現行の学習指導要領では、高校１年で三角比の定義およびその図形への応用を学び、
高校２年では関数として衣替えし、三角関数およびそのグラフを学ぶ。
教科書では、基本のグラフからそれらの関係を把握するのにとどまっている。
高校３年で三角関数の微分を学習して、三角関数と初等関数との関係を知ることになる。
その中で大切な関係は、次の不等式だろう。
ｘ ≧ ０ のとき、 ｘ ≧ ｓｉｎ ｘ ただし、等号成立は、ｘ＝０ のときに限る
この不等式の証明は易しい。
（証明） Ｆ（ｘ）＝ ｘ － ｓｉｎ ｘ とおくと、 Ｆ’（ｘ）＝ １ － ｃｏｓ ｘ ≧０ より、
Ｆ（ｘ）は単調増加関数となる。
また、Ｆ（０）＝０ なので、 ｘ ≧ ０ のとき、 Ｆ（ｘ） ≧０ となる。
よって、 ｘ ≧ ０ のとき、 ｘ ≧ ｓｉｎ ｘ が成り立つ。 （証終）
この不等式は、直線 ｙ＝ｘ が、曲線 ｙ＝ｓｉｎ ｘ の原点における接線であるという関係から
も直感的に受け入れやすい。
平成１７年４月２９日、当ＨＰの掲示板「出会いの泉」にＨＮ「ポルテ」さんという方から質問
が寄せられた。
ｓｉｎ(ｃｏｓ ｘ) と ｃｏｓ(ｓｉｎ ｘ) について、 ｃｏｓ(ｓｉｎ ｘ)＞ｓｉｎ(ｃｏｓ ｘ) が成り立つことは、
グラフ描画ソフトを用いて分かるが、計算では、どう示せばいいのだろうか？
実際に、グラフ描画ソフトを用いて２つの曲線の概形を描かせてみた。
グラフから、確かに不等式の成り立つことが了解される。
さらに、上図から、 ｙ＝ｓｉｎ(ｃｏｓ ｘ) は、周期 ２π の周期関数
ｙ＝ｃｏｓ(ｓｉｎ ｘ) は、周期 π の周期関数
であることが予想される。実際に、
ｓｉｎ(ｃｏｓ （２π＋ｘ)）＝ｓｉｎ(ｃｏｓ ｘ) 、 ｃｏｓ(ｓｉｎ （π＋ｘ)）＝ｃｏｓ(－ｓｉｎ ｘ)＝ｃｏｓ(ｓｉｎ ｘ)
から明らかであろう。
「ポルテ」さんの問題に対して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんが、
不等式 「 ｘ ≧ ０ のとき、 ｘ ≧ ｓｉｎ ｘ 」を活用して、明解に解決された。
以下は、らすかるさんの解答に若干の補足をしてまとめたものである。
まず
２つの曲線 ｙ＝ｓｉｎ(ｃｏｓ ｘ) と ｙ＝ｃｏｓ(ｓｉｎ ｘ) は、直線 ｘ＝ π に関して線対称
であることを示す。
実際に、 ｓｉｎ(ｃｏｓ （π＋ｘ))＝ｓｉｎ(－ｃｏｓ ｘ)＝－ｓｉｎ(ｃｏｓ ｘ)
ｓｉｎ(ｃｏｓ （π－ｘ))＝ｓｉｎ(－ｃｏｓ ｘ)＝－ｓｉｎ(ｃｏｓ ｘ)
よって、 ｓｉｎ(ｃｏｓ （π＋ｘ))＝ｓｉｎ(ｃｏｓ （π－ｘ)) より、成り立つ。
同様に、 ｃｏｓ(ｓｉｎ （π＋ｘ))＝ｃｏｓ(－ｓｉｎ ｘ)＝ｃｏｓ(ｓｉｎ ｘ)
ｃｏｓ(ｓｉｎ （π－ｘ))＝ｃｏｓ(ｓｉｎ ｘ)
よって、 ｃｏｓ(ｓｉｎ （π＋ｘ))＝ｃｏｓ(ｓｉｎ （π－ｘ)) より、成り立つ。
また、 ｙ＝ｓｉｎ(ｃｏｓ ｘ) 、ｙ＝ｃｏｓ(ｓｉｎ ｘ) は、それぞれ周期 ２π、π の周期関数なので、
考える ｘ の範囲として、 ０ ≦ ｘ ≦ π としても一般性を失わない。
まず、 ０ ≦ ｘ ＜ π/２ のとき、 ｙ＝ｃｏｓ ｘ は単調減少で、 ｘ ≧ ｓｉｎ ｘ より、
ｃｏｓ ｘ ≦ ｃｏｓ（ｓｉｎ ｘ） すなわち、 ｃｏｓ（ｓｉｎ ｘ）≧ ｃｏｓ ｘ
また、 ｃｏｓ ｘ ＞ ０ なので、 ｃｏｓ ｘ ＞ ｓｉｎ （ｃｏｓ ｘ）
上記の２つの不等式より、 ｃｏｓ（ｓｉｎ ｘ）＞ ｓｉｎ （ｃｏｓ ｘ） が成り立つ。
次に、 π/２ ≦ ｘ ≦ π のとき、 －π/２ ＜ ｃｏｓ ｘ ≦ ０ なので、ｓｉｎ （ｃｏｓ ｘ） ≦ ０
一方、 ０ ≦ ｓｉｎ ｘ ＜ π/２ なので、 ｃｏｓ（ｓｉｎ ｘ）＞ ０ が成り立つ。
上記の２つの不等式より、 ｃｏｓ（ｓｉｎ ｘ）＞ ｓｉｎ （ｃｏｓ ｘ） が成り立つ。
以上から、０ ≦ ｘ ≦ π のとき、 ｃｏｓ（ｓｉｎ ｘ）＞ ｓｉｎ （ｃｏｓ ｘ） が成り立ち、従って、
全ての実数 ｘ に対して、 ｃｏｓ（ｓｉｎ ｘ）＞ ｓｉｎ （ｃｏｓ ｘ）
が成り立つ。
（コメント） 今まであまり気にとめなかった不等式「 ｘ ≧ ０ のとき、 ｘ ≧ ｓｉｎ ｘ 」の力
強いパワーに思わずひれ伏しました！このような機会を与えていただいたらす
かるさんと質問者のポルテさんに感謝いたします。
（追記） 平成１８年３月１日、当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、ＨＮ「ぽるて」さんから久々
の書き込みがあった。受験も終わってあとは合格発表を待つ…！だけという時間の
中で、上記の別解(？)に繋がりそうなものを発見されたとのことである。
ここでは、ぽるてさんの発見された別解を紹介したいと思う。
－π/２ ＜ ｕ ＜ π/２ 、－π/２ ＜ ｖ ＜ π/２ のとき、 ｓｉｎ ｕ ＜ ｃｏｓ ｖ を満たす点
（ ｕ ， ｖ ） の存在範囲を求める。
ｃｏｓ ｖ －ｓｉｎ ｕ ＝ ｃｏｓ ｖ －ｃｏｓ （π/２－ｕ）
＝－２ｓｉｎ｛（π/２＋ｖ－ｕ）/２｝・ｓｉｎ｛（ｖ＋ｕ－π/２）/２｝
＝２ｓｉｎ｛（π/２＋ｖ－ｕ）/２｝・ｓｉｎ｛（π/２－ｖ－ｕ）/２｝＞０
よって、 ｓｉｎ｛（π/２＋ｖ－ｕ）/２｝＞０ かつ ｓｉｎ｛（π/２－ｖ－ｕ）/２｝＞０
または、
ｓｉｎ｛（π/２＋ｖ－ｕ）/２｝＜０ かつ ｓｉｎ｛（π/２－ｖ－ｕ）/２｝＜０
ここで、 －π/２ ＜ ｕ ＜ π/２ 、－π/２ ＜ ｖ ＜ π/２ に注意して、
－π/４＜（π/２＋ｖ－ｕ）/２＜３π/４
－π/４＜（π/２－ｖ－ｕ）/２＜３π/４
なので、 ０＜（π/２＋ｖ－ｕ）/２＜３π/４ かつ ０＜（π/２－ｖ－ｕ）/２＜３π/４
または、 －π/４＜（π/２＋ｖ－ｕ）/２＜０ かつ －π/４＜（π/２－ｖ－ｕ）/２＜０
よって、 ０＜π/２＋ｖ－ｕ＜３π/２ かつ ０＜π/２－ｖ－ｕ＜３π/２
または、 －π/２＜π/２＋ｖ－ｕ＜０ かつ －π/２＜π/２－ｖ－ｕ＜０
すなわち、 －π/２＜ｖ－ｕ＜π かつ －π＜ｖ＋ｕ＜π/２
または、 －π＜ｖ－ｕ＜－π/２ かつ π/２＜ｖ＋ｕ＜π
以上から、 ｓｉｎ ｕ ＜ ｃｏｓ ｖ を満たす点（ ｕ ， ｖ ） の存在範囲は、
ただし、境界線は含まない。
このとき、単位円周上の点（ｃｏｓ ｘ ，ｓｉｎ ｘ ）は、上記の領域内にあるので、
ｓｉｎ （ｃｏｓ ｘ）＜ｃｏｓ（ｓｉｎ ｘ）
が成り立つ。
（コメント） ぽるてさん、証明がスッキリですね！このような計算を高校時代にやらされたの
を思い出しました。ぽるてさん、大学受かるといいね！ぽるてさんに、謝謝！
らすかるさんからのコメントです。（令和元年６月１５日付け）
久々に、cos(sinx)＞sin(cosx) を示す問題の解法を考えたところ、場合分け不要で計算だ
けで示せる方法を思い付きました。
{cos(sinx)}^2-{sin(cosx)}^2
={1+cos(2sinx)}/2-{1-cos(2cosx)}/2 （∵半角公式）
={cos(2sinx)+cos(2cosx)}/2
=cos(sinx+cosx)・cos(sinx-cosx) （∵和積公式）
=cos((√2)sin(x+π/4))・cos((√2)sin(x-π/4)) （∵三角関数の合成）
ここで、 |(√2)sin(x±π/4)|≦√2＜π/2 から、 {cos(sinx)}^2-{sin(cosx)}^2＞０
すなわち、 |cos(sinx)|＞|sin(cosx)| が成り立つ。
ここで、 |sinx|≦1＜π/2 から、 cos(sinx)＞0 なので、 cos(sinx)=|cos(sinx)| より、
cos(sinx)=|cos(sinx)|＞|sin(cosx)|≧sin(cosx)
# 半角・和積・合成はすべて加法定理から導けますので、基本的には三角関数の基本的な
性質と加法定理だけで解いていることになりますね。
（コメント） なるほど！鮮やかですね。
よおすけさんからのコメントです。（令和元年６月１６日付け）
第２２３回実用数学技能検定準一級の2次 問題1でも、
0＜α＜2πとします。2つの数cos(sinα)とsin(cosα)の大小を比較しなさい。
が出題されていました。解答の方針自体は、らすかるさんと同じでした。
DD++さんからのコメントです。（令和元年６月１６日付け）
２乗しなくてもいけませんかね？
cos(sinx) - sin(cosx)
= sin(π/2-sinx) - sin(cosx)
= 2 cos{π/4-(1/2)sinx+(1/2)cosx} sin{π/4-(1/2)sinx-(1/2)cosx}
= 2 cos{π/4+(√2/2)cos(x+π/4)} sin{π/4-(√2/2)sin(x+π/4)}＞０
(∵ 0<π/4-√2/2、π/4+√2/2<π/2 より { } 内はいずれも常に第一象限の角)
らすかるさんからのコメントです。（令和元年６月１６日付け）
あ、なるほどそっちの方がいいですね。cos(sinx)をsin(π/2-sinx)に直したりもしてたのです
が、そのときは合成すればよいことには気づいていませんでした。
（追記） 平成２０年８月１４日付け
冒頭で、「 θ≧０ のとき、 ｓｉｎθ ≦ θ 」が成り立つことを証明したが、さらに詳しく
０≦θ＜π/２ のとき、 ｓｉｎθ ≦ θ ≦ ｔａｎθ
が成り立つことは数学Ⅲの教科書に必ず紹介されている公式である。この不等式を用いて、
という重要公式が証明されるわけだが、最近、この不等式を有効に活用する問題に遭遇し
たので、備忘録として残したいと思う。
問 題
左図において、 ｈ → ∞ のとき、
はどんな値に近づくか？
（コメント） ｈ → ∞ のとき、 α → ０ 、 β → ０ なので、求めるものは不定形の極限
値である。 どんな値に近づくのか、大いに興味が引き起こされますね！
（解） ｔａｎ α ＝ １/ｈ 、 ｔａｎ （α＋β） ＝ ４/ｈ なので、
より、
ここで、
であり、 ０ ＜ α ， β ＜ π/２ において、
なので、
が成り立つ。
このとき、
なので、はさみうちの原理により、
（終）上記の解では、不等式を意識して極限値を求めているが、もちろん直接的に求める方法
もある。
（別解） ｔａｎ α ＝ １/ｈ 、 ｔａｎ （α＋β） ＝ ４/ｈ なので、
より、
ここで、
よって、 ｈ → ∞ のとき、 α → ０ 、 β → ０ なので、
（終）（コメント） この結果より、 α ， β は同程度の無限小であることが分かりますね！
図から、当たり前かな？
（追記） 平成２１年１月９日付け
上記の計算で、 ０ ＜ α ， β ＜ π/２ において、
が成り立つことから、不等式
を利用したが、最近、 ０ ＜ β ＜ α ＜ π/２ において、 不等式
が成り立つことに気がついた。
（証明） 両辺の対数をとって、
ｌｏｇ（ｓｉｎα）－ｌｏｇ（ｓｉｎβ）＜ｌｏｇ（α）－ｌｏｇ（β）＜ｌｏｇ（ｔａｎα）－ｌｏｇ（ｔａｎβ）
が成り立つことを示せばよい。
０ ＜ β ＜ α ＜ π/２ において、Ｃａｕｃｈｙ の平均値の定理より、
となる ｍ 、ｎ （ β ＜ ｍ ， ｎ ＜ α ）が存在する。
ここで、 Ｆ（ｍ）＝ｓｉｎ ｍ－ｍ・ｃｏｓ ｍ とおくと、 ０ ＜ ｍ ＜ π/２ において、
Ｆ’（ｍ）＝ｃｏｓ ｍ－ｃｏｓ ｍ＋ｍ・ｓｉｎ ｍ＝ｍ・ｓｉｎ ｍ＞０
より、関数 Ｆ（ｍ） は単調に増加し、 Ｆ（０）＝０ なので、Ｆ（ｍ）＞０ となる。
よって、
同様にして、 Ｇ（ｎ）＝ｎ－ｓｉｎ ｎ・ｃｏｓ ｎ とおくと、 ０ ＜ ｎ＜ π/２ において、
Ｇ’（ｎ）＝１－ｃｏｓ2 ｎ＋ｓｉｎ2 ｎ＝２ｓｉｎ2 ｎ＞０
より、関数 Ｇ（ｎ） は単調に増加し、 Ｇ（０）＝０ なので、Ｇ（ｎ）＞０ となる。
よって、
以上から、不等式
ｌｏｇ（ｓｉｎα）－ｌｏｇ（ｓｉｎβ）＜ｌｏｇ（α）－ｌｏｇ（β）＜ｌｏｇ（ｔａｎα）－ｌｏｇ（ｔａｎβ）
の成り立つことが示された。 （証終）
（コメント） ０ ＜ β ＜ α ＜ π/２ において、
から、
も示されるなんて、何か不思議な感覚ですね！
この不等式を利用しても、求める解は上記とほとんど同じで変わり映えしないが．．．。
はさみうちの原理を用いる問題が、平成２７年度入試 東京大学前期理系で出題された。
問題 ｎを正の整数とする。以下の問いに答えよ。
（１） 関数ｇ（ｘ）を次のように定める。
ｇ（ｘ）＝（ｃｏｓ（πｘ）＋１）/２ （｜ｘ｜≦１のとき） 、 ｇ（ｘ）＝０ （｜ｘ｜＞１のとき）
ｆ（ｘ）を連続な関数とし、ｐ、ｑを実数とする。｜ｘ｜≦１/ｎをみたすｘに対して、ｐ≦ｆ（ｘ）≦ｑ
が成り立つとき、次の不等式を示せ。
ｐ≦ｎ∫-11ｇ（ｎｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ≦ｑ
（２） 関数ｈ（ｘ）を次のように定める。
ｈ（ｘ）＝－（π/２）ｓｉｎ（πｘ） （｜ｘ｜≦１のとき） 、 ｈ（ｘ）＝０ （｜ｘ｜＞１のとき）
このとき、次の極限を求めよ。
ｌｉｍｎ→∞ ｎ2∫-11ｈ（ｎｘ）ｌｏｇ（１＋ｅｘ+1）ｄｘ
（解）（１） 関数ｇ（ｘ）の定義から、｜ｘ｜≦１/ｎ のとき、ｇ（ｎｘ）＝（ｃｏｓ（ｎπｘ）＋１）/２（≧０）
｜ｘ｜＞１/ｎ のとき、 ｇ（ｎｘ）＝０ なので、
ｐ∫-1/n1/n （ｃｏｓ（ｎπｘ）＋１）/２ｄｘ≦∫-1/n1/n ｇ（ｎｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ
≦ｑ∫-1/n1/n （ｃｏｓ（ｎπｘ）＋１）/２ｄｘ
ここで、 ｐ∫-1/n1/n （ｃｏｓ（ｎπｘ）＋１）/２ｄｘ＝ｐ[｛ｓｉｎ（ｎπｘ）｝/（ｎπ）＋ｘ）/２]-1/n1/n ＝ｐ/ｎ
ｑ∫-1/n1/n （ｃｏｓ（ｎπｘ）＋１）/２ｄｘ＝ｑ[｛ｓｉｎ（ｎπｘ）｝/（ｎπ）＋ｘ）/２]-1/n1/n ＝ｑ/ｎ
よって、 ｐ/ｎ≦∫-1/n1/n ｇ（ｎｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ≦ｑ/ｎ より、 ｐ≦ｎ∫-11ｇ（ｎｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ≦ｑ
（２） 関数ｈ（ｘ）の定義から、｜ｘ｜≦１/ｎ のとき、 ｈ（ｎｘ）＝－（π/２）ｓｉｎ（ｎπｘ）
｜ｘ｜＞１/ｎ のとき、 ｈ（ｎｘ）＝０ なので、
ｎ2∫-11ｈ（ｎｘ）ｌｏｇ（１＋ｅｘ+1）ｄｘ
＝ｎ2∫-1/n1/n ｛－（π/２）ｓｉｎ（ｎπｘ）｝ｌｏｇ（１＋ｅｘ+1）ｄｘ
＝ｎ2（[｛（ｃｏｓ（ｎπｘ）＋１）/２ｎ｝ｌｏｇ（１＋ｅｘ+1）]-1/n1/n
－∫-1/n1/n ｛（ｃｏｓ（ｎπｘ）＋１）/２ｎ｝ｅｘ+1/（１＋ｅｘ+1）ｄｘ）
＝ｎ（－∫-1/n1/n ｇ（ｎｘ）ｅｘ+1/（１＋ｅｘ+1）ｄｘ）
ここで、Ｆ（ｘ）＝ｅｘ+1/（１＋ｅｘ+1）とおくと、
Ｆ’（ｘ）＝（ｅｘ+1（１＋ｅｘ+1）－（ｅｘ+1）2）/（１＋ｅｘ+1）2＝ｅｘ+1/（１＋ｅｘ+1）2＞０ より、
｜ｘ｜≦１/ｎ において、単調増加となるので、
ｅ-1/n+1/（１＋ｅ-1/n+1）≦Ｆ（ｘ）≦ｅ1/n+1/（１＋ｅ1/n+1）
以上から、
－ｅ1/n+1/（１＋ｅ1/n+1）≦ｎ2∫-11ｈ（ｎｘ）ｌｏｇ（１＋ｅｘ+1）ｄｘ≦－ｅ-1/n+1/（１＋ｅ-1/n+1）
ｎ→∞ のとき、 －ｅ1/n+1/（１＋ｅ1/n+1）→－ｅ/（１＋ｅ）
－ｅ-1/n+1/（１＋ｅ-1/n+1）→－ｅ/（１＋ｅ）
なので、はさみうちの原理により、
ｌｉｍｎ→∞ ｎ2∫-11ｈ（ｎｘ）ｌｏｇ（１＋ｅｘ+1）ｄｘ＝－ｅ/（１＋ｅ） （終）
（コメント） 予備校等の問題分析では「やや難」とのことらしいです。某週刊誌によれば、この
問題は最難関の理Ⅲの受験生以外は解かない方がいいとも言われているらしい
です。