三角比の値

三角比の値　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　らすかるさんのＨＰに「三角関数表」が掲載されていた。その表を眺めていたら、次の値に
ついては手計算で求めてみようという雰囲気にさせてくれる。他の値は見通しをつけるのが
難しそう．．．。

　０°、３０°、４５°、６０°、９０°の５つについては、自明としていいだろう。

　１５°、７５°については、加法定理の活用例として適切だろう。

　ただ、次のような図形的解法も存在する。

　　　

　図より、　ｓｉｎ１５°＝１/（＋）＝（－）/４＝ｃｏｓ７５°

　ｃｏｓ１５°＝（２＋）/（＋）＝（＋）/４＝ｓｉｎ７５°

　ｔａｎ１５°＝１/（２＋）＝２－

　１８°、２２．５°、３６°、５４°、６７．５°、７２°についても図形を利用して求めることが
出来る。

○　２２．５°、６７．５°の場合

　

　図より、　ｔａｎ２２．５°＝（２－）/＝－１

　ここで、　ＢＣ＝２√（２－）　なので、

　ｓｉｎ２２．５°＝（２－）/｛２√（２－）｝＝√（２－）/２＝ｃｏｓ６７．５°

　ｃｏｓ２２．５°＝/｛２√（２－）｝＝√（２＋）/２＝ｓｉｎ６７．５°

○　１８°、３６°、５４°、７２°の場合（→　参考：「正５角形の作図と折り紙」）

　

　図より、　ｓｉｎ１８°＝（－１）/４＝ｃｏｓ７２°

　ここで、　１－（－１）²/１６＝（１０＋２）/１６　より、

　ｃｏｓ１８°＝√（１０＋２）/４＝ｓｉｎ７２°

　ｔａｎ１８°＝｛（－１）/４｝/｛√（１０＋２）/４｝＝√（２５－１０）/５

　同様にして、　ｃｏｓ３６°＝（＋１）/４＝ｓｉｎ５４°

　ここで、　１－（＋１）²/１６＝（１０－２）/１６　より、

　ｓｉｎ３６°＝√（１０－２）/４＝ｃｏｓ５４°

　ｔａｎ３６°＝｛√（１０－２）/４｝/｛（＋１）/４｝＝√（５－２）

　あと、図形で求められる角度は、いくつ．．．。

（追記）　令和７年１０月１１日付け

　次の東北大学　後期文系（２０００）の問題は、ｓｉｎ１５°、ｃｏｓ１５°、ｔａｎ１５°の計算に
新しい視点を与えてくれる。

問題　　 ∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝１５° である三角形ＡＢＣについて、線分ＡＢを点Ａの側へ延
　　長して、その上に点Ｄをとり、ＡＤ＝ＢＣとなるようにする。このとき、次の問いに答えよ。
（１）　ｓｉｎ１５°、ｃｏｓ１５°、ｔａｎ１５°　を求めよ。
（２）　∠ＡＤＣ＝θ とおくとき、ｓｉｎθの値を求めよ。

　　

（解）（１）　上図において、　ＢＣ²＝ａ²＋（２＋）²ａ²＝（８＋４）ａ²　より、

　ＢＣ＝（＋）ａ　となる。

よって、　ｓｉｎ１５°＝１/（＋）＝（－）/４

　ｃｏｓ１５°＝（＋２）/（＋）＝（＋）/４

　ｔａｎ１５°＝１/（＋２）＝２－

（２）　上図において、　ＡＤ＝ＢＣ＝４ａｃｏｓ１５°＝（＋）ａ

このとき、　ＫＤ＝（－＋）ａ　なので、

ＣＤ²＝（－＋）²ａ²＋ａ²＝（１２－６＋４－２）ａ²

よって、　ｓｉｎθ＝１/√｛１２－６＋４－２｝　　（終）

（コメント）　問題文のヒントが秀逸ですね。そのヒントがなければ、通常次のように解くだろう
　　　　と思います。

（１）　ＡＢ＝ＡＣ＝１　としても一般性を失わない。Ａより底辺ＢＣに垂線を下ろし、その足

をＨとおく。このとき、ＡＨ＝ｓｉｎ１５°、ＢＣ＝２ｃｏｓ１５°　である。

余弦定理より、　４ｃｏｓ²１５°＝１＋１－２ｃｏｓ１５０°＝２＋

よって、　２ｃｏｓ１５°＝（＋１）/＝（＋）/２　から、　ｃｏｓ１５°＝（＋）/４

また、　（１/２）・（＋）/２・ｓｉｎ１５°＝（１/２）ｓｉｎ１５０°＝１/４　から、

　ｓｉｎ１５°＝１/（＋）＝（－）/４

このとき、　ｔａｎ１５°＝（－）/（＋）＝（８－４）/４＝２－

（追記）　令和７年１１月１日付け

　次の東北大学　後期文系（２００１）の問題は、文字の消去に気が付けば容易だろう。

問題　　ａは定数で、－９０°＜ｔ＜９０°とする。２点

　Ｐ（（１/２）ｓｉｎｔ＋ｃｏｓ２ｔ，ｔａｎｔ）　、Ｑ（ｓｉｎ２ｔ＋ａｃｏｓｔ，３ｓｉｎｔ－２ｃｏｓｔ＋ａ＋２）

があるｔに対して同じ点となるとき、定数ａの値およびそのときのｔの値を求めよ。

（解）　（１/２）ｓｉｎｔ＋ｃｏｓ２ｔ＝ｓｉｎ２ｔ＋ａｃｏｓｔ

　ｔａｎｔ＝３ｓｉｎｔ－２ｃｏｓｔ＋ａ＋２　があるｔに対して成り立つ。

　ａ＝ｔａｎｔ－３ｓｉｎｔ＋２ｃｏｓｔ－２　を第１式に代入して、

　（１/２）ｓｉｎｔ＋ｃｏｓ２ｔ＝ｓｉｎ２ｔ＋（ｔａｎｔ－３ｓｉｎｔ＋２ｃｏｓｔ－２）ｃｏｓｔ

から、　（１/２）ｓｉｎｔ＋ｃｏｓ²ｔ－ｓｉｎ²ｔ＝２ｓｉｎｔｃｏｓｔ＋ｓｉｎｔ－３ｓｉｎｔｃｏｓｔ＋２ｃｏｓ²ｔ－２ｃｏｓｔ

すなわち、　ｓｉｎｔｃｏｓｔ－（１/２）ｓｉｎｔ＋２ｃｏｓｔ－１＝０

よって、　（ｃｏｓｔ－１/２）（ｓｉｎｔ＋２）＝０　より、　ｓｉｎｔ＋２≠０　から、　ｃｏｓｔ＝１/２

　－９０°＜ｔ＜９０°より、　ｔ＝±６０°

　ｔ＝６０°　のとき、

　ａ＝ｔａｎｔ－３ｓｉｎｔ＋２ｃｏｓｔ－２＝－（３/２）－１＝－１－（１/２）

　ｔ＝－６０°　のとき、

　ａ＝ｔａｎｔ－３ｓｉｎｔ＋２ｃｏｓｔ－２＝－＋（３/２）－１＝－１＋（１/２）　　（終）

（追記）　令和７年１１月１９日付け

　次の東北大学　後期文系（２００２）の問題は、測量問題である。

問題　　水平な地面に垂直に塔が建っている。目の高さ１．５ｍの人が地面のある地点Ａに
　　立って塔の頂上を見上げると、仰角がθであった。ただし、θ＞０°とする。この人が塔に
　　向かって１６０ｍ近づいて見上げると、仰角が２θになった。さらに１００ｍ近づいて見上げ
　　ると、仰角が４θになった。以下の問いに答えよ。
（１）　ｃｏｓθの値を求めよ。
（２）　塔の高さを求めよ。
（３）　同じ人が地点Ａから塔に向かって何ｍ近づくと、塔の頂上を見上げる仰角が３θになるか。

　　

（解）（１）　△ＨＢ’Ｃ’において、余弦定理より、

　１００²＝１００²＋１６０²－２・１００・１６０ｃｏｓ２θ

すなわち、　２・１００・ｃｏｓ２θ＝１６０　より、　ｃｏｓ２θ＝４/５

　２ｃｏｓ²θ－１＝４/５　より、　ｃｏｓθ＝３/

（２）　ＯＨ’＝１００ｓｉｎ４θ＝２００ｓｉｎ２θｃｏｓ２θ

　ここで、ｃｏｓ２θ＝４/５　より、　ｓｉｎ２θ＝３/５　なので、

　ＯＨ’＝２００（３/５）（４/５）＝９６

　よって、塔の高さは、　ＯＨ’＋１．５＝９７．５（ｍ）

（３）　塔の頂上を見上げる仰角が３θになる地点をＤとし、目線の位置をＤ’とする。

∠Ｂ’ＨＤ’＝θ　より、∠Ｄ’ＨＣ’＝θ　なので、　線分ＨＤ’は∠Ｂ’ＨＣ’の２等分線となる。

よって、　Ｂ’Ｄ’ ：Ｄ’Ｃ’＝１６０：１００＝８：５　となる。

このことから、　Ｂ’Ｄ’＝１００×（８/１３）＝８００/１３　となるので、

地点Ａから塔に向かって、　１６０＋８００/１３＝２８８０/１３（ｍ）　近づけばよい。　　（終）

（追記）　令和７年１２月３０日付け

　次の東北大学　前期理系（２００５）の問題は、基本的な問題だろう。

問題　　すべての内角が１８０°より小さい四角形ＡＢＣＤがある。辺の長さが　ＡＢ＝ＢＣ＝ｒ、
　　ＡＤ＝２ｒ　とする。さらに、辺ＣＤ上に点Ｅがあり、３つの三角形 △ＡＢＣ、△ＡＣＥ、△ＡＤＥ
　　の面積はすべて等しいとする。α＝∠ＢＡＣ、β＝∠ＣＡＤとおく。
（１）　α＝β　を示せ。
（２）　ｃｏｓ∠ＤＡＢ＝３/５　であるとするとき、ｓｉｎ∠ＣＡＥの値を求めよ。

（解）（１）　△ＡＢＣはＡＢ＝ＢＣの２等辺三角形なので、ＡＣ＝２ｒ・ｃｏｓα　となる。

　（１/２）・２ｒ・ｃｏｓα・ｒ・ｓｉｎα×２＝（１/２）・２ｒ・ｃｏｓα・２ｒ・ｓｉｎβ　から、　ｓｉｎα＝ｓｉｎβ

すなわち、　２ｃｏｓ（（α＋β）/２）ｓｉｎ（（α－β）/２）＝０

　すべての内角が１８０°より小さいので、　０°＜（α＋β）/２＜９０°　から、

　ｃｏｓ（（α＋β）/２）≠０　なので、　ｓｉｎ（（α－β）/２）＝０

　－９０°＜（α－β）/２＜９０°　なので、　（α－β）/２＝０　すなわち、　α＝β

（２）　ｃｏｓ∠ＤＡＢ＝３/５　すなわち、　ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓ２α＝３/５　より、

　１－２ｓｉｎ²α＝３/５　よって、　ｓｉｎ²α＝１/５　より、ｓｉｎα＝１/

ここで、∠ＣＡＥ＝θ　とおくと、∠ＤＡＥ＝α－θ　と書けるので、

　△ＣＡＥ＝△ＤＡＥ　から、　（１/２）・２ｒ・ｃｏｓα・ＡＥ・ｓｉｎθ＝（１/２）・２ｒ・ＡＥ・ｓｉｎ（α－θ）

すなわち、　ｃｏｓα・ｓｉｎθ＝ｓｉｎ（α－θ）　から、　２ｃｏｓα・ｓｉｎθ＝ｓｉｎαｃｏｓθ

よって、　４ｃｏｓ²α・ｓｉｎ²θ＝ｓｉｎ²αｃｏｓ²θ　から、

　４（１－１/５）・ｓｉｎ²θ＝（１/５）（１－ｓｉｎ²θ）

よって、　１６ｓｉｎ²θ＝１－ｓｉｎ²θ　から、　ｓｉｎ²θ＝１/１７

したがって、　ｓｉｎθ＝１/　　（終）

（追記）　令和８年３月２１日付け

　次の東北大学　前期理系（２００７）の問題は、基本的な問題だろう。

問題　　∠Cを直角とする直角三角形ABCに対して、∠Ａの二等分線と線分ＢＣの交点をＤと
　　する。また、線分AD、DC、CＡの長さはそれぞれ５、３、４とする。∠A＝θとおくとき、次
　　の問いに答えよ。

（１）　ｓｉｎθを求めよ。
（２）　θ＜（５/１２）π　を示せ。ただし、＝１．４１４・・・、＝１．７３２・・・　を用いても
　　よい。

（解）（１）　題意より、　ｓｉｎ（θ/２）＝３/５　、ｃｏｓ（θ/２）＝４/５　なので、

　ｓｉｎθ＝２ｓｉｎ（θ/２）ｃｏｓ（θ/２）＝２４/２５

（２）　（１）より、　ｓｉｎθ＝２４/２５＝０．９６

　ここで、　ｓｉｎ（５/１２）π＝ｓｉｎ（π/４＋π/６）＝（＋）/４

　＞１．４１４　、＞１．７３２　より、　＞２．４４９０４８　なので、

　（＋）/４＞０．９６５７６２＞ｓｉｎθ　すなわち、　ｓｉｎ（５/１２）π＞ｓｉｎθ　より、

　θ＜（５/１２）π　である。　　（終）

　　以下、工事中！