当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２４年５月２５日付け）
cos24ﾟ＋cos48ﾟ＋cos72ﾟ＋cos96ﾟ＋cos120ﾟ＋cos144ﾟ＋cos168ﾟ
の値を求めよ。
（答） -1/2
よおすけさんの解答を挙げておきます。和を積になおす公式より、
cos48ﾟ＋cos72ﾟ＝2cos{(48ﾟ＋72ﾟ)/2}cos{(48ﾟ-72ﾟ)/2}
＝2cos60ﾟcos(-12ﾟ)＝cos12ﾟ
cos96ﾟ＋cos144ﾟ＝2cos{(96ﾟ＋144ﾟ)/2}cos{(96ﾟ-144ﾟ)/2}
＝2cos120ﾟcos(-24ﾟ)＝-cos24ﾟ
また、 cos168ﾟ＝cos(180ﾟ-12ﾟ)＝-cos12ﾟ
よって、
与式＝cos24ﾟ＋cos12ﾟ＋cos120ﾟ＋(-cos24ﾟ)＋(-cos12ﾟ)
＝cos120ﾟ＝-1/2
攻略法さんからのコメントです。（平成２４年５月２６日付け）
θ=24ﾟ、48ﾟ、96ﾟ、120ﾟ、168ﾟ のとき、
5θ=120ﾟ、240ﾟ、480ﾟ(=360ﾟ+120ﾟ)、600ﾟ(=360ﾟ+240ﾟ)、840ﾟ(=720ﾟ+120ﾟ) なので、
cos5θ=-1/2 即ち、 16cos5θ-20cos3θ+5cosθ=-1/2 を満たす。（→ 参考）
よって、cos24ﾟ、cos48ﾟ、cos96ﾟ、cos120ﾟ、cos168ﾟ は、32ｘ5-40ｘ3+10ｘ+1=0 の解となる。
すべて異なるから、その和は、解と係数の関係により、0
また、θ=72ﾟ、144ﾟ のとき、cos5θ=1 を満たすので、 16cos5θ-20cos3θ+5cosθ=1
よって、 cos72ﾟ、cos144ﾟ は、16ｘ5-20ｘ3+5ｘ-1=0 即ち、 (ｘ-1)(4ｘ2+2ｘ-1)2=0 の解
ｘ≠1 なので、 4ｘ2+2ｘ-1=0 の解となる。その和は、解と係数の関係により、-1/2
したがって、
cos24ﾟ＋cos48ﾟ＋cos72ﾟ＋cos96ﾟ＋cos120ﾟ＋cos144ﾟ＋cos168ﾟ=0+(-1/2)=-1/2
（参考） Σ[k=1,n]coskθ
=-1/2 θ=π/(n+1/2)のとき
=-1 θ=π/nのとき
=0 θ=π/(n+1)のとき
類題 cos24ﾟcos48ﾟcos72ﾟcos96ﾟcos120ﾟcos144ﾟcos168ﾟ の値を求めよ。
（答） (-1/32)(-1/4)=1/128
類題 cos12ﾟcos24ﾟcos36ﾟcos48ﾟcos60ﾟcos72ﾟcos84ﾟ の値を求めよ。
（答） cos12ﾟcos24ﾟcos36ﾟcos48ﾟcos60ﾟcos72ﾟcos84ﾟ
={-cos(180ﾟ-12ﾟ)}cos24ﾟ{-cos(180ﾟ-36ﾟ)}cos48ﾟcos60ﾟcos72ﾟ{-cos(180ﾟ-84ﾟ)}
={-cos168ﾟ}cos24ﾟ{-cos144ﾟ}cos48ﾟcos60ﾟcos72ﾟ{-cos96ﾟ}
={ cos24ﾟcos48ﾟcos72ﾟcos96ﾟcos144ﾟcos168ﾟ} (-1) cos60ﾟ
={ cos24ﾟcos48ﾟcos72ﾟcos96ﾟcos144ﾟcos168ﾟ} (-1/2)
={ cos24ﾟcos48ﾟcos72ﾟcos96ﾟcos144ﾟcos168ﾟ} cos120ﾟ
=cos24ﾟcos48ﾟcos72ﾟcos96ﾟcos120ﾟcos144ﾟcos168ﾟ
=1/128
（別解） sin2θ=2sinθcosθより、
2(cos12ﾟ)=(sin24ﾟ)/(sin12ﾟ) 、2(cos24ﾟ)=(sin48ﾟ)/(sin24ﾟ) 、2(cos36ﾟ)=(sin72ﾟ)/(sin36ﾟ)
2(cos48ﾟ)=(sin96ﾟ)/(sin48ﾟ)={sin(180ﾟ-96ﾟ)}/(sin48ﾟ)=(sin84ﾟ)/(sin48ﾟ) 、2(cos60ﾟ)=1
2(cos72ﾟ)=(sin144ﾟ)/(sin72ﾟ)=(sin36ﾟ)/(sin72ﾟ) 、
2(cos84ﾟ)=(sin168ﾟ)/(sin84ﾟ)=(sin12ﾟ)/(sin84ﾟ)
辺々かけて、27×(与式)=1 より、 与式=1/128
（コメント） 攻略法さんの解答は、エレガントですね！
よおすけさんからのコメントです。（平成２４年５月２６日付け）
攻略法さん、ありがとうございます。更には、積の問題も出していただいて・・・。解と係数と
の関係を使った解法があったとは知りませんでした。
らいさんからのコメントです。（平成２４年５月２６日付け）
攻略法さんの（参考）について、おそらくご存じだろうと思うので恐縮ですが、具体的には
Σ[k=1,n]coskθ= sin(n+1/2)θ/2sin(θ/2)-1/2= (sin(n+1)θ+sin(nθ))/2sinθ-1/2
となりますね。
よおすけさんからのコメントです。（平成２４年５月２７日付け）
この問題は、大学への数学 一対一対応の演習 数学Ⅱの70ページに載っていた問題です。
ですが、今年より数学Ⅰ、Aや理科が新範囲になったので、新範囲の数学Ⅱでもこの問題が
紹介されるか分からないので購入されたい方はお早めに・・・
ぽっぽさんからのコメントです。（平成２４年５月２７日付け）
この問題を図形的に考えてみました。
頂角Ａが 12ﾟ である二等辺三角形ＡＢＣの辺ＡＢ上に Ｐ1、Ｐ2、Ｐ3 を、辺ＡＣ上にＱ1、Ｑ2、
Ｑ3を、 ＡＰ1＝Ｐ1Ｑ1＝Ｑ1Ｐ2＝Ｐ2Ｑ2＝Ｑ2Ｐ3＝Ｐ3Ｑ3＝Ｑ3Ｂ＝ＢＣ＝1 になるようにとるこ
とを考える。
このとき、
ＡＢ＝ＡＰ1+Ｐ1Ｐ2+Ｐ2Ｐ3+Ｐ3Ｂ＝1+2cos24ﾟ＋2cos48ﾟ＋2cos72ﾟ
ＡＣ＝ＡＱ1+Ｑ1Ｑ2+Ｑ2Ｑ3+Ｑ3Ｃ＝2cos12ﾟ＋2cos36ﾟ＋2cos60ﾟ+2cos84ﾟ
＝-2cos168ﾟ-2cos144ﾟ-2cos120ﾟ-2cos96ﾟ
AB=ACより、 1+2cos24ﾟ＋2cos48ﾟ＋2cos72ﾟ＝-2cos168ﾟ-2cos144ﾟ-2cos120ﾟ-2cos96ﾟ
1+2cos24ﾟ＋2cos48ﾟ＋2cos72ﾟ+2cos96ﾟ+2cos120ﾟ+2cos144ﾟ+2cos168ﾟ＝0
よって、 cos24ﾟ＋cos48ﾟ＋cos72ﾟ+cos96ﾟ+cos120ﾟ+2cos144ﾟ+2cos168ﾟ＝-1/2
※積の方は、正30角形の一点から出る対角線の長さの積と正15角形の対角線の長さの
積を考えれば、図形的に解けるようです。
よおすけさんからのコメントです。（平成２４年５月２７日付け）
ぽっぽさん、らいさん、ありがとうございます。自分は正多角形をつかうことは思いつかな
かったので・・・
らいさんや攻略法さんの紹介した式を使うと、以下のようにもできます。
∑[1,n]coskθ＝(sin(n+1/2)θ/2sin(θ/2))-1/2 であるから、与式は、n＝7としたときの
θ＝24ﾟに等しい。よって、
cos24ﾟ＋cos48ﾟ＋・・・＋cos168ﾟ＝∑[1,7]cos24ﾟk＝(sin180ﾟ/sin12ﾟ)-1/2＝0-1/2＝-1/2