当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２６年４月２日付け）
ｎを正の整数とするとき、Σk=1〜n cos{(2kπ)/(2n+1)} の値を求めよ。
（類題） お茶の間クイズ＆パズル「数列と三角関数」
（答） ＡＢＣＤＥＦさんが考察されました。（平成２６年４月２日付け）
θ＝2π/(2n+1)、w=cosθ+i・sinθ とおく。このとき、
Σk=1〜n cos{(2kπ)/(2n+1)}＝(Σk=1〜n wk)の実数部分
である。w2n+1=1 であるから、w、w2、w3、･･･、w2n、w2n+1=1 は、すべて2n+1乗すれば、1に
なる。これらの2n+1個はすべて異なるから、x2n+1-1=0 の解のすべてである。
x2n+1-1=(x-1)(x2n+x2n-1+････+x+1) であるから、x2n+x2n-1+････+x+1=0 の解は、
w、w2、w3、･･･、w2n
である。解と係数の関係より、Σk=1〜2n wk=-1
ここで、 cos(2n+1-k)θ=cos(2π-kθ)=cos(kθ) より、
（Σk=1〜n wk）の実数部分=（Σk=n+1〜2n wk）の実数部分
従って、 （Σk=1〜n wk）の実数部分=-1/2 だから、答えは、-1/2
DD++さんも考察されました。（平成２６年４月２日付け）
正2n+1角形を使うのが実用的でしょうが、この形なら私は以下の解答が好きですね。
与えられた和をSとして、2sin(π/(2n+1)) をかけて考えると、
2S sin(π/(2n+1))= Σk=1〜n 2cos((2kπ)/(2n+1))sin(π/(2n+1))
= Σk=1〜n｛ sin((2k+1)π/(2n+1))-sin((2k-1)π/(2n+1))｝
= -sin(π/(2n+1))
よって、 S=-1/2
同じような解法をとる有名な問題はこれでしょうか。
ｎを正の整数とするとき、相乗 Π[k=1,n] cos((2k-1 π)/(2n+1)) の値を求めよ。
よおすけさんからのコメントです。（平成２６年４月２日付け）
ABCDEFさん、DD++さん、解答ありがとうございます。この問題は、「数列と三角関数」や、
チェビシェフのページにあった、「cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)」を見て、興味があっ
たので作ってみました。例えば、上の式は、この問題で、「n=3」とすれば答えが出るでしょう。