美しい平方数の和　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　

　ピタゴラスの定理によれば、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３²＋４²＝５²
が成り立つ。

　タルタリアの三角形を意識すれば、６²＋７²＋８²＝９²＋１０²　という等式が成り立って
欲しいところだが、残念ながら、上式は成り立たない。

　それでは、連続する５整数で、３つの平方数と２つの平方数が等しくなるのは、果たして、
ありえるのだろうか？

　いま、連続する５整数を、ｎ−２、ｎ−１、ｎ、ｎ＋１、ｎ＋２　（ｎ≧３）とおくと、条件から、

　　　　　　　　（ｎ−２）²＋（ｎ−１）²＋ｎ²＝（ｎ＋１）²＋（ｎ＋２）²

上式の両辺を展開して、整理すれば、

　　　　　　　　　　　　　　　ｎ²−１２ｎ＝０

　　　　　　　　　ｎ≧３　なので、　　ｎ＝１２

したがって、
　　　　　　　　　　１０²＋１１²＋１２²＝１３²＋１４²
が成り立つ。

　同様にして、

　　　　　（ｎ−３）²＋（ｎ−２）²＋（ｎ−１）²＋ｎ²＝（ｎ＋１）²＋（ｎ＋２）²＋（ｎ＋３）²

から、ｎ＝２４　なので、次の等式が成り立つ。

　　　　　　　　２１²＋２２²＋２３²＋２４²＝２５²＋２６²＋２７²

以下同様にして、次のような等式群が成り立つ。

　　　３６²＋３７²＋３８²＋３９²＋４０²＝４１²＋４２²＋４３²＋４４²

５５²＋５６²＋５７²＋５８²＋５９²＋６０²＝６１²＋６２²＋６３²＋６４²＋６５²

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　一般に、次の事柄がいえる。

　連続する ２ｎ＋１ 個の整数について、

　　　　　　　　　

が成り立つ。その和は、

　　　　　　　　　　　

である。


　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＫＳ」さんからの投稿です。（平成２８年７月５日付け）

　平方数の和について考察してみると、例えば、３²＋１１²＝７²＋９²＝１３０　など一致する
ものがあります。

　自然数に限定して、

（予想１）　そのような組は、無限に存在する。

（予想２）　任意の数を含む、そのような等しくなる組が存在する。

（予想３）　そのような組が２組のとき、３組、４組と任意の組が存在する。


　ａｔ さんからのコメントです。（平成２８年７月５日付け）

　（予想１）と（予想２）に関してですが、これら２つの予想はどちらも正しいと思います。

　任意の整数 n に対して、等式

　　n²+(3n⁴+5+(n⁸-n²)/2)²＝(n⁴+3)²+(3n⁴+4+(n⁸-n²)/2)²

が成り立ちます。


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年７月５日付け）

　任意の自然数Nに対し、N=ｘ²+ｙ² の整数解がいくつあるかを求める式が知られてます。
（ヤコビの二平方定理）

　片方が0であるものやｘ=ｙであるものは4つ組、それ以外は8つ組であることを考えれば、自
然数解の個数もすぐにわかり、（予想１）と（予想３）は真です。

　（予想２）も二平方恒等式を使えばすぐに作れますね。

　後から気づきましたが、例示されたものを2倍、3倍、……、していけば（予想１）は自明で
すね。


　ＫＳさんからのコメントです。（平成２８年７月６日付け）

　ａｔさんの公式は、（予想２）の直球解で感激です。（予想２）より（予想１）が言えますが、他
に、
　　　(ｘ₁ｘ₂−ｙ₁ｙ₂)²＋(ｘ₁ｙ₂＋ｘ₂ｙ₁)²＝(ｘ₁ｘ₂＋ｙ₁ｙ₂)²＋(ｘ₁ｙ₂−ｘ₂ｙ₁)²

も使えるかと思います。


　ＫＳさんからのコメントです。（平成２８年７月８日付け）

　７２５＝２３²＋１４²＝２５²＋１０²＝２６²＋７²

が見つかりました。４個の一致する平方和は見つけていません。ｘ³＋ｙ³＝ｚ³＋ｗ³　もどう
でしょうか？際限なく興味があります。関心のある方よろしくお願いします。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２８年７月８日付け）

5²=4²+3²
5⁴=20²+15²=24²+7²
5⁶=100²+75²=117²+44²=120²+35²
5⁸=500²+375²=527²+336²=585²+220²=600²+175²
5¹⁰=2500²+1875²=2635²+1680²=2925²+1100²=3000²+875²=3116²+237²
5¹²=11753²+10296²=12500²+9375²=13175²+8400²=14625²+5500²=15000²+4375²=15580²+1185²
・・・・・

　三乗は、こちら　（それ以上は、こちら）

　また、数列サイト「A016032」には、ちょうどｎ通りの平方数の和に表せる最小の数、
「A048610」には、ｎ通り以上の平方数の和に表せる最小の数がありますね。


　ＫＳさんからのコメントです。（平成２８年７月９日付け）

　らすかるさん、いつもありがとうございます。すごいのがあるんですね。感心させられます。


　Seiichi　Manyamaさんからのコメントです。（平成２８年７月１０日付け）

　「タルタリアの三角形」や上記の等式の、より一般的な次数の等式はないのでしょうか？

　すなわち、　a＜b として、　aⁿ + (a + 1)ⁿ + … + (a + i)ⁿ = bⁿ + (b + 1)ⁿ + … + (b + j)ⁿ

と書けないでしょうか？