調和数                               戻る

 平成20年9月17日付けで当HPの掲示板「出会いの泉」に、「格子点」の問題を投稿さ
れたHN「空港」さんが、次のような面白い問題を発見された旨の報告があった。

    n が2以上の整数のとき、

       

   は整数ではないことを証明せよ。


 この問題は、ヴィノグラードフの「 整数論入門 」(共立全書)にあるらしい...。

 問題視されている数は、自然数列の各項の逆数から作られた調和数列の初項から第 n
項までの和で、調和数(Harmonic Number)と言われる。

 調和数が整数にならないことは、タイシンガー(1915年)の問題として知られる。

 エルデシュ(1932年)は、この問題を一般化して、

   

  は整数にならない

とした。特に、d=1の場合については、クルシュチャク(1918年)により与えられた。

 空港さんが書き込まれたわずか19分後に、当HPがいつもお世話になっている、らすか
るさんが証明を寄せられた。らすかるさんに感謝します。

 2 ≦ n < 2p+1 とすると、分母が 2 以外の項の分母は、2 を素因数に含まないの

で、1/2 以外の項を通分して既約分数にするとき、分母は、2 にならない。分母が 2

でない既約分数に、1/2 を加えても整数にならないので、与式が整数になることはない。

(コメント) あまりに鮮やかすぎる証明で感動しました。

 もう少し詳しく、この問題を考察してみよう。

 H=1+1/2+1/3+・・・+1/n とおく。

 n≧2 なので、 n=2 のとき、 H2=1+1/2=3/2

           n=3 のとき、 H3=1+1/2+1/3=11/6

           n=4 のとき、 H4=1+1/2+1/3+1/4=25/12

           n=5 のとき、 H5=1+1/2+1/3+1/4+1/5=137/60

             ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 上記の計算から次のことが分かる。

 分母が 2 (p≧1)である項のうち最大のものを考える。このとき、1/2 以外の項を通

分して得られる既約分数の分母に2 が含まれることはない。

 さらに、その既約分数に1/2 を加えると、H の分母は必ず偶数で分子は奇数となる。


 このことからも、H が整数になり得ないことがうかがい知れる。

 多分、らすかるさんの証明の背景を考えると、上記のような事情なのだろうと推察される。

 きっちり証明しようと思えば、次のような証明になるだろう。

(証) 2 ≦ n < 2p+1 を満たす最大の自然数を p とし、n 以下のすべての奇数の積を

  K とする。

   H=1+1/2+1/3+・・・+1/2+1/(2+1)+・・・+1/n において、

 2p-1K×H

 =2p-1K×{1+1/2+・・・+1/(2−1)+1/(2+1)+・・・+1/n}+2p-1K×1/2

 ={整数}+K/2

となる。

 よって、明らかに K/2 は整数にはなり得ないので、H は整数にはなり得ない。(証終)

 当HPがいつもお世話になっているHN「zk43」さんから、平成20年9月17日付けで別証
をお寄せいただいた。

 チェビシェフの定理を使う証明とのことである。

チェビシェフの定理(1850年)

 1より大きい自然数 x に対して、x と 2x の間には少なくとも一つ素数が存在する

 zk43さんからいただいた証明をなぞってみよう。

(証明) n 以下の最大の素数を p とする。このとき、p の次に大きく p を素因数にもつ自

    然数は、2p である。

    もしも、 2p ≦ n ならば、チェビシェフの定理により、p と 2p の間に、ある素数 q

    が存在する。 p<q<2p≦n なので、これは、p の最大性に矛盾する。

     よって、 2p > n が成り立ち、n 以下には、p を素因数に持つものは p のみと

    なる。いま、 1+1/2+・・・+1/p+・・・+1/n=N(自然数) と仮定する。

     1+1/2+・・・+1/(p−1)+1/(p+1)・・・+1/n=N−1/p=(Np−1)/p

    において、右辺は既約分数である。

     左辺を通分して既約分数にしても、分母には素因数 p が含まれることはない。

    これは右辺の分母に素因数 p があることに矛盾する。

     以上から、 1+1/2+・・・+1/n は整数になりえない。 (証終)

(コメント) チェビシェフの定理を持ち出すまでもなく、証明の趣旨が同一な、らすかるさん
      の証明の方がスッキリしていて分かりやすいですね!別証をお寄せいただいた
      zk43さんに感謝します。

(追記) 平成20年12月25日付け

 zk43さんから次のような等式が成り立つことを伺った。

 (調和数) H=1+1/2+1/3+・・・+1/n

 (三角数) T=1+2+3+・・・+n=n(n−1)/2

 (四角数) S=1+3+5+・・・+(2n−1)=n2

に対して、
             


     ただし、 ζ(s)は、ゼータ関数で、次の式で定義される。

        

 zk43さんによれば、非常に興味深いとのことで、調和数と多角数の関係に何らかの規
則性があるのかな?と考えていらっしゃるとのこと。

 私自身は、
        

という等式に美しさを感じますが、上記の等式には、美しい以上の何か妖艶な雰囲気が醸
し出されているような...。



   以下、工事中