２つの放物線 ｙ＝−ｘ2＋ｘ＋１ 、ｘ＝ｙ2＋ｙ−１ の交点を求めることは大変そう．．カナ？
実際に、 ２式を辺々加えて、 ｘ＋ｙ＝−ｘ2＋ｙ2＋ｘ＋ｙ より、 ｘ＋ｙ＝０ 、 ｘ−ｙ＝０
ｘ＋ｙ＝０ のとき、 ｙ＝−ｘ を ｙ＝−ｘ2＋ｘ＋１ に代入して、 ｘ2−２ｘ−１＝０
よって、 ｘ＝１±
したがって、 （ ｘ ， ｙ ）＝（ １＋
， −１− ） 、（ １− ， −１＋ ）ｘ−ｙ＝０ のとき、 ｙ＝ｘ を ｙ＝−ｘ2＋ｘ＋１ に代入して、 ｘ2＝１ より、 ｘ＝±１
したがって、 （ ｘ ， ｙ ）＝（ １ ， １ ） 、（ −１ ， −１ ）
もっとも上記のような計算をしなくても、交点がどのように分布しているかはグラフにより
視覚的に捉えることができる。
さらに、上の「４交点が、実は同一円周上に分布している」ということを聞くと、驚かれる
方がおられるかもしれない。
上の円の方程式は、次のようにして得られる。
２つの放物線の方程式 ｙ＝−ｘ2＋ｘ＋１ 、ｘ＝ｙ2＋ｙ−１ より、
ｘ2−ｘ＋ｙ−１＝０
ｙ2−ｘ＋ｙ−１＝０
これらを辺々加えて、 ｘ2＋ｙ2−２ｘ＋２ｙ−２＝０ となる。
すなわち、 （ｘ−１）2＋（ｙ＋１）2＝４ より、 中心（１，−１）で半径２の円
である。
さらに、この４点を通る図形は、もちろん一意に定まることはなく、自由自在に作ることが
できる。
左図は、４点を通る楕円である。
方程式は、
２ｘ2＋ｙ2−３ｘ＋３ｙ−３＝０ である。
この方程式は、
ｘ2−ｘ＋ｙ−１＝０ の両辺を２倍し、
ｙ2−ｘ＋ｙ−１＝０ に辺々加えること
により得られる。
同様にして、 ｘ2−ｘ＋ｙ−１＝０ 、ｙ2−ｘ＋ｙ−１＝０ を適宜加減すれば、下図のような、
４点を通る双曲線も得られる。
左図の方程式は、
２ｘ2−ｙ2−ｘ＋ｙ−１＝０
である。
（追記） 平成２６年３月２日付け
上記で、放物線 ｙ＝−ｘ2＋ｘ＋１ と円 ｘ2＋ｙ2−２ｘ＋２ｙ−２＝０ は４点で交わり、その交
点は、
Ａ（ １＋
，−１− ） 、Ｂ（ １− ，−１＋ ） 、Ｃ（ １ ，１ ） 、Ｄ（ −１ ，−１ ）である。このとき、
直線ＡＢの傾きは、−１で、直線ＣＤの傾きは、１ なので、
円と放物線の４交点をA、B、C、Dとするとき、(直線ABの傾き)＋(直線CDの傾き)＝０
という関係が成り立ちそうだ。この予想は正しく、次のようにして確かめられる。
（証明） 回転移動と平行移動を施すことにより、
円の方程式 ： ｘ2＋ｙ2＝ｒ2 放物線の方程式 ： ｙ＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ
としても一般性は失われない。代入して整理すると、
ａ2ｘ4＋２ａｂｘ3＋（ｂ2＋２ｃａ＋１）ｘ2＋２ｂｃｘ＋ｃ2−ｒ2＝０
４つの交点のｘ座標をα、β、γ、δとすると、解と係数の関係より、
α＋β＋γ＋δ＝−２ｂ/ａ
このとき、 (直線ABの傾き)＋(直線CDの傾き)
＝ａ（α＋β）＋ｂ＋ａ（γ＋δ）＋ｂ＝ａ（α＋β＋γ＋δ）＋２ｂ＝０ （証終）
（コメント） この定理は、らすかるさんよりご教示頂きました。美しい関係ですね！
らすかるさんに感謝します。
