３等分可能な角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　任意の角度は定規とコンパスで３等分できないことは証明されているが、３等分できる角
度もある。例えば、９０°を３等分することは容易である。

　　

　では、０°以上、３６０°未満のどんな角度ならば３等分できるのだろうか？こんな疑問を
ＨＮ「Ｈ．Ｉ．」さんが当ＨＰの掲示板「出会いの泉」（平成２２年２月２７日付け）に書き込まれ
た。（→参考 ： 「３次方程式と作図の問題」）

　以下は、ＨＮ「Ｈ．Ｉ．」さん自身による解法である。（平成２２年３月１日付け）

補題１　任意の大きさの円とそれに接する接線について、接点の平角を ｎ 等分する
　　　　線分と円との交点同士を円に沿って結ぶと、正 ｎ 角形が作られる

　証明は、円周角と接弦定理から明らかだろう。

補題２　目盛りのない定規とコンパスのみ作図可能な正 ｎ 角形は、
　　　　　　　　ｎ＝２^ｋ・Ｆ　（Ｆは互いに異なるフェルマー素数同士の積）
　　　　だけである

　ここで、補題１で示した円周角の大きさθは、　θ＝１８０°/ｎ＝１８０°/（２^k・Ｆ）　と表せ
るので、これを３倍した角度を θ₃ と表すと、

　　θ₃＝５４０°/（２^k・Ｆ）　

　２倍の角度、あるいは半分の角度は任意に作り出せるので、２の素因数をすべて消去して
整理すると以下のようになる。

　　θ₃＝２^ｍ・３³・５ / ( ３^a・５^b・１７^c・２５７^d・６５５３７^e )

　ただし、ｍ は整数で、ａ〜ｅ　は、すべて　０　または　１

　これをより一般化していくと、

　ｋ等分出来る角度θ_kは以下のように表せる。

　　　θ_k＝２^ｍ・３²・５・ｋ / ( ３^a・５^b・１７^c・２５７^d・６５５３７^e )

　ただし、ｋは２の累乗数でない正の整数、ｍは整数、ａ〜ｅは、すべて　０　または　１

　これをエクセルで計算したところ、度数法表記で整数となる角度（０°〜３６０°）となるの
は以下のようである。

　よく知られている ６０°の３等分ができない事実も一応確認できたが・・・本当にｋ等分で
きる角度はこれしかないのだろうか？今ひとつ確証が持てない。

　この話題に関連して、らすかるさんからご教示いただきました。（平成２２年３月１日付け）

　３度の倍数は作図できるので、６３、８１、９９、・・・　などの９の倍数は、すべて３等分でき
ると思う。５等分、７等分も同様である。

　ＨＮ「Ｈ．Ｉ．」さんによれば（平成２２年３月１日付け）、円を利用してるので、正 ｎ 角形にな
らない角度が漏れているとのこと。整数で表せない角の方が多いので、結局多くの角が漏
れているらしいとのことである。

　「いつ、角の３等分が可能か？」という問いかけに対して、次の事実が知られている。

定　理　　ｎ が３で割り切れない自然数のとき、角　１８０°/ｎ　は定木・コンパスのみ
　　　　を用いて、３等分できる

（証明）　ｎ は、３で割り切れないので、ある整数 ａ 、ｂ が存在して、　ｎａ＋３ｂ＝１

　このとき、両辺に ６０°/ｎ を掛けて、　６０°ａ＋（１８０°/ｎ）ｂ＝６０°/ｎ

　ここで、　６０°は作図可能な角度であり、１８０°/ｎ　は与えられた角度であることに注意

すると、上式は、６０°/ｎ　の作図方法を示している。　（証終）

例　３６°は３等分可能であることを示せ。（因みに、３６°は正５角形が作図可能より作図可能！）

（解）　５×（−１）＋３×２＝１　の両辺に、１２°を掛けて、

　　　　　　　　６０°×（−１）＋３６°×２＝１２°

　　よって、∠ＡＯＢが与えられた角度３６°を表すとすると、

　その２倍の角度７２°は、∠ＡＯＣで与えられる。

　　点Ｃは、Ａ、Ｂを通る円Ｏと、点Ｂを中心とする半径ＡＢの

　円との交点として作図される。

　　そこで、正三角形ＯＣＤを作図すれば、∠ＡＯＤが求める

　∠ＡＯＢの３等分になっている。　（終）


　上記より、１２°は作図可能なので、その４等分である３°も作図可能である。このことか
ら、３°の倍数もすべて作図可能である。（らすかるさんが言われていたことの確認）

（参考文献：　ローレン・Ｃ・ラーソン　著　秋山　仁・飯田博和　訳
　　　　　　　数学発想ゼミナール　１　（シュプリンガー・フェアラーク東京））



　　　　　　以下、工事中