ベイズの定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　いま、ベイズの定理が熱い。古典的確率論の一つの定理であるが、現在、検索エンジン
でよく利用される Ｇｏｏｇｌｅ の高いヒット率を支えたり、Ｉｎｔｅｌ や Ｍｉｃｒｏｓｏｆｔ におけるアプリ
ケーション開発の数学的基礎として注目を集めているらしい。

　どのような形でベイズの定理が応用されるのか、大いに興味があるが、浅学の身で想像
の域を越えない。ベイズの定理自身は驚くほど単純で、ある方は定理そのものは覚えなく
てもいいと断言するくらい、自ら直ぐに導ける程度のものである。

　ここでは、このベイズの定理について、いくつかの話題を眺めてみようと思う。

　「５回に１回の割合で帽子を忘れるくせのあるＫ君が、正月に Ａ、Ｂ、Ｃ ３軒を順に年始
回りをして家に帰ったとき、帽子を忘れてきたことに気がついた。２軒目の家 Ｂ に忘れて
きた確率を求めよ。」

　これは、以前、早稲田大学で出題された入試問題である。
（平成２６年２月９日付けで、よおすけさんから、１９７６年に文学部が出題したものとご教示いただきました。
　よおすけさんに感謝します。）

　「帽子を忘れたこと」に現在気づき、その原因となる過去の事実「Ｂで忘れたこと」の確率
を問うもので、当時は、とてもセンセーショナルな問題であった。

　果たして何人の受験生が条件つき確率の問題ととらえ、正しく答えられたのか、大いに
興味があるところである。（正直に告白すると、この問題を初めて見たとき、それまで経験
してきた確率の問題とは異なる雰囲気に、ある種の戸惑いを感じたことを覚えている。）

　このような問題に対しては、ベイズの定理が活躍する。

　確率の計算で、事象 Ａ が起こったという条件のもとに考える事象 Ｂ の確率は、Ａ のもと
での Ｂ が起こる条件つき確率といわれ、記号で　Ｐ_Ａ（Ｂ）　と書かれる。
　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ（Ｂ｜Ａ）という書き方もあるが、記号的に好きではないので、ここでは用いない。）

　この条件つき確率というのは、新たな起こりうる全ての場合を事象 Ａ とし、そのうちの Ｂ
の起こる事象 Ａ∩Ｂ の割合を求めるものである。

　よって、

　

が成り立つ。

　このページで話題とするベイズの定理は、これとは逆に、Ｐ_Ｂ（Ａ）　という確率を求めるた
めの公式である。

　すなわち、Ａ という原因で Ｂ が起こったときに、その原因の起こる確率を求めようとする
ものである。

　そこで、Ｐ（Ａ） を原因 Ａ の存在確率（事前確率）、Ｐ_Ｂ（Ａ） を原因の確率（事後確率）と
もいう。

　また、Ｐ_Ｂ（Ａ） には、次のような解釈もできる。

　何も手持ちの情報がない状態では、Ａのおこる確率は、Ｐ（Ａ）であるが、結果として、Ｂが
起こった以上、Ａのおこる確率を再評価する必要がある。その確率が、Ｐ_Ｂ（Ａ） である。

　いま、事象 Ｂ は、互いに排反な事象 Ａ₁、Ａ₂、・・・、Ａ_ｎ のどれかが起こったときに、初め
て起こるものとする。ただし、Ｐ（Ａ₁）＋Ｐ（Ａ₂）＋・・・＋Ｐ（Ａ_ｎ）＝１　とする。
　このとき、

　

が成り立つ。　これを、ベイズの定理（１７６４年）という。

（トーマス・ベイズ（１７１０〜１７６１）は、イギリスの確率論研究家で、彼の最も重要な論文
Ｅｓｓａｙ　Ｔｏｗａｒｄ　Ｓｏｌｖｉｎｇ　ａ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｄｏｃｔｏｒｉｎｅ　ｏｆ　Ｃｈａｎｃｅｓ
は、死後３年たった１７６４年になって初めて出版された。）

　上記は、何やら難しそうな形をしているが、結局のところ、

　

と書いた方が覚えやすいかもしれない。この式に、

　

を代入すれば、ベイズの定理が成り立つことは、ほとんど明らかであろう。

　冒頭の早稲田大学の問題は、次のように解かれる。

　帽子を忘れるという事象を、Ｅ とすると、求める確率は、Ｐ_Ｅ（Ｂ） である。
このとき、
Ｐ（Ｅ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）＋Ｐ（Ｃ）
＝１/５＋（４/５）×（１/５）＋（４/５）×（４/５）×（１/５）＝６１/１２５　で、
Ｐ（Ｅ∩Ｂ）＝Ｐ（Ｂ）＝（４/５）×（１/５）＝４/２５
よって、　Ｐ_Ｅ（Ｂ）＝２０/６１　となる。


（追記）　この問題について、当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、ＨＮ「ｋａｚｅ」さんから質問の
　　　　書き込みがあった。（平成２３年５月１３日付け）

　はじめまして。上記の問題を見たとき、「Ａで忘れる確率が１/５、Ｂで忘れるのは、Aで忘れ
ず、Ｂで忘れている確率」と思い、
　Ｐ（Ｅ∩Ｂ）＝Ｐ（Ｂ）＝（４/５）×（１/５）＝４/２５　(16%)
と考えたのですが、間違っているでしょうか？

　単純に忘れる確率が、20%なのに、Ｂに忘れる確率が、　Ｐ_Ｅ（Ｂ）＝２０/６１　(32.8%)　と上
がってしまう理由がわかりません。

　この「ｋａｚｅ」さんの質問に対して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんが
答えられた。（平成２３年５月１３日付け）

　もし問題が、

　「５回に１回の割合で帽子を忘れるくせのあるＫ君が、正月に、Ａ、Ｂ、Ｃ ３軒を順に年始回
りをして家に帰ったとき、２軒目の家 Ｂ に忘れてくる確率を求めよ。」

だとすると、４/２５（16％）が正解になりますが、この16％というのは、「どの家にも帽子を忘
れてこない場合」がある場合です。

　つまり、　(1) Ａに忘れる→20％　　(2) Ｂに忘れる→16％　　(3) Ｃに忘れる→12.8％
そして、　(4) 忘れない→51.2％

となりますね。しかし問題は、「帽子を忘れた場合」という条件がついていますから、(4)はあ
り得ず、(1)〜(3)の合計が100％となるように、すべて定数倍しなければいけないわけです。
(1) ： (2) ： (3) = 25 ： 20 ： 16 ですから、(2)は 20/61 となりますね。


（コメント）　帽子をかぶって家を出て年始回りを終えて家に帰っても、帽子のことに無頓着
　　　　　で、帽子をかぶっているのかいないのか全く不明な場合は、「ｋａｚｅ」さんの計算で
　　　　　いいのですが、問題では家に帰って頭に手をやって帽子がないことに気づいてし
　　　　　まったんですね！それで、家に帰って帽子がないという前提で、Ｂで帽子を忘れた
　　　　　ことを再評価することが必要になります。忘れたという事実が確定している以上、Ｂ
　　　　　で忘れた確率も増加します。

（参考　→　関連話題「嘘つきの真実」）


　ベイズの定理により、ある試行の結果において、ある事象が起こったことが分かったとき、
それに先行する事象の確率を評価することが可能になった。ただ、実際問題として、事前
確率 Ｐ（Ａ_ｋ） が不明という場合も少なくない。その場合は、全ての事前確率が等しいとみな
して計算することが多いらしいが、数学的な態度からはあやしいといわざるを得ない。

　医学系の入試問題に、「ある病気の検査で陽性になった場合、どの程度心配すべきか」
という類のものが、よく確率分野の問題として出題される。

　日本では、ある疾病 Ｍ に罹患している割合は、千分の５０ と推定されている。この疾病
に罹患しているかどうかを知る検査 Ｔ は不完全で、Ｍに罹患している人は、８０ ％の割合
で陽性反応が出るが、Ｍに罹患していない人でも １５ ％の割合で陽性反応が出てしまう。
　いま、ある人がこの検査を受けて、陽性反応が出た。果たして、この人が疾病 Ｍ に罹患
している割合は如何ほどになるであろうか？

（解）　Ｅ ： 陽性反応が出る事象　、Ｍ ： 疾病 Ｍ に罹患している事象　　とすると、
　　　求める確率は、　Ｐ_Ｅ（Ｍ） である。ここで、
　Ｐ（Ｅ）＝Ｐ（Ｍ∩Ｅ）＋Ｐ（Ｍ^ｃ∩Ｅ）
　＝（５０/１０００）（８０/１００）＋（９５０/１０００）（１５/１００）＝１８２５０/１０００００
　Ｐ（Ｍ∩Ｅ）＝４０００/１０００００
したがって、　Ｐ_Ｅ（Ｍ）＝４０００/１８２５０≒０．２１９　となり、疾病 Ｍ に罹患している確率は、
２２％位となる。　　（終）

　陽性反応が出ても、疾病 Ｍ に罹患している確率が、２２％位にしかならないということは、
本人にとってはかなり微妙な数値で、検査自体があまり意味がないものと判断されるだろう。


（追記）　平成２８年１２月３１日付け

　上記の類題をあげておこう。

　日本では、ある疾病 Ｍ に罹患している割合は、１万分の１と推定されている。この疾病に
罹患しているかどうかを知る検査 Ｔ では、Ｍに罹患している人が陽性と判定される割合も、
Ｍに罹患していない人を陰性と判定される割合も、ともに９９ ％であるという。
　いま、ある人がこの検査を受けて、陽性反応が出た。果たして、この人が疾病 Ｍ に罹患
している割合は如何ほどになるであろうか？

（解）　Ｅ ： 陽性反応が出る事象　、Ｍ ： 疾病 Ｍ に罹患している事象　　とすると、
　　　求める確率は、　Ｐ_Ｅ（Ｍ） である。ここで、
　Ｐ（Ｅ）＝Ｐ（Ｍ∩Ｅ）＋Ｐ（Ｍ^ｃ∩Ｅ）
＝（１/１００００）（９９/１００）＋（９９９９/１００００）（１/１００）＝９８９９０１/１００００００
　Ｐ（Ｍ∩Ｅ）＝９９/１００００００
したがって、　Ｐ_Ｅ（Ｍ）＝９９/９８９９０１≒０．０００１　となり、疾病 Ｍ に罹患している確率は、
０．０１％位となる。　　（終）


（コメント）　検査精度が高いので、陽性と判定されても気にすることはないのかな？


　上記では、１回だけの検査で判断しているが、このような検査を繰り返してみることは一
般に行われるところである。

　ある工場で、製品が規格内である確率が、０、９であるとする。製品を検査するとき、規格
内の製品は、確率０．９５で合格と判定され、規格外の製品は、確率０．１５で合格と判定さ
れるという。いま、一つの製品が、この検査で２度合格と判定されたとき、この製品が規格
内の製品である確率を求めよ。

（解）　Ｅ ： １回の検査で合格と判定される事象、Ｍ ： 製品が規格内である事象　とする。
　また、各回の検査は互いに独立事象であると仮定することができる。
　２回の検査で、事象 Ｅ が２回起こる事象を、Ｅ² で表すとき、求める確率は、　Ｐ_Ｅ²（Ｍ）
である。ここで、
　Ｐ（Ｅ²）＝Ｐ（Ｍ∩Ｅ²）＋Ｐ（Ｍ^ｃ∩Ｅ²）
＝（０．９）（０．９５）²＋（０．１）（０．１５）²＝３２５８/４０００
　Ｐ（Ｍ∩Ｅ²）＝３２４９/４０００
したがって、　Ｐ_Ｅ²（Ｍ）＝３２４９/３２５８≒０．９９７２３７５６９　となる。　　（終）

　　このことから、上記の検査で２度合格した製品を「規格品」として失敗するのは、１万個
の製品のうち２８個程度ということになる。
これは、１回の検査で判断する場合（Ｐ_Ｅ（Ｍ）≒０．９８２７５８６２１）に比べて、格段の信憑
性の上昇である。

　因みに、３度の検査で合格した製品が規格品である確率は、０．９９９５６２８１
４度の検査で合格した製品が規格品である確率は、０．９９９９３０９４５

このように、精度が低い検査方法でも繰り返しという操作を重ねれば、ある程度の精度が
維持できることが分かる。


（追記）　次は、岐阜薬科大学（２０１５）の入試問題である。「原因の確率」を問う条件付き
　　　　確率の問題としては有名であろう。このような問題は、今後も出題される可能性が非
　　　　常に高い。無条件に期待値を出題することができなくなったためだ。問題文で期待値
　　　　の定義を与え、解かせることは可能のようで、実際にそのような形で出題した大学も
　　　　見受けられる。今、司法試験問題漏洩で何かと話題の明治大学だ。
　　　（平成２７年９月１２日付け）

　ある病気Ｘにかかっている人が４%いる集団Aがある。病気Ｘを診断する検査で、病気Ｘにか
かっている人が正しく陽性と判断される確率は、80 %である。また、この検査で病気Ｘにかか
っていない人が誤って陽性と判断される確率は、10 %である。

（1） 集団Aのある人がこの検査を受けたところ、陽性と判断された。この人が病気Ｘにかか
　　っている確率はいくらか。

（2） 集団Aのある人がこの検査を受けたところ、陰性と判断された。この人が実際には病気
　　Ｘにかかっている確率はいくらか。

（解）　Ｙ：陽性と判断される事象とすると、題意より、

　Ｐ（Ｘ）＝０．０４、Ｐ_Ｘ（Ｙ）＝０．８、Ｐ_Ｘ~（Ｙ）＝０．１

なので、　Ｐ（Ｙ）＝Ｐ（Ｘ∩Ｙ）＋Ｐ（Ｘ~∩Ｙ）＝０．０４×０．８＋０．９６×０．１＝０．１２８

（１）　求める確率は、　Ｐ_Ｙ（Ｘ）＝Ｐ（Ｘ∩Ｙ）/Ｐ（Ｙ）＝０．０３２/０．１２８＝１/４

（２）　求める確率は、

　Ｐ_Ｙ~（Ｘ）＝Ｐ（Ｘ∩Ｙ~）/Ｐ（Ｙ~）
＝｛Ｐ（Ｘ）−Ｐ（Ｘ∩Ｙ）｝/Ｐ（Ｙ~）＝０．００８/０．８７２＝１/１０９　　（終）

　最近、新納浩幸　著　「数理統計学の基礎」（森北出版）を眺めていたら、面白い問題が
あった。

　区別のつかない３つの袋の中に、それぞれ　赤・赤、赤・白、白・白　の２つの球が入っ
ている。
　いま、１つの袋を選び、その中から１つの球を取りだしたところ、赤球であった。残りのも
う一つの球が白球である確率を求めよ。

　確率の計算に不慣れな場合、もう１個は赤球、白球のどちらかしかないから確率は１/２
と答えがちである。しかしながら、これは、誤りである。

　この問題に対して、ベイズの定理は明解に答えてくれる。

　Ａの袋には、赤・赤、Ｂの袋には、赤・白、Ｃの袋には、白・白　の球が入っているものとし、
Ｒ：赤球である事象、Ｂ：Ｂの袋である事象　とする。
　最初に赤球を取りだし、残りが白球であるということは、Ｂの袋を選ぶということなので、
求める確率は、Ｐ_Ｒ（Ｂ）である。このとき、

　Ｐ_Ｒ（Ｂ）＝Ｐ（Ｂ∩Ｒ）/Ｐ（Ｒ）
＝Ｐ（Ｂ∩Ｒ）/（Ｐ（Ａ∩Ｒ）＋Ｐ（Ｂ∩Ｒ）＋Ｐ（Ｃ∩Ｒ））
＝（1/3）・（1/2）/（（1/3）・１＋（1/3）・（1/2）＋（1/3）・０）＝１/３

となる。

　確率が１/２と答えられた方は、多分、残りの赤球、白球が対等で、同様に確からしいと
考えてのことだろう。

　しかしながら、実は、残りの赤球、白球は対等の関係にはなっていない。「赤・赤」が曲者
で、「赤１・赤２」と考えれば、残りの球の可能性は、「赤１、赤２、白」となるので、「残りの球
が白である確率は１/３である」ということが理解される。

　この問題に対して、新納浩幸　氏は、３つの誤解があると説明している。

（第１の誤解）　赤球を取りだしたということは、最初に選んだ袋は、ＡまたはＢの袋。
　残りの球が白ということは、Ｂの袋を選ぶということ。よって、確率は、１/２

　（最初に取りだした球が赤ということから、Ａの袋を選んだ可能性の方がＢの袋を選んだ可
能性より高い。よって、Ａ、Ｂを選ぶということは対等の関係にはなっていない。）

（第２の誤解）　最初に赤球、次に白球ということは、Ｂの袋を選んだということ。よって、確率
　は、１/３

　（最初に取りだした球が赤で、残りの球も赤という確率は、上記の考え方だと、Ａの袋を選
ぶ確率の１/３となるが、実際は、２/３である。）

（第３の誤解）　Ａの袋（赤１、赤２）、Ｂの袋（赤３、白１）、Ｃの袋（白２、白３）とすると、Ｂの
　袋を選ぶということは、赤１、赤２、赤３　から赤３ を選ぶことに等しいので、確率は、１/３

　（Ａの袋（赤１、赤２、赤３）、Ｂの袋（赤４、白１）、Ｃの袋（白２、白３）とする。上記の考え方
だと、求める確率は１/４となるが、実際は、１/３である。）

　アメリカのクイズ番組に次のような問題が出されたことがあるということを同僚の方に伺
った。後で調べると、どうも、モンティ・ホール司会のゲームショー「Let's make a deal」
で出題された問題（１９９０年）らしい。

　区別のつかない３つの箱があり、その中に１個だけ、当たりくじの入っている箱がある。
まず、解答者に箱を選んでもらう。司会者は、どの箱に当たりくじが入っているかを知って
いるので、残った２つの箱から当たりくじの入っていない箱を１個だけ取り除く。
　そこで、司会者は解答者にたたみかけるように、「選んだ箱を変えるチャンスを１度だけ
あげます！どうしますか？」（日本のテレビだったら、「ファイナルアンサ〜？」とでもいうの
であろうか）
　果たして、解答者は箱を変えた方がいいのであろうか？それとも、そのままの方がいい
のであろうか？

　この問題も一見すると、箱は２つしかなく、どちらかに当たりくじが入っているので、どちら
を選ぼうとも確率は半々と錯覚しがちである。ある著名な数学者も間違えてしまったらしい。

　アメリカのクイズ問題は上記で考えた問題とよく似ている。すなわち、解答者が箱を選ぶ
ということを、「赤球」を選んだという風に考える。（もちろん、白球としてもよい。）そうすると、
司会者が外すべき箱は、白・白の袋に該当し、白球がはずれということになる。

　すると、上記の計算から分かるように、選んだ箱に当たりくじが入っている確率は、１/３で、
残っているもう一つの箱が当たる確率が２/３になるので、ここは、当然箱を変えた方がよい
ことになる。

　「司会者が必ず当たりくじの入っていない箱を取り除く」というのがポイントで、今選んだ
箱に当たりくじが入っていなければ、司会者は必ず当たりくじの入っている方の箱を残す
ということである。このことからも、箱を変えた方がよいことは了解されるだろう。

　このモンティ・ホール問題について、科学雑誌「Ｎｅｗｔｏｎ」（２００８年４月号）に特集記事

　　人はなぜ確率に弱いのか?　　直感と計算の「ズレ」にせまる

があり、今野紀雄先生（横浜国立大学）の説明図がとても分かりやすかった。

司会者が箱を取り除く前		司会者が箱を取り除いた後

　上図を眺めていると、箱を変えた方がよいということが直観的に明らかですね！


（追記）　平成２９年８月２９日付け

　また、別な理解の仕方もある。瀬山士郎先生の「数学よもやま話」を参考にさせていただ
いた。

　解答者が１つの箱を選び、司会者が２つの箱を選んだものと考えるのである。このとき、解
答者の当たる確率は１/３で、司会者の当たる確率は２/３である。司会者にとって、当たりで
ない箱がどちらかであることは分かっているので、その箱が手元にあろうが捨ててしまおうが
確率には影響がない。

　従って、解答者の当たる確率は１/３、司会者の当たる確率は２/３なので、箱を取りかえた
方がよいことが分かる。

　この「３」という数字がこのカラクリにおいて実に巧妙である。箱の個数を１０個にしてみる
と、「３」の持つ不思議さが実感できる。

　解答者は１つの箱を無作為に選ぶので、当たる確率は、１/１０である。司会者は９つの箱
を得るので、司会者が当たる確率は、９/１０である。この中から、当たりでない８個の箱を取
り去っても依然として司会者が当たる確率は、９/１０である。

　従って、解答者は当然箱を司会者のものと交換した方が断然当たる確率は９倍にアップ
する。


　この問題と同様の問題が、

　「平成教育委員会　2010 !!　新春ウル寅授業ＳＰ !! 」（フジＴＶ系　１/３　18:30〜21:09）
の特別授業の第２問に出題された。

　３つのお年玉袋があり、そのうちの一つだけにお年玉が入っている。ある人がそのうちの
一つを選んだところ、残りの二つのうちの一つでお年玉が入っていない袋を、何故か教えら
れた。このとき、先ほど選んだ袋を換えてもいいよと言われたとき、換えた方がいいのか悪
いのか、どちらだろうか？

　お年玉袋を換えないで当たるということは、もともとお年玉が入っている袋を選んだわけで、
その確率は１/３である。それに対して、お年玉袋を換えて当たるということは最初に選んだ
お年玉袋ははずれで、その確率は２/３になる。このことから、お年玉袋を換えた方が当たり
の確率は大きくなる。

（コメント）　換えない場合と換える場合の確率を比較するところがポイントですね！番組中
　　　　　　のたけし先生の説明がとても分かりやすかったです！


　上記のような場面設定では箱を変えた方が有利であるが、例えば、テストの○×の問題
で、分からない問題には適当に○×をつける（多分このような人が多いと思う？）場合、意
外と最初のインスピレーションが正しかったりなんかする。変に考え直して、解答を書き換
えると、「バツ」になる場合が多いように感じる。これは、道案内する適切な司会者がいな
いからだろうか？それとも確率は単なる机上の空論なのであろうか？

　次のような問題も興味深い。

　Ａさんには、２人の子供がいる。あるとき町でＡさんにあったら、息子さんと一緒だった。
Ａさんのもう一人の子供が男の子である確率を求めよ。

　この問題に対して、ベイズの定理は明解に答えてくれる。

　Ａさんの子供を出生順に並べて、
　Ｘ：男・男である事象、Ｙ：男・女である事象、Ｚ：女・男である事象、Ｗ：女・女である事象
とする。また、Ｍ：男の子である事象　とする。
　町で出会って、子供の一人が男の子であることが分かって、もう一人の子供も男の子で
あるということは、事象Ｘが起こるということなので、求める確率は、Ｐ_Ｍ（Ｘ）である。
このとき、

　Ｐ_Ｍ（Ｘ）＝Ｐ（Ｘ∩Ｍ）/Ｐ（Ｍ）
＝Ｐ（Ｘ∩Ｍ）/（Ｐ（Ｘ∩Ｍ）＋Ｐ（Ｙ∩Ｍ）＋Ｐ（Ｚ∩Ｍ）＋Ｐ（Ｗ∩Ｍ））
＝（1/4）・１/（（1/4）・１＋（1/4）・（1/2）＋（1/4）・（1/2）＋（1/4）・０）＝１/２

　この問題に対して、ともすると、求める確率は、１/３ であると答える人がいるかもしれな
い。しかし、それは、誤りである。
　Ｘ、Ｙ、Ｚ、Ｗの４通りあり、それらは同様に確からしいとして、Ｗを除いた Ｘ、Ｙ、Ｚの３つ
からＸを選ぶ確率として、１/３ とするのだろうが、実は、Ａさんに息子さんがいるという情
報を得た段階で、Ｘ、Ｙ、Ｚ、Ｗの４通りが同様に確からしいとは言えなくなってしまうのだ。
　実際に、Ｐ_Ｍ（Ｘ）＝１/２、Ｐ_Ｍ（Ｙ）＝１/４、Ｐ_Ｍ（Ｚ）＝１/４、Ｐ_Ｍ（Ｗ）＝０　である。

　このように、原因の存在確率　Ｐ（Ｘ）、Ｐ（Ｙ）、Ｐ（Ｚ）、Ｐ（Ｗ）　は、Ｍという結果により、
再評価され、原因の確率　Ｐ_Ｍ（Ｘ）、Ｐ_Ｍ（Ｙ）、Ｐ_Ｍ（Ｚ）、Ｐ_Ｍ（Ｗ）　が定まる。


（追記）　上記と同趣旨の問題をＧＡＩさんよりご投稿いただいた。（平成２８年１０月１４日付け）

　家には２人の子供がいます。「少なくとも一人は男の子です。」
さて、もう一人が女の子である確率P1は？

　更に同様に、「上の子は男の子です。」。さて、もう一人が女の子である確率P2は？

　家には３人の子供がいます。「少なくとも一人は男の子です。」
女の子がいる確率P3は？

　また、「一番上は男の子です。」。一番下が女の子である確率P4は？


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年１０月１４日付け）

　ヒトの出生比 105：100＝21：20 を厳密に正しいと仮定します。

　家には２人の子供がいます。「少なくとも一人は男の子です。」
さて、もう一人が女の子である確率P1は？

　少なくとも一人が男の子である確率は、　1-(20/41)²

　男の子と女の子が一人ずつである確率は、　20/41×21/41×2

　よって、　P1 = 20/41×21/41×2/{1-(20/41)²} = 40/61

　更に同様に、「上の子は男の子です。」。さて、もう一人が女の子である確率P2は？

　P2 = 20/41

　家には３人の子供がいます。「少なくとも一人は男の子です。」
女の子がいる確率P3は？

　少なくとも一人が男の子である確率は、　1-(20/41)³

　男の子と女の子が両方いる確率は、 （20/41）²×21/41×3＋（21/41）²×20/41×3

　よって、　P3 = ｛（20/41）²×21/41×3＋（21/41）²×20/41×3/{1-(20/41)³} = 820/967

　また、「一番上は男の子です。」。一番下が女の子である確率P4は？

　P4 = 820/1261


　甲南大学の入試問題で次の問題も興味深い。

　本当のことを言う確率が８０％の人が３人いる。１枚の硬貨を投げたところ、３人とも「表が
出た」と証言した。本当に表が出た確率を求めよ。

（解）　表が出る事象をＡ、３人とも「表が出た」と証言する事象をＢとすると、求める確率は、

　Ｐ_Ｂ（Ａ）である。ここで、　Ｐ（Ａ）＝１/２、Ｐ_Ａ（Ｂ）＝（８０/１００）³＝６４/１２５　なので、

　Ｐ（Ｂ）＝（１/２）（６４/１２５）＋（１/２）（２０/１００）³＝６５/２５０

　よって、　Ｐ_Ｂ（Ａ）＝（１/２）（６４/１２５）÷６５/２５０＝６４/６５　　（終）


　産業医科大学（２０１６）の入試問題も、ＧＡＩ さんの問題の類題である。３囚人問題と同じ
系列の有名問題らしい。

　ちょうど３人の子供がいる家庭を考える。３人の子供が

　（男，男，男）、（男，男，女）、（男，女，男）、（男，女，女）、（女，男，男）、（女，男，女）、
　（女，女，男）、（女，女，女）

である確率は各々１/８であるとする。この家庭を訪問したところ１人の女の子が顔を出した
として、残りの２人の子供がどちらも男の子である確率を求めよ。

（解）　Ｘ：男２人＋女である事象、Ｗ：女の子である事象　とすると、

　Ｐ_Ｗ（Ｘ）
＝Ｐ（Ｘ∩Ｗ）/Ｐ（Ｗ）
＝（3/8）・（1/3）/（（3/8）・（1/3）＋（3/8）・（2/3）＋（1/8）・1)=1/4　　（終）


（コメント）　答えは合っているかな？答えが、3/7とならないところがポイントなのだろう。


（追記）　「ベイズの定理と感覚との齟齬」と題して、ＨＮ「AKG」さんよりご投稿いただきました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（令和元年５月３日付け）

　統計学を勉強している中で、ベイズの定理に出会いました。これまで確率に対して事前確
率と事後確率という認識がなく、ホウホウと楽しく読んでいたのですが、以下の例題をよんで
眉間にシワが寄りました。

例　題　表と裏の面が赤か青で塗られている３枚のカードA、B、Cがあり、それぞれのカード
　　　　　の面の色は次のようになっている。

　　カードA：両面とも青色で塗られている
　　カードB：片面が赤色、もう片面が青色で塗られている
　　カードC：両面とも赤色で塗られている。

　このカード３枚を袋に入れてよく混ぜて、目をつぶったまま１枚を取り出し、机の上に置い
て目を開けるとカードは赤色だった。

　このカードをひっくり返した時、ひっくり返した面が赤色である確率を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（統計web様より抜粋）

　ベイズの定理に沿って解くと、確率は、２/３であることは分かります。しかし、「表が赤、か
つ、裏が赤」なのは、カードCのみで起きる事象であり、確率は、１/３であるとも思います。

　このモヤモヤをどう解決したらよいか、どなたか知恵を貸していただけないでしょうか？


（コメント）　２枚の硬貨を投げるとき、表が１枚出る確率が１/２となる感覚と似ているかも。
　　　　　表２枚、表裏、裏２枚から求める確率は、１/ ３とするのは誤りで、「表裏」は、表裏
　　　　　と裏表の２つの場合を考えなければならないので、求める確率は、２/４＝１/２

　同様にして、与えられたカードの色の出方は、（見えた色，裏の色）の対で考えて、

　（青１，青２）、（青２，青１）、（赤，青）、（青，赤）、（赤１，赤２）、（赤２，赤１）

の６通りで考えなければならない。そのうち、見えた色が赤なのは、３通りあり、その中で、
裏の色も赤なのは２通りなので、求める確率は、２/３となり、特段に変わった感覚でもない
ような気がします。


　らすかるさんからのコメントです。（令和元年５月３日付け）

　ありうるのは、

　(1) カードAを引いて表(青)が見えるように置いた
　(2) カードAを引いて裏(青)が見えるように置いた
　(3) カードBを引いて表(赤)が見えるように置いた
　(4) カードBを引いて裏(青)が見えるように置いた
　(5) カードCを引いて表(赤)が見えるように置いた
　(6) カードCを引いて裏(赤)が見えるように置いた

の６通りであり、この６通りの確率が等しいのは感覚的に問題ないですよね。このうち見えた
のが赤色なのは(3)(5)(6)の３つの場合で、（６通りが等確率なので、(3)(5)(6)の３通りも当然
等確率）そのうちひっくり返して赤になるのは(5)(6)の２通りですから、裏も赤である確率は、
2/3になりますね。

＃　次のように考えると、もっと直感的に理解しやすいかも知れません。

　カードAかカードCを引く確率は2/3なので、「ひっくり返して色が変わらない確率」は、2/3
よって最初青の場合に裏も青の確率は2/3、赤の場合に裏も赤の確率は2/3


　カルピスさんからのコメントです。（令和元年５月４日付け）

　横から、素人が、チョッカイ出してスミマセン。ただのボヤキです。

　実際にやってみたら、どういう結果になるのかな？３００回中、約２００回そうなれば・・・
いや、３０００回中、約２０００回、３００００回中、約２００００回、・・・・

　数を増やすほど、限りなく２／３に近付いていくのかな？実際に、そうならなかったら、ベイ
ズさん、嘘つき。


（追記）　令和２年３月１５日付け

　令和２年初頭から新型コロナウイルスが世界中に蔓延し、世界保健機構（ＷＨＯ）がパン
デミックと認定した。庶民の生活にも多大な影響を与え、経済活動でも株価の低下などで
混乱が起こっている。学校も一斉休校で、子供たちの教育を受ける権利を脅かしている。今
年７月に東京オリンピックを控え、どのような対応になるのか大いに注目するところである。

　ＰＣＲ検査は、新型コロナウイルスに感染しているかどうかを検査するもので、症状により
検査結果が分かるまで日数を要する。また、陰性と診断されても再検査すると陽性になった
りと、私自身、その検査の信頼度が怪しく思える。

　検査自体１００％の信頼度があることは期待できないが、次のような問題を設定し、考えて
みた。

　日本では、ある疾病 Ｍ に罹患している割合は、１０万分の１ と推定されている。この疾病
に罹患しているかどうかを知る検査 Ｔ は、Ｍに罹患している人は、９９．９９％の割合で陽性
反応が出るが、Ｍに罹患していない人でも ０．０１％の割合で陽性反応が出てしまうという。
　いま、ある人がこの検査を受けて、陽性反応が出た。果たして、この人が疾病 Ｍ に罹患
している割合は如何ほどになるであろうか？

（解）　Ｅ ： 陽性反応が出る事象　、Ｍ ： 疾病 Ｍ に罹患している事象　　とすると、
　　　求める確率は、　Ｐ_Ｅ（Ｍ） である。ここで、

　Ｐ（Ｅ）＝Ｐ（Ｍ∩Ｅ）＋Ｐ（Ｍ^ｃ∩Ｅ）
＝（１/１０００００）（９９．９９/１００）＋（９９９９９/１０００００）（０．０１/１００）
＝１９９９８/１０００００００００

　Ｐ（Ｍ∩Ｅ）＝９９９９/１０００００００００

　したがって、　Ｐ_Ｅ（Ｍ）＝９９９９/１９９９８＝０．５　となり、疾病 Ｍ に罹患している確率は、
５０％となる。　　（終）

　陽性反応が出ても、疾病 Ｍ に罹患している確率が、５０％程度にしかならないということ
は、罹患している割合が非常に少数というところからの帰結である。罹患している割合が千
分の１まで増加すると、上記の確率は、９０．９２％となり、罹患しているという事実を重く受
け止めなければならなくなるであろう。


（追記）　「コロナ下において」と題して、ＧＡＩさんからご投稿いただきました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（令和２年１２月２７日付け）

　PCR検査での感度は、感染者を陽性と判定できる確率であり、特異度は非感染者を陰性
と判定できる確率である。

　PCR検査の感度は最大70％とされており、感染者の30％は検査で陰性と判定される。

　そこで、「病気なのに陰性と判定してしまう確率」を3/10、「病気でないのに陽性と判定して
しまう確率」を1/1000 （100％の特異度はあり得ない）と設定しておく。

　現在、統計ではコロナ感染者総数は、約21万人、日本の総人口は約1億2千万人なので、
国民一人当たり7/4000の確率でこのコロナに罹患している設定をとる。

　さて、この数値を元に、

(Type1)：あなたが検査で陰性と判定されたとき、本当に病気に罹患していない確率P(1)

(Type2)：あなたが検査で陽性と判定されたとき、本当に病気に罹患している確率P(2)

はそれぞれどれほどか？

（解）　Ｅ ： 陰性反応が出る事象　、Ｆ ： 陽性反応が出る事象　、Ｍ ： 疾病 Ｍ に罹患してい
　　　る事象とすると、求める確率は、P(1)＝Ｐ_Ｅ（Ｍ^ｃ）　、P(2)＝Ｐ_Ｆ（Ｍ）　である。ここで、

　Ｐ（Ｅ）＝Ｐ（Ｍ∩Ｅ）＋Ｐ（Ｍ^ｃ∩Ｅ）
＝（７/４０００）（３/１０）＋（３９９３/４０００）（９９９/１０００）＝３９９１１０７/４００００００

　Ｐ（Ｍ^ｃ∩Ｅ）＝３９８９００７/４００００００

　したがって、　P(1)＝Ｐ_Ｅ（Ｍ^ｃ）＝３９８９００７/３９９１１０７＝０．９９９４７３８・・・　となり、疾
病 Ｍ に罹患していない確率は、およそ９９．９％となる。

　また、

　Ｐ（Ｆ）＝Ｐ（Ｍ∩Ｆ）＋Ｐ（Ｍ^ｃ∩Ｆ）
＝（７/４０００）（７/１０）＋（３９９３/４０００）（１/１０００）＝８８９３/４００００００

　Ｐ（Ｍ∩Ｆ）＝４９００/４００００００

　したがって、　P(2)＝Ｐ_Ｆ（Ｍ）＝４９００/８８９３＝０．５５０９９５１・・・　となり、疾病 Ｍ に罹
患している確率は、およそ５５．１％となる。　　（終）


（コメント）　検査で陰性だったら、ほぼ感染していないと言っていいのに対して、陽性の場合
　　　　　は、感染している確率は半々で、感染していないのに陽性としてしまっているんです
　　　　　かね！毎日発表される陽性者数も、話半分ということかな？

　病院などで医師から新型コロナ感染の疑いと判断されたときは、ＰＣＲ検査は無料で受け
られる。しかし、無症状の人が心配だからと受ける場合は全額自己負担で２〜４万円ほど
かかるらしい。もっとも格安の民間検査センターもあって、２０００円（税別）ほどで受けられ
るようだ。


　ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年１２月２７日付け）

　自分も上記のように算出していました。陽性と判定されていても、強制的にホテル住まいを
強要されている非罹患者の人が意外と多く含まれているかもしれませんね。


　ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年１２月２８日付け）

　上記で指摘された：

　あなたが検査で陽性と判定されたとき、本当に病気に罹患している確率P(2)は、
０．５５０９９５１・・・

に私も違和感を覚えた原因は、現在は判明している統計上のPCR陽性者数を21万と設定し
ていることにあると思ったので、ここを未だ判明していない総感染者数をr人とし、国民一人
当たり罹患確率を r/120000000 で計算させ、その条件付き確率をRCR検査の信頼度7/10
に一致させる事で計算したら、r=398671.0963･･･（人）のデータになった。

　これって、推定の意味を正しく反映するのかな？


（追記）　ＨＮ「たこ焼き」さんからのご投稿です。（令和３年２月３日付け）

　Webサイト「明日は未来だ！」の幼女の白いボールと箱の問題についてですが、答えが2/3
になることには納得しました。しかし答えが1/2だと言う方がいてその人が主張を曲げません。
どのような説明をしたら、うまく2/3が答えであると理解してもらうことが可能でしょうか。


（コメント）　次のような説明で如何でしょうか？

　起こり得る場合は、

１．　（黒）＋（白）→（黒）
２．　（黒）＋（白）→（白）
３．　（白）＋（白）’→（白）
４．　（白）＋（白）’→（白）’

の４通りあって、同様に確からしい。そのうち、取り出したボールが白なのは、２．３．４．の
３通り。この中でもともと白が入っていたのは、３．４．の２通り。

　よって、求める確率は、２/３となる。


（追記）　ＨＮ「エセ理系」さんからのご出題です。（令和３年１月２３日付け）

問題　男女各50人が参加する婚活パーティーがあった。なぜかそのうちの1名が最初にい
　　　なくなった。そのあと、女性3名が帰っていった。最初にいなくなった1名が男性である
　　　確率を求めよ。

（解）　Ａ：最初に帰ったのは男である事象、
　Ｂ：最初に帰った人のあと帰ったのが女３人である事象

とすると、求める確率は、Ｐ_Ｂ（Ａ）＝Ｐ（Ａ∩Ｂ）/Ｐ（Ｂ）

　Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ∩Ｂ）＋Ｐ（Ａ^ｃ∩Ｂ）＝（１/２）₅₀Ｃ₃/₉₉Ｃ₃＋（１/２）₄₉Ｃ₃/₉₉Ｃ₃

　Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝（１/２）₅₀Ｃ₃/₉₉Ｃ₃

よって、Ｐ_Ｂ（Ａ）＝５０/（５０＋４７）＝５０/９７　　（終）


（追記）　ベイズ更新の話題をＨＮ「春」さんよりいただいた。（令和３年５月１９日付け）

　ベイズ更新とは、新しく得られた情報を用いて、事前確率を合理的に変化させることをい
う。このベイズ更新によって、経験的に「そうだね！」と思えるような確率に近づいていくので、
重宝される考え方である。

　ベイズ更新についての問題です。

　見分けのつかない袋が３つある。袋１には赤玉と白玉が1：1の割合で、袋２には3：1
の割合で、袋３には1：2で入っている。

　１つの袋を無作為に選び、その中から１つ玉を取り出したところ、赤玉だった。その
後、取り出した玉を元の袋に戻してよくかき混ぜ、その袋から１つ玉を取り出すという
作業を２回繰り返した。２回目も３回目も取り出した玉の色は赤だった。

　このとき、(1) ２回目 および (2) ３回目の玉の取り出し終了時点での袋１の事後確
率を求めよ。

　説明上、赤玉をＲ、白玉をＷとし、袋１、袋２、袋３をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃとおく。

　求める確率は、　Ｐ_Ｒ（Ａ）　である。１回目、２回目、３回目について、それぞれ確率を求め
ていこう。

（１回目）

Ｐ_Ｒ（Ａ）=Ｐ（Ａ∩Ｒ）/Ｐ（Ｒ）=（1/3）（1/2）/（（1/3）（1/2）+（1/3）（3/4）+（1/3）（1/3））=6/19

（２回目）

Ｐ_Ｒ（Ａ）=Ｐ（Ａ∩Ｒ）/Ｐ（Ｒ）=（6/19）（1/2）/（（6/19）（1/2）+（13/38）（3/4）+（13/38）（1/3））=72/241

（３回目）

Ｐ_Ｒ（Ａ）=Ｐ（Ａ∩Ｒ）/Ｐ（Ｒ）=（72/241）（1/2）/（（72/241）（1/2）+（169/482）（3/4）+（169/482）（1/3））
=864/3061

赤、赤、赤と３回続くと、事後確率（次の回の事前確率）が

1/3（＝0.333・・・）→6/19（＝0.315・・・）→72/241（＝0.298・・・）→864/3061（＝0.282・・・）

と推移していくのですね。袋１より袋２の方が赤玉を含む割合が多いので、赤、赤、赤と３回
続くと、それが袋１のものである可能性が低くなるのでしょうかね？


（追記）　令和６年７月１４日付け

問題　　Ａ、Ｂの２人が、ある事象に対して真実を言う確率が、それぞれ ２/３、３/４ である
　　　という。１つのさいころを投げたとき、２人とも「１の目が出た」と言ったとき、本当に「１
　　　の目が出た」確率を求めよ。

　この問題も典型的な条件付き確率の問題である。

（解）　Ｅ：１の目が出る事象　、Ｆ：１の目が出たと証言する事象　とおくと、求める確率は、

　Ｐ_F（Ｅ）　である。すなわち、　Ｐ_F（Ｅ）＝Ｐ（Ｅ∩Ｆ）/Ｐ（Ｆ）

ここで、

Ｐ（Ｆ）＝Ｐ（Ｅ∩Ｆ）＋Ｐ（Ｅ~∩Ｆ）＝（１/６）（２/３）（３/４）＋（５/６）（１/３）（１/４）＝１１/７２

なので、　Ｐ_F（Ｅ）＝（１/１２）÷（１１/７２）＝６/１１　　（終）


（コメント）　「１の目が出た」と聞いて、実際に１の目が出る確率が、６/１１（≒０．５４・・・）
　　　　　とは、微妙ですね！



　　　　以下、工事中！



（参考文献：御園生善尚　他著　統計学大要　（養賢堂）
　　　　　　　 田代嘉宏　著　確率と統計　（裳華房）
　　　　　　　 岡安　實　著　確率・統計　（旺文社）
　　　　　　　 渡部隆一　著　確率　（共立出版）
　　　　　　　 渡辺信三　著　ベイズの公式　（数研出版）
　　　　　　　 グネジェンコ・ヒンチン　著　渋谷政昭・渡辺　毅　訳　確率論入門　（東京図書）
　　　　　　　 新納浩幸　著　「数理統計学の基礎」（森北出版））