当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２６年８月１８日付け）
各成分が正の整数で、
M2=[a1,a2]
[b1,b2]
の2×2行列において、a1=b2=1、a2*b1-a1*b2=1 の条件を満たすものを調べると、
M2=[1,2] または、 M2=[1,1]
[1,1] {2,1]
の2通りがある。同じく、
M3=[a1,a2,a3]
[b1,b2,b3]
の2×3行列において、a1=b3=1、a3*b2-a2*b3=a2*b1-a1*b2=1 の条件を満たすものが何
通りできるか？
また、
M10=[a1,a2,a3,･････,a10]
[b1,b2,b3,･････,b10]
の2×10行列において、a1=b10=1、a10*b9-a9*b10=a9*b8-a8*b9=･････=a2*b1-a1*b2=1
の条件を満たすものは何通りあるか？
さらに一般的に、
Mn=[a1,a2,a3,･････,an]
[b1,b2,b3,･････,bn]
での条件を満たすものの個数はどうなるか？（a1=bn=1、各成分での条件は同じとする。）
（コメント） 気になったので少し計算．．．。
ｎ＝３のとき、 a3b2-a2=1、a2b1-b2=1 からb2を消去して、a2a3b1-a2-a3=1 すなわち、
(b1a2-1)(b1a3-1)=b1+1
そこで、b1=1 のとき、 (a2,a3,b1)=(2,3,1)、(3,2,1)
b1=2 のとき、 (a2,a3,b1)=(1,2,2)、(2,1,2)
b1=3 のとき、 (a2,a3,b1)=(1,1,3)
確かな自信はないが、これ以上解はないような予感！よって、ｎ＝３のときは、５通り。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年８月２１日付け）
要は、 ……, 1/4, 1/3, 1/2, 1/1, 2/1, 3/1, 4/1, …… という数列から 1/1
を含んで、連続 2 項以上を取り出し、中間数で間を埋めて、n項にすればいい
わけですよね。
n=2 のとき、 「1/2, 1/1」、「1/1, 2/1」 の 2 通り
n=3 のとき、 「1/3, 1/2, 1/1」、「1/2, 2/3, 1/1」、「1/2, 1/1, 2/1」、「1/1, 3/2, 2/1」、
「1/1, 2/1, 3/1」 の 5 通り
n=4 のとき、 「1/4, 1/3, 1/2, 1/1」、「1/3, 2/5, 1/2, 1/1」、「1/3, 1/2, 2/3, 1/1」
「1/3, 1/2, 1/1, 2/1」、「1/2, 3/5, 2/3, 1/1」、「1/2, 2/3, 3/4, 1/1」
「1/2, 2/3, 1/1, 2/1」、「1/2, 1/1, 3/2, 2/1」、「1/2, 1/1, 2/1, 3/1」
「1/1, 4/3, 3/2, 2/1」、「1/1, 3/2, 5/3, 2/1」、「1/1, 3/2, 2/1, 3/1」
「1/1, 2/1, 5/2, 3/1」、「1/1, 2/1, 3/1, 4/1」 の 14 通り
雰囲気的にカタラン数でしょうか？証明はできていませんが．．．。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年８月２２日付け）
見抜かれましたね。
a1=1、a2=2、a3=5、a4=14
以下の現れ方
a5=a4+a1*a3+a2*a2+a3*a1+a4=2*a4+2*a1*a3+a2^2=2*14+2*1*5+2^2=42
a6=a5+a1*a4+a2*a3+a3*a2+a4*a1+a5=2*a5+2*a1*a4+2*a2*a3=2*42+2*1*14+2*2*5=132
a7=a6+a1*a5+a2*a4+a3*a3+a4*a2+a5*a1+a6=2*a6+2*a1*a5+2*a2*a4+a3^2=429
a8=2*a7+2*a1*a6+2*a2*a5+2*a3*a4=1430
a9=2*a8+2*a1*a7+2*a2*a6+2*a3*a5+a4^2=4862
a10=2*a9+2*a1*a8+2*a2*a7+2*a3*a6+2*a4*a5=16796
･･･････････････････
･･･････････････････
一般に、 an=2nＣn/(n+1)
こんな所にカタラン数が現れるなんて知らなかった。勉強が（カ)タランと痛切した。
しかし、DD++さんはどんな分野にも精通され物事の本質を見抜ける能力は只者ではない
ですね。こんな人とはネットでしか出会えないです。
（コメント） この問題に、当ＨＰの「隣り合う分数」や「カタラン数」に関係しているんですね！
驚きました。