スチュワートの定理                         戻る

 初等幾何でよく使われる定理と言えば、ピタゴラスの定理に並んで中線定理だろう。

中線定理 ・・・ △ABCにおいて、辺BCの中点をMとする。このとき、

               AB2+AC2=2(AM2+BM2

 (証明は、「適切な座標系」を参照)

 この中線定理では、「辺BCの中点をM」という非常に窮屈な形になっていると日頃より気
になっていた。

 中線定理を次のように拡張した定理があることを知り、ようやく安堵した次第である。

定理(Stewart)

 △ABCにおいて、辺BCを m : n に内分する点を P とする。

このとき、

  

が成り立つ。

 上記の公式で、 m=n の場合が中線定理である。


 通常、スチュアートの定理は、

    n・AB2+m・AC2=(m+n)・AP2+n・BP2+m・CP2

の形で世に知られているようだ。上記の式では覚えにくいので、分点の公式になぞらえて
定理のような形に変形した。

(証明) A(a,b)、B(−mk,0)、C(nk,0)、P(0,0) と座標を定める。( k は比例定数)

 このとき、 AB2=(a+mk)2+b2 、 AC2=(a−nk)2+b2

        BP2=m22 、 CP2=n22

なので、  n・AB2+m・AC2−n・BP2−m・CP2

      =n・{(a+mk)2+b2}+m{(a−nk)2+b2}−n・m22−m・n22

      =(m+n)(a2+b2

      =(m+n)AP2

 よって、 n・AB2+m・AC2=(m+n)AP2+n・BP2+m・CP2 が成り立つ。 (証終)

 上記では座標幾何により証明したが、余弦定理を用いても証明される。

(別証) △ABPと△ACPにおいて、余弦定理より、

       AB2=AP2+BP2−2AP・BP・cos∠APB

       AC2=AP2+CP2−2AP・CP・cos∠APC

     cos∠APB=−cos∠APC で、n・BP=m・CP より

n・AB2+m・AC2=n・(AP2+BP2−2AP・BP・cos∠APB)
                       +m・(AP2+CP2−2AP・CP・cos∠APC)

           =n・(AP2+BP2)+2AP・n・BP・cos∠APC)
                       +m・(AP2+CP2)−2AP・m・CP・cos∠APC)

           =n・(AP2+BP2)+2AP・m・CP・cos∠APC)
                       +m・(AP2+CP2)−2AP・m・CP・cos∠APC)

           =n・(AP2+BP2)+m・(AP2+CP2

           =(m+n)AP2+n・BP2+m・CP2  (別証終)

(コメント) どちらの証明がより簡単か、いろいろ意見の分かれるところだろう...。