質問に対する回答（１８） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、当ＨＰ読者のＨＮ「中年Ａ」さんより、質問の書き込みが
あった。（平成２４年３月８日付け）

　図形かつ三角関数的な問題です。

左図において、 　　　∠ＥＢＤの大きさを求めよ。

　この問題は、もう１０年以上前に知人から尋ねられた問題です。図示すれば角度の予測が
ついて、そこから，「天下り的」というか、逆方向をたどると、その予測角度の正しさは説明が
ついたのですが．．．。私の中で、まだストレートな解法を見いだせていないのです。


　空舟さんからのコメントです。（平成２４年３月８日付け）

　20°ですか...こういうタイプは、

　図示すれば角度の予測がついて、そこから，「天下り的」というか、逆方向をたどると、その
予測角度の正しさは説明がついたのですが．．．。

　こんな風に解くしかないと私は認識しています。補助線を上手く引いて、初等幾何的に求め
られる方法はあるかもしれません。それは、私はまだ見つけていません。なぜなら、一般には
角度が有理数°になる保証がないからです。たぶん...。せっかくなので「発想はみんなちがう
がみんないい。」という精神に則って1つの発想を示しておきます。

　最近考察している多項式を使って、DE＝であることを示します。（というより確かめます。）

　f(ｘ)=ｘ³-3ｘ-1＝0　の解の１つが、2cos20°になります。（→　参考：「角の３等分方程式」）

その解を、αとおきます。(このf(ｘ)は、ｙ¹⁸-1の因数の1つ(ｙ⁶-ｙ³+1)において、ｘ=ｙ+1/ｙ とおくと得ます)

　AB＝4cos20°＝2α　、DE＝(2α+1)tan20°ただし、tan20°＝√((4-α²)/α²)　です。

　このとき、　DE²＝(2α+1)²(4-α²)/α²　で、これから３を引いてコンピュータに因数分解

させると、　DE²-3＝-4(α+1)(α³-3α-1)/α²＝０

　このf(ｘ)は、私の投稿のk=18、m=2の場合の代表的な場合です。この場合、f(ｘ)の素因数
は、3か18N±1型素数のみで、逆に、

　18N±1型素数の積であるｐに対して、f(ｘ)がｐで割り切れる ｘ が存在する。

が成り立つと思います。

　上記の問題の幾何的な解答です。

　ACの中点をPとする。直線DEに関してBと対称な点B’をとる。PとB、B’を結ぶ。このとき、

　　AP=CP=PB=BB’=2

である。よって、二等辺三角形PABの底角は20°なので、二等辺三角形BPB’の底角は10°

　よって、∠B’PE＝40°-10°＝30°

　直線AEに関してB’と対称な点B”をとると、△PB’B”は、頂角60°の二等辺三角形になる

から正三角形となり、三辺相等で、　△PBB”≡△B’BB”　である。

左図において、△BB’B”　に注目する。 　　△PBB”≡△B’BB”　より 　　　∠ＢB”B’＝60°/2＝30° 　　　∠B’BB”＝∠PBB’/2＝80° 　　また、∠BB’B”＝∠BB’P＋60°＝70°

　一方、B’の定義より、BE=B’E　で、B”の定義より、B’E=B”E

　ここで、∠EBB’＝∠EB’B＝ｘ°、∠EBB”＝∠EB”B＝ｙ°、∠EB”B’＝∠EB’B”＝ｚ°と

おくと、　ｘ＋ｙ=80　、ｙ+ｚ=30　、ｚ+ｘ=70　であるから、　ｘ=60、ｙ=20、ｚ=10

　よって、∠EBＤ＝∠EBB’＝ｘ°＝60°を得ました。


（コメント）　空舟さんの幾何的な解答に感動しました！ＡＣの中点Ｐをとって、正三角形
　　　　　　ＰＢ’Ｂ”を考える発想が素晴らしいです．．．。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年３月９日付け）

　Ａを座標軸の原点とし、ＡＢ方向を、ｘ 軸とする。∠EBD=β、DE=Y とすると、

　(4ｃｏｓ（π/9） + 1，Y) を、直線 ｙ = ｘ・ｔan（π/9） に代入して、

　　　Y = (4ｃｏｓ（π/9） + 1)・ｔan（π/9） = 4ｓｉｎ（π/9） + ｔan（π/9）

　また、　Y = ｔanβ　である。計算により、　Y = 　となる。よって、　β＝60°


（コメント）　Y = 　であることは、手計算で追認出来ませんでした！

　Ｓ（Ｈ）さんによれば、「(1 + 4*cos(Pi/9))*tan(Pi/9)」と「Pi=3.14」を、「フリー計算」に代入す
ると求まるそうです。


（追記）　上記話題について、当ＨＰ読者のＨＮ「Melty」さんが考察されました。
　（平成２５年１月９日付け）

　約１年前のS(H)さんの解答を見て、何とか手計算で解が導けるのではないかと思いました
が、うまくいきませんでした。以下、当方の導いた結果です。

準備　　３倍角の公式 sin 3θ = 3sinθ - 4sin³ θ において、θ= 20°とおくと

　sin 60°= 3sin 20°- 4sin³ 20°より、　8sin³ 20°= 6sin 20°-　を得る。

　証明(?)

　4sin 20°＋tan 20°= k とおくと、tan 20°= k - 4sin 20°であり、tan 60°= より、

= tan 60°= tan(3*20°) = (3tan 20°-tan³ 20°)/(1-3tan² 20°)
= {3(k-4sin 20°) - (k - 4sin 20°)³}/{1-3(k-4sin20°)²}
={(3k-k³)-12(1-k²)sin20°-48ksin²20°+64sin³20°}/{(1-3k²)+24ksin20°-48sin²20°}
={(3k-k³)-12(1-k²)sin20°-48ksin²20°+8(6sin20°-√3)}/{(1-3k²)+24ksin20°-48sin²20°}
={(-k³+3k-8√3)+12(k²+3)sin20°-48ksin²20°}/(1-3k²+24ksin20°-48sin²20°)

　であり、分母を払って、

{(1-3k²)+24ksin20°-48sin²20°}=(−k³+3k-8√3)+12(k²+3)sin20°-48ksin²20°
⇔　(k³-3k²-3k+9)-12(k²-2k+3)sin20°+48(k-)sin²20°=0
⇔　(k-){(k²-2k-9)-12(k-)sin20°+48sin²20°}=0
⇔　k=，-6sin20°±√{24-12(sin20°+1)²}

となる。これでは、k の値が３つ出てきてしまいます。当方の結果のどこに不備があるか、
教えていただけませんか?


　空舟さんからのコメントです。（平成２５年１月９日付け）

　理屈だけ説明すると、次のような理屈かと思います。

　＝...＝(3tan20°-tan³20°)/(1-3tan²20°)
　＝{3(k-4sin20°)-(k-4sin20°)³}/{1-3(k-4sin20°)}

という風に方程式を立てていますが、一般に、

　tan20°=k-4sin20°ならば　f(tan20°)＝f(k-4sin20°)

は成り立ちますが、

　f(tan20°)＝f(k-4sin20°)　ならば　tan20°=k-4sin20°

であるとは限りません。すなわち他の解が出る可能性が有ります。今回の場合

　f(ｘ)＝(3ｘ-ｘ³)/(1-3ｘ²)

です。ソフトでグラフを書くと、確かに、ｙ=f(ｘ) は単射ではありません。


※残りの2つの解は　k=4sin20°+tan(20°±60°)　に相当するんじゃないかと思います。


　Melty さんからのコメントです。（平成２５年１月９日付け）

　空舟さん、ありがとうございます。単射ではなかった為に、逆が成立しなかったのですね。
これを踏まえて、もう一度考え直したいと思います。


　中年Ａさんからのコメントです。（平成２４年３月９日付け）

　空舟さん、S(H)さん、御教示に感謝です。ありがとうございます。S(H)さんの解法は、小生
には理解できない「記号」などがありまして、これはネットなどで調べつつ学習します。π/9
の正接とは何か、からスタートする小生なのです。大学初等レベル、電子環境での数学、と
いうものに全く疎い小生です。高校レベルも十分ではありませんが。

　空舟さんの投稿は，共に理解できました。三角関数の三倍角の式を用いた方法。これに
たどり着きたかったのが一つ。２０度の余弦を２倍する。ここに気づきませんでした。
（まだ十分には理解できてないと思いつつ）

　初等幾何的方法。「Ｂ’のＡＥに関する対称点」。これは全くトライしませんでした。「うーん」
です。ＢＥ＝２の予想から、ＡＣの中点ＰやＢＤ＝Ｂ’Ｄの点Ｄなどはトライしたのですが、そこ
から先は、私は、直線ＡＢに関して全体の対称な図形を下に描くという方向ばかりを企てま
した。それこそ、いく通りの図を描いたか．．．。「角の二等分線の比」「メネラウス」「チェバ」
など、現状では徒労に終わっていることばかりです。空舟さんの解法、嬉しき限りです。

　一体、この問題のネタ、大元は何か。これも考えたいと。４０度、７０度、７０度の二等辺三
角形から作れるのだろうと今は思っているのですが。

　改めて、皆さん、有難うございます。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年３月１０日付け）

　上記の問題を「角Ａ問題」と命名します。

　角A問題　<---　EQ　--->　ED問題　<---　EQ　--->　角EBD　です。
　20度　<-------------->　　　　<----------->　想定の範囲内過ぎの60度

　角Aが 36度のとき、多様な発想で解き愉しみなさいと飯高先生。

(1)　分度器を文房具店でかってもらった、アバウトであったあの頃へ：

　　　36度　<--->　メジャ-で：_____　<--->　分度器で：____度

(2)　ED=√（5 + 2） と導出過程を隠匿し云った學生が存在した。近似値を「フリー計算」
　　で求め、図を描き、分度器で角EADを計測すると、約=__________。それを弧度法で表し、約
　　_____π（ラジアン）

　隠匿した學生の発想で、ED=√（5 + 2）を導出して下さい。他の多様な発想で、
　ED=√（5 + 2）を導出して、「みんなちがって、みんないい」の賛同者を国外にも増やし
　てください。

  二重根号がお気に入りな先生がいたなぁと思い出して、√（5 + 2）の根号が外せるか
否かを考察し、ついでに代数學の講義で出された演習問題 9-3、4、5 をも解いて愉しんで
ください。

　√（5 + 2）にかえり、そのQ上の最小多項式（は有理係数多項式上既約多項式である）
f[X] を求め、（→　参考）

  Q[X]/(f[X]*Q[X])
  |
  Q

 α=X+f[X]*Q[X] （<---注視！) として、他の「も解」達をσ_j[α]∈Q[α]で表してください。

　σ₁[α]=-α　、σ₂[α]=α　、σ₃[α]=　、σ₄[α]=

　√（5 + 2） の Q 上の共軛元を全て求め、各共軛元を、√（5 + 2） のQ 係数多項
式で表現してください。


　空舟さんからのコメントです。（平成２４年３月１０日付け）

　36°＝2π/10　ということは、W[10，2]を引っ張ってくる： ｘ²-ｘ-1 である。
素因数は、5か10N±1　（＃2π/k だったら、[φ(k)/2]次式 になるでしょう。）

　ED²＝(2α+1)²(4-α²)/α² [ここはこの前と同じ式]　・・・この後はこの前と同様。


　空舟さんからのコメントです。（平成２４年３月１０日付け）

　9-5(2)に挑戦してみます。　ｘ＝√(10+2√17)について、(mod p)において、

　　√17が有理化できる： ｐは、17N±1、2、4、9

　　√32が有理化できる： ｐは、8N±1

　まとめると、ｐは、136N±1、33、15、49、55、47、9、25

（これは、ｘが、mod ｐ で有理化できる必要条件ですが、十分とは限りません）

　17・8=136次の円分多項式を見て、(150次までの円分多項式の表を公開している方がいる)

　Aｘ⁶⁴-ｘ⁶⁰+ｘ⁵⁶-ｘ⁵²+ｘ⁴⁸-ｘ⁴⁴+ｘ⁴⁰-ｘ³⁶+ｘ³²-ｘ²⁸+ｘ²⁴-ｘ²⁰+ｘ¹⁶-ｘ¹²+ｘ⁸-ｘ⁴+1

resultant(A,x+x^33+x^15+x^49+x^55+x^47+x^9+x^25

　　　+1/x+1/x^33+1/x^15+1/x^49+1/x^55+1/x^47+1/x^9+1/x^25-y,x),factor;

と打ち込むと...、(y^4-18*y^2+64)^16　で、解は±√(9±√17)　・・・残念ながらちょっと違い
ましたね！良く考えれば、√(10-2√17)＝√(10+2√17) / √32 なので、これはきっと
√(10+2√17)の有理多項式では表せないですね。



　　　以下、工事中！