平成２０年９月１７日付けで当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、「格子点」の問題を投稿さ
れたＨＮ「空港」さんが、次のような面白い問題を発見された旨の報告があった。
ｎ が２以上の整数のとき、
は整数ではないことを証明せよ。
この問題は、ヴィノグラードフの「 整数論入門 」（共立全書）にあるらしい．．．。
問題視されている数は、自然数列の各項の逆数から作られた調和数列の初項から第 ｎ
項までの和で、調和数（Ｈａｒｍｏｎｉｃ Ｎｕｍｂｅｒ）と言われる。
調和数が整数にならないことは、タイシンガー（１９１５年）の問題として知られる。
エルデシュ（１９３２年）は、この問題を一般化して、
は整数にならない
とした。特に、ｄ＝１の場合については、クルシュチャク（１９１８年）により与えられた。
空港さんが書き込まれたわずか１９分後に、当ＨＰがいつもお世話になっている、らすか
るさんが証明を寄せられた。らすかるさんに感謝します。
２ｐ ≦ ｎ ＜ ２ｐ+1 とすると、分母が ２ｐ 以外の項の分母は、２ｐ を素因数に含まないの
で、１/２ｐ 以外の項を通分して既約分数にするとき、分母は、２ｐ にならない。分母が ２ｐ
でない既約分数に、１/２ｐ を加えても整数にならないので、与式が整数になることはない。
（コメント） あまりに鮮やかすぎる証明で感動しました。
もう少し詳しく、この問題を考察してみよう。
Ｈｎ＝１＋１/２＋１/３＋・・・＋１/ｎ とおく。
ｎ≧２ なので、 ｎ＝２ のとき、 Ｈ2＝１＋１/２＝３/２
ｎ＝３ のとき、 Ｈ3＝１＋１/２＋１/３＝１１/６
ｎ＝４ のとき、 Ｈ4＝１＋１/２＋１/３＋１/４＝２５/１２
ｎ＝５ のとき、 Ｈ5＝１＋１/２＋１/３＋１/４＋１/５＝１３７/６０
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
上記の計算から次のことが分かる。
分母が ２ｐ （ｐ≧１）である項のうち最大のものを考える。このとき、１/２ｐ 以外の項を通
分して得られる既約分数の分母に２ｐ が含まれることはない。
さらに、その既約分数に１/２ｐ を加えると、Ｈｎ の分母は必ず偶数で分子は奇数となる。
このことからも、Ｈｎ が整数になり得ないことがうかがい知れる。
多分、らすかるさんの証明の背景を考えると、上記のような事情なのだろうと推察される。
きっちり証明しようと思えば、次のような証明になるだろう。
（証） ２ｐ ≦ ｎ ＜ ２ｐ+1 を満たす最大の自然数を ｐ とし、ｎ 以下のすべての奇数の積を
Ｋ とする。
Ｈｎ＝１＋１/２＋１/３＋・・・＋１/２ｐ＋１/（２ｐ＋１）＋・・・＋１/ｎ において、
２ｐ-1Ｋ×Ｈｎ
＝２ｐ-1Ｋ×｛１＋１/２＋・・・＋１/（２ｐ−１）＋１/（２ｐ＋１）＋・・・＋１/ｎ｝＋２ｐ-1Ｋ×１/２ｐ
＝｛整数｝＋Ｋ/２
となる。
よって、明らかに Ｋ/２ は整数にはなり得ないので、Ｈｎ は整数にはなり得ない。（証終）
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ｚｋ４３」さんから、平成２０年９月１７日付けで別証
をお寄せいただいた。
チェビシェフの定理を使う証明とのことである。
チェビシェフの定理（１８５０年）
１より大きい自然数 ｘ に対して、ｘ と ２ｘ の間には少なくとも一つ素数が存在する
ｚｋ４３さんからいただいた証明をなぞってみよう。
（証明） ｎ 以下の最大の素数を ｐ とする。このとき、ｐ の次に大きく ｐ を素因数にもつ自
然数は、２ｐ である。
もしも、 ２ｐ ≦ ｎ ならば、チェビシェフの定理により、ｐ と ２ｐ の間に、ある素数 ｑ
が存在する。 ｐ＜ｑ＜２ｐ≦ｎ なので、これは、ｐ の最大性に矛盾する。
よって、 ２ｐ ＞ ｎ が成り立ち、ｎ 以下には、ｐ を素因数に持つものは ｐ のみと
なる。いま、 １＋１/２＋・・・＋１/ｐ＋・・・＋１/ｎ＝Ｎ（自然数） と仮定する。
１＋１/２＋・・・＋１/（ｐ−１）＋１/（ｐ＋１）・・・＋１/ｎ＝Ｎ−１/ｐ＝（Ｎｐ−１）/ｐ
において、右辺は既約分数である。
左辺を通分して既約分数にしても、分母には素因数 ｐ が含まれることはない。
これは右辺の分母に素因数 ｐ があることに矛盾する。
以上から、 １＋１/２＋・・・＋１/ｎ は整数になりえない。 （証終）
（コメント） チェビシェフの定理を持ち出すまでもなく、証明の趣旨が同一な、らすかるさん
の証明の方がスッキリしていて分かりやすいですね！別証をお寄せいただいた
ｚｋ４３さんに感謝します。
（追記） 平成２０年１２月２５日付け
ｚｋ４３さんから次のような等式が成り立つことを伺った。
（調和数） Ｈｎ＝１＋１/２＋１/３＋・・・＋１/ｎ
（三角数） Ｔｎ＝１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ−１）/２
（四角数） Ｓｎ＝１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ2
に対して、
ただし、 ζ（ｓ）は、ゼータ関数で、次の式で定義される。
ｚｋ４３さんによれば、非常に興味深いとのことで、調和数と多角数の関係に何らかの規
則性があるのかな？と考えていらっしゃるとのこと。
私自身は、
という等式に美しさを感じますが、上記の等式には、美しい以上の何か妖艶な雰囲気が醸
し出されているような．．．。
以下、工事中