かぎゅうせん
蝸牛線

　　　　　　　

　　　　極方程式は、　

　この曲線は、パスカルの蝸牛線(別名リマソン（1650年))といわれる。

　ａ＞ｂ、ａ＝ｂ、ａ＜ｂ の各場合でグラフの形状が異なる。

特に、ａ＝ｂのときは、心臓形（Cardioid)といわれる。

ａ＞ｂ のとき

ａ＜ｂ のとき

　　　ａ＝ｂのとき

	作図の原理
	直径ＯＡ(＝ａ) の円周上を動く点Ｑがある。 Ｏを始点とし、直線ＯＱ上に、ＰＱ＝Ｐ’Ｑ＝ｂ となる点Ｐ、Ｐ’をとる。 　このときの点Ｐ、Ｐ’の描く軌跡が蝸牛線と いわれる曲線である。 　この曲線は螺獅線の一種である。螺獅線 における定直線が、定円となった場合が、こ の蝸牛線である。

　蝸牛線のうち、特に、曲線　ｒ＝２ｃｏｓθ＋１　は、角を３等分する作図に用いられる。
それでは、角を３等分する方法を考えてみよう。

左図において、△ＯＢＣに余弦 　定理を用いて、 　　　　　　　ＢＣ＝２ｃｏｓθ 　であることが分かる。 　　さらに、 　BH＝ＯＨ−１ 　　　＝ＯＣｃｏｓ２θ−１ 　　　＝(２ｃｏｓ２θ＋１)ｃｏｓ２θ−１ 　　　＝ｃｏｓ４θ＋ｃｏｓ２θ 　　　＝２ｃｏｓ３θｃｏｓθ 　従って、 　ｃｏｓα＝２ｃｏｓ３θｃｏｓθ÷２ｃｏｓθ 　　　　＝ｃｏｓ３θ 　より、 　　　　α＝３θ

　よって、∠ＯＣＢ＝θ となり、∠ＯＣＢ が ∠ＡＢＣ の３等分を与えている。

　以上、計算により示したが、あまり美しい解答とはいえない。幾何的に示すには、次のよう
にすればよい。

左図において、 　△BCD、△BDOは二等辺三角形 　　よって、∠BCD＝θ とおけば、 　　∠BOD＝２θ となるので、 　　∠ABC＝３θ となる。