いつ出てくる？　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２５年２月１７日付け）

　２^ｎ を書き下したとき、先頭に１〜９の数字が初めて現れてくるまでのそれぞれのｎを調査

してみて下さい。





































（答）　 よおすけさんが考察されました。（平成２５年２月１７日付け）

　以下は、関数電卓で、ｎ＝３３までで探したものです。n=-1以下は分数なので先頭は0。

　　先頭が1:n=0
　　先頭が2:n=1
　　先頭が3:n=5
　　先頭が4:n=2
　　先頭が5:n=9
　　先頭が6:n=6
　　先頭が8:n=3
　　先頭が7または9:n=33まではなし

　今挙げたものは整数を前提としています。tan2°やπや自然対数eもOKなら見つか
るかもしれませんが・・・・


（コメント）　問題が常用対数の指標と仮数に関するもので懐かしいですね！

　　　　　「平成１３年度京都大学理系入試問題」にあるように、

　　　　ｎ＝４６のとき、先頭の数字は７　、ｎ＝５３のとき、先頭の数字は９

　　　　になります。（→　参考：「数字の出やすさ」）

　よおすけさんのご指摘に触発され、負の整数についてもＥｘｃｅｌ さんにご協力いただいて
調べてみた。

　上記の表から、

　　先頭に初めて1が現れる：n=-3
　　先頭に初めて２が現れる：n=-2
　　先頭に初めて３が現れる：n=-5
　　先頭に初めて４が現れる：n=-21
　　先頭に初めて５が現れる：n=-1
　　先頭に初めて６が現れる：n=-4
　　先頭に初めて７が現れる：n=-7
　　先頭に初めて８が現れる：n=-50
　　先頭に初めて９が現れる：n=-20

という調査結果でした。


　らすかるさんからのコメントです。

　先頭が7は、n=46　、先頭が9は、n=53　ですね。

　２¹⁰=1024 なので、しばらくは先頭が　2,4,8,1,3,6,1,2,5,1 の繰り返しになりますね。そのうち
繰り上がってそれぞれが1増えるわけですが、

　初めて先頭が7になるのは最初のループで6である　２¹⁰ⁿ⁺⁶ のはずで、

　初めて先頭が9になるのは最初のループで8である　２¹⁰ⁿ⁺³ のはずです。

　よって、２⁶に1024を掛けていけば最初の7が見つかり、２³に1024を掛けていけば最初の
9が見つかりますね。また、実際に掛けなくても

　　(log7-log6.4)/log1.024=3.778…＜4 から、２^10・4+6

　　(log9-log8)/log1.024=4.966…＜5 から、２^10・5+3

のように計算でも出せます。

　では、先頭２桁が最初に97になるのは、２の何乗でしょう？


（コメント）　ｎ＝279　のとき、先頭２桁が最初に97になる。


　攻略法さんからのコメントです。（平成２５年２月１８日付け）

　２^ｎの場合　→　（参考）　A018856　　　　0, 1, 5, 2, 9, 6, 46, 3, 53

　３^ｎの場合　→　（参考）　A018858　　　　0, 3, 1, 14, 10, 8, 6, 4, 2