らすかるさんのＨＰに「三角関数表」が掲載されていた。その表を眺めていたら、次の値に
ついては手計算で求めてみようという雰囲気にさせてくれる。他の値は見通しをつけるのが
難しそう．．．。
０°、３０°、４５°、６０°、９０°の５つについては、自明としていいだろう。
１５°、７５°については、加法定理の活用例として適切だろう。
ただ、次のような図形的解法も存在する。
図より、 ｓｉｎ１５°＝１/（
＋
）＝（−）/４＝ｃｏｓ７５°ｃｏｓ１５°＝（２＋
）/（＋）＝（＋）/４＝ｓｉｎ７５°ｔａｎ１５°＝１/（２＋
）＝２−１８°、２２．５°、３６°、５４°、６７．５°、７２°についても図形を利用して求めることが
出来る。
○ ２２．５°、６７．５°の場合
図より、 ｔａｎ２２．５°＝（２−
）/＝−１ここで、 ＢＣ＝２√（２−
） なので、ｓｉｎ２２．５°＝（２−
）/｛２√（２−）｝＝√（２−）/２＝ｃｏｓ６７．５°ｃｏｓ２２．５°＝
/｛２√（２−）｝＝√（２＋）/２＝ｓｉｎ６７．５°○ １８°、３６°、５４°、７２°の場合（→ 参考：「正５角形の作図と折り紙」）
図より、 ｓｉｎ１８°＝（
−１）/４＝ｃｏｓ７２°ここで、 １−（
−１）2/１６＝（１０＋２）/１６ より、ｃｏｓ１８°＝√（１０＋２
）/４＝ｓｉｎ７２°ｔａｎ１８°＝｛（
−１）/４｝/｛√（１０＋２）/４｝＝√（２５−１０）/５同様にして、 ｃｏｓ３６°＝（
＋１）/４＝ｓｉｎ５４°ここで、 １−（
＋１）2/１６＝（１０−２）/１６ より、ｓｉｎ３６°＝√（１０−２
）/４＝ｃｏｓ５４°ｔａｎ３６°＝｛√（１０−２
）/４｝/｛（＋１）/４｝＝√（５−２）あと、図形で求められる角度は、いくつ．．．。
（追記） 令和７年１０月１１日付け
次の東北大学 後期文系（２０００）の問題は、ｓｉｎ１５°、ｃｏｓ１５°、ｔａｎ１５°の計算に
新しい視点を与えてくれる。
問題 ∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝１５° である三角形ＡＢＣについて、線分ＡＢを点Ａの側へ延
長して、その上に点Ｄをとり、ＡＤ＝ＢＣ となるようにする。このとき、次の問いに答えよ。
（１） ｓｉｎ１５°、ｃｏｓ１５°、ｔａｎ１５° を求めよ。
（２） ∠ＡＤＣ＝θ とおくとき、ｓｉｎθの値を求めよ。
（解）（１） 上図において、 ＢＣ2＝ａ2＋（２＋
）2ａ2＝（８＋４）ａ2 より、ＢＣ＝（
＋）ａ となる。よって、 ｓｉｎ１５°＝１/（
＋）＝（−）/４ｃｏｓ１５°＝（
＋２）/（＋）＝（＋）/４ｔａｎ１５°＝１/（
＋２）＝２−（２） 上図において、 ＡＤ＝ＢＣ＝４ａｃｏｓ１５°＝（
＋）ａこのとき、 ＫＤ＝（
−＋）ａ なので、ＣＤ2＝（
−＋）2ａ2＋ａ2＝（１２−６＋４−２）ａ2よって、 ｓｉｎθ＝１/√｛１２−６
＋４−２｝ （終）（コメント） 問題文のヒントが秀逸ですね。そのヒントがなければ、通常次のように解くだろう
と思います。
（１） ＡＢ＝ＡＣ＝１ としても一般性を失わない。Ａより底辺ＢＣに垂線を下ろし、その足
をＨとおく。このとき、ＡＨ＝ｓｉｎ１５°、ＢＣ＝２ｃｏｓ１５° である。
余弦定理より、 ４ｃｏｓ2１５°＝１＋１−２ｃｏｓ１５０°＝２＋
よって、 ２ｃｏｓ１５°＝（
＋１）/＝（＋）/２ から、 ｃｏｓ１５°＝（＋）/４また、 （１/２）・（
＋）/２・ｓｉｎ１５°＝（１/２）ｓｉｎ１５０°＝１/４ から、ｓｉｎ１５°＝１/（
＋）＝（−）/４このとき、 ｔａｎ１５°＝（
−）/（＋）＝（８−４）/４＝２−以下、工事中！