数学Ⅱで学ぶ微分積分で面積の計算と言ったら、次のような場合が双璧だろう。
これらに対しては何れも次のような公式が知られているので、面積の計算は、ほぼ暗算
で出来るだろう。（もちろん、α 、 β の計算は暗算では出来ないです．．．(^^;) ）
これらの定積分を一般化すれば、次の形の定積分となる。
この右辺の形は、ベータ関数
（ただし、 ｐ＞０ 、ｑ＞０ ）
に似ている。
そこで、次のような置換を施せば、 Ｉ（ ｍ ， ｎ ） はベータ関数を用いて表すことができる。
このとき、
において、
であるので、 Ｂ（ ２ ， ２ ）＝１/６ となり、
が得られる。同様にして、
において、 Ｂ（ ３ ， ２ ）＝２！/４！＝１/１２ であるので、
が得られる。
このように統一した考え方をすれば、次のような問題は瞬殺で求まるだろう。
左図のように、４次関数
ｙ＝ｘ4－２ｘ3－３ｘ2＋６ｘ＋３
のグラフと直線 ｙ＝２ｘ－１ が２点
（ －１ ， －３ ） 、 （ ２ ， ３ ）
で接している。（→参考：「連立方程式の回避」）
このとき、左図の領域の面積を求めよ。
求める面積は、Ｉ（ ３ ， ３ ） なので、
Ｉ（ ３ ， ３ ）＝（－１）2・｛２－（－１）｝5・Ｂ（ ３ ， ３ ）
＝３5・２！２！/５！＝８１/１０
である。
（コメント） こんなに簡単に求まってしまうなんて．．．。