当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和元年６月７日付け）
多項式 P(x)をx-３で割ると、商はQ(x)、余りは１５で、Q(x)をx+５で割ると、余りは４である
という。このとき、多項式 P(x)を(x-３)(x+５)で割った余りを答えよ。
（答） 題意より、 P(x)＝（x-３）Q(x)＋１５ 、Q(−５)＝４ なので、
多項式 P(x)を(x-３)(x+５)で割った余りを ａｘ＋ｂ とおくと、
３ａ＋ｂ＝１５ 、 −５ａ＋ｂ＝−１７
これを解いて、 ａ＝４ 、ｂ＝３ なので、求める余りは、 ４ｘ＋３
よおすけさんから別解をいただきました。（令和元年６月８日付け）
問題文より、P(x)=(x-３)Q(x)+１５
Q(x)の商をQ’(x)とすると、Q(x)=(x+５)Q’(x)+４なので、Q(x)の右辺を上式に入れて、
P(x)=(x-３)((x+５)Q’(x)+４)+１５=(x-３)(x+５)Q’(x)+４x+３
よって、P(x)の余りは、４x+３
（参考） 私の疑問-意外な疑問 (21)剰余の定理
連立方程式の回避-例４ 多項式の整除問題（１）