円と放物線の交点                               戻る

 当HPの掲示板「出会いの泉」に、「円と放物線の交点」について、当HP読者のHN「sukf」
さんの書き込みがあった。(平成26年3月2日付け)

 少し疑問に思ったため書き込ませていただきました。

 放物線の方程式(y=ax2+bx+c)・円の方程式(x2+y2+px+qy+r=0)は、それぞれ放物線・円上
の3点が与えられていれば関数を決定できます。

 3点(m1,n1)、(m2,n2)、(m3,n3)が与えられ、この3点を通るような放物線と円を考えたと
き、これらの放物線と円は、3点または4点で交わります。交点が4つあったとして、4つ目の
交点を(m4,n4)とすると、m4、n4 を、m1、m2、m3、n1、n2、n3 ですっきりと表現することは可
能でしょうか?


 当HPがいつもお世話になっているHN「空舟」さんが明解に公式を導かれた。
                                        (平成26年3月2日付け)

 円が全方向に対して対称であるのに対して、放物線の軸をy軸に平行であると設定するの
は対称性に欠けるので、答えはあまり綺麗な式にはならないんじゃないかと予想します。

 しかし、両式を連立させると、x の4次方程式を得るので、解と係数の関係より、

 m1+m2+m3+m4=定数 という表現は得ることができます。

 m1、m2、m3、n1、n2、n3 を使って表すとなると数学ソフト沙汰だと思いますが、私が試み
ると、

 4={(m3-m2)(m2+m3-m1)n1+(m1-m3)(m3+m1-m2)n2+(m2-m1)(m1+m2-m3)n3
     /{(m3-m2)n1+(m1-m3)n2+(m2-m1)n3

 n4={(m3-m2)(n12+n23)+(m1-m3)(n22+n31)+(m2-m1)(n32+n12)}
     /{(m3-m2)n1+(m1-m3)n2+(m2-m1)n3



 当HPがいつもお世話になっているHN「らすかる」さんからのコメントです。
                                        (平成26年3月2日付け)

 円と放物線の4交点をA、B、C、Dとするとき、(直線ABの傾き)+(直線CDの傾き)=0

という定理を使うと、連立一次方程式を解くだけで出せます。計算は大変でしたが、

 4={(n1-n2)(m12+m32)+(n2-n3)(m23+m12)+(n3-n1)(m31+m22)}
    /{m1(n2-n3)+m2(n3-n1)+m3(n1-n2)}

 n4={(m1-m2)(n12+n32)+(m2-m3)(n23+n12)+(m3-m1)(n31+n22)}
    /{n1(m2-m3)+n2(m3-m1)+n3(m1-m2)}


という、そこそこ綺麗な形になりました。多分、空舟さんの解と同じだと思います。


(コメント) 空舟さんが導かれた公式の追認です。

 放物線 y=x2−13 と円 x2+y2=25 は、4点(4,3)、(-4,3)、(3,-4)、(-3,-4) で交わる。

1=4、m2=-4、m3=3、n1=3、n2=3、n3=-4 として、m4、n4 を求めてみると、

 m4={7・(-5)・3+1・11・3+(-8)・(-3)・(-4)}/{7・3+1・3+(-8)・(-4)=-168/56=-3 (一致!)
 n4={7・(-3)+1・(-3)+(-8)・25}/{7・3+1・3+(-8)(-4)}=-224/56=-4 (一致!)

 らすかるさんの計算結果も同様に追認できました。