、算数的なもっとエレガントな解
　　　　　　法があるのでしょうね．．．多分！


（追記）　令和２年２月7日付け

　令和２年２月５日（水）付け朝日新聞朝刊に令和２年度開成中学入試問題が掲載された。
いくつか面白そうな問題があったので、小学生になったつもりで考えてみた。

３．　クラス全員から決まった金額を集めとき、集めやすくするために次のルールを作
　　った。

　ルール１：使えるお金は、１円、５円、１０円、５０円、１００円、５００円の６種類の硬
　　　　　　貨とする。
　ルール２：おつりがないように用意する。
　ルール３：硬貨は、１人につき１０枚までとする。

（１）　クラス４０人から２８円ずつ集めることにした。
　（ア）ルールに合うように２８円を持ってくる方法は全部で何通りあるか。
　（イ）集まったお金のうち、１円玉が１６５枚あった。このとき、５円玉を１枚も持ってこ
　　　なかった生徒は何人か。

（解）（１）（ア）　下表により、４通り

（イ）　４０人全員が５円玉を１枚以上は持ってきたとすると、１円玉の個数は、１２０枚になる。

　　ところが、１円玉の個数は、１６５枚なので、　１６５−１２０＝４５（枚）

　　よって、１円玉の個数の差は、８−３＝５（枚）なので、　４５÷５＝９（人）

　　したがって、５円玉を１枚も持ってこなかった生徒は、９人。

（２）　このルールについて、２人の会話の空所を補充せよ。

　Ａ：硬貨が多くなり過ぎないようにしたけど、このルールだと集められない金額がある
　　ね。
　Ｂ：確かに、例えば３８９円だと、最低でも（　�@　）枚の硬貨が必要で、ルール３が守
　　れないね。
　Ａ：このような金額って、どれくらいあるのかな。
　Ｂ：一番低い金額は（　�A　）円だと分かるけど、たくさんありそう。
　Ａ：４９円までの金額を用意するのに必要な最低枚数の表を作ってみたよ。

　Ｂ：この情報と５０円玉、１００円玉、５００円玉の組み合わせを考えると、ルール１と
　　２を守れば、ルール３を守れないものは、３００円までの金額では、（　�J　）通りあ
　　り、１０００円までの金額では、（　�K　）通りあるね。

（解）　３８９＝３×１００＋１×５０＋３×１０＋１×５＋４×１　より、

　　　　３＋１＋３＋１＋４＝１２（枚）・・・�@

　　一番低い金額は、　１×１００＋１×５０＋４×１０＋１×５＋４×１＝１９９（円）・・・�A

　９＝１×５＋４×１　・・・　必要最低枚数　５枚
　１４＝１×１０＋４×１　・・・　必要最低枚数　５枚
　１８＝１×１０＋１×５＋３×１　・・・　必要最低枚数　５枚
　１９＝１×１０＋１×５＋４×１　・・・　必要最低枚数　６枚
　２３＝２×１０＋３×１　・・・　必要最低枚数　５枚
　２４＝２×１０＋４×１　・・・　必要最低枚数　６枚
　２７＝２×１０＋１×５＋２×１　・・・　必要最低枚数　５枚
　２８＝２×１０＋１×５＋３×１　・・・　必要最低枚数　６枚
　２９＝２×１０＋１×５＋４×１　・・・　必要最低枚数　７枚
　３２＝３×１０＋２×１　・・・　必要最低枚数　５枚
　３３＝３×１０＋３×１　・・・　必要最低枚数　６枚
　３４＝３×１０＋４×１　・・・　必要最低枚数　７枚
　３６＝３×１０＋１×５＋１×１　・・・　必要最低枚数　５枚
　３７＝３×１０＋１×５＋２×１　・・・　必要最低枚数　６枚
　３８＝３×１０＋１×５＋３×１　・・・　必要最低枚数　７枚
　３９＝３×１０＋１×５＋４×１　・・・　必要最低枚数　８枚
　４１＝４×１０＋１×１　・・・　必要最低枚数　５枚
　４２＝４×１０＋２×１　・・・　必要最低枚数　６枚
　４３＝４×１０＋３×１　・・・　必要最低枚数　７枚
　４４＝４×１０＋４×１　・・・　必要最低枚数　８枚
　４５＝４×１０＋１×５　・・・　必要最低枚数　５枚
　４６＝４×１０＋１×５＋１×１　・・・　必要最低枚数　６枚
　４７＝４×１０＋１×５＋２×１　・・・　必要最低枚数　７枚
　４８＝４×１０＋１×５＋３×１　・・・　必要最低枚数　８枚

　以上から、�B→　９、１４、１８、２３、２７、３２、３６、４１、４５　　�F→　９
　　　　　　　�C→　１９、２４、２８、３３、３７、４２、４６　　�G→　７
　　　　　　　�D→　２９、３４、３８、４３、４７　　�H→　５
　　　　　　　�E→　３９、４４、４８　　�I→　３

　ルール３を守れないもの

　１〜４９で必要最低枚数９（４９）のとき、３００円以内のものは、
　　２枚追加・・・　１×５０＋１×１００（→　１９９）、２×１００（→　２４９）
　　３枚追加・・・　１×５０＋２×１００（→　２９９）

　　金額は、　１９９、２４９、２９９

　１〜４９で必要最低枚数８（３９、４４、４８）のとき、３００円以内のものは、
　　３枚追加・・・　１×５０＋２×１００（→　２８９、２９４、２９８）

　　金額は、　２８９、２９４、２９８

　以上から、ルール３を守れないもので３００円以内の金額は、

　　１９９、２４９、２９９、２８９、２９４、２９８

の６通り・・・�J

　同様にして、

　ルール３を守れないもの

　１〜４９で必要最低枚数９（４９）のとき、１０００円以内のものは、
　　２枚追加・・・　１×５０＋１×１００（→　１９９）、２×１００（→　２４９）
　　　　　　　　　　１×５０＋１×５００（→　５９９）、１×１００＋１×５００（→　６４９）
　　３枚追加・・・　１×５０＋２×１００（→　２９９）、３×１００（→　３４９）、
　　　　　　　　　　１×５０＋１×１００＋１×５００（→　６９９）、２×１００＋１×５００（→　７４９）
　　４枚追加・・・　１×５０＋３×１００（→　３９９）、４×１００（→　４４９）、
　　　　　　　　　　１×５０＋２×１００＋１×５００（→　７９９）、３×１００＋１×５００（→　８４９）
　　５枚追加・・・　１×５０＋４×１００（→　４９９）、１×５０＋３×１００＋１×５００（→　８９９）、
　　　　　　　　　　４×１００＋１×５００（→　９４９）
　　６枚追加・・・　１×５０＋４×１００＋１×５００（→　９９９）

　　金額は、　１９９、２４９、５９９、６４９、２９９、３４９、６９９、７４９、３９９、４４９、７９９、
　　　　　　　　４９９、８４９、８９９、９４９、９９９　　１６個

　１〜４９で必要最低枚数８（３９、４４、４８）のとき、１０００円以内のものは、
　　３枚追加・・・　１×５０＋２×１００（→　２８９、２９４、２９８）、
　　　　　　　　　　３×１００（→　３３９、３４４、３４８）、２×１００＋１×５００（→　７３９、７４４、７４８）、
　　　　　　　　　　１×５０＋１×１００＋１×５００（→　６８９、６９４、６９８）
　　４枚追加・・・　１×５０＋３×１００（→　３８９、３９４、３９８）、
　　　　　　　　　　４×１００（→　４３９、４４４、４４８）、３×１００＋１×５００（→　８３９、８４４、８４８）、
　　　　　　　　　　１×５０＋２×１００＋１×５００（→　７８９、７９４、７９８）
　　５枚追加・・・　１×５０＋４×１００（→　４８９、４９４、４９８）、
　　　　　　　　　　４×１００＋１×５００（→　９３９、９４４、９４８）、
　　　　　　　　　　１×５０＋３×１００＋１×５００（→　８８９、８９４、８９８）
　　６枚追加・・・　１×５０＋４×１００＋１×５００（→　９８９、９９４、９９８）

　　金額は、　２８９、２９４、２９８、３３９、３４４、３４８、７３９、７４４、７４８、６８９、６９４、６９８、
　　　　　　　　３８９、３９４、３９８、４３９、４４４、４４８、８３９、８４４、８４８、７８９、７９４、７９８、
　　　　　　　　４８９、４９４、４９８、９３９、９４４、９４８、８８９、８９４、８９８、９８９、９９４、９９８
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３６個

　１〜４９で必要最低枚数７（２９、３４、３８、４３、４７）のとき、１０００円以内のものは、
　　４枚追加・・・　１×５０＋３×１００（→　３７９、３８４、３８８、３９３、３９７）、
　　　　　　　　　　４×１００（→　４２９、４３４、４３８、４４３、４４７）、
　　　　　　　　　　３×１００＋１×５００（→　８２９、８３４、８３８、８４３、８４７）、
　　　　　　　　　　１×５０＋２×１００＋１×５００（→　７７９、７８４、７８８、７９３、７９７）
　　　　　　　　　　
　　５枚追加・・・　１×５０＋４×１００（→　４７９、４８４、４８８、４９３、４９７）、
　　　　　　　　　　１×５０＋３×１００＋１×５００（→　８７９、８８４、８８８、８９３、８９７）、
　　　　　　　　　　４×１００＋１×５００（→　９２９、９３４、９３８、９４３、９４７）
　　６枚追加・・・　１×５０＋４×１００＋１×５００（→　９７９、９８４、９８８、９９３、９９７）

　　金額は、　３７９、３８４、３８８、３９３、３９７、４２９、４３４、４３８、４４３、４４７、８２９、８３４、
　　　　　　　　８３８、８４３、８４７、７７９、７８４、７８８、７９３、７９７、４７９、４８４、４８８、４９３、
　　　　　　　　４９７、８７９、８８４、８８８、８９３、８９７、９２９、９３４、９３８、９４３、９４７、９７９、
　　　　　　　　９８４、９８８、９９３、９９７　４０個

　１〜４９で必要最低枚数６（１９、２４、２８、３３、３７、４２、４６）のとき、１０００円以内のものは、
　　５枚追加・・・　１×５０＋４×１００（→　４６９、４７４、４７８、４８３、４８７、４９２、４９６）、
　　　　　　　　　　１×５０＋３×１００＋１×５００（→　８６９、８７４、８７８、８８３、８８７、８９２、８９６）、
　　　　　　　　　　４×１００＋１×５００（→　９１９、９２４、９２８、９３３、９３７、９４２、９４６）
　　６枚追加・・・　１×５０＋４×１００＋１×５００（→　９６９、９７４、９７８、９８３、９８７、９９２、９９６）

　　金額は、　４６９、４７４、４７８、４８３、４８７、４９２、４９６、８６９、８７４、８７８、８８３、
　　　　　　　　８８７、８９２、８９６、９１９、９２４、９２８、９３３、９３７、９４２、９４６、９６９、９７４、
　　　　　　　　９７８、９８３、９８７、９９２、９９６　　２８個

　１〜４９で必要最低枚数５（９、１４、１８、２３、２７、３２、３６、４１、４５）のとき、１０００円以
内のものは、

　　６枚追加・・・　１×５０＋４×１００＋１×５００
　　　　　　　　　　（→　９５９、９６４、９６８、９７３、９７７、９８２、９８６、９９１、９９５）

　　金額は、　９５９、９６４、９６８、９７３、９７７、９８２、９８６、９９１、９９５　　９個

　以上から、　１６＋３６＋４０＋２８＋９＝１２９個・・・�K


（コメント）　地道に数えてみたが、とても大変だった。きっともっとエレガントな求め方がある
　　　　　　のでしょう。


　DD++さんからのコメントです。（令和２年２月７日付け）

　0円から4円までで最低枚数がその枚数になる金額パターンは、0枚から順に1,1,1,1,1

　0円から9円までで最低枚数がその枚数になる金額パターンは、n枚の場合、5円玉があって
他種でn-1枚か、5円玉がなくて他種でn枚かで考えればよく、つまり、隣り合う2数を足せばい
い（端は個数が減りますが）ので、0枚から順に1,2,2,2,2,1

　0円から49円までで最低枚数がその枚数になる金額パターンは、同様に10円玉が0枚から
4枚で場合分けするので、隣り合う5数を足して行って、0枚から順に1,3,5,7,9,9,7,5,3,1
（これがすでに表になっているので、実際はここからスタートできる）

　同様に繰り返すと、

　0円から99円までで最低枚数がその枚数になる金額パターンは、
0枚から順に1,4,8,12,16,18,16,12,8,4,1

　0円から499円までで最低枚数がその枚数になる金額パターンは、
0枚から順に1,5,13,25,41,58,70,74,70,58,41,25,13,5,1

　0円から999円までで最低枚数がその枚数になる金額パターンは、
0枚から順に1,6,18,38,66,99,128,144,144,128,99,66,38,18,6,1

　ここから0円（0枚）を除いて1000円（2枚）を加えると、1円から1000円までで最低枚数がそ
の枚数になる金額パターンは、1枚から順に

　　6,19,38,66,99,128,144,144,128,99,66,38,18,6,1

ということで、硬貨10枚以内で支払えない金額は、66+38+18+6+1=129通り

＃上記の（解）のやり方よりはちょっと早い……いや、そうでもないか……？


（コメント）　上記の（解）での計算で、金種を書かなければもっと見やすくなるかな？

（２）　このルールについて、２人の会話の空所を補充せよ。

　Ａ：硬貨が多くなり過ぎないようにしたけど、このルールだと集められない金額がある
　　ね。
　Ｂ：確かに、例えば３８９円だと、最低でも（　�@　）枚の硬貨が必要で、ルール３が守
　　れないね。
　Ａ：このような金額って、どれくらいあるのかな。
　Ｂ：一番低い金額は（　�A　）円だと分かるけど、たくさんありそう。
　Ａ：４９円までの金額を用意するのに必要な最低枚数の表を作ってみたよ。

　Ｂ：この情報と５０円玉、１００円玉、５００円玉の組み合わせを考えると、ルール１と
　　２を守れば、ルール３を守れないものは、３００円までの金額では、（　�J　）通りあ
　　り、１０００円までの金額では、（　�K　）通りあるね。

　ルール３を守れないもの

　１〜４９で必要最低枚数９のとき、３００円以内のものは、
　　２枚追加・・・　１×５０＋１×１００、２×１００
　　３枚追加・・・　１×５０＋２×１００　で、３×１＝３通り

　１〜４９で必要最低枚数８のとき、３００円以内のものは、
　　３枚追加・・・　１×５０＋２×１００　で、１×３＝３通り

　以上から、ルール３を守れないもので３００円以内の金額は、３＋３＝６通り・・・�J

　同様にして、

　ルール３を守れないもの

　１〜４９で必要最低枚数９のとき、１０００円以内のものは、
　　２枚追加・・・　１×５０＋１×１００、２×１００、１×５０＋１×５００、１×１００＋１×５００
　　３枚追加・・・　１×５０＋２×１００、３×１００、１×５０＋１×１００＋１×５００、２×１００＋１×５００
　　４枚追加・・・　１×５０＋３×１００、４×１００、１×５０＋２×１００＋１×５００、３×１００＋１×５００
　　５枚追加・・・　１×５０＋４×１００、１×５０＋３×１００＋１×５００、４×１００＋１×５００
　　６枚追加・・・　１×５０＋４×１００＋１×５００　で、　１６×１＝１６通り

　１〜４９で必要最低枚数８のとき、１０００円以内のものは、
　　３枚追加・・・　１×５０＋２×１００、３×１００、２×１００＋１×５００、１×５０＋１×１００＋１×５００
　　４枚追加・・・　１×５０＋３×１００、４×１００、３×１００＋１×５００、１×５０＋２×１００＋１×５００
　　５枚追加・・・　１×５０＋４×１００、４×１００＋１×５００、１×５０＋３×１００＋１×５００
　　６枚追加・・・　１×５０＋４×１００＋１×５００　で、　１２×３＝３６通り

　１〜４９で必要最低枚数７のとき、１０００円以内のものは、
　　４枚追加・・・　１×５０＋３×１００、４×１００、３×１００＋１×５００、１×５０＋２×１００＋１×５００
　　５枚追加・・・　１×５０＋４×１００、１×５０＋３×１００＋１×５００、４×１００＋１×５００
　　６枚追加・・・　１×５０＋４×１００＋１×５００　　で、　８×５＝４０通り

　１〜４９で必要最低枚数６のとき、１０００円以内のものは、
　　５枚追加・・・　１×５０＋４×１００、１×５０＋３×１００＋１×５００、４×１００＋１×５００
　　６枚追加・・・　１×５０＋４×１００＋１×５００　　で、　４×７＝２８通り

　１〜４９で必要最低枚数５のとき、１０００円以内のものは、
　　６枚追加・・・　１×５０＋４×１００＋１×５００　　で、１×９＝９通り

　以上から、　１６＋３６＋４０＋２８＋９＝１２９個・・・�K

＃少しは見やすくなったかな？それにしても考えさせる問題が昨年度よりも大幅に増えたよ
　うな．．．雰囲気。


　りらひいさんからのコメントです。（令和２年２月７日付け）

　私ならこう数えるかな。

　1000円は最低枚数2枚である。1000円未満で下二けたが00または50となるものの最低枚
数は、

　50,100,500…1枚
　150,200,550,600…2枚
　250,300,650,700…3枚
　350,400,750,800…4枚
　450,850,900…5枚
　950…6枚

　よって、これらは10枚以内で用意できる。これらの中間の金額の最低枚数は、それより小
さくて一番近い50の倍数の最低枚数とその50の倍数を引いた1〜49の最低枚数を足したも
のになるので、

　10を超えるのは、

　2枚+9枚以上…4*1=4通り
　3枚+8枚以上…4*(3+1)=16通り
　4枚+7枚以上…4*(5+3+1)=36通り
　5枚+6枚以上…3*(7+5+3+1)=48通り
　6枚+5枚以上…1*(9+7+5+3+1)=25通り

　1000円まででルール3を守れないものは、4+16+36+48+25=129通り

＃　上記の（解）と大差はなくて結局大変なんですけど。

　ちなみに、300円までのときは、

　2枚+9枚以上…2*1=2通り
　3枚+8枚以上…1*(3+1)=4通り

　よって、　2+4=6通り


（コメント）　スッキリ数えられていて感動しました。りらひいさん、DD++さんに感謝します。


（追記）　令和２年２月１０日付け

　２０２０年１月１８日（土）に行われた灘中学校の入試問題（１日目）の次の問題に挑戦して
みました。

３．　直線道路上に４地点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄが順に並ぶ。ＢＣ間は８４ｍ、ＣＤ間は１２６０ｍ
　　離れている。最初、ＸくんはＡに、ＹくんはＣにいる。２人がＢに向かって同時に歩き
　　始めると、同時にＢに到着した。また、最初の状態から２人がＤに向かって歩き始
　　めると、同時にＤに到着した。このとき、ＡＢ間は何ｍ離れているか。ただし、Ｘの歩
　　く速さはＢに向かうときもＤに向かうときも同じとし、Ｙも同様とする。

（解）　ＡＢ間の距離をａとし、Ｘくん、Ｙくんの速さをそれぞれｕ、ｖとすると、

　題意より、８４/ｖ＝ａ/ｕ　、（ａ＋１３４４）/ｕ＝１２６０/ｖ

　第２式より、　ａ/ｕ＋１３４４/ｕ＝（８４/ｖ）×１５　すなわち、　ａ/ｕ＋１３４４/ｕ＝（ａ/ｕ）×１５

　よって、　１３４４/ｕ＝（ａ/ｕ）×１４　より、　ａ＝１３４４/１４＝９６（ｍ）　　（終）


（コメント）　方程式を立てれば上記のように解けるが、意味を考えれば次のように解くのが
　　　　　　算数的でしょう。

　ＸくんがＡからＢにいく時間の１５倍で、ＹくんはＣからＤにいく。

　ＸくんがＡからＢに着いたとき、ＹくんはＸくんがＡからＢにいく時間だけ進んでいるので、残
り時間は、ＸくんがＡからＢにいく時間の１４倍。

　この時間でＸくんは、１３４４ｍを進むことになるので、ＡＢ間の距離は、

　　１３４４÷１４＝９６（ｍ）と言える。


（追記）　令和２年２月１１日付け

　令和２年２月４日（火）付け朝日新聞朝刊に令和２年度桜蔭中学入試問題が掲載された。
いくつか面白そうな問題があったので、小学生になったつもりで考えてみた。

Ｉ．（２）　ＡとＢは、お店でお菓子を１２個ずつ購入した。Ａはそのうちのいくつかを持ち
　帰り、残りはお店で食べた。ＢはＡがお店で食べた個数と同じ個数を持ち帰り、残り
　をお店で食べた。このとき、２人分のお菓子代は税込みで１３０８円だった。お菓子
　１個の税抜きの値段はいくらか。ただし、消費税は、お店で食べる場合は１０％、持
　ち帰る場合は８％かかる。

（解）　Ａ、Ｂがお店で食べたのは計１２個、持ち帰ったのも計１２個なので、お菓子１個の税
　　　抜きの値段をＫとすると、

　　　　　１２×Ｋ×１．１＋１２×Ｋ×１．０８＝１３０８

　よって、　１３．２Ｋ＋１２．９６Ｋ＝１３０８　より、　２６．１６Ｋ＝１３０８　　なので、

　　Ｋ＝５０　　（終）


　ＰＢさんからのコメントです。（令和２年２月１２日付け）

　小学生のつもりで解くなら．．．。

　Ａ、Ｂがお店で食べたお菓子も持ち帰ったのも１２個なので、　１３０８÷１２＝１０９

　これは、８％と１０％の税金がかかったお菓子各１個の値段、平均して、９％の税金がか

かったと考えて、

　１０９÷１.０９＝１００　がお菓子２個の値段。　よって、お菓子１個は、５０円

※　このとき、８％の税込みで、５４円、１０％では、５５円となり、小数点以下が出ないので、
　　Ａ、Ｂが何個持ち帰っても題意を満たす。

　 ※の記述は小学生に必要でしょうか…。


（コメント）　この問題設定の場合、お菓子はすべて同一のもので、しかも消費税８％のもの
　　　　　　と消費税１０％のものが同数であるので、ＰＢさんのような計算が成立すると思い
　　　　　　ます。


（追記）　令和２年度桜蔭中学入試問題（令和２年２月２７日付け）

Ｉ．（３）　まっすぐな道に柱を立てロープを張り提灯を吊るす。柱と柱の間は５ｍ５０ｃｍ、
　　　　提灯と提灯の間は１ｍ３５ｃｍである。１本目の柱から３５ｃｍ離れたところに１個
　　　　目の提灯を吊るした。ロープはたるまないものとし、柱の幅は考えない。

　今、柱を１０本立て、提灯を吊るした。次の問いに答えよ。
（１）　提灯は全部で何個使ったか。また、１０本目の柱に１番近い提灯はその柱から
　　何ｃｍのところに吊るしたか。
（２）　柱から３５ｃｍ以内の部分に吊るした提灯は取り外すことにした。ただし、１個目
　　の提灯は外さない。このとき、吊るされたままの提灯は何個あるか。

（解）　絵を描いて求めると、（１）　提灯は３７個で、１０本目の柱に１番近い提灯はその柱
　　　から５５ｃｍのところに吊るした。

　　（２）は、３０個

　　計算では、　（５．５×９−０．３５）÷１．３５＝３６・・・０．５５　なので、提灯の個数は、
　３６＋１＝３７個で、最後の提灯は、１０本目の柱まで、５５ｃｍ離れている。　　（終）


�U．（１）　下図のように、縦２０ｍ、横４０ｍの長方形の両サイドに直径２０ｍの半円を
　　　　　つけた周回路がある。

　　　　

　この周回路を、Ａは周の長さ１５０ｃｎの輪をころがし、Ｂは周の長さ１２０ｃｎの輪を
ころがす。輪は滑らないものとする。

（イ）　Ａがこの周回路を１周すると、輪は何回転するか。

（ロ）　Ａ、Ｂがスタート地点から矢印の向きに、輪を１秒間に１回転させながら出発し
　　た。途中、Ａは２回コースアウトし、コースに戻るまで計４０秒かかった。最後、Ａ、Ｂ
　　は周回路上のゴール地点に同時にゴールした。Ａ、Ｂは出発してからゴールするま
　　で何周したか。

（解）（イ）　周回路１周は、２０×３．１４＋８０＝１４２．８（ｍ）　なので、

　　　　　１４２．８÷１．５＝９５．２（回転）

（ロ）　出発してからゴールまでｔ秒かかったものとすると、　１．２ｔ＝１．５（ｔ−４０）　より、

　　　ｔ＝２００　なので、走行距離は、　２００×１．２＝２４０（ｍ）

　　よって、　２４０÷１４２．８＝１＋８１/１１９（周）　　（終）


（追記）　令和２年２月１７日付け

　２０２０年１月１８日（土）に行われた灘中学校の入試問題（１日目）の次の問題に挑戦して
みました。

４．　毎日休みなく製品を作っている工場がある。一日当たりに作る製品の個数は、
　　月曜日から金曜日までが同じで、土曜日と日曜日が同じで、土曜日は金曜日より
　　少ない。

　ある年、この工場で６月に作った製品は３７２個、９月に作った製品は３６６個であっ
た。この年の６月１日は何曜日であるか。また、この年の７月に作った製品は何個で
あるか。

（解）　一日当たりに作る製品の個数を、土曜日と日曜日はｍ個、月曜日から金曜日までは
　　　ｎ個とする。題意より、ｍ＜ｎである。

６月１日が日曜日とすると、９月１日は月曜日
　６月の月〜金は、２１日、土日は、９日、９月の月〜金は、２２日、土日は、８日
　このとき、６月に作った製品は、２１ｎ＋９ｍ個、９月に作った製品は、２２ｎ＋８ｍ個
　　　２１ｎ＋９ｍ＝３７２　、２２ｎ＋８ｍ＝３６６　を満たす解はない。

６月１日が月曜日とすると、９月１日は火曜日
　６月の月〜金は、２２日、土日は、８日、９月の月〜金は、２２日、土日は、８日

　題意より、この場合は起こりえない。

６月１日が火曜日とすると、９月１日は水曜日
　６月の月〜金は、２２日、土日は、８日、９月の月〜金は、２２日、土日は、８日

　題意より、この場合は起こりえない。

６月１日が水曜日とすると、９月１日は木曜日
　６月の月〜金は、２２日、土日は、８日、９月の月〜金は、２２日、土日は、８日

　題意より、この場合は起こりえない。

６月１日が木曜日とすると、９月１日は金曜日
　６月の月〜金は、２２日、土日は、８日、９月の月〜金は、２１日、土日は、９日
　このとき、６月に作った製品は、２２ｎ＋８ｍ個、９月に作った製品は、２１ｎ＋９ｍ個
　　　２２ｎ＋８ｍ＝３７２　、２１ｎ＋９ｍ＝３６６　を解くと、ｍ＝８、ｎ＝１４

６月１日が金曜日とすると、９月１日は土曜日
　６月の月〜金は、２１日、土日は、９日、９月の月〜金は、２０日、土日は、１０日
　このとき、６月に作った製品は、２１ｎ＋９ｍ個、９月に作った製品は、２０ｎ＋１０ｍ個
　　　２１ｎ＋９ｍ＝３７２　、２０ｎ＋１０ｍ＝３６６　を満たす解はない。

６月１日が土曜日とすると、９月１日は日曜日
　６月の月〜金は、２０日、土日は、１０日、９月の月〜金は、２１日、土日は、９日
　このとき、６月に作った製品は、２０ｎ＋１０ｍ個、９月に作った製品は、２１ｎ＋９ｍ個
　　　２０ｎ＋１０ｍ＝３７２　、２１ｎ＋９ｍ＝３６６　を満たす解はない。

　以上から、６月１日は木曜日である。

　このとき、７月の月〜金は、２１日、土日は、１０日なので、製品の個数は、
　　　２１×１４＋１０×８＝３７４（個）


（コメント）　素朴に解いてはみたものの時間がかかりすぎる。もっと上手い解法はないのだ
　　　　　　ろうか？ちなみに、近年で６月１日が木曜日になるのは、２０１７年。３年越しの問
　　　　　　題作成だったのだろうか？


　らすかるさんからのコメントです。（令和２年２月１８日付け）

　6月と9月は30日なので、土日の日数は8〜10。

　条件から土日が少ない方が作れる製品が多いので、６月が372個、９月が366個ということ
から、土日の日数は6月が8か9、9月が9か10で、9月の方が土日が多い。

　よって、差は1か2となり、月〜金と土日の製品の個数の差は、

　土日の日数の差が 1 のとき、　(372-366)÷1=6、 2 のとき、　(372-366)÷2=3

　土日に製品の個数が少ない分を足すと30で割り切れなければならないが、

　　372＋6×8=420　、372＋6×9=426　、372＋3×8=396　、372＋3×9=399

から土日の日数の差は、1 で、土日の日数は、6月が 8、9月が 9 と決まるので、

　6月1日は木曜日、9月1日は金曜日。

　月〜金の製品の個数は、420÷30=14、土日の製品の個数は、14-6=8　であり、7月1日は

30÷7=28・・・2　から、土曜日となり、7月の土日は10回なので、7月の製品の個数は、

　14×21+8×10=374個


（コメント）　土日の日数の差に注目するところに感動しました。全ての場合を網羅する必要
　　　　　　がないんですね！


　DD++さんからのコメントです。（令和２年２月１８日付け）

　6月から8月までで、92日=13週間と1日なので、6月2日と9月1日が同じ曜日、6月3日と9月
2日が同じ曜日、・・・、6月30日と9月29日が同じ曜日となります。

　つまり、差の6個が純粋に6月1日と9月30日の差、と考えればもっと早いでしょうか。


　らすかるさんからのコメントです。（令和２年２月１８日付け）

　それは名案！と思いましたが、9月30日が土曜日か日曜日かを確定するために結局計算
は必要なわけで、「土日の日数の差が2」の可能性が排除される程度でしょうか。

　解答を作ることを考えると、上記の内容をある程度説明しなければなりませんので、解答
の分量的にはあまり変わらないような気がします。


　DD++さんからのコメントです。（令和２年２月１８日付け）

　灘中入試は結果だけでよかったような。

・6つの差は結局6月1日と9月30日の差
・生産数に6×土日の回数加えたら30の倍数（つまり一の位が0）
・6月の土日回数は3回か8回か13回か……常識的に8回、よって9月は9回
・9月の土日回数が奇数ということは30日は土曜で、翌日曜はもう10月だった
・じゃあ6月1日は曜日を2つ戻って木曜

くらいで答えられますかね。

追記：　あ、でも7月の生産数を出すためには結局計算が必要か。


（追記）　令和２年２月２３日付け

　２０２０年１月１９日（日）に行われた灘中学校の入試問題（２日目）の次の問題に挑戦して
みました。

４．平面上に１辺の長さが６の正三角形ＡＢＣと中心Ｂで半径６の円がある。この円を
　平面上で次のように移動させるとき、円が通過する部分の面積を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（一部改題）
　　　

（１）　円の中心が辺ＢＣ上をＢからＣまで動く。
（２）　円の中心が辺ＡＢ上をＢからＡまで動いた後、辺ＡＣ上をＡからＣまで動く。

（解）（１）

36π＋12×6−｛（36π/6−36/4）×4＋（36/4）×2｝ 　　＝12π＋72＋18

（２）

12π＋72＋18＋36π/6＋36π/2−（36π/6−36/4）×2 　　＝24π＋72＋36

（追記）　令和２年２月２５日付け

　２０２０年１月１９日（日）に行われた灘中学校の入試問題（２日目）の次の問題に挑戦して
みました。

２．　この問題では、先頭に０があっても桁数に数えるものとする。

（１）　甲は５桁の数ＡＢＣＤを紙に書いて乙に渡した。ただし、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅに同じ
　　数字があってもよいとする。ＥはＡ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄを１０で割った余りである。乙はＡ、
　　Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの中の１個を別の数字に書き換えて丙に渡した。丙が受け取った数
　　は「２８９７３」であった。

（ア）　甲が紙に書いたと考えられる５桁の数をすべて書け。
（イ）　甲ははじめと同じ数を再び紙に書いて乙に渡した。乙はＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅのうち
　　　先ほどと異なる１個を別の数字に書き換えて丙に渡した。丙が受け取った数は
　　　「２１６７３」であった。甲が紙に書いたと考えられる５桁の数を求めよ。

（２）　太郎さんは６桁の数ＰＱＲＳＴＵを紙に書いて乙に渡した。ただし、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ、
　　　Ｔ、Ｕに同じ数字があってもよいとする。また、ＴはＰ＋Ｑ＋Ｒ＋Ｓを１０で割った
　　　余りで、ＵはＰ＋Ｑ×３＋Ｒ×７＋Ｓ×９を１０で割った余りである。
　
　　乙はＰ、Ｑ、Ｒ、Ｓ、Ｔ、Ｕの中の１個を別の数字に書き換えて丙に渡した。丙が受け
　　取った数は「７３５６３１」であった。甲が紙に書いたと考えられる６桁の数を求めよ。

（解）（１）（ア）　可能性は次の５通り

　　　Ｘ８９７３・・・　Ｘ＋８＋９＋７＝Ｘ＋２４を１０で割った余りが３となるので、　Ｘ＝９
　　　　　　　　　　　よって、９８９７３
　　　２Ｘ９７３・・・　２＋Ｘ＋９＋７＝Ｘ＋１８を１０で割った余りが３となるので、　Ｘ＝５
　　　　　　　　　　　よって、２５９７３
　　　２８Ｘ７３・・・　２＋８＋Ｘ＋７＝Ｘ＋１７を１０で割った余りが３となるので、　Ｘ＝６
　　　　　　　　　　　よって、２８６７３
　　　２８９Ｘ３・・・　２＋８＋９＋Ｘ＝Ｘ＋１９を１０で割った余りが３となるので、　Ｘ＝４
　　　　　　　　　　　よって、２８９４３
　　　２８９７Ｘ・・・　２＋８＋９＋７＝２６を１０で割った余りが６となるので、　２８９７６

（イ）　２１６７３と１字違いは、　２８６７３

（２）　可能性は次の６通り

　　　Ｘ３５６３１・・・Ｘ＋３＋５＋６＝Ｘ＋１４≡３→Ｘ＝９
　　　　　　　　　　　このとき、９＋３・３＋５・７＋６・９＝１０７≡７で矛盾
　　　７Ｘ５６３１・・・７＋Ｘ＋５＋６＝Ｘ＋１８≡３→Ｘ＝５
　　　　　　　　　　　このとき、７＋５・３＋５・７＋６・９＝１１１≡１で適
　　　７３Ｘ６３１・・・７＋３＋Ｘ＋６＝Ｘ＋１６≡３→Ｘ＝７
　　　　　　　　　　　このとき、７＋３・３＋７・７＋６・９＝１１９≡９で矛盾
　　　７３５Ｘ３１・・・７＋３＋５＋Ｘ＝Ｘ＋１５≡３→Ｘ＝８
　　　　　　　　　　　このとき、７＋３・３＋５・７＋８・９＝１２３≡３で矛盾
　　　７３５６Ｘ１・・・７＋３＋５＋６＝２１≡１→Ｘ＝１
　　　　　　　　　　　このとき、７＋３・３＋５・７＋６・９＝１０５≡５で矛盾
　　　７３５６３Ｘ・・・７＋３＋５＋６＝２１≡１で矛盾

　　以上から、　７５５６３１


（追記）　令和２年２月２９日付け

　２０２０年１月１９日（日）に行われた灘中学校の入試問題（２日目）の次の問題に挑戦して
みました。

３．　２４時間表示のデジタル時計がある。この時計を２４時間動かしたとき、次の条件
　　を満たす表示がされている時間は、合わせて何分間か。ただし、表示が変わるの
　　にかかる時間は考えないものとする。

（１）　４つの数字のうち、２がちょうど３つある
（２）　４つの数字のうち、２がちょうど２つある
（３）　４つの数字のうち、２がちょうど１つある

（解）（１）　**：**　で、２２：２*　のタイプは、９通り　、２２：*２　のタイプは、５通り

　　　　　　２*：２２　のタイプは、　３通り　、*２：２２　のタイプは、２通り

　　　　　以上から、求める場合の数は、　９＋５＋３＋２＝１９（通り）

（２）　２２：**　のタイプは、５×９＝４５（通り）　、２*：２*　のタイプは、３×９＝２７（通り）

　　２*：*２　のタイプは、　３×５＝１５（通り）　、*２：２*　のタイプは、２×９＝１８（通り）

　　*２：*２　のタイプは、２×５＝１０（通り）　、**：２２　のタイプは、２×９＝１８（通り）

　以上から、求める場合の数は、　４５＋２７＋１５＋１８＋１０＋１８＝１３３（通り）

（３）　２*：**　のタイプは、３×５×９＝１３５（通り）、*２：**　のタイプは、２×５×９＝９０（通り）

　　**：２*　のタイプは、２×９×９＝１６２（通り）、**：*２　のタイプは、２×９×５＝９０（通り）

　以上から、求める場合の数は、　１３５＋９０＋１６２＋９０＝４７７（通り）


（追記）　令和２年３月１９日付け

　大阪星光学院中学校（２０２０）の入試問題に挑戦してみました。

１．（４）　いくつかの部屋に生徒を入れるのに、４人ずつにすると７人が入れなくなり、
　　　　６人ずつにすると４部屋余ります。

　　　　このとき、考えられる生徒の数をすべて求めよ。

（解）　生徒の人数をＮ、部屋の数をＭとすると、題意より、

　　　Ｎ−４Ｍ＝７　、６（Ｍ−５）＜Ｎ≦６（Ｍ−４）　なので、６（Ｍ−５）＜４Ｍ＋７≦６（Ｍ−４）

　よって、　２Ｍ＜３７　かつ　２Ｍ≧３１　より、　１６≦Ｍ≦１８　なので、　Ｍ＝１６、１７、１８

　このとき、　Ｎ＝７１、７５、７９　　（終）


（追記）　令和２年３月２０日付け

　西大和学園中学校（２０２０）の入試問題に挑戦してみました。

１．（３）　ある仕事は、ＡさんとＢさんの２人で行うと、ちょうど１８日間で終わる予定で
　　　　　した。ところが、途中でＢさんだけが風邪で５日間休んだので、仕事を終える
　　　　　のにちょうど２０日間かかってしまいました。

　　　　　この仕事は、Ｂさん１人だけでやるとすれば、ちょうど何日間で終わりますか？

（解）　ＡさんとＢさんの１日当たりの仕事量をｘ、ｙとおくと、１８ｘ＋１８ｙ＝１、２０ｘ＋１５ｙ＝１

　１８ｘ＋１８ｙ＝２０ｘ＋１５ｙ　より、　３ｙ＝２ｘ　なので、　ｙ＝２ｘ/３　を　１８ｘ＋１８ｙ＝１　に

代入して、　１８ｘ＋１２ｘ＝１　よって、　ｘ＝１/３０　で、　ｙ＝１/４５

　したがって、Ｂさん１人だけでやるとすれば、１÷（１/４５）＝４５（日間）　で終わる。　　（終）


（コメント）　方程式を立式すれば容易だが、小学生はどう解くのだろう。


　DD++さんからのコメントです。（令和２年３月２１日付け）

　小学生ならこうかな？

　Aさんが18日、Bさんが18日働いて終わる仕事が、Aさんが20日、Bさんが15日働いて終わ

るということは、Aさんが2日でやる仕事とBさんが3日でやる仕事は同じ量ということになりま

す。つまり、Aさんが20日でやる仕事はBさんなら30日かかるので、答えは、15+30=45日


（コメント）　Ｂさんが働いた日数は、１８−５＝１３　ではなくて、２０−５＝１５　なんですね！
　　　　　　勘違いしていました。DD++さんに感謝します。


２．（３）　下図の平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、ＡＰ：ＰＢ＝２：１、ＢＱ：ＱＣ＝３：１、点Ｒ
　　　　　は辺ＣＤの中点である。ＤＰとＡＱ、ＡＲと交わる点をそれぞれＳ、Ｔとするとき、
　　　　　ＰＳ：ＴＤをもっとも簡単な整数比で表せ。

　　


（解）　次のような図を考える。

　

　このとき、ＰＳ＝４ｍ/９、ＴＤ＝４ｍ/７　なので、ＰＳ：ＴＤ＝４ｍ/９：４ｍ/７＝７：９　　（終）


（コメント）　定番中の定番の問題ですが、小学生はどう解いたのだろう？


（追記）　令和２年３月２９日付け

　栄光学園中学校（２０２０）の入試問題に挑戦してみました。

１．　１からある数までのすべての整数の中から１つだけ取り除き、残った整数を考え
　　る。次の問に答えよ。

（１）　１から１００までの整数の中から１つだけ取り除いた。残った整数の平均は、
　　　５５４/１１になった。取り除いた整数を答えよ。
（２）　１からある数までの整数の中から１つだけ取り除き、残った整数の和は、６００
　　　になった。取り除いた整数を答えよ。
（３）　１からある数までの整数の中から１つだけ取り除き、残った整数の平均は、
　　　４４０/１３になった。取り除いた整数を答えよ。

（解）（１）　残った整数の和は、　（５５４/１１）×９９＝４９８６

　　　　　一方、１から１００までの整数の和は、　１００×１０１/２＝５０５０

　　　　　よって、取り除いた整数は、　５０５０−４９８６＝６４

（２）　（１＋２＋・・・＋Ｍ）−Ｎ＝６００　より、　Ｍ（Ｍ＋１）/２−Ｎ＝６００

　　　　このとき、　１≦Ｍ（Ｍ＋１）/２−６００≦Ｍ　を満たすＭは、３５のみ。

　　　　　よって、　Ｎ＝Ｍ（Ｍ＋１）/２−６００＝６３０−６００＝３０

（３）　｛（１＋２＋・・・＋Ｍ）−Ｎ｝/（Ｍ−１）＝４４０/１３　より、

　　　　１≦Ｍ（Ｍ＋１）/２−（４４０/１３）（Ｍ−１）≦Ｍ

　上式を満たすＭは、　６６　または　６７

　Ｍ＝６６のとき、　２２１１−Ｎ＝（４４０/１３）×６５＝２２００　より、　Ｎ＝１１

　Ｍ＝６７のとき、　２２７８−Ｎ＝（４４０/１３）×６６　で、この式を満たす整数Ｎは存在しない。


（コメント）　（１）は何でもないが、平方根の計算等で、（２）（３）では計算機のお世話になった。
　　　　　　小学生はどう解いたのだろう？


（追記）　令和２年３月３１日付け

　２０２０年１月１８日（土）に行われた灘中学校の入試問題（１日目）の次の問題に挑戦して
みました。

７．　下図のような平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、ＢＧ：ＧＤ＝５：７、ＦＧ＝１とする。
　　このとき、ＥＦの長さを求めよ。

　　

（解）　△ＡＢＧ∽△ＥＤＧ　より、　ＡＧ；ＥＧ＝５：７　、ＡＢ：ＥＤ＝５：７

　　　よって、　ＤＣ：ＣＥ＝５：２

　　　ＡＤとＦＣは平行なので、　ＡＦ；ＦＥ＝ＤＣ：ＣＥ＝５：２

　ここで、ＥＦ＝ｘ　とおくと、　ＡＧ＝（５/７）ＥＧ＝（５/７）（ｘ＋１）　なので、

　（５/７）（ｘ＋１）＋１：ｘ＝５：２　より、　５ｘ＝（１０/７）（ｘ＋１）＋２

　これを解いて、　ｘ＝２４/２５　　（終）


（コメント）　方程式を立てて解いたが、小学生はどのように解くのだろう？

　中学受験の頻出問題のようで、受験生は次のように解くらしいです。

　下図のような数直線を考え、５＋７＝１２と５＋２＝７の最小公倍数８４が、図中の赤数字
のように、ＡＧ：ＧＦ：ＦＥ＝３５：２５：２４　と分割される。

　ＦＧ＝１　なので、　ＥＦ＝２４/２５　が図から読み取れる。


　


（追記）　令和２年４月１日付け

　渋谷教育学園渋谷中学校（２０２０）の入試問題に挑戦してみました。

１．（２）　ある２桁の整数と２０２０の積は、各位の数が０と１のみの整数です。
ある２桁の整数のうち最も大きい整数はいくつですか。

（解）　２０２０＝２²×５×１０１＝２×１０１０　と考えると、

　　　５×２×１０１０×１１＝１１１１００

　とすれば、条件を満たす。よって、求める整数は、　５５　　（終）


（コメント）　解答に説得力が感じられないので、あまり自信がありません。これ以外の解答
　　　　　　はないものでしょうか？


　DD++さんからのコメントです。（令和２年４月１日付け）

　まず、2020は10の倍数なので、「2桁の整数」との積も10の倍数です。よって、一の位の数
字は0です。

　それを取り除いた数、すなわち、「2桁の整数」と202の積も0と1だけで書ける数であり、202
が偶数であることから、一の位（元々の十の位）は、0です。よって、「2桁の整数」は、5の倍数
です。

　さらに、末尾の0を取り除いた数、すなわち「2桁の整数の1/5」と101の積も0と1だけで書け
る数です。

　ところで、「2桁の整数の1/5」は、2以上19以下の整数なので、101をかけるときに繰り上が
りが絶対に発生しません。つまり、「2桁の整数の1/5」自体が0と1だけで書ける数、つまり、
10か11ということになります。

　したがって、元の「2桁の整数」は、50か55、最大のものを答えるなら、55ということになりま
す。


　らすかるさんからのコメントです。（令和２年４月１日付け）

　2020×100=202000なので、各位の数が0と1のみである整数は111111以下。
111111÷2020=55　余り 11　から、111100÷2020=55　とわかるので、答えは、55


（コメント）　なるほど！論理的で説得力ある説明に感謝します。DD++さん、らすかるさん、あ
　　　　　　りがとうございました。


（追記）　令和３年２月１０日付け

　令和３年２月６日（土）付け朝日新聞朝刊に令和３年度開成中学入試問題が掲載された。
いくつか面白そうな問題があったので、小学生になったつもりで考えてみた。

１．（１）２０２１年２月１日は月曜日である。１００年後の２１２１年２月１日は何曜日か？

（解）　１００年間のうち、うるう年は、１００÷４−１＝２４（回）

　　　（２１００年は１００の倍数だが４００の倍数でないので、うる年ではないから１減）

　　残りの７６回は平年である。

　よって、　２４×３６６＋７６×３６５＋１≡６　（ｍｏｄ　７）　より、土曜日である。　　（終）


１．（２）　三角形の各頂点から向かい合う辺に、直線をそれぞれ２本、３本、１００本
　　　　引いたとき、元の三角形は何個の部分に分けられるか。ただし、３本以上の
　　　　直線が三角形の内部の１点で交わることはないものとする。

　まず試しに実験して、解法の手順を探ろう。

	（解）　まず、２頂点から直線をそれぞれ２本、３本引いた 　　三角形において、数えると、１２個の部分に分かれる 　　ことが分かる。残りの頂点から直線を１本引いた図 　　が下図である。

　上図から、三角形は、１８個の部分に分かれる。丁度、６個増えているが、これは５本の直

線と最後に引いた直線が５点で交わり、その交点で直線が６分割され、その分割のそれぞれ

が１つずつ新しい部分を作るからである。この性質は、第３の頂点から直線を引く限り不変な

性質である。
　　

　よって、第３の頂点から直線を１００本引いた場合、部分の総数は、

　１２＋６×１００＝６１２（個）　である。　　（終）


（追記）　令和４年４月１９日付け

　令和３年度の開成中学入試問題の続きです。問題は一部改題してあります。

１．（４）　１/９９９８ を小数で表すとき、小数第４８位の数、小数第５６位の数をそれぞ
　　　　　れ求めよ。

　１/９９９８を小数で表すとき、小数第４８位の数を求めよ、という雲を掴むような問題ですが
忠実に題意に従って計算すれば活路がひらける問題です。

　手元に電卓があれば、

　1/9998

=0．0001000200 0400080016 0032006401 2802560512 1024204840 9681936387
　　2774554910 9821964392 8785757151 4302860572 1144228845 7691538307 6615323…

と小数展開できるので、小数第４８位の数は ８、小数第５６位の数は ３とすぐ分かりますが、
これを手計算でどうぞ！という問題です。

（解）　1/9998＝1/（10000−2）＝（1/10000）・（１/（１−2/10000）　より、

1/9998

＝（1/10000）・（１＋（2/10000）＋（2/10000）²＋（2/10000）³＋（2/10000）⁴＋・・・）

＝0．0001　　（←　小数第４位まで）
＋0．00000002　　（←　小数第８位まで）
＋0．000000000004　　（←　小数第１２位まで）
＋0．0000000000000008　　（←　小数第１６位まで）
＋0．.00000000000000000016　　（←　小数第２０位まで）
＋0．000000000000000000000032　　（←　小数第２４位まで）
　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　よって、小数第４８位を求めるには、　４８÷４＝１２　から、　２^(12-1)＝２０４８　の一の位
８が答となる。

　小数第５６位を求めるには、５６÷４＝１４　から、２^(14-1)＝８１９２　の一の位２に対して、

小数第６０位に相当する数を求めて、　６０÷４＝１５　から、　２^(15-1)＝１６３８４　なので、

その万の位を加味しなければならない。

＋0．00000000・・・・・・・・・・00008192
＋0．00000000・・・・・・・・・・000000016384

　よって、求める数は、　２＋１＝３　である。


（追記）　令和３年３月１７日付け

　令和３年２月５日（金）付け朝日新聞朝刊に令和３年度桜蔭中学入試問題が掲載された。
いくつか面白そうな問題があったので、小学生になったつもりで考えてみた。

１．（３）　整数Ｘの約数のうち、１以外の約数の個数を【Ｘ】、１以外の約数の和を＜Ｘ＞と
　　　　　表す。

（１）　＜Ａ＞÷【Ａ】が整数にならない２桁の整数Ａのうち、最大のものを求めよ。

（解）　２桁の整数９９、９８、９７、９６、・・・　を順次調べる。

　９９＝３²・１１　なので、　＜９９＞＝（１＋３＋９）（１＋１１）−１＝１５５

　　　　【９９】＝３×２−１＝５　より、＜Ａ＞÷【Ａ】が整数

　９８＝２・７²　なので、　＜９８＞＝（１＋２）（１＋７＋４９）−１＝１７０

　　　　【９８】＝２×３−１＝５　より、＜Ａ＞÷【Ａ】が整数

　９７は素数なので、　＜９７＞＝９７−１＝９６

　　　　【９７】＝２−１＝１　より、＜Ａ＞÷【Ａ】が整数

　９６＝２⁵・３　なので、　＜９６＞＝（１＋２＋４＋８＋１６＋３２）（１＋３）−１＝２５１

　　　　【９６】＝６×２−１＝１１　より、＜Ａ＞÷【Ａ】が整数にならない

　よって、求める整数Ａは、９６　　（終）

（２）　【Ｂ】＝２、＜Ｂ＞＝１４０６　のとき、Ｂを求めよ。

（解）　【Ｂ】＝２　より、１を含めた約数の個数は、３　なので、　Ｂ＝ｐ²　（ｐは素数）

　　　このとき、　＜Ｂ＞＝ｐ＋ｐ²＝１４０６

　　（ｐ−３７）（ｐ＋３８）＝０　より、　ｐ＝３７　　よって、　Ｂ＝３７²＝１３６９　　（終）

（３）　Ｃ＝２¹⁰　のとき、　【Ｃ】を求めよ。

（解）　【Ｃ】＝１０＋１−１＝１０　　（終）

（４）　６０以下の整数のうち、【Ｄ】＝３　となる整数Ｄは全部で何個あるか。

（解）　【Ｄ】＝３　となるためには、整数Ｄは、

　　Ｄ＝ｐ³　（ｐは素数）　または、　Ｄ＝ｐｑ　（ｐ、ｑは素数）

　Ｄ＝ｐ³　（ｐは素数）のとき、　ｐ＝２、３　の２通り

　Ｄ＝ｐｑ　（ｐ、ｑは素数）のとき、

　　（ｐ，ｑ）＝（２，３）、（２，５）、（２，７）、（２，１１）、（２，１３）、（２，１７）、（２，１９）、（２，２３）、
　　　　　　　　（２，２９）、（３，５）、（３，７）、（３，１１）、（３，１３）、（３，１７）、（３，１９）、
　　　　　　　　（５，７）、（５，１１）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の１７通り

　よって、求める整数Ｄは、　２＋１７＝１９（個）　ある。　　（終）


（追記）　令和４年３月２１日付け

　令和４年３月１９日（土）付け朝日新聞朝刊の「中学受験を振り返る（下）」に、令和４年度
渋谷教育学園渋谷中学の入試問題が紹介されていた。大変興味深い問題だったので、小
学生になったつもりで考えてみた。問題は若干改題しました。

３．（２）　１辺の長さ６の正三角形の面積と下図の三角形の面積の差を求めよ。

　

　　　　　ただし、次の参考図を利用してもよい。

　

　問題を解くのが小学生だということを忘れて、腕力で解いてみた。

　１辺の長さ６の正三角形の面積は、　６²/４＝９

　また、△ＡＢＣの高さをｈとおくと、　ｈ＋ｈ＝６　から、　ｈ＝３（−１）　なので、

　△ＡＢＣ＝６・３（−１）/２＝９（−１）

　したがって、求める面積の差は、　９−９（−１）＝９　となる。


（コメント）　渋谷教育学園渋谷中学の受験生で、上記のように解答する小学生がいても特
　　　　　　に驚きはしないだろう。

　参考図を利用した解答を考えてみよう。

（解）　２点ＭとＲを結び、正三角形ＰＭＲを作る。

　

　このとき、∠ＮＭＱ＝４５°となり、△ＮＭＱが問題の三角形となる。

よって、ＰＭ＝ＭＱ＝６としてよい。このとき、　△ＰＭＲ＝△ＭＱＲ　なので、

　（１辺の長さ６の正三角形の面積）−（△ＮＭＱの面積）＝（△ＲＭＮの面積）

となる。よって、求める差は、　６×（６/２）/２＝９　となる。　　（終）


３．（３）　１辺の長さ６の正方形の中に、２つの正三角形と１つの正方形が互いに辺を接し
　　　　　て入っている。

　

　　このとき、２つの正三角形と１つの正方形を合わせた面積を求めよ。

（解）　下図のように、ａ、ｂ を定める。

　

　このとき、　２ａ＋２ｂ＝６　より、　ａ＋ｂ＝３　である。

また、ｂ＝ａ　であるので、　ａ＝３/（＋１）＝３（−）/２

よって、求める面積は、４ａ²＋２ａｂ＝２ａ²＋２ａ（ａ＋ｂ）＝１８　　（終）


（コメント）　求める面積は、１辺が ａ＋ｂ の正方形の面積と考えられる。

　　

　このときは、上記の解と比べて、　（ａ＋ｂ）²＝１８　と簡便に求められる。


（追記）　令和４年３月２３日付け

　（３）が単独の問題であれば、上記のような解答で十分であるが、そもそも問題形式が（１）
をヒントに（２）を解くようになっているし、同様に、（２）をヒントに（３）を解くのが出題者の意図
するところだろう。

求める面積を赤線で２分割する。青線で出来る正三角形から、 　はみ出している（あ）の部分は、左図のように、正三角形の中に 　取り込める。このとき、（い）の図形は、（２）で考えた図形である。 　　よって、正三角形から（い）の部分を除いた図形の面積は、（２） 　の結果から、９である。 　　以上から、求める図形の面積は、９×２＝１８　となる。

（コメント）　難しい計算をしなくても、導入に忠実に従えば、易しい問題でした。（２）が（３）の
　　　　　　ヒントになっていることに気づけば短時間で解答できそうですね！


　カルピスさんからのコメントです。（令和４年３月２４日付け）

　上記の問題で、この細長い六角形は、２つの頂点に外接している正方形の面積の半分に
必ずなる。


（コメント）　頂角３０°の２等辺三角形（等辺の長さ＝６）の２つ分の面積は、１８で、正方形
　　　　　　の面積は３６なので、正方形の中の６角形の面積は、正方形の面積の半分に必
　　　　　　ずなりますね！カルピスさん、ナイスです〜。


　らすかるさんからのコメントです。（令和４年３月２５日付け）

　正方形の左右に正三角形をくっつけた形の六角形でしょうか。それならば、小正方形の残
りの2辺にも正三角形を付けると、残る隙間の頂角150°の二等辺三角形が等積変形で、小
正方形の1/4の面積とわかるので（六角形の中にある(あ)の部分を、小正方形と共有の辺を
固定して頂点を移動すれば小正方形の1/4とただちにわかります）

　　　　

　大正方形は小正方形2個+正三角形4個分となり、確かに、その六角形は大正方形の半分
ですね。


（追記）　令和４年４月１７日付け

　上記の、渋谷教育学園渋谷中学の入試問題（２０２２）で、次の問題も、忍耐力を求められ
そうで興味深いものがある。問題は、一部改題してあります。

１．(５)　３桁の数ＡＢＣ、ＤＥＦ、ＧＨＩ の３つを足すと２０２２になった。Ａ〜 Ｉ には０〜９の１０
　　　　個の数字のうち９個の異なる数字が１つずつ入る。また、Ｃ＝６、Ｈ＝０である。Ａ〜 Ｉ
　　　　で使わなかった数字をＰとする。ＡＢＣが考えられる数の中で一番小さい数になるとき、
　　　　ＢとＰはそれぞれいくつか？

（解）　１２６＋ＤＥＦ＋Ｇ０Ｉ＝２０２２　　ＤＥＦＧＩ＝３４５７８９

　　　Ｆ＋Ｉ＝６　となるＦ、Ｉはない

　　　Ｆ＋Ｉ＝１６　のとき、　Ｆ＝７、Ｉ＝９　としてみる。　→　Ｅ＝８　で、Ｄ、Ｇに該当なし

１３６＋ＤＥＦ＋Ｇ０Ｉ＝２０２２　　ＤＥＦＧＩ＝２４５７８９

　　　Ｆ＋Ｉ＝６　のとき、　Ｆ＝２　、Ｉ＝４　としてみる。　　→　Ｅ＝８　で、Ｄ、Ｇに該当なし

　　　Ｆ＋Ｉ＝１６　のとき、　Ｆ＝７、Ｉ＝９　としてみる。　→　Ｅに該当する数字がない

１４６＋ＤＥＦ＋Ｇ０Ｉ＝２０２２　　ＤＥＦＧＩ＝２３５７８９

　　　Ｆ＋Ｉ＝６　となるＦ、Ｉはない

　　　Ｆ＋Ｉ＝１６　のとき、　Ｆ＝７、Ｉ＝９　としてみる。　→　Ｅに該当する数字がない

１５６＋ＤＥＦ＋Ｇ０Ｉ＝２０２２　　ＤＥＦＧＩ＝２３４７８９

　　　Ｆ＋Ｉ＝６　のとき、　Ｆ＝２、Ｉ＝４　としてみる。　→　Ｅに該当する数字がない

　　　Ｆ＋Ｉ＝１６　のとき、　Ｆ＝７、Ｉ＝９　としてみる。　→　Ｅに該当する数字がない

１７６＋ＤＥＦ＋Ｇ０Ｉ＝２０２２　　ＤＥＦＧＩ＝２３４５８９

　　　Ｆ＋Ｉ＝６　のとき、　Ｆ＝２、Ｉ＝４　としてみる。　→　Ｅに該当する数字がない

　　　Ｆ＋Ｉ＝１６　となるＦ、Ｉはない

１８６＋ＤＥＦ＋Ｇ０Ｉ＝２０２２　　ＤＥＦＧＩ＝２３４５７９

　　　Ｆ＋Ｉ＝６　のとき、　Ｆ＝２、Ｉ＝４　としてみる。　→　Ｅ＝３　で、Ｄ、Ｇに該当なし

　　　Ｆ＋Ｉ＝１６　のとき、　Ｆ＝７、Ｉ＝９　としてみる。　→　Ｅ＝２　で、Ｄ、Ｇに該当なし

１９６＋ＤＥＦ＋Ｇ０Ｉ＝２０２２　　ＤＥＦＧＩ＝２３４５７８

　　　Ｆ＋Ｉ＝６　のとき、　Ｆ＝２、Ｉ＝４　としてみる。　→　Ｅに該当する数字がない

　　　Ｆ＋Ｉ＝１６　となるＦ、Ｉはない

２１６＋ＤＥＦ＋Ｇ０Ｉ＝２０２２　　ＤＥＦＧＩ＝３４５７８９

　　　Ｆ＋Ｉ＝６　となるＦ、Ｉはない

　　　Ｆ＋Ｉ＝１６　のとき、　Ｆ＝７、Ｉ＝９　としてみる。　→　Ｅに該当する数字がない

２３６＋ＤＥＦ＋Ｇ０Ｉ＝２０２２　　ＤＥＦＧＩ＝１４５７８９

　　　Ｆ＋Ｉ＝６　のとき、　Ｆ＝１、Ｉ＝５　としてみる。　→　Ｅ＝８　で、Ｄ、Ｇに該当なし

　　　Ｆ＋Ｉ＝１６　のとき、　Ｆ＝７、Ｉ＝９　としてみる。　→　Ｅに該当する数字がない

２４６＋ＤＥＦ＋Ｇ０Ｉ＝２０２２　　ＤＥＦＧＩ＝１３５７８９

　　Ｆ＋Ｉ＝６、１６

　Ｆ＋Ｉ＝６　のとき、Ｆ＝１、Ｉ＝５　としてみる。　→　Ｅ＝７

　　このとき、　Ｄ＝８　、Ｇ＝９　で条件を満たす。

　Ｆ＋Ｉ＝１６　のとき、Ｆ＝７、Ｉ＝９　としてみる。　→　Ｅに該当する数字がない

　以上から、　Ｂ＝４　Ｐ＝３　　（終）


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年４月１８日付け）

　上記で、場合分けを検討する前に、Ｐ＝３　とすぐにわかると思います。

　というのは…以下の２点に注目することにより導かれると思います。

�@　計算結果が２０２２という３の倍数でありながら９の倍数ではない点
�A　あらかじめ、Ｃ＝６ と与えられている点

　Ａから Ｉ までとＰを合計すると４５で、９の倍数です。

　Ｐ＝４５−（Ａ＋Ｂ＋・・・＋Ｉ）＝（９の倍数かつ３の倍数）−（９の倍数でなく、かつ３の倍数）

　�@より、ＡからＩまでを合計したものは、９の倍数ではなく３の倍数ですから、 Ｐもまた３の
倍数かつ９の倍数ではありません。 すなわち、Ｐは、３ないし６に絞られます。

　�Aより、Ｐは６ではありません。

　ゆえに、Ｐ＝３


　DD++ さんからのコメントです。（令和４年４月１８日付け）

　上記の問題、以下のようにすれば試行錯誤をだいぶ減らせますかね？

　両辺を 9 で割った余りを考えると、使った 9 個の数字の合計を 9 で割った余りが 6 。

これに P を加えると、10 個の数字の合計が 45 になるわけだから、P=3 です。

　そして、H=0 より、3≦B+E+H≦17 なので、百の位への繰り上がりが 1 で確定で、

　A+D+G=19 です。

　C+F+I=22 の場合 B+E+H=1 となり不適なので、C+F+I=12 で、B+E+H=11 とわかります。

　C=6 とH=0 を考慮すると、A+D+G=19、B+E=11、F+I=6　ですが、この中で 1 を使うには、

F+I を 1+5 か 5+1 にするしかありません。

　すると、B+E は、2+9 か 4+7 か 7+4 か 9+2 となり、残る A+D+G は、2+8+9 か 4+7+8 の

順番を入れ替えたものとなります。

　よって、ABC が最小になるのは、

　　ABC=246, DEF=871, GHI=905, P=3
　　ABC=246, DEF=875, GHI=901, P=3
　　ABC=246, DEF=971, GHI=805, P=3
　　ABC=246, DEF=975, GHI=801, P=3

の 4 パターンで、いずれの場合も B=4、P=3 です。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年４月１８日付け）

　DD++さんの解説に勝るアタックルートはないと存じます。


（コメント）　解答がだいぶスッキリできそうです！Dengan kesaktian Indukmu さん、DD++ さん
　　　　　　に感謝します。

　２０２２を９で割った余りが６に気がつくと、Ｐ＝３が一瞬で分かるんですね。感動しました。

　これで使える数字　１２４５７８９　が確定したのが大きいですね。

　百の位での繰り上がりを考えると、Ｆ＋Ｉ＝１６は起こりえず、Ｆ＋Ｉ＝６なので、Ｆ＝１、Ｉ＝５と
出来ます。（他の場合もあり得るが、それは考える意味がない）

　Ｂ＋Ｅ＝１１で、百の繰り上がりとＡＢＣが最小ということを考えると、Ｂ＝４、Ｅ＝７　です。

　後は使える数字　２８９　とＡＢＣが最小ということを考えて、　Ａ＝２、Ｄ＝８、Ｇ＝９　と出来
ます。

　以上から、　Ｂ＝４　Ｐ＝３　であることが分かる。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年４月１９日付け）

　おじさんは全検索で出すしかなく、

246;871;905　　246;875;901　　246;971;805　　246;975;801

276;841;905　　276;845;901　　276;941;805　　276;945;801

426;791;805　　426;795;801　　426;891;705　　426;895;701

496;721;805　　496;725;801　　496;821;705　　496;825;701

726;491;805　　726;495;801　　726;891;405　　726;895;401

796;421;805　　796;425;801　　796;821;405　　796;825;401

826;491;705　　826;495;701　　826;791;405　　826;795;401

846;271;905　　846;275;901　　846;971;205　　846;975;201

876;241;905　　876;245;901　　876;941;205　　876;945;201

896;421;705　　896;425;701　　896;721;405　　896;725;401

946;271;805　　946;275;801　　946;871;205　　946;875;201

976;241;805　　976;245;801　　976;841;205　　976;845;201

の全部で48パターンがあり、ABCの最小となるのが始めの4個ですよね。

　これを小学６年生が解くのか！数学の力は年齢には全く関係しないことを改めて感じ入っ
たことでした。


（追記）　令和５年２月６日付け

　令和５年２月５日（日）付け朝日新聞朝刊に令和５年度桜蔭中学入試問題が掲載された。
いくつか面白そうな問題があったので、小学生になったつもりで考えてみた。

１．（２）　４つの歯車Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあり、ＡとＢ、ＣとＤはそれぞれかみ合っている。ＢとＣは
　　　　　同じ軸に取り付けられており、滑ることなく一緒に回る。

　　　

　Ａ、Ｂ、Ｃの歯数は、それぞれ６８、４８、２７で、Ａが１１回転するとき、Ｄは、１８７/２４回転
する。このとき、次の問いに答えよ。

（イ）　Ｄの歯数を求めよ。

（ロ）　Ａが５回転するのに３秒かかるとすると、Ｄは１２回転するのに何秒かかるか。

（解）（イ）　Ｂの回転数をｂ、Ｄの歯数をＤとおくと、

　６８×１１＝４８×ｂ　より、　ｂ＝１８７/１２　となる。

　このとき、Ｃの回転数も１８７/１２なので、　（１８７/１２）×２７＝（１８７/２４）×Ｄ　より、

　Ｄ＝２７×２＝５４　となる。

（ロ）　Ａが５回転するとき、Ｄは、（１８７/２４）×（５/１１）＝８５/２４（回転）し、３秒かかる。

　よって、Ｄが１２回転するとき、　１２÷（８５/２４）×３＝８６４/８５（秒）　かかる。　　（終）


（別解）（イ）　歯数と回転数は反比例するので、Ｂの回転数は、１１×（６８/４８）＝１８７/１２

　このとき、Ｃの回転数も、１８７/１２となるので、Ｄの歯数をＤとおくと、

　２７ ： Ｄ＝１８７/２４ ： １８７/１２＝１ ： ２　より、　Ｄ＝２７×２＝５４　となる。　　（終）


�U　縦３００ｍ、横５００ｍの長方形の土地があり、そのまわりに下図のように１０ｍおきに旗
　を立てる穴が空いている。長方形の四隅には穴は空いていないものとする。

　　

　このとき、次の問いに答えよ。

（１）　全ての穴に旗を立てるとき、旗は全部で何本必要か。

（２）　花子さんが長方形の土地の地点Ａから時計回りに進んで旗を立てる。歩く速さは分速
　　７０ｍで、１本の旗を立てるのに要する時間は、７/３分とする。

　　花子さんが地点Ａを出発して最後の穴に旗を立て終えるまでに要する時間を求めよ。

（３）　花子さんと桜さんは地点Ａを同時に出発し、２人とも同じ速さで、花子さんは時計回り、
　　桜さんは反時計回りに旗を立てていく。ただし、桜さんが旗を１本立てるのに要する時間
　　は、２分とする。

　　花子さんが地点Ｄに着くまでの時間、桜さんが地点Ｃに着くまでの時間をそれぞれ求めよ。

（４）　２人が地点Ａを出発して最後の旗を立てるまでに要する時間を求めよ。ただし、先に穴
　　に着いた人が旗を立てるものとする。

（解）（１）　５００÷１０−１＝４９　、３００÷１０−１＝２９　より、　（４９＋２９）×２＝１５６（本）

（２）　１０ｍごとに１本旗を立てるのに要する時間は、　１/７＋７/３＝５２/２１　なので、

　　（５２/２１）×１５６＋３×（１/７）＝２７０７/７（分）
　　　・・・　時間に直して、　６時間（２６＋５/７）分

（３）　花子さんが地点Ｄに着くまでの時間 ： （５２/２１）×４９＋１/７＝２５５１/２１
　　　・・・　時間に直して、　２時間（１＋１０/２１）分

　桜さんが、１０ｍごとに１本旗を立てるのに要する時間は、　１/７＋２＝１５/７　なので、

　桜さんが地点Ｃに着くまでの時間 ： （１５/７）×（２９＋４９）＋２×（１/７）＝１１７２/７
　　　・・・　時間に直して、　２時間（４７＋３/７）分

（４）　花子さん、桜さんが地点Ａを出発して、桜さんが地点Ｃに着いたとき、花子さんは、線
　　分ＣＤ上にいる。

　線分ＣＤ上の穴に、地点Ｄ側より地点Ｃに向かって順番に番号１、２、３、・・・、２９を付ける。

　１１７２/７−２５５１/２１＝９６５/２１　で、９６５/２１÷５２/２１＝１８＋２９/５２　より、

花子さんは、穴番号１８に旗を立て、次の穴番号１９に向かっているところである。

　穴番号１９までは、あと　９６５/２１−１８×（５２/２１）＝２９/２１（分）かかる。

　桜さんが地点Ｃを出発してから時間を計り始めて、

　花子さんが穴番号１９に着くまで　・・・　２９/２１（分）
　桜さんが穴番号２９に着くまで　・・・　１５/７（分）

　花子さんが穴番号２０に着くまで　・・・　（２９/２１）＋（５２/２１）＝８１/２１（分）
　桜さんが穴番号２８に着くまで　・・・　（１５/７）×２＝３０/７（分）

　花子さんが穴番号２１に着くまで　・・・　（２９/２１）＋（５２/２１）×２＝１３３/２１（分）
　桜さんが穴番号２７に着くまで　・・・　（１５/７）×３＝４５/７（分）

　花子さんが穴番号２２に着くまで　・・・　（２９/２１）＋（５２/２１）×３＝１８５/２１（分）
　桜さんが穴番号２６に着くまで　・・・　（１５/７）×４＝６０/７（分）

　花子さんが穴番号２３に着くまで　・・・　（２９/２１）＋（５２/２１）×４＝２３７/２１（分）
　桜さんが穴番号２５に着くまで　・・・　（１５/７）×５＝７５/７（分）

　花子さんが穴番号２４に着くまで　・・・　（２９/２１）＋（５２/２１）×５＝２８９/２１（分）
　桜さんが穴番号２４に着くまで　・・・　（１５/７）×６＝９０/７＝２７０/２１（分）

　よって、桜さんの方が花子さんより先に穴番号２４に着いて、旗を立てる。

　以上から、最後の旗を立てるまでに要する時間は、

　　１１７２/７＋９０/７＝１２６２/７
　　　・・・　時間に直して、　３時間２/７分　　（終）


（コメント）　心が折れそうな煩雑な計算であるが、考え方は単純なので、根気があるかどうか
　　　　　　試されているような気分．．．。


�V　Ａ、Ｂの２人がそれぞれ１つずつのさいころを同時にふって、出た目によって勝敗を決め
　得点をつけるゲームをする。

（ルール）

勝敗について
・さいころの目は、　「１」＞「素数」＞「１でも素数でもない数」　の順に強いとし、強い目を出し
　た方が勝ちとする。ただし、「６」は「１」に勝つとする。
・２つとも同じ目の数のときは、あいことする。
・あいこでなく、２つとも「素数」か、２つとも「１でも素数でもない数」のときは、大きい数の方を
　勝ちとする。

得点について
・はじめは２人とも０点とする。
・１回ふって勝敗が決まったときは、勝った方が１点、負けた方が０点とする。あいこのときは
　点はない。
・あいこだった次に勝敗が決まったときは、あいこだった同じ目の数を勝った方の点とする。
　あいこが続いたときも、その次に勝敗が決まったら、あいこになった同じ目の数を足して
　勝った方の点とする。どちらのときも、負けた方は０点とする。

　このとき、次の問いに答えよ。

（１）　２回ふってＡが３点を得るとき、ＡとＢの目の出方は何通りあるか。

（２）�@　３回ふってＡとＢが同点になったとき、Ａの得点として考えられる数をすべて求めよ。
　�A　�@のときのＡとＢの目の出方の組は全部で何通りあるか。

（解）（１）　２回ふってＡが３点を得るためには、１回目があいこ（目は３）で、２回目Ａの勝ち
　　　　　のときである。

　題意より、１が勝つ数は、２、３、４、５　　２が勝つ数は、４、６　　３が勝つ数は、２、４、６
　　　　　　　５が勝つ数は、２、３、４、６　　６が勝つ数は、１、４

　よって、Ａ、Ｂの目の出方は、全部で、１５通り　ある。

（２）�@　あいこの回数で場合分けする。

　あいこの回数０回および２回のとき、Ａ、Ｂが同点になることはないから、起こりえない。

　あいこの回数１回のとき、

　　あいこ１回目に出るとき、Ａ、Ｂが同点になるためには、Ａ、Ｂの１勝１敗で、あいこの目は１

　　あいこ２回目に出るとき、Ａ、Ｂが同点になるためには、Ａ、Ｂの１勝１敗で、あいこの目は１

　　あいこ３回目に出るとき、Ａ、Ｂが同点になるためには、Ａ、Ｂの１勝１敗で、あいこの目は
　何でもよい。

　あいこの回数３回のとき、Ａ、Ｂの得点はともに０点になる。

　以上から、Ａの得点として考えられる数は、　０　または　１　である。

�A　�@の場合分けに注意して、求める場合の数は、

　１５×１５×４＋１５×１５×２×６＋６×６×６＝３８１６（通り）


（コメント）　ルールが複雑で、読み込みが大変ですね。「１」はオールマイティーだけど「６」に
　　　　　　負けるというルールは、トランプゲームのナポレオンに似ていますね。


�W　１辺が１０ｃｍの立方体がある。上面の中心には半径１の円Ａがあり、上面に垂直に、
　　秒速１ｃｍで対面まで動く。このとき、円Ａが通過した部分を立方体からくり抜いて出来る
　　立体を考える。次の問いに答えよ。

（１）　円Ａが動き始めてから７秒後の立体の体積を求めよ。

　さらに、手前の面には、縦４ｃｍ、横２ｃｍの長方形Ｂがあり、下図のようになっている。

　　　

　長方形Ｂは円Ａと同時に出発し、手前の面に垂直に対面まで動く。円Ａが通過した部分に
加えて、長方形Ｂが通過した部分も立方体からくり抜いて出来る立体を考える。ただし、円Ａ
と長方形はおたがいにぶつかっても止まることなく動き続けるものとする。

（２）　長方形Ｂの動く速さは、秒速２ｃｍとする。円Ａと長方形Ｂが動き始めてから３秒後と
　　５秒後の立体の体積を求めよ。

（３）　長方形Ｂの動く速さは、秒速０．６２５ｃｍとする。円Ａと長方形Ｂが動き始めてから８秒
　　後の立体の体積を求めよ。

（４）　円Ａと長方形Ｂが動き始めてから９秒後の立体の体積が、９２０．４２ｃｍ³であるとき、
　　長方形Ｂの動く速さを求めよ。

（解）（１）　１０００−７π

　π＝３．１４　とすれば、　１０００−７π＝９７８．０２（ｃｍ³）　である。

（２）　３秒後は、
　　　

となるので、求める体積は、　１０００−３π−４８＝９５２−３π

　π＝３．１４　とすれば、　９５２−３π＝９４２．５８（ｃｍ³）　である。

　５秒後は、

　　

となるので、求める体積は、　１０００−５π−８０＋（π/２）×２＝９２０−４π

　π＝３．１４　とすれば、　９２０−４π＝９０７．４４（ｃｍ³）　である。

（３）　８秒後は、

　　

となるので、求める体積は、　１０００−８π−４０＋（π/４）×４＝９６０−７π

　π＝３．１４　とすれば、　９６０−７π＝９３８．０２（ｃｍ³）　である。

（４）　長方形Ｂの動く速さを秒速 ｘ ｃｍとする。

　長方形Ｂを考えない場合、体積は、　１０００−９π＝９７１．７４（ｃｍ³）　で、

　　９７１．７４−９２０．４２＝５１．３２（ｃｍ³）　だけ多い。

　長方形Ｂが動いて、円Ａが動いた部分にぶつかるとき、その体積は、３２ｃｍ³

　長方形Ｂが動いて、円Ａが動いた部分を貫通して出るまでを考えると、そのときの体積は、

　　１０００−９π−４８＋（π/２）×４＝９５２−７π＝９３０．０２（ｃｍ³）

　よって、　９３０．０２−９２０．４２＝９．６（ｃｍ³）　だけ、長方形Ｂをさらに動かせばよい。

　９．６÷８＝１．２（ｃｍ）　より、９秒間で、長方形Ｂは、７．２ｃｍ　動くので、長方形Ｂの秒速

は、　７．２÷９＝０．８（ｃｍ）　となる。　　（終）


（コメント）　最後の（４）は、（３）のように長方形Ｂが円Ａの中に止まる可能性も考えられまし
　　　　　　たが、それはないということで安心しました。その点、問題が良心的でしたね。


（追記）　令和５年２月１０日付け

　令和５年２月７日（火）付け朝日新聞朝刊に令和５年度開成中学入試問題が掲載された。
噂によると、問題が易しすぎて、７割５分とっても落ちるかも．．．とのこと。どんな問題か興
味があり、いくつか面白そうな問題を考えてみた。

１．　ウサギとカメが競争した。カメはスタート地点からゴール地点まで毎分４ｍの速さで走り
　　続ける。ウサギはスタート地点をカメと同時に出発し、毎分６０ｍの速さで走っていたが、
　　ゴール地点まで残り１００ｍになったところで走るのをやめて、昼寝を始めた。昼寝を始め
　　た６０分後に目を覚ましたウサギは、カメに追い抜かれていることに気がついた。あわてた
　　ウサギは、そこから毎分８０ｍの速さでゴール地点まで走ったが、ウサギがゴール地点に
　　着いたのは、カメがゴール地点に着いた時刻の５秒後だった。このとき、次の問いに答え
　　よ。

（１）　ウサギが昼寝を始めてからカメがゴール地点に着くまでの時間は何分何秒か。
（２）　ウサギが昼寝を始めたとき、ウサギはカメより何ｍ先にいたか。
（３）　スタート地点からゴール地点までの道のりは何ｍか。

　　

（解）（１）　ウサギが１００ｍを分速８０ｍで走るのに要する時間は、　１００÷８０＝５/４（分）

　　秒に換算して、　（５/４）×６０＝７５（秒）

　よって、ウサギが昼寝から目が覚め走り始めてからカメがゴール地点に着くまでの時間は、

　７５-５＝７０（秒）　となる。したがって、ウサギが昼寝を始めてからカメがゴール地点に着

くまでの時間は、　６１分１０秒　であることが分かる。

（２）　カメは、ウサギが昼寝を始めてから、６１分１０秒でゴール地点に着くので、その間の

　道のりは、　（６１＋１/６）×４＝２４４＋２/３（ｍ）　なので、ウサギが昼寝を始めたとき、

　ウサギはカメより、　２４４＋２/３−１００＝１４４＋２/３（ｍ）　先にいた。

（３）　ウサギがスタート地点を出発し、昼寝を始めるまでの時間を ｔ 分とすると、

　　６０ｔ＝４ｔ＋１４４＋２/３　すなわち、　５６ｔ＝４３４/３　より、　ｔ＝３１/１２（分）

　よって、スタート地点からゴール地点までの道のりは、

　　１００＋６０×（３１/１２）＝２５５（ｍ）　　（終）


（コメント）　「ウサギとカメ」のとても面白い問題でした。


２．　１辺の長さが１ｃｍの正六角形ＡＢＣＤＥＦの周上に、次のような点Ｐ、Ｑがある。
　・点Ｐは辺ＡＦ上にあり、ＡＰ ： ＰＦ＝１ ： ２　である。
　・点Ｑは頂点Ａを出発し、正六角形の周上を反時計回りに分速１ｃｍで動く。点Ｑは、頂点
　　Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅをこの順で通り、頂点Ａを出発した５分後に頂点Ｆで止まる。

　　　

　点Ｑが頂点Ａや頂点Ｆにいるときを除いて、正六角形は直線ＰＱによって２つの部分に分
けられる。この２つの部分のうち、一方の面積が他方の面積の２倍になるのは、点Ｑが頂点
Ａを出発してから何分何秒後か。

（解）　正六角形の面積を１として、面積が　１/３　と　２/３　に分ける点を探せばよい。

　正六角形を下図のように分割する。

　　　

　△ＡＢＦ＝１/６　なので、　△ＰＡＢ＝（１/６）×（１/３）＝１/１８

同様にして、　△ＰＥＦ＝（１/６）×（２/３）＝１/９

　次に、正三角形ＡＢＲ（面積＝１/６）を考え、△ＰＢＣ＝１/６＋１/１８＝２/９

　また、△ＰＣＤ＝（１/６）×２＝１/３　で、△ＰＣＱ＝１/１８　となる点Ｑをとれば、ちょうど

　△ＰＡＢ＋△ＰＢＣ＋△ＰＣＱ＝１/１８＋２/９＋１/１８＝１/３

となる。このとき、点Ｑは辺ＣＤを　１ ： ５　に内分する点なので、Ａを出発してから２分１０秒

後となる。一方の面積が他方の面積の２倍になるのは、もう１点ある。

　△ＰＤＥ＝１-（１/１８＋２/９＋１/３＋１/９）＝５/１８　なので、△ＰＱ’Ｅ＝２/９　となる点Ｑ’

をとれば、ちょうど　△ＰＥＦ＋△ＰＱ’Ｅ＝１/９＋２/９＝１/３　となる。

　このとき、点Ｑ’は、辺ＤＥを　１ ： ４　に内分する点なので、Ａを出発してから３分１２秒後

となる。　　（終）


（コメント）　正六角形の分割が面白かったです。


３．　下図のように、１辺の長さが１０ｃｍの立方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨにおいて、辺ＡＤ、ＡＥ、
　　ＢＣ、ＢＦ上にそれぞれ点 Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌをとり、ＡＩ＝ＡＪ＝ＢＫ＝ＢＬ＝６ｃｍとする。また、
　　辺ＡＥ、ＡＢ、ＤＨ、ＤＣ上にそれぞれ点Ｍ、Ｎ、Ｏ、Ｐがあり、ＡＭ＝ＡＮ＝ＤＯ＝ＤＰ＝３ｃｍ
　　である。

　この立方体を、４点 Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌを通る平面と４点Ｍ、Ｎ、Ｏ、Ｐを通る平面で切断して、４つ
の立体に切り分ける。頂点Ｇを含む小立体をＸとする。

　　　

　このとき、次の問いに答えよ。

（１）　立体Ｘの見取り図を書け。

（２）　立体Ｘの体積を求めよ。

（解）（１）　立体Ｘの見取り図は、

　　

（２）　立体Ｘの体積は、２つの三角錐の体積を引いて、その共通部分（下図の水色部分）を
　　加えればよい。

　　

　よって、求める立体Ｘの体積Ｖは、

Ｖ＝１０００−４．５×１０−１８×１０＋（４．５×３＋９×３÷３）＝７９７．５（ｃｍ³）


（コメント）　上記の解では、共通部分（上図の水色部分）の体積を三角柱と四角錐に分けて
　　　　　　求めたが、「立体図形の体積」の考え方を用いて、

　　３×３÷２×（６＋６＋３）/３＝２２．５（ｃｍ³）

　としてもよい。


４．　周の長さが６ｃｍの円がある。この円周を６等分する場所を順にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ と
　　する。この円周上を毎秒１ｃｍの速さで動く３つの点Ｐ、Ｑ、Ｒ がある。

　３点Ｐ、Ｑ、Ｒ はそれぞれＡ地点、Ｃ地点、Ｅ地点から同時に動き始めて、ＰとＱは反時計
周り、Ｒは時計回りに進む。その後、Ｐ、Ｑ、Ｒ のうちの２点が出会うたびに、出会った２点
はそれぞれ直前の自分とは反対向きに同じ速さで進む。

　このとき、次の問いに答えよ。

（１）　３点Ｐ、Ｑ、Ｒ が動き始めてから６秒後に、Ｐ、Ｑ、Ｒ がいる地点はどこか。

（２）　３点Ｐ、Ｑ、Ｒ が動き始めてから初めて、Ｐ、Ｑ、Ｒ が同時に最初の位置に到達するの
　　は何秒後か。

（３）　３点Ｐ、Ｑ、Ｒ が動き始めてから１００秒後に、Ｐ、Ｑ、Ｒ がいる地点はどこか。

（４）　点Ｐと点Ｒが９９回目に出会うのは、３点Ｐ、Ｑ、Ｒ が動き始めてから何秒後か。

（解）（１）　下図の表で、「反」は反時計回り、「時」は時計回りを表す。

　上記表より、　Ｐは、Ｃ地点、Ｑは、Ｅ地点、Ｒは、Ａ地点にいる。

（２）　６秒で円周上を１２０°回転なので、６×３＝１８（秒）後に最初の位置に到達する。
　　（さらに、回転の向きまで含めて元に戻ることが、上記の表からも分かる）

（３）　１００÷１８＝５　・・・　１０　なので、上記の表の１０秒後の位置にいるから、

　　Ｐは、Ｅ地点、ＱとＲは、Ａ地点にいる。

（４）　最初の１８秒間で、点Ｐと点Ｒが出会うのは、４回（４、８、１３、１７秒後）あるので、

　９９回出会うのは、　９９÷４＝２４　・・・　３　より、上記の表の１３秒後なので、

　　２４×１８＋１３＝４４５（秒後）　となる。　　（終）


（コメント）　１８秒間の周期性に気がつけば簡単でした。


５．　１、２、・・・、７の７種類の数字をいくつか並べて作られる整数をＡ、Ｂとする。次の問い
　　に答えよ。

（１）　Ａ＋Ｂ＝９６　となるＡ、Ｂの組は何通りあるか。

（２）　Ａ＋Ｂ＝９７１　となるＡ、Ｂの組は何通りあるか。

（３）　Ａ＋Ｂ＝９７２　となるＡ、Ｂの組が何通りあるか。

（４）　Ａ＋Ｂ＝９７２３　となるＡ、Ｂの組は何通りあるか。

（解）（１）　繰り上がりがないので、まず一の位の起こり得る場合は、

　（Ａの一の位，Ｂの一の位）＝（１，５）、（２，４）、（３，３）、（４，２）、（５，１）　の５通り

　その１通りに対して、十の位の起こり得る場合は、

　（Ａの十の位，Ｂの十の位）＝（２，７）、（３，６）、（４，５）、（５，４）、（６，３）、（７，２）　の６通り

よって、求める場合の数は、　５×６＝３０（通り）

（２）　９７１＝９６０＋１１　なので、足して１１となる場合は、

　　（４，７）、（５，６）、（６，５）、（７，４）　の４通りあることから、

　Ａ＋Ｂ＝９７１　となる場合の数は、３０×４＝１２０（通り）

（３）　９７２＝９６０＋１２　または、　９７２＝９７０＋２　と考えると、

　　足して１２となる場合は、　（５，７）、（６，６）、（７，５）　の３通りあるので、

　　　　９６０＋１２　となる場合の数は、　３０×３＝９０（通り）

　　足して２となる場合は、（１，１）　の１通り

　　　　９７０＋２　となる場合の数を求めるために、Ｃ＋Ｄ＝９７　について、

　（Ｃの一の位，Ｄの一の位）＝（１，７）、（２，６）、（３，４）、（４，３）、（５，２）、（６，１）　の６通り

　その１通りに対して、十の位の起こり得る場合は、

　（Ｃの十の位，Ｄの十の位）＝（２，７）、（３，６）、（４，５）、（５，４）、（６，３）、（７，２）　の６通り

よって、Ｃ＋Ｄ＝９７　となる場合の数は、　６×６＝３６（通り）

　以上から、Ａ＋Ｂ＝９７２　となる場合の数は、　９０＋３６＝１２６（通り）

（４）　９７２３＝９７２０＋３　または、　９７２３＝９７１０＋１３　と考えて、求める場合の数は、

　１２６×２＋１２０×２＝４９２（通り）


（コメント）　易しいとは言われていますが、そこそこ考えさせる良問ですね！十分楽しませて
　　　　　　もらいました。


（追記）　令和５年４月１８日付け

　筑波大学附属中学（２０１４）の入試問題を拝見する機会があり、挑戦してみた。問題は
改題されています。

問題　２つの整数Ａ、Ｂがあり、Ａ＞Ｂで、ＡはＢで割り切れないものとする。ＡとＢの最大公
　　　約数、最小公倍数をそれぞれ ＭとＬ とおく。

　Ｌ＋Ｍ＝６８４　、Ｌ−Ｍ＝６６０　のとき、Ａ、Ｂの値を求めよ。

（解）　題意より、　Ｌ＝６７２　、Ｍ＝１２　である。Ａ＝１２ａ　、Ｂ＝１２ｂ　（ａとｂは互いに素）

とおけて、　１２ａｂ＝６７２　より、　ａｂ＝５６　となる。

　ａとｂは互いに素なので、　（ａ，ｂ）＝（５６，１）、（８，７）　であるが、ＡはＢで割り切れないこ

とから、（ａ，ｂ）＝（５６，１）　は不適

　よって、　Ａ＝１２×８＝９６　、Ｂ＝１２×７＝８４　　（終）


（追記）　令和６年２月５日付け

　令和６年２月４日（日）付け朝日新聞朝刊に令和６年度桜蔭中学入試問題が掲載された。
いくつか面白そうな問題があったので、小学生になったつもりで考えてみた。

�T．（２）　黒い丸●と白い丸○を横７マスすべてに並べる。

（�@）　並べ方の決まりは次の（あ）（い）（う）（え）である。

（あ）　�Aと�Cには同じ色の丸は並べない。
（い）　�Aと�Eには同じ色の丸を並べる。
（う）　�D�E�Fすべてに同じ色の丸を並べることはできない。
（え）　�Cが白い丸○のとき、�Bと�Dの両方ともに黒い丸●を並べることはできない。

　このとき、黒い丸●と白い丸○の並べ方は何通りあるか。

（�A）　横７マスを下図のように４行並べる。

　（�@）の並べ方の決まり（あ）（い）（う）（え）に次の（お）の決まり：

（お）　各行のＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄには、ＡとＤに同じ色の丸、ＢとＣに同じ色の丸を並べ、ＡとＢには
　　　同じ色の丸を並べない。

を加えて、２８マスに黒い丸●と白い丸○を並べるとき、並べ方は何通りあるか。


（解）（�@）　題意より、起こり得る場合は、７マスを並べて、

　�@○�B●○○●
　�@○�B●●○○
　�@○�B●●○●　　　�@と�Bは２通りずつあるので、２×２×３＝１２（通り）

　�@●○○●●○
　�@●●○○●○
　�@●●○○●●
　�@●○○○●○
　�@●○○○●●　　　�@は２通りあるので、２×５＝１０（通り）

　以上から、求める場合の数は、　１２＋１０＝２２（通り）

（�A）　（�@）の結果を用いて、求める場合の数は、

　１２×１２×１０×１０×２＝２８８００（通り）　　（終）


�T．（３）　１辺の長さが１０の正方形の折り紙を１本の対角線で折って直角２等辺三角形を
　作り、さらに、４５°の角を持つ頂点が重なるように折る。そのとき出来る直角２等辺三角
　形を、直角が３等分されるように折り、はみ出ている部分をハサミで切り取り、下図のよう
　な２等辺三角形ＡＢＣを作る。

　このとき、次の問いに答えよ。

（�@）　２等辺三角形ＡＢＣの折り紙を広げるとき、どんな図形となるか。

（�A）　ＡＢ＝２．７ のとき、（�@）で得られた図形の面積を求めよ。

（�B）　下図のように、２等辺三角形ＡＢＣの内部から、１辺の長さが０．６の正方形と中心が
　　辺ＢＣ上にある直径１の半円を切り取る。

　　

　この折り紙を（�@）と同様に広げるとき、残った部分の図形の面積を求めよ。

（解）（�@）　明らかに、正十二角形となる。

（�A）　２等辺三角形ＡＢＣは、もとの正方形で考えると、下図のようである。

　　

　上図の△ＡＢＣの面積は、　２．７×５÷２＝６．７５　となるので、求める図形の面積は、

　６．７５×１２＝８１

（�B）　切り取られる部分の面積は、

　正方形　・・・　（０．６×０．６）×１２＝４．３２

　半円　・・・　（π×（１/２）²÷２）×１２＝３π/２　　ここで、π＝３．１４ として、４．７１

したがって、求める図形の面積は、　８１−（４．３２＋４．７１）＝７１．９７　　（終）


�U．　同じ大きさのたくさんの立方体と、青色の絵の具１２０ｍｌ、黄色の絵の具２００ｍｌ、赤
　色の絵の具２００ｍｌがある。この絵の具は混ぜると別の色が作れる。青色と黄色を同じ量
　混ぜると、緑色が出来、赤色と黄色を同じ量混ぜると、オレンジ色が出来、青色と黄色を
　１：２の割合で混ぜると、黄緑色が出来る。

　今、この絵の具で立方体の６面を塗る。ただし、絵の具はすべて使うとは限らない。この絵
の具はどの色も１０ｍｌで立方体の６/５面を塗ることが出来る。次の問いに答えよ。

（１）　この立方体の１面を塗るのに必要な絵の具の量を求めよ。

（２）　この立方体の６面すべてを１色で塗るとき、

　（�@）　６面すべてが赤色で塗られた立方体は、最大何個できるか。

　（�A）　６面すべてが黄緑色で塗られた立方体は、最大何個できるか。

（３）　この立方体の６面を３面ずつ同じ色で塗る。オレンジ色と緑色の２色で３面ずつ塗られ
　た立方体は、最大何個できるか。

（４）　この立方体の６面を１面ずつ青色、黄色、赤色、緑色、オレンジ色、黄緑色で塗る。

（�@）　このような立方体は最大何個できるか。

（�A）　このような立方体を最も多くつくったとき、使わなかった青色の絵の具の量を求めよ。

（解）（１）　１０÷６/５＝２５/３（ｍｌ）

（２）（�@）　２００÷（２５/３）＝２４（面）から、２４÷６＝４（個）の立方体を塗ることが出来る。

（�A）　青色１００ｍｌ、黄色２００ｍｌで、黄緑色３００ｍｌが出来るので、

　３００÷（２５/３）＝３６（面）から、３６÷６＝６（個）の立方体を塗ることが出来る。

（３）　１面当たりに塗る絵の具の量を計算する。

　オレンジ色　・・・　赤色２５/６ｍｌ、黄色２５/６ｍｌ

　緑色　・・・　青色２５/６ｍｌ、黄色２５/６ｍｌ

より、　青色２５/６ｍｌ、赤色２５/６ｍｌ、黄色２５/３ｍｌ　で立方体の２面が塗られる。

　１２０÷（２５/６）＝１４４/５（＝２８．８）

　２００÷（２５/６）＝４８

　２００÷（２５/３）＝２４

より、最小の２４面に着目して、　２４÷（６÷２）＝８（個）の立方体を塗ることが出来る。

（４）（�@）（３）と同様に、１面当たりに塗る絵の具の量を計算する。

　青色　・・・　２５/３ｍｌ

　赤色　・・・　２５/３ｍｌ

　黄色　・・・　２５/３ｍｌ

　緑色　・・・　青色２５/６ｍｌ、黄色２５/６ｍｌ

　オレンジ色　・・・　赤色２５/６ｍｌ、黄色２５/６ｍｌ

　黄緑色　・・・　青色２５/９ｍｌ、黄色５０/９ｍｌ

より、　青色２５/３＋２５/６＋２５/９＝２７５/１８（ｍｌ）　で、

　１２０÷（２７５/１８）＝４３２/５５（＝７．８５・・・）

　赤色２５/３＋２５/６＝７５/６（ｍｌ）　で、

　２００÷（７５/６）＝１６

　黄色２５/３＋２５/６＋２５/６＋５０/９＝２００/９（ｍｌ）　で、

　２００÷（２００/９）＝９

で立方体が塗られる。

　上記の計算より、青色の量の制限から、最大７個まで塗ることができる。

（�A）　使わなかった青色の絵の具の量は、

　（２７５/１８）×（４３２/５５−７）＝２３５/１８（ｍｌ）　　（終）


�V．　１辺が１の正三角形ＡＢＣと１辺が３の正方形ＰＱＲＴがある。正三角形ＡＢＣの面積を
　Ｓとおく。

　　

（１）　正三角形ＡＢＣを上図の位置から正方形ＰＱＲＴの内部をすべらないように回転させて
　　もとの位置まで移動させる。このとき、正三角形ＡＢＣが通過した部分の面積をＳを用いて
　　表せ。

（２）　正三角形ＡＢＣを、下図のように正方形ＰＱＲＴの（い）の位置におく。

　　

　この正三角形ＡＢＣを、正方形ＰＱＲＴの内部をすべらないように回転させながら（う）の位置
まで移動させる。ＰＱに関して対称移動し、（え）の位置に移動させる。さらに、正方形ＰＱＲＴ
の外部をすべらないように回転させながら（お）の位置まで移動させる。今度は、ＲＱに関して
対称移動し、（か）の位置に移動させる。再び、正方形ＰＱＲＴの内部をすべらないように回転
させながら（き）の位置まで移動させる。同じように、（く）の位置へ折り返し、正方形ＰＱＲＴの
外部をすべらないように回転させながら（け）の位置まで移動させる。

　このとき、点Ｃがえがいた曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。

（解）（１）　実際に回転させて下図を得る。

　　

　求める面積は、正三角形ＡＢＣが４個分と１辺が１の正方形４個分と半径が１で中心角３０°

の扇形８個分なので、　４Ｓ＋４＋（２/３）π　　となる。

　π＝３．１４　として、　４Ｓ＋４＋（２/３）π＝４Ｓ＋４５７/７５

（２）　実際に回転させて下図を得る。点Ｃがえがいた曲線は赤線部分である。

　　

　求める面積は、黄色い部分が相殺されることに注意して、

　（１辺が３の正方形の面積）

　−（半径が１で中心角３０°の扇形２個分）＋（半径が１で中心角２１０°の扇形２個分）

＝（１辺が３の正方形の面積）＋（半径が１で中心角１８０°の扇形２個分）

＝（１辺が３の正方形の面積）＋（半径が１の円の面積）

＝９＋π

　π＝３．１４　として、求める面積は、　１２．１４　　（終）


（コメント）　長い文章題で読み解くのが大変であるが、実際に絵を描けば解きやすくなるだ
　　　　　ろう。


（追記）　令和６年２月９日付け

　令和６年２月６日（火）付け朝日新聞朝刊に令和６年度開成中学入試問題が掲載された。
いくつか面白そうな問題があったので、小学生になったつもりで考えてみた。


１．（１）　数字 １〜９ と四則演算の記号 ＋、−、×、÷ とカッコだけを用いて、２０２４を作
　　　る式を１つ書け。ただし、次の指示に従うこと。

（�@）　１つの数字を２個以上使ってはいけない。
（�A）　２個以上の数字を並べて２桁以上の数を作ってはいけない。
（�B）　できるだけ使う数字の個数を少なくせよ。（使う数字の個数が少ないほど高得点）

（解）　２０２４を素因数分解して、　２０２４＝２×２×２×１１×２３

　これより、２０２４＝８×（２＋９）×（４×６−１）　が思いつくが、数字の個数が６個もある。

　２０２４÷８＝２５３　なので、数字 １〜７、９ を用いて、２５３を作ることを考えると、

　２５３÷（９×７）＝４　・・・　１　から、　２５３＝４×７×９＋１　なので、

　２０２４＝８×（４×７×９＋１）　となり、数字の個数が５個で済む。

また、　２０２４＝４×１１×４６　より、

　２０２４＝４×（３＋８）×（５×９＋１）　が思いつくが、数字の個数が６個もある。

これも、　２０２４＝４×５０６　と考えて、、数字 １〜３、４〜９ を用いて、５０６を作ることを

考えると、　５０６÷（９×８）＝７　・・・　２　から、　５０６＝７×８×９＋２　なので、

　２０２４＝４×（７×８×９＋２）　となり、数字の個数が５個で済む。

以上から、２０２４＝８×（４×７×９＋１）　や　２０２４＝４×（７×８×９＋２）　など　　（終）


（コメント）　パズル＆クイズの「２０２４年」を参考にすると、

　−１−５−６＋４×（２＋３＋７×８×９）＝２０２４　をいじって、

　−３×４＋４×（５＋７×８×９）＝４×（２＋７×８×９）＝２０２４　・・・　数字の個数が５個

が得られる。


　よおすけさんからのコメントです。（令和６年２月１１日付け）

　上記の問題で、使う数字が４個以下で ２０２４を作る式は見つかりませんでした。よって、
上記の条件なら、最少は５個で間違い無いと思います。


１．（２）　２本の金属棒Ｏ、Ｐがあり、長さは、Ｐの方がＯより２cm長く、重さは、２本とも同じ
　　である。長さ１ｃｍあたりの重さは、Ｏはどこでも１ｃｍあたり１０ｇであるが、Ｐは、中間の
　ある長さの部分だけ１ｃｍあたり１１ｇで、それ以外の部分は１ｃｍあたり８ｇであるという。

　

　２本の金属棒を上図の左端から同じ長さだけ切り取るとき、切り取る部分の重さが等しく
なるのは、切り取る長さが３４．５ｃｍのときだけである。このとき、次の問いに答えよ。

(ア)　上図の★の部分の長さを求めよ。

(イ)　金属棒１本の重さを求めよ。

（解）（ア）　題意より、８×★＋１１×（３４．５−★）＝１０×３４．５　なので、

　３×★＝３４．５　より、　★＝１１．５（ｃｍ）

（イ）　切り取る部分の重さが等しくなるのは、切り取る長さが３４．５ｃｍのときだけであるの

　で、３４．５ｃｍより右側では、Ｐは１ｃｍあたり８ｇとなる。

　よって、Ｏの長さをＬとおくと、題意より、１０×（Ｌ−３４．５）＝８×（Ｌ＋２−３４．５）　なので、

　２×（Ｌ−３４．５）＝１６　より、　２Ｌ＝８５　よって、　Ｌ＝４２．５（ｃｍ）　となる。

　したがって、金属棒１本の重さは、　１０×４２．５＝４２５（ｇ）　である。　　（終）


１．（３）　１辺３ｃｍの正三角形Ｐに、マークＰがかかれている。この正三角形Ｐがはじめ下の
　　図のスタートの位置にあって、１辺９ｃｍの正三角形Ｑの外周を図の矢印の方向にすべら
　　ないように転がって、はじめてゴールの位置にくるまで動く。このとき、次の問いに答えよ。

　　

（ア）　正三角形Ｐがゴールの位置に着いたとき、マークＰは上の図の向きになっていた。マー
　クＰは、スタートの位置ではどの向きにかかれていたか。

(イ)　正三角形Ｐがスタートからゴールまで動くとき、図の頂点Aが動く距離を求めよ。

(ウ)　正三角形Ｐがスタートからゴールまで動くときに通過する部分の面積は、半径が３ｃｍで、
　中心角が６０°のおうぎ形の面積と、１辺が３ｃｍの正三角形の面積をそれぞれ何個分あ
　わせたものであるか。

（解）（ア）　題意より、下図を得る。

　　

（イ）　６π×（１/３）＋６π×（２/３）＋６π×（１/３）＋６π×（２/３）＋６π×（１/３）

　　＝１４π　ここで、π＝３．１４　として、　１４π＝４３．９６（ｃｍ）

（ウ）　求める面積は、下図の赤線で囲まれた部分の面積（正三角形Ｑを除く）に等しい。

　　

　上図より、半径が３ｃｍで、中心角が６０°のおうぎ形の面積を１４個分と、１辺が３ｃｍの正

三角形の面積を７個分あわせたものに等しい。　　（終）


（コメント）　今年度の桜蔭中学でも同趣旨の問題が出題されました。


２．　９枚のカード １、２、３、４、５、６、７、８、９ がある。はじめに、９枚のカードから何枚か
　を選び、混ぜ合わせて１つの山に重ねる。このときのカードの並び方を「はじめのカードの
　状況」ということにする。

　たとえば、５枚のカード １、２、３、４、５ が上から ４、２、５、１、３ の順に重ねられていると
きが、はじめのカードの状況で、簡単に 【４２５１３】 と表すことにする。

　机と箱がある。次のルールに従って、山に重ねたカードを上から１枚ずつ、机の上か、箱
の中に動かす。

・１枚目のカードは必ず机の上に置く。
・２枚目以降のカードは、そのカードに書かれた数が机の上にあるどのカードに書かれた数
よりも小さいときだけ机の上に置き、そうでないときには箱の中に入れる。

　たとえば、【４２５１３】のとき、上記の操作で、机の上には、４、２、１ のみが残る。これを、
カードが置かれた順に《４２１》と表すことにする。このとき、次の問いに答えよ。

（１）　７枚のカード １、２、３、４、５、６、７ を使う場合を考える。はじめのカードの状況が
　　【７４６３１２５】であるときの結果を答えよ。

（２）　次のそれぞれの場合のはじめのカードの状況について答えよ。

(ア)　３枚のカード １、２、３ を使う場合を考える。結果が《２１》になるはじめのカードの状況
　をすべて書き出せ。

(イ)　４枚のカード １、２、３、４ を使う場合を考える。結果が《２１》になるはじめのカードの状
　況をすべて書き出せ。

(ウ)　５枚のカード １、２、３、４、５ を使う場合を考える。

　（�@）　結果が《２１》になるはじめのカードの状況は何通りあるか。
　（�A）　結果が《５２１》になるはじめのカードの状況は何通りあるか。

(エ)　６枚のカード １、２、３、４、５、６ を使う場合を考える。結果が《５２１》になるはじめのカ
　ードの状況は何通りあるか。

（３）　９枚のカード全部を使う場合を考える。結果が《７５４２１》になるはじめのカードの状況
　は何通りあるか。

（解）（１）　明らかに、《７４３１》　となる。

（２）（ア）　【２１３】、【２３１】　である。

（イ）　【２１３４】、【２１４３】、【２３１４】、【２４１３】、【２３４１】、【２４３１】　である。

（ウ）（�@）　２１***　、２*１**　、２**１*　、２***１　のそれぞれで、*** には、３、４、５ の何

　れかが並ぶので、求める場合の数は、　４×３！＝２４（通り）

（別解）　２１の並びに、３と４を追加して、起こりうる場合は、（２）（イ）より、

　２１３４　、２１４３　、２３１４　、２４１３　、２３４１　、２４３１

　それぞれに、５の入れ場所を考えて、

　　２４３１　の場合、　２５４３１　、２４５３１　、２４３５１　、２４３１５

　　２３４１　の場合、　２５３４１　、２３５４１　、２３４５１　、２３４１５

　　２３１４　の場合、　２５３１４　、２３５１４　、２３１５４　、２３１４５

　　２４１３　の場合、　２５４１３　、２４５１３　、２４１５３　、２４１３５

　　２１４３　の場合、　２５１４３　、２１５４３　、２１４５３　、２１４３５

　　２１３４　の場合、　２５１３４　、２１５３４　、２１３５４　、２１３４５

　よって、求める場合の数は、２４通りである。　　（終）

　上記の（別解）は次のように改良される。

（別解）　２１の並びで、３の入れ場所は、　２○１○　の２通り

　その１通り、例えば、２３１ に対して、４の入れ場所は、２○３○１○　の３通り

　その１通り、例えば、２４３１　に対して、５の入れ場所は、２○４○３○１○　の４通り

よって、求める場合の数は、　２×３×４＝２４（通り）

（�A）　５２１の並びで、３の入れ場所は、　５２○１○　の２通り

　その１通り、例えば、５２３１　に対して、４の入れ場所は、５２○３○１○　の３通り

よって、求める場合の数は、　２×３＝６（通り）

（エ）　５２１の並びで、３の入れ場所は、　５２○１○　の２通り

　その１通り、例えば、５２３１ に対して、４の入れ場所は、５２○３○１○　の３通り

　その１通り、例えば、５２４３１　に対して、６の入れ場所は、５○２○４○３○１○　の５通り

よって、求める場合の数は、　２×３×５＝３０（通り）

（３）　７５４２１の並びで、３の入れ場所は、　７５４２○１○　の２通り

　その１通り、例えば、７５４２３１ に対して、

　　６の入れ場所は、７５○４○２○３○１○ の５通り

　その１通り、例えば、７５６４２３１　に対して、

　　８の入れ場所は、７○５○６○４○２○３○１○　の７通り

　その１通り、例えば、７８５６４２３１　に対して、

　　９の入れ場所は、７○８○５○６○４○２○３○１○　の８通り

よって、求める場合の数は、　２×５×７×８＝５６０（通り）　　（終）


３．　直方体Xを３つの平面 P、Q、R で切断して、いくつかの立体ができる。このうちの１つを
　とって、立体Yと呼ぶことにする。

　　

　立体Ｙの展開図は下図のようになることが分かっている。ただし、辺(あ)、辺(い)につづく面
が、それぞれ１つずつ書かれていない。また、直方体Xの点A、B、Cが、立体Yの展開図の点
Ａ、B、Cに対応する。

　　

（１）　立体Ｙの展開図の面�@〜�Dの中で、もともと直方体Xの面であったものをすべて答えよ。

（２）　立体Ｙの展開図に書かれた点Ｄ、Ｅ、Ｆに対応する点は、直方体Ｘの辺上にある。辺上
　の長さの比がなるべく正確になるように注怠して、点Ｄ、Ｅ、Ｆに対応する点を、直方体Ｘの
　見取図にかき入れよ。

（３）　平面Ｐで直方体Xを切断したときの断面、Qで切断したときの断面、Ｒで切断したときの
　断面は、それぞれどのような図形になるか。次の図のようなかき方で、直方体Xの見取図
　に１つずつ書き入れよ。

　　

（４）　立体Ｙの展開図に、(あ)、(い)につづく面を、なるべく正確に書き入れよ。

（５）　展開図のひと目盛を１ｃｍとする。（４）で書き入れた面のうち、(い)につづくほうの面積を
　求めよ。

（解）（１）　頂点Ｃの周りの９０°の関係から、明らかに、�A、�B、�C

（２）　立体Ｙの展開図からもとの立体を復元して、

　　

　点Ｄ、Ｅ、Ｆに対応する点は上図のようになる。

（３）　（２）の立体から、３つの平面で切断した断面は、下図の通りとなる。

（４）　（２）の立体から、(あ)、(い)につづく面を、書き入れると、

　　

（５）　(い)につづく図形は直角三角形である。

　　

　上図から、ｘ の値は、　２ ： ｘ＝５ ： ３　から、　ｘ＝１．２

　よって、求める直角三角形の面積は、　１．２×３÷２＝１．８（ｃｍ²）　　（終）


（コメント）　空間把握が鍛えられた問題でした。


（追記）　令和６年２月１４日付け

　筑波大学附属駒場中学の入試が２月３日に行われ、いくつか興味ある問題に挑戦してみ
た。問題は改題されています。

[１]　整数Ａがある。Ａに対して、整数Ｂ、Ｃ、Ｄを次のように決めていく。

＜決め方＞　Ａを３７で割ったあまりがＢ、Ｂを１７で割ったあまりがＣ、Ｃを７で割ったあまり
　　　　　　　　がＤである。

　次の問いに答えよ。

（１）　Ｂ＝２６、Ｃ＝９、Ｄ＝２となるようなＡとして考えられる数のうち、最も
　　小さいものは２６ですが、２番目に小さいものは何ですか。

（２）　Ｄ＝２となるようなＡとして考えられる数のうち、２０２４以下のものは全部で何個あるか。

（３）　Ｂ、Ｃ、Ｄがすべてちがう数となるようなＡとして考えられる数のうち、２０２４以下のもの
　は全部で何個あるか。

（解）（１）　題意より、Ａ＝３７Ａ’＋２６、２６＝１７・１＋９、９＝７・１＋２　なので、２番目に小

　さいものは、Ａ’＝１として、　Ａ＝３７＋２６＝６３

（２）　Ｄ＝２　より、　Ａ＝３７Ａ’＋Ｂ、Ｂ＝１７・Ｂ’＋Ｃ、Ｃ＝７・Ｃ’＋２　において、

　０≦Ｃ≦１６　より、　０≦７・Ｃ’＋２≦１６　から、　Ｃ’＝０、１、２

Ｃ’＝０　のとき、　Ｃ＝２　で、　Ｂ＝１７・Ｂ’＋２

　ここで、　０≦Ｂ≦３６　より、　０≦１７・Ｂ’＋２≦３６　から、　Ｂ’＝０、１、２

　Ｂ’＝０　のとき、　Ｂ＝２　で、　Ａ＝３７Ａ’＋２

　Ａ≦２０２４　から、　３７Ａ’＋２≦２０２４　なので、　Ａ’＝０、１、・・・、５４

　すなわち、　Ａ＝２、３９、・・・、２０００　の５５個が該当する。

　Ｂ’＝１　のとき、　Ｂ＝１９　で、　Ａ＝３７Ａ’＋１９

　Ａ≦２０２４　から、　３７Ａ’＋１９≦２０２４　なので、　Ａ’＝０、１、・・・、５４

　すなわち、　Ａ＝１９、５６、・・・、２０１７　の５５個が該当する。

　Ｂ’＝２　のとき、　Ｂ＝３６　で、　Ａ＝３７Ａ’＋３６

　Ａ≦２０２４　から、　３７Ａ’＋３６≦２０２４　なので、　Ａ’＝０、１、・・・、５３

　すなわち、　Ａ＝３６、７３、・・・、１９９７　の５４個が該当する。

Ｃ’＝１　のとき、　Ｃ＝９　で、　Ｂ＝１７・Ｂ’＋９

　ここで、　０≦Ｂ≦３６　より、　０≦１７・Ｂ’＋９≦３６　から、　Ｂ’＝０、１

　Ｂ’＝０　のとき、　Ｂ＝９　で、　Ａ＝３７Ａ’＋９

　Ａ≦２０２４　から、　３７Ａ’＋９≦２０２４　なので、　Ａ’＝０、１、・・・、５４

　すなわち、　Ａ＝３７、４６、・・・、２００７　の５５個が該当する。

　Ｂ’＝１　のとき、　Ｂ＝２６　で、　Ａ＝３７Ａ’＋２６

　Ａ≦２０２４　から、　３７Ａ’＋２６≦２０２４　なので、　Ａ’＝０、１、・・・、５４

　すなわち、　Ａ＝２６、６３、・・・、２０２４　の５５個が該当する。

Ｃ’＝２　のとき、　Ｃ＝１６　で、　Ｂ＝１７・Ｂ’＋１６

　ここで、　０≦Ｂ≦３６　より、　０≦１７・Ｂ’＋１６≦３６　から、　Ｂ’＝０、１

　Ｂ’＝０　のとき、　Ｂ＝１６　で、　Ａ＝３７Ａ’＋１６

　Ａ≦２０２４　から、　３７Ａ’＋１６≦２０２４　なので、　Ａ’＝０、１、・・・、５４

　すなわち、　Ａ＝１６、５３、・・・、２０１４　の５５個が該当する。

　Ｂ’＝１　のとき、　Ｂ＝３３　で、　Ａ＝３７Ａ’＋３３

　Ａ≦２０２４　から、　３７Ａ’＋３３≦２０２４　なので、　Ａ’＝０、１、・・・、５３

　すなわち、　Ａ＝３３、７０、・・・、１９９４　の５４個が該当する。

　以上から、求めるＡは、　５５＋５５＋５４＋５５＋５５＋５５＋５４＝３８３個ある。　　（終）

（別解）　上記の（解）を整理しておこう。

　Ｃ＝７・Ｃ’＋２　から、Ｃの可能性は、　Ｃ＝２、９、１６　の３通り

　Ｂ＝１７・Ｂ’＋Ｃ　から、Ｂの可能性は、

　　Ｂ＝２、９、１６、１９、２６、３３、３６　の７通り

　よって、Ａ＝３７Ａ’＋Ｂ　で、Ａ≦２０２４　を満たすものを探すと、

　[（２０２４−Ｂ）/３７]＝５４、５４、５４、５４、５４、５３、５３

なので、該当するＡは、　５５×５＋５４×２＝３８３（個）　　（終）


（コメント）　だいぶ解答が縮約できた！


（３）　題意より、Ａ＝３７Ａ’＋Ｂ、Ｂ＝１７・Ｂ’＋Ｃ、Ｃ＝７・Ｃ’＋Ｄ　において、

　０≦Ｂ≦３６　、０≦Ｃ≦１６　、０≦Ｄ≦６　である。

　３６≦Ｂ≦３４　とすると、Ｃ＝Ｄ　となり、これは、不適

　Ｂ＝３３　とすると、Ｃ＝１６　、Ｄ＝２　これは、適

　Ｂ＝３２　とすると、Ｃ＝１５　、Ｄ＝１　これは、適

　Ｂ＝３１　とすると、Ｃ＝１４　、Ｄ＝０　これは、適

　Ｂ＝３０　とすると、Ｃ＝１３　、Ｄ＝６　これは、適

　Ｂ＝２９　とすると、Ｃ＝１２　、Ｄ＝５　これは、適

　Ｂ＝２８　とすると、Ｃ＝１１　、Ｄ＝４　これは、適

　Ｂ＝２７　とすると、Ｃ＝１０　、Ｄ＝３　これは、適

　Ｂ＝２６　とすると、Ｃ＝９　、Ｄ＝２　これは、適

　Ｂ＝２５　とすると、Ｃ＝８　、Ｄ＝１　これは、適

　Ｂ＝２４　とすると、Ｃ＝７　、Ｄ＝０　これは、適

　１７≦Ｂ≦２３　とすると、Ｃ＝Ｄ　とあり、これは、不適

　０≦Ｂ≦１６　とすると、Ｂ＝Ｃ　となり、これは、不適

　以上から、該当するＡは、

　Ａ＝３７Ａ’＋Ｂ　（Ｂ＝２４、２５、２６、２７、２８、２９、３０、３１、３２、３３）

このとき、　[（２０２４−Ｂ）/３７]＝５４、５４、５４、５３、５３、５３、５３、５３、５３、５３　なので、

該当するＡの個数は、　５５×３＋５４×７＝５４３（個）


（コメント）　気が遠くなるような場合分けでしたが、多少解答を縮約することができました！


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年２月１７日付け）

　（３）も、（２）の改良後の解法と同様にすれば、こんな場合分けしなくても済むのではないか
と思います。

　D が C と等しくなる C の範囲は 0≦C≦6 で、C はもともと 0≦C≦16 だから、D が C と
異なるような範囲は 7≦C≦16

　C が B と等しくなる B の範囲は 0≦B≦16 で、B はもともと 0≦B≦36 だから、D が C と
異なるような範囲は 17≦B≦36　そのうち、7≦C≦16 となる範囲は 24≦B≦33

　以下、上記解答と同じ。



[２]　サイコロは、向かい合う面の目の数の和が７になっている。いくつかのサイコロを、その
　面同士が丁度重なるように貼り合わせてできた立体で、重なって隠れた面の目の数の合計
　を「ウラの和」、隠れていない面の目の数の合計を「オモテの和」ということにする。

（１）　３個のサイコロを下図のように貼り合わせる。

　　

　「オモテの和」として考えられるもののうち、もっとも大きい数ともっとも小さい数をそれぞれ
答えよ。

（２）　３個のサイコロを下図のように貼り合わせる。

　　

　このとき、「オモテの和」が「ウラの和」でわり切れることがある。このような「オモテの和」と
して、考えられるものをすべて答えよ。

（３）　４個のサイコロを下図のように貼り合わせる。

　　

　このとき、「オモテの和」が「ウラの和」でわり切れることがある。このような「オモテの和」と
して、考えられるものをすべて答えよ。

（４）　４個のサイコロを貼り合わせるとき、「オモテの和」として考えられるもののうち、もっと
　も大きい数ともっとも小さい数をそれぞれ答えよ。


（解）（１）　一つのサイコロの目の総和は、　１＋２＋３＋４＋５＋６＝６×７÷２＝２１

　３個のサイコロを貼り合わせるとき、　２１×３−「ウラの和」＝「オモテの和」　が成り立つ。

　このとき、　「ウラの和」の可能性は、　７＋２、７＋３、・・・、７＋１２　すなわち、

　９、１０、・・・、１９　である。よって、「オモテの和」　の可能性は、　５４、５３、・・・、４４

　よって、もっとも大きい数は、５４　、もっとも小さい数は、４４　である。

（２）　３個のサイコロの貼り合わせより、　６３−「ウラの和」＝「オモテの和」　すなわち、

　６３＝「ウラの和」＋「オモテの和」　が成り立つので、

　「オモテの和」が「ウラの和」でわり切れるとき、　６３は「ウラの和」でわり切れる。

　「ウラの和」の可能性は、　２＋３、・・・、１２＋１１　すなわち、５、６、・・・、２３

　この中で６３の約数は、　２１、９、７　なので、「オモテの和」＝６３−「ウラの和」　より、

　「オモテの和」として考えられるものは、　４２、５４、５６　である。

（３）　４個のサイコロの貼り合わせより、　８４−「ウラの和」＝「オモテの和」　すなわち、

　８４＝「ウラの和」＋「オモテの和」　が成り立つので、

　「オモテの和」が「ウラの和」でわり切れるとき、　８４は「ウラの和」でわり切れる。

　「ウラの和」の可能性は、　２＋７＋３、・・・、１２＋７＋１１　すなわち、１２、１４、・・・、３０

　この中で８４＝２²・３・７ の約数は、　１２、１４、２１、２８　なので、

　「オモテの和」＝８４−「ウラの和」　より、

　「オモテの和」として考えられるものは、　７２、７０、６３、５６　である。

（４）　４個のサイコロの貼り合わせより、　８４−「ウラの和」＝「オモテの和」　が成り立つ。

　「ウラの和」の最大値は、５と６で４面が貼り合わされるときで、　１１×４＝４４

　最小値は、１と１、２と１、２と１　で３面が貼り合わされるときで、２＋３＋３＝８

なので、「オモテの和」として考えられる最小値は、８４−４４＝４０

　「オモテの和」として考えられる最大値は、８４−８＝７６　　（終）


[３]　一辺の長さが１２cmの正六角形ABCDEFがある。直線AD上に点G、直線CF上に点H
　　がある。△AGFの角G、△CHDの角Hは、どちらも直角である。

　点Pは頂点Aを出発し、正六角形の辺上を毎秒１cmの速さで A→B→C→D→E→F→A の
順に一周し、動き始めてから７２秒後にAで止まる。

　　

　PとG、GとH、HとPをまっすぐな線で結んで作った図形PGHを考える。次の問いに答えよ。

（１）　図形PGHが三角形にならないのは、Pが動き始めてから何秒後ですか。

（２）　図形PGHが三角形になり、△PGHの面積が△AGFの面積と等しくなるのは、Pが動き
　始めてから何秒後ですか。

（３）　PとB、BとH、HとPをまっすぐな線で結んで作った図形PBHを考える。ただし、PがBに重
　なる場合は考えないものとする。

　図形PGH、図形PBHがどちらも三角形になり、△PGHの面積が△PBHの面積と等しくなる
　のは、Pが働き始めてから何秒後ですか。

（解）（１）　図形PGHが三角形にならないのは、点Ｐが下図の位置にあるときである。

　　

　よって、　１２×２＋３＝２７　、１２×５＋９＝６９（秒後）　である。

（２）　△PGHの面積が△AGFの面積と等しくなるのは、点Ｐが下図の位置にあるときである。

　　

　よって、６、１２＋６＝１８、１２×２＋９＝３３、１２×５＋３＝６３（秒後）　である。

（３）　△PGHの面積が△PBHの面積と等しくなるのは、点Ｐが下図の位置にあるときである。

　　

　よって、６、１２＋９＝２１、１２×２＋６＝３０、１２×４＋３＝５１（秒後）　である。　　（終）


（コメント）　等積変形が鍛えられました！


[４]　一辺の長さが１０cmの立方体の面どうしをちょうど重なるように組み合わせてつくった
　ブロックA、B、Cがある。ブロックAは立方体６個、ブロックBは立方体２個、ブロックCは立
　方体３個を組み合わせたものである。

	ブロックＡ		ブロックＢ		ブロックＣ

　ブロックＡ、ブロックＢ、ブロックＣを、立方体の面どうしがちょうど重なるように、さらに組み
合わせることを考える。ただし、幅、奥行き、高さはどれも３０cm以下となるようにする。

　一辺の長さが３０cmの立方体の形の水そうがある。水平に置かれた空の水そうにブロック
を置き、１２０００ｃｍ³の水を入れて水面の高さを調べる。次の問いに答えよ。

（１）　ブロックAを１個、水そうに置いたところ、下図のようになった。水を入れたあとの水面
　　の高さは、水そうの床から何cmになるか。

　　

（２）　ブロックAとブロックBを１個ずつ組み合わせたものを水そうに置いたところ、真上から
　見たら、下図のようになった。ただし、ブロックAの位置や向きは（１）と変わらないものとす
　る。水を入れたあとの水面の高さは、水そうの床から何cmになる、考えられるものをすべ
　て答えよ。

　　

（３）　ブロックA、ブロックB、ブロックCを１個ずつ組み合わせたものを水そうに置いたところ、
　真上から見たら下図のようになった。ただし、ブロツクAの位置や向きは（１）と変わらない
　ものとする。水を入れたあとの水面の高さは、水そうの床から何cmになるか、考えられる
　ものをすべて答えよ。

　　

（解）（１）　一辺の長さが１０cmの立方体の体積は、１０００ｃｍ³　である。

　ブロックＡを除いた空きスペースは、１段目・・・立方体６個分、２段目・・・立方体７個分

　したがって、水面の高さは、１段目と２段目の間にある。

　よって、水面の高さは、　１０＋（１２０００−６０００）÷７００＝１０＋６０/７＝１３０/７（ｃｍ）

（２）　考えられる場合は、次の３通りである。

（ア）		（イ）		（ウ）

（ア）　　ブロックＡ、Ｂを除いた空きスペースは、

　１段目・・・立方体５個分、２段目・・・立方体６個分、３段目・・・立方体８個分

　したがって、水面の高さは、２段目と３段目の間にある。

　よって、水面の高さは、　２０＋（１２０００−１１０００）÷８００＝２０＋５/４＝８５/４（ｃｍ）

（イ）　　ブロックＡ、Ｂを除いた空きスペースは、

　１段目・・・立方体６個分、２段目・・・立方体６個分

　したがって、水面の高さは、２段目の高さに等しいので、水面の高さは、　２０（ｃｍ）

（ウ）　　ブロックＡ、Ｂを除いた空きスペースは、

　１段目・・・立方体６個分、２段目・・・立方体７個分

　したがって、水面の高さは、１段目と２段目の間にある。

　よって、水面の高さは、　１０＋（１２０００−６０００）÷７００＝１０＋６０/７＝１３０/７（ｃｍ）

（３）　考えられる場合は、次の４通りである。

	（ア）		（イ）
	（ウ）		（エ）

（ア）　　ブロックＡ、Ｂ、Ｃを除いた空きスペースは、

　１段目・・・立方体４個分、２段目・・・立方体５個分、３段目・・・立方体７個分

　したがって、水面の高さは、２段目と３段目の間にある。

　よって、水面の高さは、　２０＋（１２０００−９０００）÷７００＝２０＋３０/７＝１７０/７（ｃｍ）

（イ）　　ブロックＡ、Ｂ、Ｃを除いた空きスペースは、

　１段目・・・立方体５個分、２段目・・・立方体５個分、３段目・・・立方体６個分

　したがって、水面の高さは、２段目と３段目の間にある。

　よって、水面の高さは、　２０＋（１２０００−１００００）÷６００＝２０＋１０/３＝７０/３（ｃｍ）

（ウ）　　ブロックＡ、Ｂ、Ｃを除いた空きスペースは、

　１段目・・・立方体５個分、２段目・・・立方体６個分、３段目・・・立方体５個分

　したがって、水面の高さは、２段目と３段目の間にある。

　よって、水面の高さは、　２０＋（１２０００−１１０００）÷５００＝２２（ｃｍ）

（エ）　　ブロックＡ、Ｂ、Ｃを除いた空きスペースは、

　１段目・・・立方体６個分、２段目・・・立方体６個分

　したがって、水面の高さは、２段目の高さに等しいので、水面の高さは、２０（ｃｍ）　　（終）


（コメント）　十分楽しめた問題ですが、試験時間内で解ききる自信は全くありませんね！



　　以下、工事中！