面積の計算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　数学�Uで学ぶ微分積分で面積の計算と言ったら、次のような場合が双璧だろう。

　　　　　　

　これらに対しては何れも次のような公式が知られているので、面積の計算は、ほぼ暗算
で出来るだろう。（もちろん、α 、 β の計算は暗算では出来ないです．．．(^^;)　）

　

　

　これらの定積分を一般化すれば、次の形の定積分となる。

　

　この右辺の形は、ベータ関数

　　　（ただし、　ｐ＞０　、ｑ＞０　）

に似ている。

　そこで、次のような置換を施せば、 Ｉ（ ｍ ， ｎ ） はベータ関数を用いて表すことができる。



このとき、

　

において、

　

であるので、　Ｂ（ ２ ， ２ ）＝１/６　となり、

　

が得られる。同様にして、

　

において、　Ｂ（ ３ ， ２ ）＝２！/４！＝１/１２　であるので、

　

が得られる。

　このように統一した考え方をすれば、次のような問題は瞬殺で求まるだろう。

左図のように、４次関数 　　　　ｙ＝ｘ4−２ｘ3−３ｘ2＋６ｘ＋３ 　　のグラフと直線　ｙ＝２ｘ−１　が２点 　　　（ −１ ， −３ ）　、　（ ２ ， ３ ） 　　で接している。（→参考：「連立方程式の回避」） 　　　このとき、左図の領域の面積を求めよ。

（解）　求める面積は、Ｉ（ ３ ， ３ ） なので、

　Ｉ（ ３ ， ３ ）＝（−１）²・｛２−（−１）｝⁵・Ｂ（ ３ ， ３ ）＝３⁵・２！２！/５！＝８１/１０

である。　　（終）


（コメント）　こんなに簡単に求まってしまうなんて．．．。


（追記）　令和６年７月１５日付け

　面積の公式の応用ということで、次の東北大学　文系（１９６８）の問題をあげておこう。

問題　　ｙ＝１−｜ｘ｜に接し、ｙ 軸を軸とし、上に凸な放物線のうちで、ｘ 軸と囲む面積が最
　　大になるものを求めよ。

（解）　求める放物線を、　ｙ＝−ａｘ²＋ｂ　（ａ＞０）　とおく。

　ｘ＞０ において、ｙ＝１−ｘ と接するので、−ａｘ²＋ｂ＝１−ｘ　即ち、ａｘ²−ｘ＋１−ｂ＝０

の判別式をＤとおくと、　Ｄ＝１−４ａ（１−ｂ）＝０　より、　ｂ＝１−１/（４ａ）

よって、　ｙ＝−ａｘ²＋１−１/（４ａ）＝０　を解いて、　ｘ＝±（√（４ａ−１））/（２ａ）

このとき、放物線と ｘ 軸とで囲まれる面積をＳとおくと、

　Ｓ＝（√（４ａ−１））³/（６ａ²）　より、　Ｓ²＝（４ａ−１）³/（３６ａ⁴）

ここで、１/ａ＝ｔ　とおくと、ｔ＞０　で、かつ、　ｂ＝１−（１/４）ｔ　において、　０＜ｂ＜１　から

　０＜ｔ＜４　となる。このとき、

　Ｓ²＝（１/３６）ｔ（４−ｔ）³＝（１/３６）（−ｔ⁴＋１２ｔ³−４８ｔ²＋６４ｔ）

ｙ＝−ｔ⁴＋１２ｔ³−４８ｔ²＋６４ｔ　とおくと、

　ｙ’＝−４ｔ³＋３６ｔ²−９６ｔ＋６４＝−４（ｔ−１）（ｔ−４）²＝０　より、　ｔ＝１、４

　　

増減表より、ｙ は、ｔ＝１で極大かつ最大となる。このとき、ａ＝１ なので、

求める放物線の方程式は、　ｙ＝−ｘ²＋３/４　　（終）


（コメント）　Ｓ＝（√（４ａ−１））³/（６ａ²）　の増減を調べてもよいが、Ｓ²を求めて、１/ａ＝ｔ
　とおくことにより、数学�Uの範囲の微分・積分に帰着できるところが上手い！作問者の親心
　を感じる。


（追記）　令和６年７月２５日付け

　次の東北大学　理系（１９７３）の問題も面積を求めるものである。

第４問
（１）　曲線 ｙ²＝ｘ⁴（ｘ＋１） の増減、凹凸を調べ、その概形を描け。
（２）　ｙ²≦ｘ⁴（ｘ＋１）、ｘ≦０ の部分の面積を求めよ。

（解）（１）　ｘ＋１≧０　より、定義域は、ｘ≧−１

　ｙに−ｙを代入しても不変なので、ｙ≧０とし、ｙ＝ｘ²√（ｘ＋１） を考察する。

その結果を、ｘ 軸に関して対称移動すれば、もとの曲線の概形が得られる。

　ｙ’＝（１/２）ｘ（５ｘ＋４）/√（ｘ＋１）＝０　より、　ｘ＝０、−４/５

さらに、ｙ”＝（１/４）（１５ｘ²＋２４ｘ＋８）/｛（ｘ＋１）√（ｘ＋１）｝＝０　より、ｘ≧−１ に注意して

　ｘ＝（−１２＋２）/１５

このとき、増減表にまとめて、

　　

　よって、

　　

　以上から、求める概形は、

　　

（２）　求める部分は、上図の黄色部分で、その面積は、

　　

で求められる。　とおくと、　ｘ＝ｔ²−１　なので、　ｄｘ＝２ｔｄｔ

よって、求める面積は、

　

である。　　（終）


（追記）　令和６年８月７日付け

　次の東北大学　文系（１９７６）の問題は、面積計算の標準問題と言える。

第４問　　２次関数 Ｆ（ｘ）＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ が条件

　∫₀³ Ｆ（ｘ）ｄｘ＝９/２　、∫₀² ｘＦ（ｘ）ｄｘ＝４（２−ａ）/３

を満たすとき、次の問に答えよ。

（１）　点(１，Ｆ（１）)における曲線 y＝Ｆ(x) の接線Ｌの方程式を ａ を用いて表せ。
（２）　直線 ｘ＝１ の左側にあって、曲線 y＝Ｆ(x) と接線Ｌおよび ｘ 軸とで囲まれた部分の面
　　積Sを ａ の関数として表し、そのグラフをかけ。ただし、a＜１/２ とする。

（解）（１）　接線Ｌの方程式は、　ｙ＝（２ａ＋ｂ）（ｘ−１）＋ａ＋ｂ＋ｃ＝（２ａ＋ｂ）ｘ−ａ＋ｃ

∫₀³ Ｆ（ｘ）ｄｘ＝９/２　より、　９ａ＋（９/２）ｂ＋３ｃ＝９/２　すなわち、　２ａ＋ｂ＋（２/３）ｃ＝１

∫₀² ｘＦ（ｘ）ｄｘ＝４（２−ａ）/３　より、　（１６/３）ａ＋（８/３）ｂ＋２ｃ＝８/３

　すなわち、　２ａ＋ｂ＋（３/４）ｃ＝１

よって、　ｃ＝０　で、　２ａ＋ｂ＝１

したがって、接線Ｌの方程式は、　ｙ＝ｘ−ａ

（２）　（１）より、　Ｆ（ｘ）＝ａｘ²＋（１−２ａ）ｘ＝ａ（ｘ＋１/（２ａ）−１）²−１/（４ａ）＋１−ａ

　Ｆ（ｘ）は２次関数なので、ａ≠０　である。

０＜ａ＜１/２　のとき、　１−１/（２ａ）＜０

このとき、

Ｓ＝∫₀¹（Ｆ（ｘ）−ｘ＋ａ）ｄｘ−（１/２）ａ²＝ａ∫₀¹（ｘ−１）²ｄｘ−（１/２）ａ²＝−（１/２）ａ²＋（１/３）ａ

ａ＜０　のとき、

Ｓ＝∫_ａ⁰（ｘ−ａ）ｄｘ−ａ∫₀¹（ｘ−１）²ｄｘ＝（１/２）ａ²−（１/３）ａ

したがって、求めるグラフは下図である。

　　　　（終）

　次の東北大学　文系（１９７９）の問題も面積計算である。

問題　　Ｆ（ｘ）＝x⁴−x³＋x²−ｘ とする。
（１）　曲線 ｙ＝Ｆ（ｘ） が ｘ 軸と交わる点の座標を求めよ。
（２）　これらの点におけるこの曲線の接線の方程式を求めよ。
（３）　これらの接線とこの曲線で囲まれた部分の面積を求めよ。

（解）（１）　Ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ−１）（ｘ2＋１）＝０　から、　ｘ＝０、１

　よって、曲線 ｙ＝Ｆ（ｘ） が ｘ 軸と交わる点の座標は、　（０，０）、（１，０）

（２）　Ｆ’（ｘ）＝４x³−３x²＋２x−１　より、

　（０，０）における接線の方程式は、　ｙ＝−ｘ

　（１，０）における接線の方程式は、　ｙ＝２（ｘ−１）＝２ｘ−２

（３）　ｙ＝−ｘ　と　ｙ＝２ｘ−２　の交点は、　（２/３，−２/３）　なので、

　求める面積は、

　１・（２/３）・（１/２）＋∫₀¹ （x⁴−x³＋x²−ｘ）ｄｘ

＝１/３＋１/５−１/４＋１/３−１/２＝７/６０　　（終）



　　以下、工事中！