オイラーの公式
ｅｉθ＝ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ
は、複素数の世界では何かと便利で重要な公式である。（→参考：「虚数の虚数乗？」）
私は、複素関数論の初歩を、
Zeev Nehari ” Introduction to COMPLEX ANALYSIS ”
で学んだが、そこでは、オイラーの公式は指数関数を定義するものとして用いられていた。
オイラーの公式を示す方法としては、テイラー展開を用いる方法が普通だろう。ただ、そ
の方法を目の当たりにすると、狐につままれたような印象を持つ方も多いだろう。
このページでは、級数展開によらない初歩的な証明について、まとめてみたい。
一番易しいと思われる証明は、東北工業大学情報通信工学科の中川朋子さんによるも
のだろう。
（証明） ３つの数 ｅｉθ、ｃｏｓθ、ｉ・ｓｉｎθ が一次従属であることを示す。
Ａｅｉθ＋Ｂｃｏｓθ＋Ｃ・ｉ・ｓｉｎθ＝０ （Ａ、Ｂ、Ｃ は定数）
において、θに関する微分を繰り返して、
ｉ・Ａｅｉθ−Ｂｓｉｎθ＋Ｃ・ｉ・ｃｏｓθ＝０
−Ａｅｉθ−Ｂｃｏｓθ−Ｃ・ｉ・ｓｉｎθ＝０
このとき、Ａ、Ｂ、Ｃ に関する３元連立方程式の係数行列の行列式を求めると、０ に
なる。よって、３つの数 ｅｉθ、ｃｏｓθ、ｉ・ｓｉｎθ は一次従属である。
Ａ≠０ として、 ｅｉθ＝ａｃｏｓθ＋ｂ・ｉ・ｓｉｎθ （ａ、ｂ は定数） と表される。
θ＝０ とおくと、 ａ＝１
上式を微分して、 ｉ・ｅｉθ＝−ａｓｉｎθ＋ｂ・ｉ・ｃｏｓθ
θ＝０ とおくと、 ｂ＝１
したがって、 ｅｉθ＝ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ （証終）
平成２０年３月２２日付けで、当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、ｚｋ４３さんが、別証を紹介
された。ある本に書かれていたものだという。
（別証） Ｆ（ｘ）＝ｅｉｘ は、微分方程式 Ｆ’（ｘ）＝ｉ・Ｆ（ｘ） という関係を満たす。
ｘ を時間と考え、Ｆ（ｘ） は複素平面を運動する点と考えると、Ｆ（ｘ） は複素平面上の
ある曲線上を動くものと考えられる。
Ｆ’（ｘ）＝ｉ・Ｆ（ｘ） より、Ｆ（ｘ） の速度は、位置Ｆ（ｘ） に対して反時計まわりに直角な
i・Ｆ（ｘ） であるものと解釈できる。
ここで、
(| Ｆ（ｘ） |2)’＝( Ｆ（ｘ）・Ｆ~（ｘ）)’＝Ｆ’（ｘ）・Ｆ~（ｘ）＋Ｆ（ｘ）・Ｆ~’（ｘ）
＝ｉ・Ｆ（ｘ）・Ｆ~（ｘ）＋Ｆ（ｘ）・（−ｉ・Ｆ~（ｘ））＝０
より、| Ｆ（ｘ） |2 は定数、すなわち、| Ｆ（ｘ） | は定数となる。
ここで、 Ｆ（０）＝１ より、 | Ｆ（ｘ） | ≡１ となる。
以上から、Ｆ（ｘ） は複素平面上の原点を中心とする単位円周上を、速さ １ で反時計
まわりに動いていると考えられるので、ｘ 秒後には、
Ｆ（ｘ）＝ｅｉｘ は、ｃｏｓｘ＋ｉ・ｓｉｎｘ の位置にいる
すなわち、 ｅｉｘ＝ｃｏｓｘ＋ｉ・ｓｉｎｘ が成り立つ。 （証終）
（コメント） ｚｋ４３さんは、「幾何学的で、分かりやすい」と仰っていますが正にその通りです
ね。目に焼きついて忘れないように感じます。