今からおよそ２２００年ほど前、シラクサのアルキメデス（紀元前２８７？〜紀元前２１２）は、
「直線と放物線によって囲まれる任意の切片の面積は、この切片と同じ底辺、等しい高さを
持つ三角形の面積の３分の４倍である」ことを確かめている。これについては、高木貞治 著
「解析概論」（この本は、私が学生の頃、数学を志すものの必読書とされていた）にセンセー
ショナルに取り上げられているので、ご存知の方も多いと思う。
特殊な曲線・曲面に関する求積法（積分法）は、古代ギリシア以来とりあげられ、多くの場
合に解かれていたようである。
これに対して、関数の極値および曲線の接線に関する問題は、１７世紀始めに提出された
が、ニュートン、ライプニッツにより微分法が確立され、その大部分が答えられている。微分
積分と呼ばれる数学が実質的に確立されたのは、１７世紀の６０〜７０年代で、１８世紀まで
微分積分を中心に数学は発展した。
フォーブス、ディクステルホイス著「科学と技術の歴史」（みすず書房）によれば、「ニュート
ン、ライプニッツの最大の業績は、求積法の問題が微分法の逆であることを指摘することに
よって、独立に発展してきた数学のこの２分野の間の関係を確立したこと、そして、両者の一
般的計算方法と一般的記号を導入したこと」であるという。
微分積分の起源は、上記のことから図形的問題からきていることは、歴史的事実である。
そこで、図形の面積を求めることが、定積分の一つの目標になったわけである。ただ、定積
分は、面積・体積の計算のみにとどまらない。立体の重心計算や慣性能率、回転運動のエ
ネルギー、ポテンシャルなどの力学的応用問題で、定積分の計算はしばしば必要である。
定積分は、周知のとおり、不定積分が求められれば易しいが、不定積分がひどく複雑な関
数になることが多い。簡単な関数に対しても、その不定積分が初等関数の範囲では求めら
れないことも少なくない。仕方なく、台形公式やシンプソンの公式により、近似計算でお茶を
濁さざるをえない場合もある。特殊な区間の定積分は、いろいろ工夫して求められている。
コーシーが複素変数の関数を考え、積分定理や留数の定理などを得た（１８２０年代）のは、
定積分計算の統一的な方法を求めたいというのが直接の動機であった。
このページでは一つの定積分の計算問題を考え、留数定理の応用とその優秀性を紹介し
たいと思う。