平方の和２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２９年８月８日付け）

2017×29 を２つの平方数の和の形で表せ。ただし、a²+b² と b²+a² というような形は同一
とする。

(参考) 第305回実用数学技能検定 準2級2次・2級2次・準1級2次・1級2次(2017年7月23日)





































（答）　らすかるさんが考察されました。（平成２９年８月８日付け）

　ＧＡＩ さんの投稿から、2017=44²+9²　、29=5²+2² なので、恒等式

　　　(a²+b²)(c²+d²)=(ac-bd)²+(ad+bc)²

を使って、　2017×29=(44²+9²)(5²+2²)=(44×5-9×2)²+(44×2+9×5)²=202²+133²


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２９年８月１０日付け）

　類題で、(2017-n)×(29-n) を２つの平方数の和の形で表せ。ただし、a²+b² と b²+a² とい
うような形は同一とする。

　特に、2005*17 を２つの平方数の和の形で表せ。


　よおすけさんからのコメントです。（平成２９年８月１１日付け）

　４つの正の整数を a、b、c、d とするとき、（→　参考：「平方の和」）

　(a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)²+(bc-ad)²　または　(a²+b²)(c²+d²)=(ad+bc)²+(ac-bd)²

これを用いると、

　1993×5=98²+19²、67²+74²　、2005×17=182²+31²、113²+146²
　2017×29=238²+43²、133²+202²

となります。３つしか書いていないのは、「西暦×平成の年号=２つの平方数の和」となるもの
がこれ以外に見つけられなかったため。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２９年８月１１日付け）

　(西暦年)×(平成年)が２平方数の和となるものは、次で全てです。

1989×1=42²+15²、33²+30²　、1993×5=98²+19²、74²+67²　、1997×9=102²+87²
2005×17=182²+31²、178²+49²、146²+113²、134²+127²　、2016×28=168²+168²
2017×29=238²+43²、202²+133²


　よおすけ（平成２９年８月１１日付け）

　2005になる２平方数の和を一部書き忘れていたので、ついでに。

　1989=42²+15²、33²+30²　、1993=43²+12²　、1997=34²+29²　、2005=39²+22²、41²+18²
　2016=不能　、2017=44²+9²

また、

1=1²+0²　、5=2²+1²　、9=3²+0²　、17=4²+1²　、28=不能　、29=5²+2²

このうち、(西暦年)×(平成年)=(a²+b²)(c²+d²)　かつ、a、b、c、d がすべて正の整数である
ものは、

1993×5=98²+19²、67²+74²

2005×17=182²+31²、178²+49²、113²+146²、134²+127²　（←後ろ２つ書き忘れ）

2017×29=238²+43²、133²+202²