当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２５年１２月１５日付け）
n=ｘ2+ｙ2 に対して、
ｎ2=(ｘ2-ｙ2)2+(2ｘｙ)2
ｎ3=(ｘ(ｘ2-3ｙ2))2+(ｙ(3ｘ2-ｙ2))2
ｎ4=(ｘ4-6ｘ2ｙ2+ｙ4)2+(4ｘｙ(ｘ2-ｙ2))2
という関係式を利用すれば、次々と平方数の和でｎの冪乗が構成できることになる。
そこで、現在、ｎ4までしかないものを、もっと拡張させて、ｎ5、ｎ6、ｎ7、･･･ なるものを作っ
てほしい。
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２５年１２月１５日付け）
適当にあてずっぽうで作りました。
ｎ5 = (ｘ(ｘ4-2ｘ2ｙ2-3ｙ4))2 + (ｙ(ｙ4-2ｙ2ｘ2-3ｘ4))2
ｎ6 = (ｘ6-5ｘ4ｙ2-5ｘ2ｙ4+ｙ6)2 + (4ｘｙ(ｘ4-ｙ4))2
ｎ7 = (ｘ(ｘ6-ｘ4ｙ2-5ｘ2ｙ4-3ｙ6))2 + (ｙ(ｙ6-ｙ4ｘ2-5ｙ2ｘ4-3ｘ6))2
これ以上はきりがないのでやめようと思ったのですが、式を因数分解したら、当たり前の
法則性がありました。
n2m = ((ｘ2+2ｘｙ-ｙ2)(ｘ2-2ｘｙ-ｙ2)(ｘ2+ｙ2)m-2)2 + (4ｘｙ(ｘ+ｙ)(ｘ-ｙ)(ｘ2+ｙ2)m-2)2
ｎ2m+1 = (ｘ(ｘ2-3ｙ2)(ｘ2+ｙ2)m-1)2 + (ｙ(ｙ2-3ｘ2)(ｘ2+ｙ2)m-1)2
つまり、左辺にｎ2を掛けたら、右辺の A2+B2 のA、Bにも ｘ2+ｙ2 を掛ければ成り立つとい
うことです。（当たり前ですね！）
偶数の方は、ｎ4 の式から作ると上のようになりますが、ｎ2 の式から作ると、
ｎ2m = ((ｘ+ｙ)(ｘ-ｙ)(ｘ2+ｙ2)m-1)2 + (2ｘｙ(ｘ2+ｙ2)m-1)2
となります。ｎ4 の式は、
ｎ4 = ((ｘ2-ｙ2)(ｘ2+ｙ2))2+(2ｘｙ(ｘ2+ｙ2))2= (ｘ4-ｙ4)2+(2ｘｙ(ｘ2+ｙ2))2
とも書けるということですね。
（コメント） n=ｘ2+ｙ2 に対して、ｎ2=(ｘ2-ｙ2)2+(2ｘｙ)2 、ｎ3=(ｘ(ｘ2-3ｙ2))2+(ｙ(3ｘ2-ｙ2))2 から、
機械的に順次、ｎ4、ｎ5、ｎ6、ｎ7、･･･ なるものが作れるという訳ですね！
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「数々の和」さんからのコメントです。
（平成２５年１２月１７日付け）
この問題は、単に高校２年で出てくる恒等式を帰納的に利用するだけだと思います．．．。
（１） 高校２年で出てくる恒等式 ： (a2＋b2)(c2＋d2)=(ac＋bd)2＋(ad−bc)2 によって、
ｎ=ｘ2+ｙ2 のとき、
ｎ2=(x2＋y2)(y2＋ｘ2)=(xy＋yx)2＋(x2−y2)2=(ｘ2-ｙ2)2+(2ｘｙ)2
ｎk=Xk2＋Yk2 (k≧2) が成り立つとする。
ｎk+1=(x2＋y2)(Xk2＋Yk2)=(ｘXk＋ｙYk)2＋(ｘYk−ｙXk)2 だから、
Xk+1=ｘXk＋ｙYk 、Yk+1=ｘYk−ｙXk
とすればよい。ただし、 X2=ｘ2−ｙ2 、Y2=2ｘｙ
（コメント） 数々の和さんの示された手順で、求め方が明確になりましたね！数々の和さん
に感謝します。
数々の和さんから追加のコメントです。（平成２５年１２月１９日付け）
（２） ただ単に、ｎkを二つの平方数の和で表せということだったら、上記のようなことをせず
に、次の式が最も簡単です。
ｋが奇数のとき、ｋ=2m＋1 とおくと、 ｎk＝{x・ｎm}2＋{y・ｎxm}2
ｋが偶数のとき、ｋ=2m＋2 とおくと、 ｎk＝{(x2−y2)・ｎm}2＋{2xy・ｎm}2
２つの平方数に分けたとき、両者が互いに素であるものを作るには（1）では不完全です。
次に示すやり方が簡単です。
（３） 複素数を使えばよい。
ｎ=x2＋y2=(x＋yi)(x−yi) だから、 ｎk=(x＋yi) k*(x−yi) k
それぞれのｋ乗を先に計算(二項定理)したのち、両者を掛ければ目的の式が得られる。
空舟さんからのコメントです。（平成２５年１２月２０日付け）
まだ指摘されていないようなので．．．。
(ｘ＋ｉ・ｙ)k の実部をA、虚部をBとすれば、A2＋B2＝(ｘ2＋ｙ2)k が成り立ちます。
（コメント） A2＋B2＝（Ａ＋Ｂｉ）（Ａ−Ｂｉ）＝(ｘ＋ｉ・ｙ)k(ｘ−ｉ・ｙ)k＝(ｘ2＋ｙ2)k
数々の和さんの（３）と同様に、最後は、計算(二項定理)が必要ですね！
空舟さんからのコメントです。（平成２５年１２月２０日付け）
本質的にはたぶん同じことでしょうが、複素数の絶対値の性質で説明された方がピンとく
るんではないでしょうか？「(複素数のn乗)の絶対値＝(複素数の絶対値)のn乗」という性質
は説明なしで良いと思いますが、その複素数として x+iy を考えるということです。
（コメント） 確かに、A2＋B2＝（Ａ＋Ｂｉ）（Ａ−Ｂｉ）＝(ｘ＋ｉ・ｙ)k(ｘ−ｉ・ｙ)k＝(ｘ2＋ｙ2)k は、
A2＋B2＝(ｘ＋ｉ・ｙ)k の絶対値の平方
＝(ｘ＋ｉ・ｙ の絶対値の平方)のｋ乗＝(ｘ2＋ｙ2)k とも考えられますね！
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２５年１２月１８日付け）
自然数ｎが２つの平方和で表せる（ｎ=ｘ2+ｙ2 (ｘ、ｙ：自然数)）ためのｎの条件は何でしょう？
らすかるさんからのコメントです。（平成２５年１２月１８日付け）
Ｗｅｂサイト：「二個の平方数の和」にあります。
（コメント） 当ＨＰの「２次体の整数論」−「整数論の基礎知識」も参考になるでしょうか？
定理（フェルマー・オイラーの素数定理）
有理素数 ｐ が、４で割って１余る数のとき、方程式 ｘ2＋ｙ2 ＝ ｐ は、有理整数
解を必ず持つ。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２５年１２月１８日付け）
らすかるさん、情報ありがとうございます。これだと、ｎを素因数分解したときの素数ｐが、
４ｋ＋１型と４ｋ＋３型に分類され、４ｋ＋３型の指数が偶数であるときでほとんどのものは発
見できるのですが、素数２についての情報がないので、例えば、
9=3^2、36=2^2*3^2、144=2^4*3^2 では不可能（4、16、64でも不可能）
18=2*3^2、72=2^3*3^2、162=2*3^4、180=2^2*3^2*5 では可能（8、32、128でも可能）
になることをどのように判定できるのでしょうか。
らすかるさんからのコメントです。（平成２５年１２月１８日付け）
4k+3型の素因数の指数が偶数ならば、「高々二個」の平方数の和で表されます。これは、
9=0^2+3^2 のようなものも含むから「高々二個」なわけですよね。
18、72、162、180は、その数自身が平方数ではないので、「0^2+○^2」という形にはならず、
「高々二個」の平方数の和で表されることから、「ちょうど二個」の平方数の和で表されます。
9、36、144はその数自身が平方数なので、「0^2+○^2」という形しかないかも知れませんが、
それは、「二個の平方数の和」の下の方に書いてある「ヤコビの二平方定理」で判定できま
す。
9の奇約数は、1、3、9なので、 (-1)^((1-1)/2)+(-1)^((3-1)/2)+(-1)^((9-1)/2)=1
つまり、符号と入れ替えを無視して、１通りしかないので、9=0^2+3^2しかありません。
（「ヤコビの二平方定理」ではその4倍ですが、9=(±3)^2+0^2=0^2+(±3)^2の4通りです。）
同様に、36や144の奇約数も1、3、9ですから同じです。そしてこの式をもう少し調べると、
結局、2の偶数乗と4n+3型の素数の偶数乗の積で表される数は、「0^2+○^2」の形でしか表
せず、自然数二個の平方和では表せないことになります。
従って、ちょうど二個の自然数の和で表せる数は、
「4n+3型の素因数の指数が偶数」かつ（「2の指数が奇数」または「4n+1型の素因数を含む」）
言い換えれば、(4k+1型以外の素因数)^2で割れるだけ割った結果が、
「4k+3型の素因数を含まない2以上の数」となる数
となりますね。