面積の計算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　数学�Uで学ぶ微分積分で面積の計算と言ったら、次のような場合が双璧だろう。

　　　　　　

　これらに対しては何れも次のような公式が知られているので、面積の計算は、ほぼ暗算
で出来るだろう。（もちろん、α 、 β の計算は暗算では出来ないです．．．(^^;)　）

　

　

　これらの定積分を一般化すれば、次の形の定積分となる。

　

　この右辺の形は、ベータ関数

　　　（ただし、　ｐ＞０　、ｑ＞０　）

に似ている。

　そこで、次のような置換を施せば、 Ｉ（ ｍ ， ｎ ） はベータ関数を用いて表すことができる。



このとき、

　

において、

　

であるので、　Ｂ（ ２ ， ２ ）＝１/６　となり、

　

が得られる。同様にして、

　

において、　Ｂ（ ３ ， ２ ）＝２！/４！＝１/１２　であるので、

　

が得られる。

　このように統一した考え方をすれば、次のような問題は瞬殺で求まるだろう。

左図のように、４次関数 　　　　ｙ＝ｘ4−２ｘ3−３ｘ2＋６ｘ＋３ 　　のグラフと直線　ｙ＝２ｘ−１　が２点 　　　（ −１ ， −３ ）　、　（ ２ ， ３ ） 　　で接している。（→参考：「連立方程式の回避」） 　　　このとき、左図の領域の面積を求めよ。

（解）　求める面積は、Ｉ（ ３ ， ３ ） なので、

　Ｉ（ ３ ， ３ ）＝（−１）²・｛２−（−１）｝⁵・Ｂ（ ３ ， ３ ）＝３⁵・２！２！/５！＝８１/１０

である。　　（終）


（コメント）　こんなに簡単に求まってしまうなんて．．．。


（追記）　令和６年７月１５日付け

　面積の公式の応用ということで、次の東北大学　文系（１９６８）の問題をあげておこう。

問題　　ｙ＝１−｜ｘ｜に接し、ｙ 軸を軸とし、上に凸な放物線のうちで、ｘ 軸と囲む面積が最
　　大になるものを求めよ。

（解）　求める放物線を、　ｙ＝−ａｘ²＋ｂ　（ａ＞０）　とおく。

　ｘ＞０ において、ｙ＝１−ｘ と接するので、−ａｘ²＋ｂ＝１−ｘ　即ち、ａｘ²−ｘ＋１−ｂ＝０

の判別式をＤとおくと、　Ｄ＝１−４ａ（１−ｂ）＝０　より、　ｂ＝１−１/（４ａ）

よって、　ｙ＝−ａｘ²＋１−１/（４ａ）＝０　を解いて、　ｘ＝±（√（４ａ−１））/（２ａ）

このとき、放物線と ｘ 軸とで囲まれる面積をＳとおくと、

　Ｓ＝（√（４ａ−１））³/（６ａ²）　より、　Ｓ²＝（４ａ−１）³/（３６ａ⁴）

ここで、１/ａ＝ｔ　とおくと、ｔ＞０　で、かつ、　ｂ＝１−（１/４）ｔ　において、　０＜ｂ＜１　から

　０＜ｔ＜４　となる。このとき、

　Ｓ²＝（１/３６）ｔ（４−ｔ）³＝（１/３６）（−ｔ⁴＋１２ｔ³−４８ｔ²＋６４ｔ）

ｙ＝−ｔ⁴＋１２ｔ³−４８ｔ²＋６４ｔ　とおくと、

　ｙ’＝−４ｔ³＋３６ｔ²−９６ｔ＋６４＝−４（ｔ−１）（ｔ−４）²＝０　より、　ｔ＝１、４

　　

増減表より、ｙ は、ｔ＝１で極大かつ最大となる。このとき、ａ＝１ なので、

求める放物線の方程式は、　ｙ＝−ｘ²＋３/４　　（終）


（コメント）　Ｓ＝（√（４ａ−１））³/（６ａ²）　の増減を調べてもよいが、Ｓ²を求めて、１/ａ＝ｔ
　とおくことにより、数学�Uの範囲の微分・積分に帰着できるところが上手い！作問者の親心
　を感じる。


（追記）　令和６年７月２５日付け

　次の東北大学　理系（１９７３）の問題も面積を求めるものである。

第４問
（１）　曲線 ｙ²＝ｘ⁴（ｘ＋１） の増減、凹凸を調べ、その概形を描け。
（２）　ｙ²≦ｘ⁴（ｘ＋１）、ｘ≦０ の部分の面積を求めよ。

（解）（１）　ｘ＋１≧０　より、定義域は、ｘ≧−１

　ｙに−ｙを代入しても不変なので、ｙ≧０とし、ｙ＝ｘ²√（ｘ＋１） を考察する。

その結果を、ｘ 軸に関して対称移動すれば、もとの曲線の概形が得られる。

　ｙ’＝（１/２）ｘ（５ｘ＋４）/√（ｘ＋１）＝０　より、　ｘ＝０、−４/５

さらに、ｙ”＝（１/４）（１５ｘ²＋２４ｘ＋８）/｛（ｘ＋１）√（ｘ＋１）｝＝０　より、ｘ≧−１ に注意して

　ｘ＝（−１２＋２）/１５

このとき、増減表にまとめて、

　　

　よって、

　　

　以上から、求める概形は、

　　

（２）　求める部分は、上図の黄色部分で、その面積は、

　　

で求められる。　とおくと、　ｘ＝ｔ²−１　なので、　ｄｘ＝２ｔｄｔ

よって、求める面積は、

　

である。　　（終）


（追記）　令和６年８月７日付け

　次の東北大学　文系（１９７６）の問題は、面積計算の標準問題と言える。

第４問　　２次関数 Ｆ（ｘ）＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ が条件

　∫₀³ Ｆ（ｘ）ｄｘ＝９/２　、∫₀² ｘＦ（ｘ）ｄｘ＝４（２−ａ）/３

を満たすとき、次の問に答えよ。

（１）　点(１，Ｆ（１）)における曲線 y＝Ｆ(x) の接線Ｌの方程式を ａ を用いて表せ。
（２）　直線 ｘ＝１ の左側にあって、曲線 y＝Ｆ(x) と接線Ｌおよび ｘ 軸とで囲まれた部分の面
　　積Sを ａ の関数として表し、そのグラフをかけ。ただし、a＜１/２ とする。

（解）（１）　接線Ｌの方程式は、　ｙ＝（２ａ＋ｂ）（ｘ−１）＋ａ＋ｂ＋ｃ＝（２ａ＋ｂ）ｘ−ａ＋ｃ

∫₀³ Ｆ（ｘ）ｄｘ＝９/２　より、　９ａ＋（９/２）ｂ＋３ｃ＝９/２　すなわち、　２ａ＋ｂ＋（２/３）ｃ＝１

∫₀² ｘＦ（ｘ）ｄｘ＝４（２−ａ）/３　より、　（１６/３）ａ＋（８/３）ｂ＋２ｃ＝８/３

　すなわち、　２ａ＋ｂ＋（３/４）ｃ＝１

よって、　ｃ＝０　で、　２ａ＋ｂ＝１

したがって、接線Ｌの方程式は、　ｙ＝ｘ−ａ

（２）　（１）より、　Ｆ（ｘ）＝ａｘ²＋（１−２ａ）ｘ＝ａ（ｘ＋１/（２ａ）−１）²−１/（４ａ）＋１−ａ

　Ｆ（ｘ）は２次関数なので、ａ≠０　である。

０＜ａ＜１/２　のとき、　１−１/（２ａ）＜０

このとき、

Ｓ＝∫₀¹（Ｆ（ｘ）−ｘ＋ａ）ｄｘ−（１/２）ａ²＝ａ∫₀¹（ｘ−１）²ｄｘ−（１/２）ａ²＝−（１/２）ａ²＋（１/３）ａ

ａ＜０　のとき、

Ｓ＝∫_ａ⁰（ｘ−ａ）ｄｘ−ａ∫₀¹（ｘ−１）²ｄｘ＝（１/２）ａ²−（１/３）ａ

したがって、求めるグラフは下図である。

　　　　（終）

　次の東北大学　文系（１９７９）の問題も面積計算である。

問題　　Ｆ（ｘ）＝x⁴−x³＋x²−ｘ とする。
（１）　曲線 ｙ＝Ｆ（ｘ） が ｘ 軸と交わる点の座標を求めよ。
（２）　これらの点におけるこの曲線の接線の方程式を求めよ。
（３）　これらの接線とこの曲線で囲まれた部分の面積を求めよ。

（解）（１）　Ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ−１）（ｘ2＋１）＝０　から、　ｘ＝０、１

　よって、曲線 ｙ＝Ｆ（ｘ） が ｘ 軸と交わる点の座標は、　（０，０）、（１，０）

（２）　Ｆ’（ｘ）＝４x³−３x²＋２x−１　より、

　（０，０）における接線の方程式は、　ｙ＝−ｘ

　（１，０）における接線の方程式は、　ｙ＝２（ｘ−１）＝２ｘ−２

（３）　ｙ＝−ｘ　と　ｙ＝２ｘ−２　の交点は、　（２/３，−２/３）　なので、

　求める面積は、

　１・（２/３）・（１/２）＋∫₀¹ （x⁴−x³＋x²−ｘ）ｄｘ

＝１/３＋１/５−１/４＋１/３−１/２＝７/６０　　（終）


　次の東北大学　文系（１９８０）の問題も等差数列を絡めた面積の計算である。

問題　　曲線Ｃ：ｙ＝ｘ³−２ｘ²＋ｘ と直線 ｙ＝ｍｘ の交点のうち原点Ｏと異なる点をＡ、Ｂとし、
　　３点Ｏ、Ａ、Ｂはこの順に等間隔に並んでいるものとする。
（１）　ｍ の値を求めよ。
（２）　曲線Ｃと線分ＡＢで囲まれる部分の面積を求めよ。

（解）（１）　ｙ＝ｘ（ｘ−１）²　より、曲線Ｃは、（０，０）を通り、ｘ 軸と（１，０）で接する。

　ｘ³−２ｘ²＋ｘ＝ｍｘ から、　ｘ（ｘ²−２ｘ＋１−ｍ）＝０　より、ｘ²−２ｘ＋１−ｍ＝０　の２つの

解をα、２α　とすると、解と係数の関係より、　３α＝２　、２α²＝１−ｍ　から、

　α＝２/３　で、　ｍ＝１−８/９＝１/９

（２）　求める面積は、

∫_2/3^4/3 （（１/９）ｘ−ｘ³＋２ｘ²−ｘ）ｄｘ＝∫_2/3^4/3 （−ｘ³＋２ｘ²−（８/９）ｘ）ｄｘ

＝[−（１/４）ｘ⁴＋（２/３）ｘ³−（４/９）ｘ²]_2/3^4/3

＝−（１/４）（２５６/８１−１６/８１）＋（２/３）（６４/２７−８/２７）−（４/９）（１６/９−４/９）

＝−６０/８１＋１１２/８１−４８/８１＝４/８１　　（終）


（追記）　令和６年１０月１８日付け

　次の東北大学　文系（１９８２）の問題は、易しい。

問題　　ａ≦１ である定数 ａ について、不等式 ｙ≧ａ　および　−ｘ²＋１≦ｙ≦−ｘ²＋２
　　を同時に満たす平面上の領域の面積を求めよ。

（解）　求める面積は、

　２∫₀^√(2-a) （−ｘ²＋（２−ａ））ｄｘ−２∫₀^√(1-a) （−ｘ2＋（１−ａ））ｄｘ

＝２[−ｘ³/３＋（２−ａ）]₀^√(2-a)−２[−ｘ³/３＋（１−ａ）]₀^√(1-a)

＝（４/３）（２−ａ）√（２−ａ）−（４/３）（１−ａ）√（１−ａ）　　（終）


（追記）　令和６年１０月２１日付け

　次の東北大学　理系（１９８３）の問題は、接線と曲線で囲まれる図形の面積を求める問題
である。

問題３　　傾きが正のある直線が、２つの放物線 Ｃ₁：ｙ＝−ｘ（ｘ＋３）　Ｃ₂：ｙ＝−９ｘ（ｘ−５）
　　にそれぞれ点Ｐ、Ｑで接している。原点をＯとするとき、Ｃ₁の弧ＰＯ、Ｃ₂の弧ＯＱ、および
　　線分ＰＱで囲まれる図形の面積を求めよ。

（解）　直線の方程式を　ｙ＝ｍｘ＋ｎ　（ｍ＞０）　とおき、Ｐ、Ｑの ｘ 座標をそれぞれ α、β
　とおく。ただし、α＜β　である。

　−ｘ（ｘ＋３）＝ｍｘ＋ｎ　すなわち、　ｘ²＋（ｍ＋３）ｘ＋ｎ＝０　が重解αを持つので、

　２α＝−ｍ−３　、α²＝ｎ　すなわち、　ｍ＝−２α−３　、ｎ＝α²

　−９ｘ（ｘ−５）＝ｍｘ＋ｎ　すなわち、　９ｘ²＋（ｍ−４５）ｘ＋ｎ＝０　が重解βを持つので、

　２β＝−（ｍ−４５）/９　、β²＝ｎ/９　すなわち、　ｍ＝−１８β＋４５　、ｎ＝９β²

よって、　−２α−３＝−１８β＋４５　から、α＝９β−２４　で、α²＝９β²　に代入して、

　８１β²−４３２β＋５７６＝９β²　から、　β²−６β＋８＝０　よって、β＝２、４

β＝２　のとき、α＝−６　、β＝４　のとき、α＝１２　で、α＜β　から、α＝−６、β＝２

このとき、直線の方程式は、ｙ＝９ｘ＋３６　となる。

したがって、求める面積は、

∫_-6⁰ （９ｘ＋３６＋ｘ（ｘ＋３））ｄｘ＋∫₀² （９ｘ＋３６＋９ｘ（ｘ−５））ｄｘ

＝∫_-6⁰ （ｘ²＋１２ｘ＋３６）ｄｘ＋∫₀² （９ｘ²−３６ｘ＋３６）ｄｘ

＝[ｘ³/３＋６ｘ²＋３６ｘ]_-6⁰＋[３ｘ³−１８ｘ²＋３６ｘ]₀²

＝７２＋２４＝９６　　（終）


（コメント）　上記では、接点の ｘ 座標から、直線の方程式を求めているが、もちろん、直線の
　　　　　方程式を求めてから接点の ｘ 座標を求めてもよい。

（別解）　直線の方程式を　ｙ＝ｍｘ＋ｎ　（ｍ＞０）　とおく。

　−ｘ（ｘ＋３）＝ｍｘ＋ｎ　すなわち、　ｘ²＋（ｍ＋３）ｘ＋ｎ＝０　が重解を持つので、

　判別式＝（ｍ＋３）²−４ｎ＝０

　−９ｘ（ｘ−５）＝ｍｘ＋ｎ　すなわち、　９ｘ²＋（ｍ−４５）ｘ＋ｎ＝０　が重解を持つので、

　判別式＝（ｍ−４５）²−３６ｎ＝０

連立して、　（ｍ−４５）²＝９（ｍ＋３）²　より、　ｍ−４５＝±３（ｍ＋３）

よって、　ｍ＝−２７　、９　で、ｍ＞０　より、　ｍ＝９　このとき、　ｎ＝３６

以上から、直線の方程式は、ｙ＝９ｘ＋３６　となる。

ｘ²＋１２ｘ＋３６＝０　を解いて、　ｘ＝−６

９ｘ²−３６ｘ＋３６＝０　すなわち、ｘ²−４ｘ＋４＝０　を解いて、　ｘ＝２

したがって、求める面積は、

∫_-6⁰ （９ｘ＋３６＋ｘ（ｘ＋３））ｄｘ＋∫₀² （９ｘ＋３６＋９ｘ（ｘ−５））ｄｘ

＝∫_-6⁰ （ｘ²＋１２ｘ＋３６）ｄｘ＋∫₀² （９ｘ²−３６ｘ＋３６）ｄｘ

＝[ｘ³/３＋６ｘ²＋３６ｘ]_-6⁰＋[３ｘ³−１８ｘ²＋３６ｘ]₀²

＝７２＋２４＝９６　　（終）


（追記）　令和６年１０月３１日付け

　次の東北大学　理系（１９８４）の問題は、接線の長さに注目する問題である。

問題４　　曲線C：ｙ＝ｅｌｏｇ ｘ がある。ここに対数は自然対数で、e はその底とする。
（１）　原点Ｏから曲線Cに引いた接線の方程式を求めよ。
（２）　（１）における接線の接点をAとする。曲線Ｃの下側にあって、ｘ 軸と点Ｂで接し、かつA
　で曲線Cと共通の接線をもつ円の中心をPとする。曲線Ｃと ｘ 軸および円の弧ＡＢ(中心角
　∠APB＜πに対する弧)で囲まれた図形の面積を求めよ。

（解）（１）　下図において、

　　

Ａ（ｔ，ｅｌｏｇ ｔ）とおくと、接線の方程式は、　ｙ＝（ｅ/ｔ）（ｘ−ｔ）＋ｅｌｏｇ ｔ

これが原点を通るので、　−ｅ＋ｅｌｏｇ ｔ＝０　より、　ｌｏｇ ｔ＝１　すなわち、　ｔ＝ｅ

　よって、接線の方程式は、　ｙ＝（ｘ−ｅ）＋ｅ＝ｘ

（２）　（１）より、Ａ（ｅ，ｅ）となる。このとき、∠ＡＯＭ＝π/３　で、∠ＡＰＢ＝２π/３

　ＯＡ＝ＯＢ＝２ｅ　で、ＰＢ＝２ｅ/　なので、求める面積は、

　（図形ＡＮＭの面積）＋（台形ＡＭＢＰの面積）−（扇形ＰＡＢの面積）

＝∫₁^e ｅｌｏｇ ｘ ｄｘ＋（ｅ＋２ｅ/）（２ｅ−ｅ）/２−（１/２）（２ｅ/）²（２π/３）

＝ｅ[ｘｌｏｇ ｘ −ｘ]₁^e＋（５/６）ｅ²−（４/９）ｅ²

＝ｅ＋｛（５/６）−４/９｝ｅ²　　（終）


（追記）　令和６年１１月６日付け

　次の東北大学　文系（１９８４）の問題は面白い。

問題　　実数 ｘ、ｙ はすべての正数 ｔ に対して、不等式 ｘ−４≦ｙ≦（３ｔ²−１）ｘ＋２ｔ³　を満
　　たしている。

（１）　ｘ、ｙ の満たす関係式を求め、点（ｘ，ｙ）の存在する範囲Ｄを図示せよ。
（２）　Ｄの面積を求めよ。

（解）（１）　条件より、　ｘ−４≦ｙ　かつ　ｙ≦（３ｔ²−１）ｘ＋２ｔ³

すなわち、　２ｔ³＋３ｘｔ²−ｘ−ｙ≧０　が ｔ＞０ において成り立つ。

そこで、Ｙ＝２ｔ³＋３ｘｔ²−ｘ−ｙ　とおくと、Ｙ’＝６ｔ²＋６ｘｔ＝６ｔ（ｔ＋ｘ）＝０　から、ｔ＝０、−ｘ

ｘ≧０　のとき、ｔ＝０　のとき、最小値　−ｘ−ｙ　なので、　−ｘ−ｙ≧０　すなわち、　ｙ≦−ｘ

ｘ＜０　のとき、ｔ＝−ｘ　で極小かつ最小で、最小値　ｘ³−ｘ−ｙ　なので、　ｘ³−ｘ−ｙ≧０

すなわち、　ｙ≦ｘ³−ｘ

以上から、求める範囲Ｄは、下図の黄色部分である。

　　

（２）　ｘ³−ｘ＝ｘ−４　から、ｘ³−２ｘ＋４＝０　すなわち、　（ｘ＋２）（ｘ²−２ｘ＋２）＝０

よって、　ｘ＝−２

　また、　−ｘ＝ｘ−４　から、　ｘ＝２

よって、Ｄの面積は、

　∫_-2⁰ （ｘ³−２ｘ＋４）ｄｘ＋∫₀² （−２ｘ＋４）ｄｘ

＝[ｘ⁴/４−ｘ²＋４ｘ]_-2⁰＋[−ｘ²＋４ｘ]₀²

＝−４＋４＋８−４＋８＝１２　　（終）


（追記）　令和６年１１月９日付け

　次の東北大学　理系（１９８５）の問題は、まとめ方が難しい。

問題２　　平面上で放物線 ｙ＝１−ｘ² と ｘ 軸とで囲まれた図形に内接する三角形を考える。
　　放物線上の定点Ａ(ａ，１−ａ²) (０≦ａ≦１) を１頂点とする内接三角形の面積の最大値を
　　求めよ。

（解）　定点Ａ(ａ，１−ａ²) (０≦ａ≦１) に対して、Ｂ（−１，０）、Ｃ（１，０）とおく。

　直線ＡＢに平行な、放物線 ｙ＝１−ｘ² の接線の接点をＤ（ｔ，１−ｔ²）とおくと、

　傾き　−２ｔ＝（１−ａ²）/（ａ＋１）＝１−ａ　から、　ｔ＝（ａ−１）/２

このとき、　１−ｔ²＝１−｛（ａ−１）/２｝²＝（３＋２ａ−ａ²）/４　である。

定点Ａを１頂点とする内接三角形を△ＡＰＱとおく。

（Ｐ、Ｑが ｘ 軸上の 線分ＢＣ上にある場合）

　△ＡＰＱの面積が最大になるのは、Ｐ＝Ｂ、Ｑ＝Ｃ　の場合で、そのときの面積Ｓは、

　Ｓ＝（１/２）・２・（１−ａ²）＝１−ａ²　（０≦ａ≦１）

（Ｐが放物線 ｙ＝１−ｘ² 上にあり、線分ＢＣ上にＱがある場合）

　直線ＡＤの傾きは、　（１−ａ²−（３＋２ａ−ａ²）/４）/（ａ−（ａ−１）/２）＝（１−３ａ）/２

よって、（１−３ａ）/２≧０　すなわち、　０≦ａ≦１/３　のとき、

　　

　△ＡＰＱの面積が最大になるのは、Ｐ＝Ｄ、Ｑ＝Ｃ　の場合であるが、そのときの面積より、

△ＡＢＣの方が大きい。すなわち、この場合は、前述の場合に含まれる。

（１−３ａ）/２＜０　すなわち、　１/３＜ａ≦１　のとき、

　　

　△ＡＰＱの面積が最大になるのは、Ｐ＝Ｄ、Ｑ＝Ｂ　の場合で、そのときの面積Ｔは、

　Ｔ＝（ａ＋１）（３＋２ａ−ａ²）/１６＋（ａ＋１）（７＋２ａ−５ａ²）/１６−（ａ＋１）（１−ａ²）/２

　＝（ａ＋１）³/８

ここで、

　Ｔ−Ｓ＝（ａ＋１）³/８−（１−ａ²）＝（ａ³＋１１ａ²＋３ａ−７）/８＝（ａ＋１）（ａ²＋１０ａ−７）/８

において、　ａ²＋１０ａ−７＝０　の解は、　ａ＝−５±４

　０≦ａ≦１ に注意して、　ａ＝−５＋４＞１/３　である。

以上から、

−５＋４≦ａ≦１　のとき、△ＡＰＱの面積の最大値は、　（ａ＋１）³/８

０≦ａ＜−５＋４　のとき、△ＡＰＱの面積の最大値は、　１−ａ²　　（終）


（追記）　令和６年１１月１５日付け

　次の東北大学　文系（１９８５）の問題は、長方形の面積を如何に求めるかがポイントである。

問題　　２次曲線 ｙ＝−（１/２）ｘ（ｘ−４）、直線 ｙ＝ｘ および ｘ 軸で囲まれた図形をＤとする。
　　Ｄ内にあり、かつ、座標軸に平行な辺をもつ長方形をＤから取り除き、残りの部分の面積
　　を最小にしたい。その最小値を求めよ。

　　

（解）　図形Ｄの面積は、２−（１/２）∫₂⁴ ｘ（ｘ−４）ｄｘ＝２＋（１/２）・４³/６・（１/２）＝１４/３

長方形ＰＱＲＳにおいて、Ｑ（ｔ，０）とおくと、Ｐ（ｔ，ｔ）　で、ＰＱ＝ｔ

また、Ｒ（ｘ，０）　とおくと、　−（１/２）ｘ（ｘ−４）＝ｔ　なので、

長方形ＰＱＲＳの面積を　ｙ とおくと、

ｙ＝ＰＱ・ＱＲ＝ｔ・（ｘ−ｔ）＝−（１/２）ｘ（ｘ−４）・（ｘ＋（１/２）ｘ（ｘ−４））

＝−（１/４）ｘ²（ｘ−４）（ｘ−２）＝−（１/４）（ｘ⁴−６ｘ³＋８ｘ²）

このとき、ｙ’＝−（１/２）ｘ（２ｘ²−９ｘ＋８）＝０　とおくと、　ｘ＝０　、（９±）/４

２＜ｘ＜４　なので、　ｘ＝（９＋）/４　のとき、ｙ は極大かつ最大となる。

最大値は、

　ｘ⁴−６ｘ³＋８ｘ²＝（２ｘ²−９ｘ＋８）（（１/２）ｘ²−（３/４）−１１/８）−（５１/８）ｘ＋１１

より、

−（１/４）（−（５１/８）ｘ＋１１）＝−（５１/８）・（９＋）/４＋１１＝（１０７＋５１）/１２８

したがって、求める面積の最小値は、

　１４/３−（１０７＋５１）/１２８＝（１４７１−１５３）/３８４　　（終）


（コメント）　本番の試験で、こんなに汚い数字に出会うと、全く自信がありませんね！


（追記）　令和６年１１月２２日付け

　次の東北大学　理系（１９８６）の問題は、入試の定番と言える問題だろう。

問題５　　関数 Ｆ(ｘ)＝(４ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ)ｅ^2x について、次の問に答えよ。
（１）　Ｆ(ｘ） が ｘ＝−１、ｘ＝０、ｘ＝１ で極値をもつように定数 ａ、ｂ、ｃ を定めよ。
（２）　ａ、ｂ、ｃ を（１）で定めたものとして、曲線 ｙ＝Ｆ(ｘ) と、３つの直線 ｘ＝−１、ｘ＝１、ｙ＝０
　　 で囲まれた図形の面積を求めよ。

（解）（１）　Ｆ’(ｘ)＝(８ｘ³＋（２ａ＋１２）ｘ²＋（２ａ＋２ｂ）ｘ＋ｂ＋２ｃ)ｅ^2x　なので、

　Ｆ’(−１)＝０　から、−ｂ＋２ｃ＋４＝０

　Ｆ’(０)＝０　から、ｂ＋２ｃ＝０

　Ｆ’(１)＝０　から、４ａ＋３ｂ＋２ｃ＋２０＝０

よって、第１式と第２式から、ｂ＝２　、ｃ＝−１　で、よって、ａ＝−６

　逆に、ａ＝−６、ｂ＝２、ｃ＝−１　のとき、　Ｆ’(ｘ)＝８ｘ（ｘ＋１）（ｘ−１）ｅ^2x　から、増減表は

　　

となり、確かに、ｘ＝−１、ｘ＝０、ｘ＝１ で極値をもつ。グラフは、下図の通りである。

　　

（２）　求める面積をＳとおくと、

Ｓ＝−∫_-1¹ (４ｘ³−６ｘ²＋２ｘ−１)ｅ^2xｄｘ

＝−（（１/２）[ (４ｘ³−６ｘ²＋２ｘ−１)ｅ^2x]_-1¹−∫_-1¹ (６ｘ²−６ｘ＋１)ｅ^2xｄｘ）

＝（１/２）（ｅ²−１３ｅ^-2）＋（１/２）[ (６ｘ²−６ｘ＋１)ｅ^2x]_-1¹−∫_-1¹ (６ｘ−３)ｅ^2xｄｘ

＝（１/２）（ｅ²−１３ｅ^-2）＋（１/２）（ｅ²−１３ｅ^-2）−∫_-1¹ (６ｘ−３)ｅ^2xｄｘ

＝（ｅ²−１３ｅ^-2）−（（１/２）[ (６ｘ−３)ｅ^2x]_-1¹−３∫_-1¹ ｅ^2xｄｘ）

＝（ｅ²−１３ｅ^-2）−（１/２）（３ｅ²＋９ｅ^-2）＋（３/２）[ ｅ^2x]_-1¹

＝（ｅ²−１３ｅ^-2）−（１/２）（３ｅ²＋９ｅ^-2）＋（３/２）（ｅ²−ｅ^-2）

＝ｅ²−１９ｅ^-2　　（終）


（追記）　令和６年１２月８日付け

　次の東北大学　文系（１９８７）の問題は、良問と言えるだろう。

問題　　単位円上の点(ａ，ｂ） （ａ²＋ｂ²＝１） から、放物線 ｙ＝ｘ² へ異なる２本の接線が引
　　けるとき、この２本の接線と ｙ＝ｘ² で囲まれた図形の面積を最大にしたい。このような点
　　（ａ，ｂ）を求めよ。　

（解）　放物線 ｙ＝ｘ² 上の点（α，α²）における接線の方程式は、　ｙ＝２αｘ−α²

同様に、放物線 ｙ＝ｘ² 上の点（β，β²）における接線の方程式は、　ｙ＝２βｘ−β²

ここで、β＜α　とする。２つの接線の交点は、（（α＋β）/２，αβ）　となるので、

単位円上の点(ａ，ｂ） （ａ²＋ｂ²＝１） は、ａ＝（α＋β）/２、ｂ＝αβ　と書ける。

　｛（α＋β）/２｝²＋（αβ）²＝１　から、　（α＋β）²＝−４（αβ）²＋４

このとき、求める面積は、

∫_β^ａ （ｘ−β）²ｄｘ＋∫_ａ^α （ｘ−α）²ｄｘ＝（α−β）³/１２

ここで、

（α−β）²＝（α＋β）²−４αβ＝−４（αβ）²−４αβ＋４＝−４（αβ＋１/２）²＋５

より、面積は、αβ＝−１/２　のとき最大となる。

このとき、　（α＋β）²＝３　より、　αβ＝±

以上から、　（ａ，ｂ）＝（±/２，−１/２）　　（終）


（追記）　令和６年１２月３１日付け

　次の東北大学　理系（１９８８）の問題は、数学�Vらしい問題である。

問題６　　半円 C：ｘ²＋ｙ²＝１、ｙ≧０ と ｘ 軸上に点A(ａ，０)が与えられている。ただし、ａ＞１
　　とする。C上の点Pから ｘ 軸に垂線ＰＱを下ろし、△ＡＰＱの面積をS_a(P)で表す。

（１）　Ｃ上にｎ＋１個の点Ｐ₀（１，０）、Ｐ₁、Ｐ₂、・・・、Ｐ_n（−１，０）がこの順序に等間隔に並ん
　でいるとき、極限値 Ｍ（ａ）＝ｌｉｍ_ｎ→∞ （１/ｎ）Σ_k=1ⁿ S_a(P_k) を求めよ。
（２）　Ｍ（ａ）＝S_a(P)　を満たすC上の点Pのうちで、その ｘ 座標が最大となるものを（ｘ_a，ｙ_a）
　とするとき、ｌｉｍ_ａ→∞ ｙ_a を求めよ。

（解）（１）　Ｐ_k（ｃｏｓ（ｋ/ｎ）π，ｓｉｎ（ｋ/ｎ）π） より、

　　S_a(P_k)＝（１/２）（ａ−ｃｏｓ（ｋ/ｎ）π）ｓｉｎ（ｋ/ｎ）π　なので、

　Ｍ（ａ）＝ｌｉｍ_ｎ→∞ （１/ｎ）Σ_k=1ⁿ S_a(P_k) ＝（１/２）∫₀¹（ａ−ｃｏｓｘπ）ｓｉｎｘπｄｘ

　＝（１/２）ａ∫₀¹ｓｉｎｘπｄｘ−（１/４）∫₀¹ｓｉｎ２ｘπｄｘ

　＝（１/２）ａ[−（１/π）ｃｏｓｘπ]₀¹−（１/４）[−（１/（２π））ｃｏｓ２ｘπ]₀¹

　＝ａ/π

（２）　Ｐ（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）　とおくと、S_a(P)＝ａ/π　より、（１/２）（ａ−ｃｏｓθ）ｓｉｎθ＝ａ/π

このとき、　ｙ_a＝ｓｉｎθ＝２ａ/｛π（ａ−ｘ_a）｝＝２/｛π（１−ｘ_a/ａ）｝

　ａ → ∞　のとき、ｘ_a/ａ → ０　なので、　ｌｉｍ_ａ→∞ ｙ_a＝２/π　　（終）


（コメント）　問題解法で、「ｘ 座標が最大となるもの」の意味合いがよく分からない？


（追記）　令和７年１月１８日付け

　次の東北大学　文系（１９８９）の問題は、軌跡と面積の計算である。

問題　　Ｏを原点とし、放物線C：ｙ²＝（１/）ｘ 上に２点ＰとＱを∠ＰＯＱ＝π/２となるよう
　　ようにとる。次の問に答えよ。
（１）　ＰとＱがＣ上を動くとき、線分ＰＱの中点Ｒはどのような曲線上を動くか。
（２）　直角三角形ＯＰＱの面積がとり得る範囲を求めよ。

（解）（１）　直線ＯＰ、ＯＱの方程式をそれぞれ ｙ＝ｍｘ　、ｙ＝ｎｘ とすると、

　Ｐ（１/（ｍ²），１/（ｍ））、Ｑ（１/（ｎ²），１/（ｎ））　である。ただし、ｍｎ＝−１

このとき、Ｒ（ｘ，ｙ）　とおくと、ｘ＝（１/２）（１/（ｍ²）＋１/（ｎ²））＝（１/（２））（１/ｍ²＋１/ｎ²）

ｙ＝（１/（２））（１/ｍ＋１/ｎ）　から、

ｘ＝（１/（２））（（１/ｍ＋１/ｎ）²−２/ｍｎ）＝（１/（２））（２ｙ）²＋２）

　＝（１/（２））（１２ｙ²＋２）＝（１/）（６ｙ²＋１）

よって、放物線 ｙ²＝（ｘ−１）/６　上を動く。

（２）　（１）より、Ｐ（１/（ｍ²），１/（ｍ））、Ｑ（１/（ｎ²），１/（ｎ））　なので、

△ＯＰＱ＝（１/６）｜１/（ｍ²ｎ）−１/（ｍｎ²）｜＝（１/６）｜１/ｍ−１/ｎ｜＝（１/６）｜ｍ−ｎ｜

＝（１/６）√｛（ｍ＋ｎ）²−４ｍｎ｝＝（１/６）√｛（ｍ＋ｎ）²＋４｝≧（１/６）・２＝１/３

等号成立は、ｍ＋ｎ＝０　、ｍｎ＝−１　から、（ｍ，ｎ）＝（１，−１）、（−１，１）　　（終）



　　以下、工事中！