3等分可能な角                             戻る

 任意の角度は定規とコンパスで3等分できないことは証明されているが、3等分できる角
度もある。例えば、90°を3等分することは容易である。

              

 では、0°以上、360°未満のどんな角度ならば3等分できるのだろうか?こんな疑問を
HN「H.I.」さんが当HPの掲示板「出会いの泉」(平成22年2月27日付け)に書き込まれ
た。(→参考 : 「3次方程式と作図の問題」)

 以下は、HN「H.I.」さん自身による解法である。(平成22年3月1日付け)

補題1 任意の大きさの円とそれに接する接線について、接点の平角を n 等分する
    線分と円との交点同士を円に沿って結ぶと、正 n 角形が作られる


 証明は、円周角と接弦定理から明らかだろう。

補題2 目盛りのない定規とコンパスのみ作図可能な正 n 角形は、
        n=2・F (Fは互いに異なるフェルマー素数同士の積)
     だけである


 ここで、補題1で示した円周角の大きさθは、 θ=180°/n=180°/(2k・F) と表せ
るので、これを3倍した角度を θ3 と表すと、

          θ3=540°/(2k・F) 

 2倍の角度、あるいは半分の角度は任意に作り出せるので、2の素因数をすべて消去して
整理すると以下のようになる。

          θ3=2・33・5 / ( 3a・5b・17c・257d・65537e )

 ただし、m は整数で、a〜e は、すべて 0 または 1

 これをより一般化していくと、

 k等分出来る角度θkは以下のように表せる。

   θk=2・32・5・k / ( 3a・5b・17c・257d・65537e )

 ただし、kは2の累乗数でない正の整数、mは整数、a〜eは、すべて 0 または 1

 これをエクセルで計算したところ、度数法表記で整数となる角度(0°〜360°)となるの
は以下のようである。

  
3等分 5等分 7等分
15 21
18 30 42
27 45 63
36 60 84
45 75 105
54 90 126
72 120 168
90 150 210
108 180 252
135 225 315
144 240 336
180 300  
216 360  
270    
288    
360    

 よく知られている 60°の3等分ができない事実も一応確認できたが・・・本当にk等分で
きる角度はこれしかないのだろうか?今ひとつ確証が持てない。

 この話題に関連して、らすかるさんからご教示いただきました。(平成22年3月1日付け)

 3度の倍数は作図できるので、63、81、99、・・・ などの9の倍数は、すべて3等分でき
ると思う。5等分、7等分も同様である。

 HN「H.I.」さんによれば(平成22年3月1日付け)、円を利用してるので、正 n 角形にな
らない角度が漏れているとのこと。整数で表せない角の方が多いので、結局多くの角が漏
れているらしいとのことである。

 「いつ、角の3等分が可能か?」という問いかけに対して、次の事実が知られている。

定 理  n が3で割り切れない自然数のとき、角 180°/n は定木・コンパスのみ
    を用いて、3等分できる


(証明) n は、3で割り切れないので、ある整数 a 、b が存在して、 na+3b=1

    このとき、両辺に 60°/n を掛けて、 60°a+(180°/n)b=60°/n

     ここで、 60°は作図可能な角度であり、180°/n は与えられた角度であること

    に注意すると、上式は、60°/n の作図方法を示している。 (証終)

例 36°は3等分可能であることを示せ。(因みに、36°は正5角形が作図可能より作図可能!

(解) 5×(−1)+3×2=1 の両辺に、12°を掛けて、

        60°×(−1)+36°×2=12°

  よって、∠AOBが与えられた角度36°を表すとすると、

 その2倍の角度72°は、∠AOCで与えられる。

  点Cは、A、Bを通る円Oと、点Bを中心とする半径ABの

 円との交点として作図される。

  そこで、正三角形OCDを作図すれば、∠AODが求める

 ∠AOBの3等分になっている。 (終)


 上記より、12°は作図可能なので、その4等分である3°も作図可能である。このことか
ら、3°の倍数もすべて作図可能である。(らすかるさんが言われていたことの確認)

(参考文献: ローレン・C・ラーソン 著 秋山 仁・飯田博和 訳
                 数学発想ゼミナール 1 (シュプリンガー・フェアラーク東京))



      以下、工事中