数列と三角関数
当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
(平成24年5月25日付け)
cos24゚+cos48゚+cos72゚+cos96゚+cos120゚+cos144゚+cos168゚
の値を求めよ。
(答) -1/2
よおすけさんの解答を挙げておきます。和を積になおす公式より、
cos48゚+cos72゚=2cos{(48゚+72゚)/2}cos{(48゚-72゚)/2}
=2cos60゚cos(-12゚)=cos12゚
cos96゚+cos144゚=2cos{(96゚+144゚)/2}cos{(96゚-144゚)/2}
=2cos120゚cos(-24゚)=-cos24゚
また、 cos168゚=cos(180゚-12゚)=-cos12゚
よって、
与式=cos24゚+cos12゚+cos120゚+(-cos24゚)+(-cos12゚)
=cos120゚=-1/2
攻略法さんからのコメントです。(平成24年5月26日付け)
θ=24゚、48゚、96゚、120゚、168゚ のとき、
5θ=120゚、240゚、480゚(=360゚+120゚)、600゚(=360゚+240゚)、840゚(=720゚+120゚)
なので、
cos5θ=-1/2 即ち、 16cos5θ-20cos3θ+5cosθ=-1/2 を満たす。(→ 参考)
よって、cos24゚、cos48゚、cos96゚、cos120゚、cos168゚ は、32x5-40x3+10x+1=0 の解となる。
すべて異なるから、その和は、解と係数の関係により、0
また、θ=72゚、144゚ のとき、cos5θ=1 を満たすので、 16cos5θ-20cos3θ+5cosθ=1
よって、 cos72゚、cos144゚ は、16x5-20x3+5x-1=0 即ち、 (x-1)(4x2+2x-1)2=0 の解
x≠1 なので、 4x2+2x-1=0 の解となる。その和は、解と係数の関係により、-1/2
したがって、
cos24゚+cos48゚+cos72゚+cos96゚+cos120゚+cos144゚+cos168゚=0+(-1/2)=-1/2
(参考) Σ[k=1,n]coskθ
=-1/2 θ=π/(n+1/2)のとき
=-1 θ=π/nのとき
=0 θ=π/(n+1)のとき
類題 cos24゚cos48゚cos72゚cos96゚cos120゚cos144゚cos168゚ の値を求めよ。
(答) (-1/32)(-1/4)=1/128
類題 cos12゚cos24゚cos36゚cos48゚cos60゚cos72゚cos84゚ の値を求めよ。
(答) cos12゚cos24゚cos36゚cos48゚cos60゚cos72゚cos84゚
={-cos(180゚-12゚)}cos24゚{-cos(180゚-36゚)}cos48゚cos60゚cos72゚{-cos(180゚-84゚)}
={-cos168゚}cos24゚{-cos144゚}cos48゚cos60゚cos72゚{-cos96゚}
={ cos24゚cos48゚cos72゚cos96゚cos144゚cos168゚} (-1) cos60゚
={ cos24゚cos48゚cos72゚cos96゚cos144゚cos168゚} (-1/2)
={ cos24゚cos48゚cos72゚cos96゚cos144゚cos168゚} cos120゚
=cos24゚cos48゚cos72゚cos96゚cos120゚cos144゚cos168゚
=1/128
(別解) sin2θ=2sinθcosθより、
2(cos12゚)=(sin24゚)/(sin12゚) 、2(cos24゚)=(sin48゚)/(sin24゚) 、2(cos36゚)=(sin72゚)/(sin36゚)
2(cos48゚)=(sin96゚)/(sin48゚)={sin(180゚-96゚)}/(sin48゚)=(sin84゚)/(sin48゚) 、2(cos60゚)=1
2(cos72゚)=(sin144゚)/(sin72゚)=(sin36゚)/(sin72゚) 、
2(cos84゚)=(sin168゚)/(sin84゚)=(sin12゚)/(sin84゚)
辺々かけて、27×(与式)=1 より、 与式=1/128
(コメント) 攻略法さんの解答は、エレガントですね!
よおすけさんからのコメントです。(平成24年5月26日付け)
攻略法さん、ありがとうございます。更には、積の問題も出していただいて・・・。解と係数と
の関係を使った解法があったとは知りませんでした。
らいさんからのコメントです。(平成24年5月26日付け)
攻略法さんの(参考)について、おそらくご存じだろうと思うので恐縮ですが、具体的には
Σ[k=1,n]coskθ= sin(n+1/2)θ/2sin(θ/2)-1/2= (sin(n+1)θ+sin(nθ))/2sinθ-1/2
となりますね。
よおすけさんからのコメントです。(平成24年5月27日付け)
この問題は、大学への数学 一対一対応の演習 数学Uの70ページに載っていた問題です。
ですが、今年より数学T、Aや理科が新範囲になったので、新範囲の数学Uでもこの問題が
紹介されるか分からないので購入されたい方はお早めに・・・
ぽっぽさんからのコメントです。(平成24年5月27日付け)
この問題を図形的に考えてみました。
頂角Aが 12゚ である二等辺三角形ABCの辺AB上に P1、P2、P3 を、辺AC上にQ1、Q2、
Q3を、 AP1=P1Q1=Q1P2=P2Q2=Q2P3=P3Q3=Q3B=BC=1 になるようにとるこ
とを考える。
このとき、
AB=AP1+P1P2+P2P3+P3B=1+2cos24゚+2cos48゚+2cos72゚
AC=AQ1+Q1Q2+Q2Q3+Q3C=2cos12゚+2cos36゚+2cos60゚+2cos84゚
=-2cos168゚-2cos144゚-2cos120゚-2cos96゚
AB=ACより、 1+2cos24゚+2cos48゚+2cos72゚=-2cos168゚-2cos144゚-2cos120゚-2cos96゚
1+2cos24゚+2cos48゚+2cos72゚+2cos96゚+2cos120゚+2cos144゚+2cos168゚=0
よって、 cos24゚+cos48゚+cos72゚+cos96゚+cos120゚+2cos144゚+2cos168゚=-1/2
※積の方は、正30角形の一点から出る対角線の長さの積と正15角形の対角線の長さの
積を考えれば、図形的に解けるようです。
よおすけさんからのコメントです。(平成24年5月27日付け)
ぽっぽさん、らいさん、ありがとうございます。自分は正多角形をつかうことは思いつかな
かったので・・・
らいさんや攻略法さんの紹介した式を使うと、以下のようにもできます。
納1,n]coskθ=(sin(n+1/2)θ/2sin(θ/2))-1/2 であるから、与式は、n=7としたときの
θ=24゚に等しい。よって、
cos24゚+cos48゚+・・・+cos168゚=納1,7]cos24゚k=(sin180゚/sin12゚)-1/2=0-1/2=-1/2