双子素数　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　差が２の連続する素数のことを双子素数という。（双子素数の話題→「約数の積」）

例　３と５　、５と７　、１１と１３　、１７と１９　、２９と３１　、・・・

　素数が無限に存在することは、紀元前にユークリッドによって既に証明されているが、双子
素数が無限個あるかどうかはまだ未解決である。

　「３と５」を除く全ての双子素数は、６ｎ±１の形である。ただし、ｎは自然数とする。

　このことは、簡単に次のようにして示される。

　ｐを３より大きい素数として、双子素数は、ｐ、ｐ＋２と表される。
このとき、ｐ＋１は６の倍数となる。

　実際に、ｐ、ｐ＋１は連続する２つの自然数なので、どちらかは偶数である。ｐは３より大き

い素数、すなわち、ｐ＋１が偶数となる。

　同様に、ｐ、ｐ＋１、ｐ＋２は連続する３つの自然数なので、どれかは３の倍数であるが、

ｐ、ｐ＋２は３より大きい素数なので、ｐ＋１が３の倍数となる。

　以上から、ｐ＋１は偶数かつ３の倍数なので、６の倍数となる。

　ここで、ｐ＋１＝６ｎ（ｎは自然数）とおくと、ｐ＝６ｎ−１、　ｐ＋２＝６ｎ＋１　と書ける。

　この事実を問う問題が１９６３年度の立教大学で出題されたそうだ。


（コメント）　「３より大きい、すべての素数は６の倍数の隣りにある」とも言われる。すなわち、

　５以上の素数は、６ｎ±１　（ｎは自然数）の形である

　実際に、５以上のすべての自然数は、６を法として、

　　−２　、−１　、０　、１　、２　、３

の何れかに分類される。このとき、±２ は偶数で、素数となり得ない。０や３は、３で割り切
れるので、やはり、素数となり得ない。

　以上から、５以上の素数は、６を法として、±１　、すなわち、６ｎ±１　の形になります。

　当然、６ｎ±１の中には、素数であるものもそうでないものもあります。

例　５と７　で、両方素数　→　双子素数

　　２３と２５　で、２３は素数だが、２５は素数でない。

　　１１９と１２１　で、両方素数でない。


　双子素数と同様に三つ子素数も考えられる。ただ、自然数ｎに対して、ｎ、ｎ＋２、ｎ＋４が
すべて素数となるのは、実はｎ＝３の場合だけである。(出典：早稲田大学政経学部（２００４））

　実際に、ｎ＝２のときは、ｎ、ｎ＋２、ｎ＋４＝２、４、６　は条件に反する。

　ｎ＝３のときは、ｎ、ｎ＋２、ｎ＋４＝３、５、７　は条件を満たす。

　ｎ≧５とすると、　ｎ＝３ｋ（ｋ≧２）　は素数でない。

　　　　　　　　　　ｎ＝３ｋ＋１（ｋ≧２）　のとき、ｎ＋２＝３（ｋ＋１）　は素数でない。

　　　　　　　　　　ｎ＝３ｋ＋２（ｋ≧１）　のとき、ｎ＋４＝３（ｋ＋２）　は素数でない。

　よって、いずれも条件に反する。

　以上から、条件を満たす素数ｎの値は、ｎ＝３のみである。


　大学の先生方は、こういう問題がお好きなようで、一橋大学後期（２００５）で次の問題が出
題されている。

問題　（１）　ｐ、２ｐ＋１、４ｐ＋１がすべて素数となるｐをすべて求めよ。

　（２）　ｑ、２ｑ＋１、４ｑ−１、６ｑ−１、８ｑ＋１がすべて素数となるｑをすべて求めよ。

　この手の問題は、解が無数にありそうで実は有限個しかないというオチがつくことが多い。
受験生は初心に帰って地道に挑戦してほしいものだ。

（解）（１）　ｐ＝２　のとき、ｐ、２ｐ＋１、４ｐ＋１＝２、５、９　で条件を満たさない。

　ｐ＝３　のとき、ｐ、２ｐ＋１、４ｐ＋１＝３、７、１３　で条件を満たす。

　ｐを５以上の素数とする。

　ｐ＝３ｋ＋１　（ｋ≧２）のとき、　２ｐ＋１＝６ｋ＋３＝３（２ｋ＋１）　は素数でない。

　ｐ＝３ｋ＋２　（ｋ≧１）のとき、　４ｐ＋１＝１２ｋ＋９＝３（４ｋ＋３）　は素数でない。

以上から、ｐを５以上の素数とすると、条件を満たさない。

　よって、　ｐ＝３　のみ。

（２）　ｑ＝２　のとき、　ｑ、２ｑ＋１、４ｑ−１、６ｑ−１、８ｑ＋１＝２、５、７、１１、１７　で条件を
　　満たす。

　ｑ＝３　のとき、　ｑ、２ｑ＋１、４ｑ−１、６ｑ−１、８ｑ＋１＝３、７、１１、１７、２５　で条件を満
たさない。

　ｑ＝５　のとき、　ｑ、２ｑ＋１、４ｑ−１、６ｑ−１、８ｑ＋１＝５、１１、１９、２９、４１　で条件を
満たす。

　ｑを７以上の素数とする。

　ｑ＝５ｋ＋１　（ｋ≧２）のとき、　６ｑ−１＝３０ｋ＋５＝５（６ｋ＋１）　は素数でない。

　ｑ＝５ｋ＋２　（ｋ≧１）のとき、　２ｑ＋１＝１０ｋ＋５＝５（２ｋ＋１）　は素数でない。

　ｑ＝５ｋ＋３　（ｋ≧１）のとき、　８ｑ＋１＝４０ｋ＋２５＝５（８ｋ＋５）　は素数でない。

　ｑ＝５ｋ＋４　（ｋ≧１）のとき、　４ｑ−１＝２０ｋ＋１５＝５（４ｋ＋３）　は素数でない。

以上から、ｑを７以上の素数とすると、条件を満たさない。

　よって、　ｑ＝２、５　のみ。　　（終）


　読者のために、練習問題を残しておこう。

練習問題　　２以上の自然数ｎに対して、ｎ、ｎ²＋２がともに素数となるのは、ｎ＝３の場合
　　　　　　　に限ることを示せ。（出典：京都大学　前期理系（２００６））

（解）　ｎ＝２のとき、　ｎ、ｎ²＋２＝２、６　は条件を満たさない。

　ｎ＝３のとき、　ｎ、ｎ²＋２＝３、１１　は条件を満たす。

　ｎを５以上の素数とする。

　ｎ＝３ｋ＋１　（ｋ≧２）のとき、ｎ²＋２＝９ｋ²＋６ｋ＋３＝３（３ｋ²＋２ｋ＋１）　は素数でない。

　ｎ＝３ｋ＋２　（ｋ≧１）のとき、ｎ²＋２＝９ｋ²＋１２ｋ＋６＝３（３ｋ²＋４ｋ＋２）　は素数でない。

以上から、ｎを５以上の素数とすると、条件を満たさない。

　よって、　ｎ＝３　のみ。　　（終）


　当ＨＰ読者のＨＮ「yangmask」さんからご投稿いただきました。（令和３年１０月１４日付け）

　「双子素数」の問題は未解決だと聞きました。以下のように考えてみたのですが、ご意見
を聞かせてください。

（イ）　双子素数を、6x−1 と 6x＋1 （ｘ は自然数）　のペアとする。

（ロ）　そのペアからはすでに、２と３の倍数が取り除かれているが、 さらに５以降の倍数を
　　含むペアをも除くことを考える。

　　素数ｍの倍数を含むペアは、ｍ組につき必ず２組出現する。

　ゆえに、R ＝ 3/5 × 5/7 × 9/11 × ・・・ × (y-2)/y （分母は、すべて５以降の素数）で

ある時、y+1 以降、ｎ番目(=N)までの双子素数の組数は、R_n 組と表わせる。

　ただし、N=6x+1 の時、y^2 ≦ N ≦ z^2 -1 （z は、y の次の素数）

　また、有効範囲が「y+1以降・・・」となる理由は、 素数5〜y自身もその倍数の一つとして
除かれるため。 例えば、５の倍数を除く時、（5，7）のペアも除かれる。

（ハ）　Rは、あくまでも範囲内での双子素数の存在確率の平均値で、 R_n は双子素数の組
　　　数の近似値に過ぎない。

　　しかし、N＝y^2 ＋1 とした時、N＝6n＋1 なので、n＝y^2 /6

　R_n ＝ y^2 /6 × ( 3/5 × 5/7 × 9/11 × ・・・ × (x-2)/x × (y-2)/y )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　※x は、y の一つ前の素数
      = y/6 × ( 3 × 5/5 × 9/7 × 11/11 × ・・・ × (y-2)/x )

      = y/6 × P ・・・とした時、Pは明らかに1以上で、Nが増大するごとに増加する。

　R_nは近似値であるが、２倍も３倍もの誤差があるわけではない。 少なくとも、y＋1〜Nの

　範囲内の双子素数の組数は、y/6よりは多い。

　つまり、双子素数の組数は、Nが増大するごとに増加する。 したがって、双子素数は、N
がどれだけ大きくなっても 無数に存在すると言うことができる。

・・・と考えてみましたが、どうでしょうか？


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１０月１４日付け）

　拝読いたしました。端的に言って、yangmaskさんの思考のなかでは「双子素数」と「双子素
数の候補」との区別がついていない気がします。

　仮に、yangmaskさんの言いたかった道筋がある程度正しかったとしても、それは、「双子
素数の候補」が無限に存在していることを意味しているだけであって、「双子素数」が無限
に存在していることを意味しているわけではないと受け止められます。
（私の読み方が間違っていたら申し訳ありません。あらかじめ謝ります。）


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月１４日付け）

　（イ）　双子素数を、6x−1と6x＋1のペアとする。

　「双子素数」という言葉の定義を取り替えた時点で、「双子素数は無限に存在する」という
命題の意味が変わっています。その先が正しかろうとそうでなかろうと、ただ未解決問題と
は全く別の問題に関する文章でしかないですね。


　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１０月１５日付け）

　Dengan kesaktian Indukmu さんへの返信：

　それは、「双子素数の候補」が無限に存在していることを意味しているだけであって・・・

　はい、ゆえに、「ただし、N=6x+1の時、y^2 ≦ N ≦ z^2 -1 （zはyの次の素数）」・・・となっ
ているわけですね。

　例えば、y=7 の時、つまり、それは7以下の素数の倍数を含むペアを除いた残り・・・という
ことなのですが、その『有効範囲』は、7の次の素数である11、その２乗未満、つまり、
11^2-1＝120 までということになります。ですから、これは「候補」ではありません。

　実際の値も調べてみてください。

N＝10の時、　　　Rn＝1.5、　  実際の組数＝1組（3〜10の範囲）
N＝100の時、　　Rn＝7.07、　 実際の組数＝6組（10〜100）
N＝1000の時、　 Rn＝31.01、　実際の組数＝30組（32〜1000）
N＝10000の時、 Rn＝191.46、　実際の組数＝197組（100〜10000）


　DD++ さんへの返信：

　「双子素数」という言葉の定義を取り替えた時点で、「双子素数は無限に存在する」という
命題の意味が変わっています。

　6x−1 と 6x＋1 のペア以外で、双子素数となり得るものが存在するのでしょうか？それ以
外にないのでは？


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月１５日付け）

　6x−1 と 6x＋1 のペア以外で、双子素数となり得るものが存在するのでしょうか？それ以
外にないのでは？

　逆です。6x-1 と 6x+1 の形だからといって双子素数とは限らない（x=4、6 など）のに、それ
らまで含めた集合を双子素数と称している点が問題です。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月１６日付け）

　yangmask さん、できる範囲で良いので、

　10^100以上の双子素数
　10^200以上の双子素数
     ・・・・・
　10^388342以上の双子素数

を具体的に出してみてください。


　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１０月１６日付け）

　逆です。6x-1 と 6x+1 の形だからといって双子素数とは限らない（x=4、6 など）のに、それ
らまで含めた集合を双子素数と称している点が問題です。

　ああ、そういうこと・・・。では、

　　「双子素数は、6x-1 と 6x＋1 のペアの中に存在しているとする」。

・・・では、どうでしょうか。その上で、ご再考を。

　10^388342以上の双子素数を具体的に出してみてください。

　いや、この証明はですね、双子素数が無数に存在しているかどうかを証明するものであっ
て、具体的な双子素数のペアを言い当てるものではありません。

　例えば、1億桁の素数を具体的に提示することはできなくても、素数が無数に存在している
ことは証明できますよね。それと同じです。

　この証明について、もう少し詳しく説明しますね・・・。

　双子素数を含むはずである 6x−1 と 6x＋1 のペアのうち（すでに２と３の倍数は除かれて
いますが）、５の倍数を含むペアは必ず５組に２組出現します。

例えば、

(5, 7)   ←5は5の倍数　、(11, 13)　、(17, 19)　、(23, 25)　←25は5の倍数　、(27, 31)
(35, 37)　←35は5の倍数　、(41, 43)　、(47, 49)　、(53, 55)　←55は5の倍数　、(59, 61)

・・・以下同じパターン。これで、全体の2/5がカットされ、3/5が残りましたね。

　次に、残った(11, 13)、(17, 19)、(27, 31)の筋、つまり、最初の 6x−1 と 6x＋1 のペアから、
30x-19 と 30x-17 のペア、30x-13 と 30x-11 のペア、30x-1 と 30x+1 のペアだけを抽出、か
つ株分けして、さらに伸ばしていきます。

　これも、左の列から、133 と 161、49 と 77、91 と 119 と、７の倍数が７組に２組の確率で
出現していますので、これらから2/7をカットし、5/7が残ります。つまり、先の５の倍数の時
の3/5と合わせると、3/5 × 5/7 となります。

つまり、実際に、5×7=35組のうち、5と7の倍数を含むペアの除いた残りのペアの組数は、
(5-2)×(7-2)＝15組となっていますね。

　もちろん、このすべてが双子素数なのではなく、あくまで、５と７の倍数を含むペアを除い
た残りであるというだけで、双子素数である有効範囲は、７の次の素数が１１ですので、
11^2-1までとなります。実際、この例でも、120以下であれば、すべて双子素数です。

　そして、これと同じ作業を、１１、１３、１７、・・・の倍数に関しても行なっていくというわけで
す。

　そのようにして出したのが、　R ＝ 3/5 × 5/7 × 9/11 × ・・・ × (y-2)/y　・・・というわけ
です。

　でも、先日ご指摘があったように、例えば、上述した35組から５と７の倍数を含むペアを
除いた１５組がすべて双子素数なのではありません。それらはあ　くまで「候補」です。

　例えば、７以下の素数の倍数を除くことで素数であることが確定できるのは、７の次の素
数である１１の２乗未満までです。つまり、11^2-1=120まで。つまり、120までなら、7以下の
素数で割り算するだけで素数かどうかを判定できますよね。

　これが「有効範囲」に関する話でした。

　そして、先程導き出した　R ＝ 3/5 × 5/7 × 9/11 × ・・・ × (y-2)/y　を「平均値」として、
上述の「有効範囲」にかけたものが、・・・　Rn　となります。

　これは、あくまでも「近似値」ですけども。

　よければ、この近似値が本当に近似値たりえるかどうか、ご自身でも計算して検証してみ
てください！私の出したデータとしては、先回示した通り、以下のようになりました。

N＝10の時、　　　Rn＝1.5、　  実際の組数＝1組（3〜10の範囲）
N＝100の時、　　Rn＝7.07、　 実際の組数＝6組（10〜100）
N＝1000の時、　 Rn＝31.01、　実際の組数＝30組（32〜1000）
N＝10000の時、 Rn＝191.46、　実際の組数＝197組（100〜10000）

　・・・説明はまだ続くのですが、とりあえず、今回はここまで。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月１６日付け）

　　「双子素数は、6x-1 と 6x＋1 のペアの中に存在しているとする」。
　・・・では、どうでしょうか。その上で、ご再考を。

　そうすると、今度は、Dengan kesaktian Indukmu さんのいう「双子素数」と「双子素数の候
補」がごっちゃになっているという問題がですね。推測しながら頑張って読もうともしたんで
すが、いかんせんどれが「双子素数以外のものも含まれている可能性がある 6x-1 と 6x+1
のペアの集合」についての議論で、どこが「双子素数と確定したものの集合」についての議
論なのか、明確に線引きされていないので、再考どころか、まず書いてある内容を正確に
理解する段階で行き詰まるんですよコレ。

　それぞれの文字（特に R, y, n, N あたり）を、それぞれどういう意味付けで用いているのか、
また、各式が何を目的とした式なのかをもっと明確にして再度書いてもらえると助かります。

## ところで

　6x−1 と 6x＋1 のペア以外で、双子素数となり得るものが存在するのでしょうか？それ以
外にないのでは？

とありますが、「3 と 5」って双子素数ですよね。無限に存在するかどうかという議論なので、
私もすっかり忘れていましたけど。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月１６日付け）

　いや、この証明はですね、双子素数が無数に存在しているかどうかを証明するものであっ
て、具体的な双子素数のペアを言い当てるものではありません。

　例えば、1億桁の素数を具体的に提示することはできなくても、素数が無数に存在している
ことは証明できますよね。それと同じです。

　そのことは承知の上ですが、yangmaskさんは双子素数を見つけるアルゴリズムを提案して
いるわけですから、聞きたいのは、以下の２点です。

(1)　例えば、10桁以上(あるいは、100桁以上)の双子素数が存在することを証明するために、
　　篩に掛ける前の(6x-1,6x+1)のリストをどこまで用意すれば良いのですか？(xの最大値は?)
　　(まさかとは思いますが、無限に用意するなんてことはないですよね。)

(2)　(1)で用意した分の(6x-1,6x+1)のリストを篩にかけた後に、10桁以上(あるいは、100桁
　　以上)の双子素数が残っていることをどう証明するのですが？
　　(残ったリスト中の双子素数の組数の期待値が1より十分大きいからなんてことはないで
　　すよね。)

　あともう１つ、篩の操作を止める条件を教えてください。続けていくと、(1)のリストは有限な
ので、全てが篩から落ちてしまいます。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月１６日付け）

　7/11 が 9/11 の誤植だと思えば、やっと全体で何を言っているかなんとなく理解できました。
（文字や式の意図が推測でしかないので理解が誤っている可能性はありますが、仮にそうで
あっても、それは証明する側が本来きちっとすべきところを曖昧にしている責だと思います）

　以下、改めて問題点の指摘。

　y = 13 で考えてみることにします。

　yangmask さんの議論では、

「双子素数候補の中に 5, 7, 11, 13 を素因数に持たないものが
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3/5 * 5/7 * 9/11 * 11/13 = 27/91 の割合で存在する」

ということになりますね。yangmask さんはこれを当然のものとして扱っていますが、これは
以下のような議論が背景にあるはずです。

　「双子素数候補を小さい順に並べて考える」
　「5 の倍数が入るかどうかは 5 組周期である」
　「7 の倍数が入るかどうかは 7 組周期である」
　「11 の倍数が入るかどうかは 11 組周期である」
　「13 の倍数が入るかどうかは 13 組周期である」
　「周期がどの 2 つも互いに素なので全体が各周期の積である 5005 組周期になっている」
　「その 5005 組は、各素数で割った余りの全 5005 パターンが全て 1 回ずつ出現する」
　「だから特定の組が条件を満たす確率は、それぞれの素数について独立と考えて良い」

　ところが、この議論をよく見てみると、

　「5, 7, 11, 13 を素因数に持たないものが 27/91 の割合で存在する」

と言えるのは実は全体の組数が周期 5005 の倍数の時だけ、あるいは少し厳密さを緩めて
も組数を 5005 で割った値が充分に大きい時だけであることがわかりますよね。

　一方で、yangmask さんは y=13 のときには値が y^2 = 169 以下の候補で考えると言って
います。

　この範囲には候補は 28 組しかなく、28/5005 は充分大きいどころか 1 にすら全く届いて
いません。

　つまり、この 27/91 を近似値として使うには 169 まででは候補組数が全く足りないのです。
（実は少し考えると (y+2)^2-1 = 224 の 37 組まで頑張れますが、まあ焼け石に水ですね）

　当然、y->∞ に対して周期は候補組数よりも速く発散しますので、Rn は「2 倍も 3 倍もの
誤差があるわけではない」どころか、むしろ「範囲が狭すぎて y の値次第では無限倍の誤
差がある（つまり真値が 0 である）可能性も充分残っている」という方が適切なほどの粗い
値として評価するべきです。


　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１０月１７日付け）

　それぞれの文字（特に R, y, n, N あたり）を、それぞれどういう意味付けで用いているのか

　N は、調査したい範囲の上限値。任意に設定可能。
　n は、N以内にある 6x−1 と 6x＋1 のペアの組数。n=(N-1)/6 で求める。
　y は、√N以下にある最大の素数。
　R は、5〜y の素数の倍数を除いた場合の双子素数の「存在確率の平均値」。
    (5〜yの素数から各々2を引いたものの積)/ (5〜yの素数の積)・・・で求める。

そして、Rn が、y+1〜Nの範囲内にある双子素数の組数の「近似値」　・・・ということです。

　そこで、例題として、N＝48 の場合について考えてみますね。

　まず、N＝48 以内に存在する 6x−1 と 6x＋1 のペアの組数を算定します。

　n=(N-1)/6 なので、(48-1)/6=7.833・・・組です。

　また、√48＝6.92・・・ですので、この場合、y（√N以内の最大の素数）は、5 となります。

そして、Rは、最大素数 y=5 ですので、R=3/5 となります。

その上で、候補の組数nに存在確率Rをかけます。

　そうすると、Rn= 7.833 × 3/5 = 4.6998　・・・となりました。

実際に、5＋1〜48 以下の双子素数は、(11, 13)、(17, 19)、(29, 31)、(41, 43) の４組です。

　近似値の4.6998にかなり近い数字となりましたね。

　これと同様の計算で、さらに、Nの値を大きくして実際に計算してみてください。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月１７日付け）

　これと同様の計算で、さらに、Nの値を大きくして実際に計算してみてください。

　それは何の意味もないですね。

　R が「超高確率でかなり近い値になる」のは同意しますよ。しかし、双子素数が無限に存在
するという証明には、「たった 1 つの例外もなくかなり近い値になる」ことの証明が必要です。

　例え 1 億通りの N について R として近い値が得られることを示しても、例外がないという
主張のための根拠には全くなりません。


　指摘の分かりやすさのために、R が近似になってない実例を持ってくるべきだと思いました。

　前に私が例示した y = 13 の場合、R = 27/91 ≒ 0.2967 です。

　では、これをもって、「双子素数候補を連続 10 組持ってくれば、5,7,11,13 のいずれも素因
数に持たない数同士の組を約 2．967 個と近似できる」と言えるでしょうか？

　答えは NO です。理由は、以下を見ればわかっていただけるかと．．．。

　(737,739)・・・737 は 11 の倍数
　(743,745)・・・745 は 5 の倍数
　(749,751)・・・749 は 7 の倍数
　(755,757)・・・755 は 5 の倍数
　(761,763)・・・763 は 7 の倍数
　(767,769)・・・767 は 13 の倍数
　(773,775)・・・775 は 5 の倍数
　(779,781)・・・781 は 11 の倍数
　(785,787)・・・785 は 5 の倍数
　(791,793)・・・791 は 7 の倍数、793 は 13 の倍数

　(3857,3859)・・・3857 は 7 の倍数
　(3863,3865)・・・3865 は 5 の倍数
　(3869,3871)・・・3871 は 7 の倍数
　(3875,3877)・・・3875 は 5 の倍数
　(3881,3883)・・・3883 は 11 の倍数
　(3887,3889)・・・3887 は 13 の倍数
　(3893,3895)・・・3895 は 5 の倍数
　(3899,3901)・・・3899 は 7 の倍数
　(3905,3907)・・・3905 は 5 と 11 の倍数
　(3911,3913)・・・3913 は 7 と 13 の倍数

　10R = 2.967 はあくまで平均値ないし期待値であり、近似値ではありません。つまり、そこ
から極端に外れる場合がごく稀にあることは別に否定しません。
（5005R みたいな特殊な場合は別として）

　もちろんこれは、y = 13 で注目する区間とは全く別のところから極端な部分を持ってきただ
けです。しかし、

「y を様々な値で考えたとき、注目する区間とこの極端な区間が重なる奇跡的な不運が絶対
に起こらないとする保証は？」

　双子素数が無限に存在するかどうかが未解決というのは、この問いまでたどり着くのは簡
単でも、この問いに答えられた人が誰もいないという意味です。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１０月１７日付け）

　最近みかけたことがあった、「双子素数の組が無限にあることの【偽】証明」です。

＜引用始め＞

　1桁の数は9個、2桁の数は90個、3桁の数は900個、 N 桁の数は 9*10^(N-1) 個ある。

　素数定理によると、 N 桁の数が素数である確率は、およそ 1/(2.3*N) なので、N 桁の素
数は、およそ　9*10^(N-1) / (2.3*N)　あることがわかる。

　Ｎが大きくなると、10^(N-1) はＮよりも速く大きくなるので、素数はどんどん増えていく。

　素数がランダムに分布しているとすると、N 桁の素数があったときに、その1つ飛んだ隣が
素数である確率も 1/(2.3*N) だろう。

　だから、 N 桁の数をランダムに選んだときに、その数と、その1つ飛んだ隣の数が両方と
も素数である確率は、1/(2.3*N)^2　となる。

　これが正しいとすると、N 桁の双子素数の数は、9×10^(N-1) / (2.3×N)^2　と見積もら
れる。

　N が大きくなると、10^(N-1) は N よりも速く大きくなるので、双子素数の数もどんどん増え
ていく。

＜引用終了＞

　上の論法には穴があります。（→　参考：「資料」）


　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１０月１８日付け）

　DD++さん、y=13の場合ですね。

　まず、この場合、Nの範囲、つまり、調査する範囲の最低値と最高値が決まります。それは、

13の次の素数が17ですので、17^2-1が最高値。最低値は、13^2です。

　それで、もう一度、Nを、169〜288に設定し直して、それに平均値である0．296をかけて、
実際の組数と比較してみてください。


　では、なぜ、Nの範囲に制約があるのか？　その点は、先日、こう説明しましたね。

(以下、引用)。

　でも、先日ご指摘があったように、例えば、上述した35組から５と７の倍数を含むペアを
除いた１５組がすべて双子素数なのではありません。それらはあ　くまで「候補」です。

　例えば、７以下の素数の倍数を除くことで素数であることが確定できるのは、７の次の素
数である１１の２乗未満までです。つまり、11^2-1=120まで。つまり、120までなら、7以下の
素数で割り算するだけで素数かどうかを判定できますよね。

　これが「有効範囲」に関する話でした。

(引用終わり)。

　以上を参考に、ご再考を。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月１８日付け）

　私は 10 個で例示してますけど、「10 個だとこうなる場合がある」という主張ではなく、
「5005 の倍数個ないとこうなる場合がある」という主張の例示です。

　289 まで使うとして、5005 組すなわち 30029 と 30031 の組に届いていない時点で何の解
決にもなっていません。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１０月１９日付け）

　後でトレースするための私的なメモです。

　(3,5)以外の双子素数の組を小さいもの順に並べたときに

　　　467組め　(30011, 30013)　、468組め　(30089, 30091)

　双子素数の【候補】の組を小さいもの順に並べたときに、上記は、

　　　5002組め　(30011, 30013)　、5015組め　(30089, 30091)

　これと　5005=5*7*11*13 で、5005組め　(30029, 30031)　の候補。


　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１０月１９日付け）

　DD++さんの

　私は 10 個で例示してますけど、「10 個だとこうなる場合がある」という主張ではなく、

　では、これをもって、「双子素数候補を連続 10 組持ってくれば、5,7,11,13 のいずれも素因
数に持たない数同士の組を約 2.967 個と近似できる」と言えるでしょうか？

について、この場合、対象の素数に10以上のものが加わっているためだと思います。その
場合、組み合わせによっては、見事に「飽和状態」になって、全部それらの倍数で埋まって
しまう場合もあるでしょう。多分、10よりももっと組数を拡大するとよいのかもしれません。こ
の場合、少なくとも、30組以上とか。

　ところで、私が示しているRというのは、このスレッドの冒頭の記事でも説明した通り、

（以下引用）。

　ただし、N=6x+1の時、y^2 ≦ N ≦ z^2 -1 （zはyの次の素数）

（引用終わり）。

・・・と想定されていますね。

　★ここが今回の結論★

　ですから、もし、Rに不備があるというご反論であれば、上記の範囲内において不備がある
ことを示すべきだろうと思います。


　ちなみに、y=13 の場合を検証しますね。範囲は、y^2 ≦ N ≦ z^2 -1 （zはyの次の素数）
ですから、N＝13^2〜17^2-1ですね。

　では、まず、最低値の169の場合。

　(169-1)/6=28組、これが n の値。これに、R＝0．296をかけて、8．288組。

　13+1（←ココ注意！）〜169までの双子素数の実際の組数は、

　(17 19), (29 31), (41 43), (59 61), (71 73), (101 103), (107 109), (137 139), (149 151)

の9組です。

　次に、最高値の288の場合。

　(288-1)/6=47．833　で、これに 0．296 をかけると、14．15組。

　実際の組数は、

　(17 19), (29 31), (41 43), (59 61), (71 73), (101 103), (107 109), (137 139), (149 151),
　(179 181), (191 193), (197 199), (227 229), (239 241), (269 271), (281 283),

の16組ですね。その他の数値でも不備がないかどうか、確認されてみてください。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月１９日付け）

　多分、10よりももっと組数を拡大するとよいのかもしれません。この場合、少なくとも、30組
以上とか。

　ええ、やっと私の指摘が伝わり始めたようで。そうです、10 組では少なすぎます。では、何
組あればこういうことが起きないというのに充分ですか？N < z^2 の範囲でその個数は足り
ますか？

　私は、y=13 なら 5005 組、一般の y では、5 以上 y 以下の全素数の積だけ必要と思って
います。つまり、z^2/6 個程度じゃ全然足りてないと思うのです。

　上記の範囲内において不備があることを示すべきだろうと思います。

　違います。範囲そのものに不備があるという話をしています。


　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１０月２０日付け）

　DD++さんの「私は y=13 なら 5005 組、・・・」について、確かに、5005組ならば、「厳密値」が
出ると思います。しかし、今回求めているのは、「近似値」です。ですから、Rを「存在確率の
『平均値』」として用いているわけです。

　そして、実際に、昨日示したように、そのRを用いても、きちんと「近似値」と十分言い得る
数値が出ていると思います。

　昨日も述べましたが、もしも、Rに不備があるというご反論であれば、実際に、私の指定す
るNの範囲内にて計算し、その数値が、実際の組数とはかけ離れすぎて、とても「近似値」と
は言い得ない・・・という実例を挙げるべきだろうと思います。

　昨日は、Nの最低値と最高値を挙げましたが、指定された範囲内のどの数値をNとしても、
「近似値」とは言い得ないほどにかけ離れすぎた数値は出ないと思います。そして、もし、そ
れが確認できたならば、少なくとも、y=13に関する懸念・疑問は晴らされた・・・ということが
できるでしょう。是非、ご確認を。


　H．Nakaoさんの「篩の操作を止める条件を教えてください。」について、この近似値を求め
る公式は、単に、具体的な組数を求めるために提示したのではありません。そうではなく、
その公式の構造から、Nを増大させると、Rnも無限に増大し得るということを示すためのもの
でした。


　冒頭の記事でも述べた通り、Rnは、結局、(y/6)×Pとなり、どんなに小さく見積もっても、
N以下の双子素数の組数は、y/6より小さくなることはありません。

　y というのは、大雑把に言うと、√N（より少し小さい値）です。

　ですから、N以内の実際の双子素数の組数が、√N/6を絶対に下回らないことを計算して
確認してみてください。（実際の組数よりもずいぶん小さいです）。

　また、Pの性質についても、ご再考ください。冒頭の記事を参考に。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月２０日付け）

　そういえば、yangmask さんって、最初は「双子素数」という言葉を一般とは違う意味で用い
ていましたね。「平均値」「期待値」「近似値」は一般と同じ意味で用いていると思っていいで
すか？

　一般と違う意味であれば、yangmask さんがどういう意味で使用しているのか述べてくださ
い。

　一般と同じ意味であれば、平均値や期待値が近似値と言えるのは特別な場合だけであり、
その場合以外は、平均値を近似値とは主張できないことはご存知と思います。

　では、「特別な場合」が今回の話ではどういう場合なのか、yangmask さんの考えを述べて
ください。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月２０日付け）

　yangmaskさんのアルゴリズムは、エラトステネスの篩法と本質的に同じですね。

　5以上N以下の自然数の一覧から、2以上sqrt(N)以下の全ての素数pで篩(ただし、素数p
およびpの倍数を落とす)をかけて、残ったものから(6x-1,6x+1)タイプの双子素数を探す。

　もし、

　(*1)「任意のNに対して、5以上N以下の自然数の一覧から、2以上sqrt(N)以下の全ての素
数で篩をかけた後に、双子素数の組(6x-1,6x+1)が1組以上残る」

を示すことができれば、

　(*2)「任意のNに対して、sqrt(N)以上の双子素数が１組以上存在する」

ことが分かり、めでたく、

  (*3)「双子素数が無限に存在する」

と証明できるわけですが、そうそううまくはいきません。

　2以上sqrt(N)以下の全ての素数で篩にかけて残るのは、素数だけ(sqrt(N)以上N以下の
素数)ですが、差2の素数の組(6x-1,6x+1)の数が確実に1以上であることを示す必要があり
ます。(yangmaskさんの議論では、この部分が完全に抜けています。)

　つまり、Nが小さい範囲(または、篩をかける素数pがsqrt(N)よりも圧倒的に小さい範囲)で、
いくら議論しても、全く意味がありません。

　任意のN(Nはどれだけ大きくても良い)について、議論する必要があります。

　yangmaskさんの議論は、例えば、N=10^100の場合でも通用しますか？つまり、篩にかけた
後、sqrt(N)=10^50以上の双子素数 (6x-1,6x+1) が必ず残りますか？


　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１０月２１日付け）

　DD++さんの、

　では「特別な場合」が今回の話ではどういう場合なのか、yangmask さんの考えを述べて
ください。

について、

　はい。「近似値」ですから、「誤差」はあるはずですね。では、その誤差がどのくらいなら、
この証明が成立するのか・・・ということになると思います。

　先日、H．Nakaoさんへの返信で示した通り、最終的に目指すのは、双子素数の組数が、
確実に、y/6 以上になることを示すことにあります。

　つまり、そのためには、1＜Pの必要がありますが、Pとは、要するに、y × R です（冒頭の
説明の後半を参照）ので、Rの確率の誤差が、yR倍までなら、この証明は成立します。

　例えば、y=13の時、R=0．296として、yR=3．848ですから、Rの確率の精度が悪くて、本当
の確率の3．848倍だった場合でも良いということになります。

　ただ、別に、y/6にこだわる必要はなく、y/60でも、y/600でも、とにかく、N以下に双子素
数が少なくとも y/．．組あることを示せばよいわけですが・・・。

　先日も述べたように、N以内の実際の双子素数の組数が、√N/6を絶対に下回らないこと
を計算して確認してみてください。


　H．Nakaoさんの

　yangmaskさんのアルゴリズムは、エラトステネスの篩法と本質的に同じですね。

について、

　はい、そうなんです。これは、「エラトステネスのふるい」の亜種なんです。

　というのが、もし整数y+1からNの素数の数を調べるのであれば、

　　R´= 1/2 × 2/3 × 4/5 × 6/7 × 10/11 ・・・ × (y-1)/y

とし、Nの有効範囲を、y^2 ≦ N ≦ z^2-1　（zはyの次の素数）とする時、NR´-1 で求めるこ
とができます。もちろん、近似値です。

　2以上sqrt(N)以下の全ての素数で篩にかけて残るのは、素数だけ(sqrt(N)以上N以下の
素数)ですが、差2の素数の組(6x-1,6x+1)の数が確実に1以上であることを示す必要があり
ます。

について、

　はい、それが、上記のR´と双子素数で用いるRの違いですね。

　つまり、R´は、各素数-1の積/各素数の積・・・でしたが、

　　　　　Rは、各素数-2の積/各素数の積・・・です。

　その違いにこそ、上記の疑問の答えがあります。

　そのふるいの過程は、掲示板の記事で説明していいます。再度ご参照ください。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月２１日付け）

　「自分が試したものは近い値になった」は、「近似値」（一般に数学で使われる意味で）とは
意味が異なります。そこを yangmask さんが理解されないのであれば、そもそも議論が成り
立ちませんが、どうですか？


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年１０月２２日付け）

　双子素数について議論が付きませんが、面白そうだったので、この双子素数についての
話題をネットを頼りに調べていたら、次のような記事を目にしました。本当かどうか、私は確
かめようもありませんが、

　1〜10^n までにある双子素数の個数π2(x)：「A007508」の数値を利用すると、

　n=1,2,3,･･･,18 に対し、

S = [2, 8, 35, 205, 1224, 8169, 58980, 440312, 3424506, 27412679,224376048, 1870585220,
　　　15834664872, 135780321665, 1177209242304,10304195697298, 90948839353159,
　　　808675888577436]

が調査されている。これに対し、

　G(n)=2*intnum(x=2,n,1/log(x)^2)

なる積分値を用いると、

gp > for(n=1,18,print(n";"S[n]/G(10^n)))
1;0.273009143195141127310686705082543927672058243874540376634847
2;0.390181329132455253192450654411922126000664200882354912712890
3;0.504540038803388239947495133129569379659899881281698122406829
4;0.631775260195868257946817747409907822773013921027110100555943
5;0.647098910687343272831490132433756736308963580384562776131306
6;0.653836379893499396968075012932538125752046105094640353927900
7;0.662703228819482857049224575219783801172129167648859330194257
8;0.660078173902699658492021350077211194684818809078473347157310
9;0.660007215861154663131835010939975511384692930943647257461890
10;0.660192220440606524665340828732345223862374708586858597921409
11;0.660182951367617843968302099349140276926395333496185132517496
12;0.660170763543555264104830652512691602058467182435292675789294
13;0.660164591095714442427238866555655568001135209735151806601746
14;0.660162091864318719877219322456432748328538193498363072570285
15;0.660162236684832796635585219251889679316346714678259528584082
16;0.660162017197729231194487296863165087934530754890738737174800
17;0.660161860067529899145395426492699550701062147021425206820282
18;0.660161805302766030335074599664791671265009821733467052931298

の比率が一定値に収まっていく様子が見れる。実は、この比率が、

Π[p>=3なるすべての素数p](1-1/(p-1)^2)=Π[p>=3なるすべての素数p]p*(p-2)/(p-1)^2

で、その値が、

gp > prodeulerrat(1-1/(p-1)^2,1,3)
%370 = 0.660161815846869573927812110014555778432623360284733413319448
（→　「A005597」）

であると、Hardy & Littlewood が1923年での論文で示す。

　また、双子素数の逆数での和

　　B2=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+(1/17+1/19)+(1/29+1/31)+･･･

は、発散ではなく収束することを、1919年、Viggo Brun が示す。

　現在、その値は、　B2≒1.902160583104･･･　辺りまでは確定しているらしい。
（発散するなら、双子素数は無限個存在すると言える。だから、逆に、双子素数はとても稀
とも言える。）

　この極限値を求めようと研究していたリッチバーグ大学のThomas R Nicelyが、
1994年10月30日に、p=844633702441 と q=824633702443 の双子素数(p,q)の逆数の和
1/p+1/q を求めようと、コンピュータを用いて計算しているとき、計算が正しく行われていない
ことに気付く。調べてみると、計算機に組み込まれていたX86アセンブラ浮動点割り算命令
FDIVにおいて、プログラムバグがある事を突き止める。メーカーのインテルは、5億ドルの補
償金を支払うことになったという。

　いやいや双子素数の背景にいろいろな物語が隠れているんですね。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月２２日付け）

　Nを100以上の任意の自然数として、いくつかの(有限)集合と有理数を定義する。

　M(N)={1,2,・・・,N}　：　N以下の自然数の集合

　Q(N)={ p∈M(N)｜pは素数、かつ、5<=p<=sqrt(N)}　：　5以上sqrt(N)以下の素数の集合

　q(N)=max Q(N)　：　sqrt(N)以下の最大の素数

　V(N)={ (6*x-1,6*x+1)｜x∈M(N)、かつ、sqrt(N)<=6*x-1, 6*x+1<=N }
　　　　　　　　　　　　　：　篩を掛ける前のsqrt(N)以上、N以下の双子素数の候補の組の集合

　U(N)={ (6*x-1,6*x+1)｜x∈M(N) かつ sqrt(N)<=6*x-1, 6*x+1<=N、6*x-1と6*x+1は共に素数 }
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：　V(N)を全ての素数p∈Q(N)で篩にかけて、残った組の集合
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　つまり、sqrt(N)以上、N以下の双子素数の組の集合

　ここで、篩は、組(6*x-1,6*x+1)で、6*x-1または6*x+1のどちらかがpで割り切れる場合に、
落とす。

　S(N)=#U(N)/#V(N)　：　双子素数の候補V(N)中の双子素数U(V)の比率である有理数。
　　　　　　　ここで、#U(N)は有限集合U(N)の元の個数、#V(N)は有限集合V(N)の元の個数

　R(N)=Π_{p∈Q(N)} ((p-2)/p)=(3/5)*(5/7)*・・・*((q(N)-2)/q(N))
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：　yangmaskさんがS(N)の近似値と称する有理数

　では、N=10^2、・・・、10^11 について、q(N)、#U(N)、#V(N)、S(N)、R(N) はどのようになるの
か、実際に計算してみた。

以下は、事実であり、(その事実を)確認することはできるが、反論はできない。

(事実1)　N=10^2のとき、

   q(10^2)=7
   #U(10^2)=6
   #V(10^2)=15
   S(10^2)=6/15=2/5≒0.40000000000000000000000000000000000000
   R(10^2)=(3/5)*(5/7)=3/7≒0.42857142857142857142857142857142857143

(事実2)　N=10^3のとき、

   q(10^3)=31
   #U(10^3)=30
   #V(10^3)=161
   S(10^3)=30/161≒0.18633540372670807453416149068322981367
   R(10^3)=(3/5)*(5/7)*・・・*(31/33)=32805/176111≒0.18627456547291197029146
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　390628637620592

(事実3)　N=10^4のとき、

   q(10^4)=97
   #U(10^4)=197
   #V(10^4)=1650
   S(10^4)=197/1650≒0.11939393939393939393939393939393939394
   R(10^4)=(3/5)*(5/7)*・・・*(95/97)
          =238389157662039759375/2074913629381666083841≒0.1148911233153
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7425853552369642152830209

(事実4)　N=10^5のとき、

   q(10^5)=313
   #U(10^5)=1204
   #V(10^5)=16614
   S(10^5)=1204/16614=602/8307≒0.072469002046466835199229565426748525340
   R(10^5)=(3/5)*(5/7)*・・・*(311/313)
          =122091985355301622571645017875317980824280251478445881633758544921875
         /1653583285404494466726389961970800766504834465192518064348112687099321
          ≒0.073834796488908543811273725175468932901

(事実5)　N=10^6のとき、

   q(10^6)=997
   #U(10^6)=8134
   #V(10^6)=166500
   S(10^6)=8134/166500=4067/83250≒0.048852852852852852852852852852852852853
   R(10^6)=(3/5)*(5/7)*・・・*(995/997)=(注1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≒0.051937892569612494333667597486193028510

(事実6)　N=10^7のとき、

   q(10^7)=3137
   #U(10^7)=58897
   #V(10^7)=1666140
   S(10^7)=58897/1666140≒0.035349370401046730766922347461797928145
   R(10^7)=(3/5)*(5/7)*・・*(3135/3137)=(注2)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≒0.038378050006712432095167259163970813807

(事実7)　N=10^8のとき、

   q(10^8)=9973
   #U(10^8)=440107
   #V(10^8)=16665000
   S(10^8)=440107/16665000≒0.026409060906090609060906090609060906091
   R(10^8)=(3/5)*(5/7)*・・・*(9971/9973)=(注3)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≒0.029366496933742035993861259775794662587

ただし、(注1)、(注2)、(注3)は、こちらを参照。

　以上の(事実1)〜(事実7)から、以下のことが分かる。

　「任意のNに対して、#U(N)>=1である」ことを示したいが、そのために、「S(N)はR(N)で近似
できて、S(N)>=R(N)となる」ことを主張しようとしても、以下の理由により、うまく行かない。

(理由1)　２つの比率S(N)とR(N)は大きな乖離があり、R(N)はS(N)の近似値とは言えない。
       　　→ここで、R(N)にはイエローカード。

(理由2)　N=10^5、・・・、10^8 のときに、S(N)<R(N)である。

　　　つまり、R(N)は、#U(N)または#U(N)の下限について、何も主張できない。
       →ここで、R(N)にはレッドカード。退場いただきましょう。

というわけで、今度は、yangmask さんが再考する番です。

　yangmaskさんが(事実1)〜(事実7)を確認するまで、yangmaskさんの反論は認めません。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月２２日付け）

　18;0.660161805302766030335074599664791671265009821733467052931298

　gp > prodeulerrat(1-1/(p-1)^2,1,3)
　%370 = 0.660161815846869573927812110014555778432623360284733413319448

　へえ、n=18 で下回るんですね。これは知らなかった。n=19、20 では、n=18 のときより大き
くなるんでしょうかね。


　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１０月２２日付け）

　H．Nakaoさんの

　(理由1)２つの比率S(N)とR(N)は大きな乖離があり、R(N)はS(N)の近似値とは言えない。

について、つまり、真値Sと近似値Rとでは、「2倍も3倍もの誤差はない」ということですよね？
もし、そうなら、それで十分なのですが。


　DD++さんの

　「自分が試したものは近い値になった」は「近似値」（一般に数学で使われる意味で）とは
意味が異なります。

について、うーん、素数定理と、先日示したR´（素数の数を調べる）とを比較してみました。

　N＝55の時、素数定理だと、55/4=13．75　、R´だと、55×0.228 -1+4=15.54

　実際の素数の数は、16個。

・・・というわけで、どちらか言えば、R´の方が精度は高いようです。

　素数定理で素数の数の近似が得られるというのであれば、NR´でも、そして、その同じ理
論に基づくRnも「近似値」と言い得るのでないかと。

　それから、Rが狭い範囲で有効かどうかについて再検討してみました。

　y以下の倍数を除いた組が、何組につき1組現われるかを考えます。

　例えば、y=7の時、R=0．428 ですので、1÷0．428=2．336 となり、2．336組に1組と分かり
ます。

　しかし、これは、先日ご指摘があったように、「期待値」とも言えるもので、実際には、
2．336組につき、0組かもしれませんし、逆に2組かもしれません。とはいえ、それは、この
1区画のみを考えればの話ですね。そうではなく、もっと他の区画から他のサンプルを集め
て平均化すれば、Rに近づいていくはずです。

　y=7で、N=49の場合、n=8組です。8÷2．336=3．42　となり、この場合、3．42区画分で平均
を出せます。同様に、

　y=11で、N=121の場合は、7．01区画
　y=13で、N=169の場合は、8．28区画

　要するに、この区画数とは、Rnそのものの数値なのですが、yが大きくなるにつれて、
Rn＝区画数の数も増えます。

　上述した通り、区画数が増えるということは、それだけ、その平均がRに近づくということで
す。つまり、yが増大するごとに、Rnの精度も上がるということ。

　先日、説明した通り、y=13、N=169の時、Rn＝8．228、実際の組数8組（14~169）と、実用に
耐えらえる近い値が出ています。（つまり、誤差が2倍以下）。ですので、これ以上、yが大き
くなったとしても、Rnは近似値として有効（少なくとも、真値の2倍以下の誤差）であると言える
と思います。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月２２日付け）

　素数定理で素数の数の近似が得られるというのであれば、NR´でも、そして、その同じ理
論に基づくRnも「近似値」と言い得るのでないかと。

　素数定理の証明には、yangmask さんのような確率論的根拠は用いられていません。素数
定理は近似ですが、NR’ は近似とは認められていないのですよ。まずは、その理由の理解
を試みてください。そうすれば、その同じ理論に基づくRnも「近似値」と言い得ないことも理解
できるのではないかと。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月２２日付け）

　yangmaskさんの

　真値Sと近似値Rとでは、「2倍も3倍もの誤差はない」ということですよね？　もし、そうなら、
それで十分なのですが。

について、(余談ですが)、yangmaskさんのいう「誤差」の定義は何でしょう？

　誤差とは、通常の定義では、(近似値R)-(真値S)です。

　近似値Rによる誤差が真値Sの2〜3倍もあったら、RはSの近似値とは言いません。
(ここまで余談)

　仮に、yangmaskさんのいう

　「任意のNについて、真値S(N)と近似値R(N)とでは、2倍も3倍もの誤差はない」

の意味が、

　(*)　「任意のNについて、1/3 <= S(N)/R(N) <= 3　である」

という主張であったとしても、そのように主張するためには、(*)を証明する必要があります。

　yangmaskさんは、これまでR(N)については議論していますが、S(N)あるいはS(N)とR(N)の
関係について全く議論していないのに、(任意のNについての証明が必要である)主張(*)に
ついて、どこで(どのように)証明したのですか？私には見当たりません。


　yangmaskさんの

　これ以上、yが大きくなったとしても、Rnは近似値として有効（少なくとも、真値の2倍以下の
誤差）であると言えると思います。

について、「思います」では、証明になりません。必要なのは、説明ではなく、その証明です。


　yangmaskさんの

　素数定理で素数の数の近似が得られるというのであれば、NR´でも、そして、その同じ理
論に基づくRnも「近似値」と言い得るのでないかと。

について、その根拠は？証明はどこにあるのでしょう？証明できるまでは、yangmaskさんの
予想に過ぎません。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１０月２２日付け）

　正の整数 k について、閉区間[5k, 7k]を考えます。これらの区間の各々については、例外
なく、閉区間に含まれる整数のうち少なくともひとつについて、（これを m と書くこととして）

m ∈ [5k, 7k]
p_k1 = 6*m -1
p_k2 = 6*m +1
p_k1 と p_k2 とは双子素数

となる……という観察を丹念な数値実験で得たものとします。

[05, 07] ∋ 5　・・・　双子素数　29と31
[10, 14] ∋ 10　・・・　双子素数　59と61
[15, 21] ∋ 17　・・・　双子素数　101と103
[20, 28] ∋ 23　・・・　双子素数　137と139
[25, 35] ∋ 25　・・・　双子素数　149と151
[30, 42] ∋ 30　・・・　双子素数　179と181
[35, 49] ∋ 38　・・・　双子素数　227と229
[40, 56] ∋ 40　・・・　双子素数　239と241
[45, 63] ∋ 45　・・・　双子素数　269と271
　・・・・・・

　そして、数値実験を繰り返し、k をいくら大きくしても、こうした m がみつかるといった観察
を得たものとしましょう。

　こうして得られた観察から、「双子素数が無限にあることの証明が出来た！」とは言えませ
んよね。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年１０月２３日付け）

　この仕組みは面白い。

forstep(k=10^18+ランダムな17桁の整数,10^19+ランダムな18桁の整数,10^17,
　　　　　for(m=5*k,7*k,if(isprime(6*m-1)==1 && isprime(6*m+1)==1,
　　　　　　　　　　print(k";"m"=>"6*m-1"|"6*m+1);break)))

などのプログラムで走らせると、必ず双子素数を見つけ出してくれますね。

　双子素数を構成できる m が、指定する範囲[5*k,7*k]で見つかるわけだから、無限個ある
と思ってしまうんだが、あくまでも、有限個を調べただけという点を指摘されてしまうんですか
ね？

　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１０月２３日付け）

　DD++さんの

　素数定理の証明には yangmask さんのような確率論的根拠は用いられていません。

について、異なる手法を用いているので、それは当然のことなのでは。

　素数定理は近似ですが、NR’ は近似とは認められていないのですよ。

について、比較してみます。

　N=2.718の時、真値=1個。　素数定理＝2.718個（+171%）　、NR´に基づく数値=1.718個（+71%）。
　N=7.387の時、真値=4個。　素数定理＝3.693個（-7%）　、NR´に基づく数値=3.693個（-7%）。
　N=20.07の時、真値=8個。　素数定理＝6.693個（-16%）　、NR´に基づく数値=7.69個（-3%）。
　N=54.57の時、真値=16個。　素数定理＝13.64個（-14%）　、NR´に基づく数値=15.47個（-3%）。
　N=148.33の時、真値=34個。　素数定理＝29.66個（-11%）　、NR´に基づく数値=33.45個（-1.6%）。

　素数定理よりも、「NR´に基づく数値（←注意：範囲が異なるので、NR´ではありませんよ？）」
の方が精度は高いです。素数定理は近似値と認められるが、NR´は近似値としては認められ
ない・・・というのは、データによる事実に沿うものではありませんね。

　H．Nakaoさんの

　yangmaskさんは、これまでR(N)については議論していますが、S(N)あるいはS(N)とR(N)の
関係について全く議論していないのに、(任意のNについての証明が必要である)主張(*)に
ついて、どこで(どのように)証明したのですか？

について、それは、先日の記事で示しました。

　まず、yの数値が上がっていくごとに、Rn＝区画数も増え、その結果、Rの精度も上がる・・・
というものでしたね。つまり、精度というのは、まさに、真値とRnの差に関する考察です。その
誤差は、yが大きくなるつれて小さくなるであろう・・・と。

　データを示してみます。

　N=9の時、+33%
　N=25の時、+20%
　N=49の時、-15%
　N=121の時、-0.17%
　N=169の時、-8%

そして、先日の記事でいただいたデータに基づくと、

　N=10^2のとき、+7%
　N=10^3のとき、-0.03%
　N=10^4のとき、-3.7%
　N=10^5のとき、+1.8%

　実際に、精度は上がっているでしょう。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月２３日付け）

　yangmaskさんの

　素数定理よりも、「NR´に基づく数値（←注意：範囲が異なるので、NR´ではありませんよ？）」
の方が精度は高いです。素数定理は近似値と認められるが、NR´は近似値としては認められ
ない・・・というのは、データによる事実に沿うものではありませんね。

について、yangmask さんは、「近似値」というものを完全に勘違いしていて、しかもそれを指
摘されても全く聞こうとしない。こうなるともう、これ以上の議論は無意味ですかね。双子素数
の難題に挑もうとする心意気までは素晴らしかったのですが。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月２３日付け）

　yangmaskさんの説明について、証明になっていません。

(余談ですが、精度とは、何でしょうか？精度とは、((近似値)-(真値))/(真値)のことでしょうか？

もし、そうであったとして、N=10^100,10^1000000のときも、そのように(精度が上がると)証明
できますか？)

　上記は、Nが十分小さいときの事実(の説明)であって、任意のNについての証明ではありま
せん。

　私が求めているのは、

      (*1)「任意のNについて、sqrt(N)以上の双子素数が存在する」

または、

      (*2)「双子素数が無限に存在する」

のyangmaskさんによる証明です。個別のN(しかもNは小さい)の議論をいくらしても、(*1)また
は(*2)の証明には無関係です。

　もし、yangmaskさんが、(*1)または(*2)を証明できないなら、「証明は(まだ)無い」、または、
「(現時点では)証明できない」と言ってくれれは、それで十分です。

　(*1),(*2)はどちらも未解決の難問(正しいかどうかも不明)なので、証明できないからと言っ
て、誰もyangmaskさんを責めたりしません。


　GAIさんの計算プログラムについて、10^18以上の双子素数を(何でも良いから)見つけるた
めには、良いプログラムであると思います。

　実際に、このプログラムを少し修正したものを実行して、(幸運にも)10^500以上の双子素
数を１組見つけることができました。（→　参照）

　確かに、どちらも(502桁の)素数で、差が2になっています。

　しかし、調子に乗って、10^600以上の双子素数を見つけようとすると、(双子素数の密度が
小さくなるし、素数の判定にも時間がかかるので)少々の時間では見つかりません。
(いつかは見つかる可能性が高いですが、不運だと見つからないこともありえます。)

　つまり、Nが小さいときに、「10^N以上の双子素数が簡単に見つかる」からといって、Nが大
きいときもそうであるとは言えないということです。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１０月２３日付け）

　GAIさんの

　あくまでも有限個を調べただけという点を指摘されてしまうんですかね？

について、私もそのように思います。

　観察はあくまでもたんなる観察に過ぎないものであって、願わくば更に証明が得られること
が望まれるものなのであろうと存じます。

　観察によって小学生にも理解しえる四色問題を引き合いに出したいと思います。

　地図を出版する業界で（コスト削減のために色数を減らしたいという要望でもあったのか）
四色で塗り分け可能であることが常識となっていたとしましょう。この段階ではまだ観察に過
ぎないのですよね。まだ見たことがない反例があるのかもしれませんし。

　実際の証明にあたっては無限にありうる地図の全てを相手にしなければならず、長い間に
わたりその証明がみつからなかったことは有名です。

　有限の観察からだけでは証明とは言えない、証明には至っていない、かかる事態を乗り越
えるためには、なんらかの数学的な構造をえぐり出して調べつくし、論理でもって既存の証明
済みな真なる命題（定理など）からキッチリ確かな橋渡しを作り上げたときに初めて、観察な
り、予想なりは、定理となるのでしょうね。四色定理の場合には、その数学的構造を見つめな
おして、放電手続きの発見と有限個の不可避集合の構築を行い、ようやく証明に至ったこと
もよく知られていると思います。

　[5*k, 7*k]のテーマについても、キッチリとした数学的構造が見えてこなければ、証明には
至れないものなのだろうと思われてなりません。このテーマは「双子素数が無限にある、とい
う予想」よりも、強い予想になっているとも感じます。証明は尚更に難しいのではないでしょう
か。

　ただ、トピックとして紹介すると興味をひかれやすい話題なのかもしれません。

（追伸）　申し遅れました。

　この[5*k, 7*k]のテーマの元ネタは、 OEIS の

　「A002822」：Numbers m such that 6m-1, 6m+1 are twin primes.

の記事中にある、以下の文章です。

Conjecture：There is at least one number in the sequence in the interval [5k, 7k] inclusive,
k >= 1. If true, then the twin prime conjecture also is true.

　k が増えると、調査範囲[5*k, 7*k]の長さが、（定数倍を無視して） k のオーダーで大きくなっ
ていくだけ、それでも双子素数が必ず？入ってくるのって不思議な気もしないでもありません。

　オーダー的に似たような事情にあるのが、「A079629」でして、 調査範囲が [p^2, (p+2)^2]
ですので、こちらの範囲の長さも、定数倍を無視して、オーダー的に p です。 この区間にど
うやら双子素数がはいってくる…こんな予想があるなんてビックリです。

　"Conjecturally a(n) is always positive. " ですから、双子素数が無限個ありそうだ、しかも、
双子素数が between p^2 and q^2 where (p,q) is the n-th twin prime pair に少なくとも一個
ある といった分布のようで……。

　もちろん、今はまだ観察に過ぎませんけれども、なにか素敵な感じがします。

　H．Nakaoさんの「10^500以上の双子素数」について、目を丸くして口をあんぐりしてしまい
ました。

　私なんぞ、twitter で教えてもらった 以下をみて検算してビックリするのが関の山です。
所謂、四つ子素数の話題です。

　11,13,17,19 は四つ子素数です。

　これらに、88800を加えた　88811,88813,88817,88819 もまた四つ子素数。

　これらに、101100を加えた　101111,101113,101117,101119 もまた四つ子素数。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月２３日付け）

　それから、約10時間かけて、10^600以上の双子素数を1組だけ見つけました。（→　参照）

　どちらも602桁の素数で、その差は2となっています。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月２４日付け）

　約10時間かけて、10^1000以上の双子素数を1組だけ見つけました。（→　参照）
（→　「素数であることを確認する方法」）

　どちらも1002桁の素数で、その差が2となっています。

　これにより、10^1000以上の双子素数が存在することは分かりましたが、双子素数が無限
にあるかどうかについては、何とも言えません。


（コメント）　令和３年１０月２７日付け

　手元にある数学の本　和田秀夫　著　「数の世界　整数論への道」（岩波書店）　によ
れば、１９８１年段階で、計算機を使い、１３５８桁の双子素数が見つかっているとのことです
が、２０２１年現在、Webサイトによれば、発見されている最大の双子素数は、

　　　　２９９６８６３０３４８９５×２＾１２９００００±１

だそうです。何と、３８万８千３百桁あまりで、超巨大数ですね！

　素数の逆数和が発散するのに対して、

　　　　双子素数の逆数和は収束する（１９１９年）

ことが知られている。ということは、双子素数は素数に比べてそんなに多くないということか
な？

　収束するからといって、双子素数が有限個とは言えないが、有限個という可能性も残って
いるということですね！

　収束値のことは、ブルン定数と言われ、約１．９０２だそうです。この値は、有理数なのか
無理数なのかは、現在まだ分かっていない。

　また、差が２４６以下の素数の組が無限個あることが、２０１４年に証明されている。

　差が２まで追いつめることができれば、「双子素数は無限個ある」ことが言えますね。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年１０月２４日付け）

　Dengan kesaktian Indukmuさんの紹介記事も驚くべきものですね。これを利用すれば、

Futago(p)={t=0;}for(n=p^2,(p+2)^2,
if(isprime(n)==1 && isprime(n+2)==1,
print(t++";"n " | "n+2);break))

などプログラムしておけば、最小の双子素数(3,5)の組だけを利用し、以下の様に、時間さえ
与えれば、どこまでも双子素数の組を求めていけますね。

[3 | 5]　、[11 | 13]　、[137 | 139]　、[18911 | 18913]　、[357626021 | 357626023]

[127896370896295271 | 127896370896295273]

[16357481688442724021477752816964267 | 16357481688442724021477752816964269]

[267567207187739029492516125364960260143254634353232506406181554862947
　　　| 267567207187739029492516125364960260143254634353232506406181554862949]

[71592210362246464567652277327520384473340078277678649570566466150781610351
881451632654839749734394513317878488209966221245223703953714929
| 7159221036224646456765227732752038447334007827767864957056646615078161035
1881451632654839749734394513317878488209966221245223703953714931]

　以下同様続く。誰か、反例を探し出してみてください。でないと、双子素数は無限個存在す
ると言えちゃいますよね。


　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１０月２４日付け）

　DD++さんの「必要なのは、説明ではなく、その証明です。」について、

　うーん。記事にて、その説明をしていますね。「区画数が増えれば、精度も上がる」と。そ
の理論に対する直接的な反証は今のところありません。

　yangmask さんは「近似値」というものを完全に勘違いしていて、しかもそれを指摘されても
全く聞こうとしない。

　「勘違い」なのでしょうか。では、「近似値」とはどのようなものなのでしょうか。お手数です
が、改めてご定義いただければ、その線で再考してみます。本当にすみませんけども。

　ちなみに、素数定理とRnの（相対）誤差を比較してみます。

N=20.07、素数定理=-16%。
N=25、Rn=-20%

N=54.57、素数定理=-14%。
N=49、Rn=-15%

N=148.33、素数定理=-11%。
N=169、Rn=-8%

　素数定理とだいたい同程度の（相対）誤差です。それなのに、素数定理は近似値として認
められるが、Rnはそうとは認められない根拠とは何でしょうか？この点も、お手数ですがご
教授ください。

　H．Nakaoさんの「精度とは、((近似値)-(真値))/(真値)のことでしょうか？」について、

　はい。｛（予想値）÷（真値）-1｝×100（％）で出しています。つまり、相対誤差というものです
ね。

　もし、そうであったとして、N=10^100,10^1000000のときも、そのように(精度が上がると)証
明できますか？)

　上記はNが十分小さいときの事実(の説明)であって、任意のNについての証明ではありま
せん。

　うーん。記事では、「つまり、yが増大するごとに、Rnの精度も上がるということ」と述べてい
ます。それは、yがいくら増大しようとも、むしろ、増大すればするほど精度が上がるというわ
けで・・・。

　ですから、これは、当然、ご質問のように「N=10^100,10^1000000のときも」同様です。

　ところで、DD++さんにも述べたんですが、「区画数が増える→精度が上がる」という私の提
示した理論に関しては、まだ何の反証もありません。せめて、意見だけでも欲しい・・・です。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月２４日付け）

　yangmaskさんの

　うーん。記事では、「つまり、yが増大するごとに、Rnの精度も上がるということ」と述べてい
ます。それは、yがいくら増大しようとも、むしろ、増大すればするほど精度が上がるというわ
けで・・・。

　ですから、これは、当然、ご質問のように「N=10^100,10^1000000のときも」同様です。

について、yangmaskさんの定義によるRnのことは、誰も聞いていません。RもRnも忘れてく
ださい。

　「N=10^100,10^1000000のときも同様です」の証明が述べられていません。

　yangmaskさんが、N=25,49,169(Nが小さい)のときの事実をどれだけ説明しても、無意味で
す。

　任意のN(Nは十分大きいとする)についての議論をしてください。知りたいのは、N→∞の極
限でS(N)または#U(N)がどうなるかです。(R(N)ではないですよ!)

　なぜなら、既に指摘したように、

　「任意のNに対して、S(N)>=R(N)である」は(反例があるので)成立しない。

よって、「任意のNに対して、#U(N)>=R(N)*V(N)>=1」のような(都合の良い)主張はできません。

　yangmaskさんのいう証明が証明になっていないことをこれまで何度も指摘しましたが、何も
改善されませんので、不毛な議論になっています。

　yangmaskさんは勘違いされているようですが、どなたもyangmaskさんの意見(予想)を聞き
たいわけではなく、yangmaskさんの「双子素数が無限に存在する」の証明を聞きたいのです。

　yangmaskさんの意見(予想)には、何もコメントするつもりはありません。

　紛らわしいので、今後、yangmaskさんは意見(予想)と証明を切り分けて、意見(予想)は意
見(予想)に、証明は証明にと、丸ごと別の投稿にして、タイトルまたは本文の最初で区別し
てください。

　お願いはもう一つあります。

　これまで指摘されたことを反映して、「双子素数が無限に存在する」の証明(注意：yangmask
さんの意見(予想)を一切入れないこと)を、もう一度、投稿してください。

　必要となる集合や有理数など(の記号や表記)については、記事の記号を使ってもらっても
構いません。今後、私は、yangmaskさんの証明の投稿のみに、コメントします。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月２４日付け）

　その理論に対する直接的な反証は今のところありません。

　なぜか私の発言じゃないものの返事が私に来ているのですが……。それでも私が返事を
するなら、「反証の対象になるレベルの証明がそもそも書かれていないから」でしょうね。

　そもそも、調査区間が増えたら確率は正確になるのが当然みたいにお思いのようですけど、

　「サイコロを 600 回投げて 1 の目がちょうど 100 回出る」

　「サイコロを 60000 回投げて 1 の目がちょうど 10000 回出る」

　確率が高いのはどちらかご存知ですか？

　N→∞ で信頼性があがるかどうかは「当然でしょう」で受け入れてもらえるような事項では
ないですよ。

　「勘違い」なのでしょうか。では、「近似値」とはどのようなものなのでしょうか。お手数です
が、改めてご定義いただければ、その線で再考してみます。本当にすみませんけども。

　私が改めて定義する必要もないでしょう。Wikipedia から丸々引用します。

　近似値（きんじち）とは、必要とされる誤差の範囲内で、ある数を表していると思って構わな
い数値のこと。あるいはある数の情報を一部削って得られる値、すなわちある数値に対して
端数処理を施した値（数値を「丸め」たもの）である。

　これでいいですか？yangmask さんは値が近いことを強く主張していますが、そもそもこの
文のどこにも「近い」またはそれに類する単語は用いられていないことに注意してください。

　例えば、ゲルフォント定数 e^π = 23.14069…… に対し、

　「小数第二位を四捨五入するとゲルフォント定数は 23.1 と書ける」

　「20+π = 23.14159…… はゲルフォント定数に近い」

　前者は近似値ですが、後者は近似値ではありません。わかりますよね？


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１０月２６日付け）

　以前、ご案内いたしました「A079629」に関連いたしまして。

　{3, 5}、{5, 7}、{7, 11} の３組を除き、双子素数 {k, (k +2)} について、開区間 ( k^2, (k +1)^2 )
およびに ( (k +1)^2, (k +2)^2 ) のそれぞれに 双子素数が一組以上含まれているようです。
（観察レベルです。ちゃんとした予想にはなっていません。）

　n＞ 3 のとき、　(A001359[n])^2 < p < (p +2) < (A014574[n])^2　なる 双子素数 {p, (p +2)}

が存在し、かつ、　(A014574[n])^2 < q < (q +2) < (A006512[n])^2　なる 双子素数 {q, (q +2)}

が存在。

　上記は、下記の OEIS の記事を参考にしました。

　「A001359」　、「A006512」　、「A014574」　、「A091592」


　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１０月２７日付け）

　H.Nakaoさんの「「意見」を控え、「証明」に徹すべし。」について、まったくもって賛同です。
その上で、以下の点を指摘します。

(理由1)　２つの比率S(N)とR(N)は大きな乖離があり、R(N)はS(N)の近似値とは言えない。
       　　→ここで、R(N)にはイエローカード。

　一旦、返信したのですが、ご納得いただけていないようなので、詳しく。

　「大きな乖離があり」・・・とのこと。しかし、私は、記事にて、「Rnは近似値であるが、2倍も3
倍もの誤差があるわけではない。」と述べています。つまり、真値との（相対）誤差はせいぜい
±数十％以内に収まる・・・ということです。

　しかし、提出してくださったどのデータを計算しても、その範囲内に収まっており・・・、では、
どのように「大きな乖離」があるのか？？？

　このように、この説の提出者である私が設定した条件を度外視して、多分、ご自分で想像
した「別の条件」に基づいて私の説を否定しても・・・。それは、単なる「意見」ですよね。むし
ろ、それらのデータは、私の主張を支持してさえいます。


(理由2)　N=10^5、・・・、10^8 のときに、S(N)<R(N)である。

　　　つまり、R(N)は、#Ｕ(N)または#Ｕ(N)の下限について、何も主張できない。
       →ここで、R(N)にはレッドカード。退場いただきましょう。（元は、ＵではなくＶ）

　多分、「少なくとも、y＋1〜Nの範囲内の双子素数の組数は、y/6よりは多い。」と冒頭の記
事で述べたものを「下限」と勘違いしているのかと。

　これは、私が提出しているPの数値について考察していないのだと思います。また、実際に、
y/6の値と実数を比較してもいないのかもしれません。

　私がこの説で最終的に目指しているのは、近似値を出すことではありません。そうではなく、
「Rnの構造から、N以下の双子素数の組数は、どんなに小さく見積もってもy/6組以上にはな
る。ゆえに、双子素数は無数に存在する」・・・というものです。

　もし、反対証明をされるのであれば、�@Rnと真値は何の関連もない、とか、�A・・・あっても、
数倍もの大きな誤差が生じ得る、また、�B実数y/6組以下になることもあり得る・・・というよう
な点を証明すべきです。

　そういう「証明」は今のところいただいていません。

・・・・で、少なくとも、提出してくださったデータによっては、私の説は否定できず、むしろ、私
の説を支持している。（全部、誤差±20％以内ですよね？）・・・この点は、OKですか？

　また、下の点もご考察を。

　DD++さん、上のH.Nakaoさんへの返信もお読みください。

　ところで、未だ、Rの確率の正当性に疑問があるようですね。すでに、「区画数が増えれば、
精度も上がる」という理屈で説明したのですが、以下で、改めて、例題を挙げてみます。

その�@

　3000人中、1000人が物体Aを所有している。（これが実数）。つまり、平均すると、3人に1人
が物体Aを所有していることになる。そこで、3人1組にして、

（１）『1組』、（２）『10組』、（３）『100組』

を調査して平均した結果、全体の平均値の0.33に最も近くなるのはどれか？

　これは、実数が全く同じ場合の例ですね。

その�A

（１）1000人中、5人が物体Aを・・・（略）。平均、200人に1人。200人を1組にして『1組』を調査。

（２）1000人中、50人が物体Aを・・・（略）。平均、20人に1人。20人を1組にして『10組』を調査。

（３）1000人中、500人が物体Aを・・・（略）。平均、2人に1人。2人を1組にして『100組』を調査。

を調査して平均した結果、全体の平均値に最も近くなるのはどれか？

　　これは、調査人数が同じ（200人）の例ですね。

その�B

（１）30人中、10人が物体Aを・・・（略）。平均、3人に1人。3人を1組にして『1組』を調査。

（２）500人中、100人が物体Aを・・・（略）。平均、5人に1人。5人を1組にして『10組』を調査。

（３）7000人中、1000人が物体Aを・・・（略）。平均、7人に1人。7人を1組にして『100組』を調査。

を調査して平均した結果、全体の平均値に最も近くなるのはどれか？

　これは、全部全体の10%を調査した例ですね。

　私の意見では、どの例も、（３）、（２）、（１）の順になると思うのですが、異論がありますか？


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月２７日付け）

　yangmaskさんへ

（一つ）近似値において実際の値の近さは重要でないという前回の指摘を無視している限り、
　　　何を言おうと無価値な主張です。

（二つ）平均値は 0.33 ではなく 1/3 です。こういう数値を雑に扱うのはやめましょう。

（三つ）値の近さを重視する場合、例えば、調査その1で調査結果が最も真値に近い結果、す
　　　なわちぴったり 1/3 になる確率は、

(1) 3 人中 1 人が所持者である確率は 0.4446667……

(2) 30 人中 10 人が所持者である確率は 0.1537859……

(3) 300 人中 100 人が所持者である確率は 0.0514526……

と、人数が多くなるほど下がるんですが、まさか、これを実際に計算せずに、(3) が一番正確
な結果が得られると主張していませんよね？

　最後に、最大のツッコミどころを．．．。

（四つ）yangmask さんは、こうして得た値が 2 倍も3 倍も違うことは「ない」と言ってますけど、
　　　　300 人調査したときに、たまたま 50 人以下だったり 200 人以上だったりする可能性
　　　　は本当に「ない」ですか？


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月２７日付け）

　yangmaskさんの

　しかし、私は、記事にて、「Rnは近似値であるが、2倍も3倍もの誤差があるわけではない。」
と述べています。つまり、真値との（相対）誤差はせいぜい±数十％以内に収まる・・・というこ
とです。

　しかし、提出してくださったどのデータを計算しても、その範囲内に収まっており・・・、では、
どのように「大きな乖離」があるのか？？？

について、Nが小さいときの議論には意味がなく、一般のNで議論するように何度も指摘して
います。

　R(N)のS(N)に対する（相対）誤差は、Nが増加するに連れて、

     N=10^5のとき、 +1.8846%
   　N=10^6のとき、 +6.3149%
     N=10^7のとき、 +8.5678%
　　 N=10^8のとき、+11.1985%

のように、縮まるどころか、ますます増えている。(N=10^9,10^10のデータも必要ですか？)

　また、　lim_{N→∞} (R(N)-S(N))/S(N) = 0　であることも、

　　N→∞のとき、「（相対）誤差はせいぜい±数十％以内に収まる」

も、(yangmaskさんによって)証明されていない。これでは、「R(N)はS(N)の近似値である」とは
言えない。

　従って、Nが増加するにつれて、（相対）誤差がどんどん大きくなっていくので、大きな乖離
があると明言しました。

　私がこの説で最終的に目指しているのは、近似値を出すことではありません。そうではなく、
「Rnの構造から、N以下の双子素数の組数は、どんなに小さく見積もってもy/6組以上にはな
る。ゆえに、双子素数は無数に存在する」・・・というものです。

　yangmaskさんの説(予想)はだれも聞いていない。yangmaskさんの証明を聞いているのです。
yangmaskさんが(Nが小さいときに)設定した条件は、「双子素数が無限にある」の証明におい
ては無意味です。

　もし、反対証明をされるのであれば、�@Rnと真値は何の関連もない、とか、�A・・・あっても、
数倍もの大きな誤差が生じ得る、また、�B実数y/6組以下になることもあり得る・・・というよう
な点を証明すべきです。

　反対証明とは何ですか？「双子素数は有限である」の証明ですか？
　　→だれも、そのような大それた主張(予想)はしていませんし、証明もしていません。

　それとも、yangmaskさんの証明に対する指摘のことですか？
　　→証明したと言い張るのはyangmaskさんですから、証明に対する指摘に誠実に答える
　　　のは、yangmaskさんの義務です。

      �@については、「R(N)と真値S(N)の関係がある」を証明するのは、yangmaskさんです。
      �Aについても、「誤差がほとんど生じ得ない」ことを証明するのは、yangmaskさんです。
　　　�Bについても、「N以下の双子素数の組数が[sqrt(N)]/6以上である」を証明するのは、
　　　yangmaskさんです。

　このような不毛な議論はしたくありません。yangmaskさんが証明への指摘について反論す
るのは、証明を書き直して、だれかのレビューを受けて、レビュー者の許諾を得てからにし
てください。


　「それは本当に証明していますか」と題して、Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメント
です。（令和３年１０月２７日付け）

▼第一話

アリス：「任意の正の整数 n について、 n^2 +3*n +2 は必ず合成数であって、素数とはなら
　　　　ないことを証明したよ！」
ボリス：「へえっ、そいつは凄いな」
クリス：「どんな証明なの？」
アリス：「n として 1 から 100 までで  n^2 +3*n +2 を試しに計算してみたけど、全部合成数
　　　　だったの。証明終わり。」
ボリス：「それ、証明になってないよ。」
クリス：「証明じゃないよね、それ」
アリス：「違うというなら反例を出してみなさいよ、あなたたちには絶対に反例は出せないわよ」
ボリス：「証明になっていないものに反例を出す必要はないね。先ずは証明を出してみたまえ」
クリス：「たった 100 のサンプル調査でしょ？任意の n についてはどうなの？」
ドリス：「あっ。n^2 +3*n +2 = (n +1)*(n +2) よね。」
ボリス：「それだっ」
クリス：「グッジョブ」
アリス：「………」

▼第二話

アリス：「任意の正の整数 n について、 n^4 +14 は必ず合成数であって、素数とはならない
　　　　ことを証明したよ！」
ボリス：「へえっ、そいつは凄いな」
クリス：「どんな証明なの？」
アリス：「今度こそ念入りに調べたよ。 n として 1 から 150 まで、 200 から 250 まで、 300 か
　　　　ら 400 まで、 n^4 +14 を試しに計算してみたけど、全部合成数だったの。証明終わり。」
ボリス：「それ、証明になってないよ。」
クリス：「証明じゃないよね、それ」
アリス：「違うというなら反例を出してみなさいよ、あなたたちには絶対に反例は出せないわよ」
ボリス：「証明になっていないものに反例を出す必要はないね。先ずは証明を出してみたまえ」
クリス：「たった 有限個 のサンプル調査でしょ？任意の n についてはどうなの？」
アリス：「前回は因数分解できたのが敗因だったわ。今回は、整数の範囲で因数分解できな
　　　　いから、私の証明に穴は無いっ」
ボリス：「それ証明になってないよ。」
クリス：「証明じゃないよね、それ」
ドリス：「あっ。(165)^4 +14 = 741200639 は素数だよ。 n が 165 未満の正の整数だと合成数
　　　　になるから間違えやすいよね。」
ボリス：「それだっ」
クリス：「グッジョブ。 195 と 255 と 405 でも素数となるのかな」
アリス：「………」


＃▼第二話は、令和三年度の京大前期文系の入試問題から題材を拝借しました。

　n を素数とします。  このとき、n^4 +14 は合成数であることを示せ。（問題の大意）


（コメント）　上記問題の略解です。

　明らかに、ｐ＝２、３のときは合成数である。

　ｎが５以上の素数とすると、３を法として、ｎ≡±１

　　このとき、ｎ^4＋１４≡１５≡０　（ｍｏｄ　３）

　よって、ｎ^4＋１４は３以上の３の倍数なので、合成数である。

　以上から、素数ｎに対して、ｎ^4＋１４は合成数である。　　（終）


　Dengan kesaktian Indukmu さんからも解答をいただきました。（令和３年１０月２８日付け）

　k を非負整数とします。素数は、3 、(3*k +1) 、(3*k +2) のどれかとして表現できます。

f(n) = n^4 +14 = (n -1)*(n +1)*(n^2 +1) +15　ですから、

　f(3) = 95 = 5*19　は合成数。

　f(3*k +1) = ((3*k +1) -1)*((3*k +1) +1)*((3*k +1)^2 +1) +15　は、3 の倍数で合成数。

　f(3*k +2) = ((3*k +2) -1)*((3*k +2) +1)*((3*k +2)^2 +1) +15　は、3 の倍数で合成数。

ゆえに、全ての素数 p について、f(p) は合成数。


＃上を見ると、f(n) の表現の末尾にある (n -1)*(n +1)*(n^2 +1) +15  の、 +15 の部分は、
　3 の倍数 であれば何でもよいはずです。じゃあ、なんで問題では、f(n) = n^4 +2 ではなくて
　f(n) = n^4 +14 にしたのか？結構謎なのです。


　f(n) = (n -1)*(n +1)*((n -2)*(n +2) +5) +15　と変形できるので、

�@ n が 5 と互いに素であるときには、f(n) は 5 の倍数なので、合成数。

�A  n が 5 のときには f(n) = 639 = 3^2*71 なので合成数。

�B 素数は、 5 であるか、もしくは、 5 と互いに素なので �@、�Aより、任意の素数 p について
　 f(p) は合成数。

　上のような別解を正答として許容できるように、問題文でわざわざ  f(n) = n^4 +14 としたの
でしょうかね？

　以上、 n が 15 の倍数でないときには、 f(n) は合成数であることがわかりました。

　実際には、 n が偶数のときには f(n) が合成数(偶数)であることは明らかでしたから、

　f(n) が奇素数であるための必要条件のひとつとしては、n が 15 の奇数倍であること

があることになりました。それでもですね、165 未満の n について、f(n) が合成数となっては
いますね、これが偶然とはいえないのだとしたら、まだ見落としがあるのですかね。

　11 の剰余系で調べれば何かわかるのかなあ。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月２８日付け）

　じゃあ、なんで問題では、f(n) = n^4 +2 ではなくて f(n) = n^4 +14 にしたのか？

　3^4+2 は素数だからでは。

　他にも、n^4-4 は直接因数分解可能、n^4+5 は偶奇性だけで変形なしに証明できてしまう、
などを避けると、入試問題として使えそうな数はけっこう限られそうな気がしますよ。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月２８日付け）

　n として 1 から 100 までで  n^2 +3*n +2 を試しに計算してみたけど、全部合成数だった

　そこが本題じゃないというのはわかった上で、

　100 個並んだ（2でない）偶数を見て、「全部偶数だ！」じゃなく「全部合成数だ！」となる
アリスの思考回路はどうなっているんだ……。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月２８日付け）

　 ▼第二話に関連して、類似の問題を２つ。

(1) n^4 +14が合成数になるような正の整数 n は無限にあるか？

    →無限にある。なせなら、nを任意の偶数とすると、n^4+14は14以上の偶数なので、合成
　　　数であるから。

(2) n^4 +14が素数になるような正の整数 n は無限にあるか？

    →直ぐには分からない。

　n≦1000の範囲では、n=165、195、255、405、435、465、555、885、975のとき、n^4+14が
素数になることは分かる。

　nを増やすと、n^4+14が素数になるようなnの密度は減少してくるようである(予想!)が、例え
ば、n=10000000000000000000000575のとき、n^4+14は素数になる。

　なお、n^4+14が素数であれば、nは5で割り切れることは簡単に分かる。しかし、(2)の問題
は、「双子素数が無限にあるかどうか」よりは、一見して簡単そうに見える。

　yangmaskさんは、手始めに、こちらの問題に挑戦したら良いのでは？


　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１０月２８日付け）

　H．Nakaoさんの

　縮まるどころか、ますます増えている。(N=10^9,10^10のデータも必要ですか？)

について、ありがとうございます。一部、データを読み間違えていました。+1.8%を18%と。

　しかし、私の予想では、Nが大きくなるにつれて、きれいな曲線を描きながら相対誤差が小
さくなっていくとは考えていません。恐らくは、Nの数値によっては波打ちながら、しかし、全体
的には下降していくようなグラフになることでしょう。（つまり、私の唱えている説は、必ずしも
N＜N´の場合にN´の方が相対誤差が小さいことを保証するものではありません）。

　そのような意味において、提出してくださったデータでは少し足りないように思えます。もし
可能であれば、提出してくださったデータの間にあるデータを短い間隔で、もう少し集めてい
ただけるとありがたいです。データの追加を希望します。


　DD++さんの

　人数が多くなるほど下がるんですが、まさかこれを実際に計算せずに (3) が一番正確な結
果が得られると主張していませんよね？

について、・・・ということは、データとしては、（１）が一番信頼に値するとお考えなのですか？
本当に？

　それに、別に、（３）の結果が、100人ぴったりになる必要はありません。99人でもいいし、
101人でもいいわけです。そこが考慮に入っていません。

　それに、普通、実際に調査する人は、「(1) 3 人中 1 人が所持者である確率は 0.4446667……」
だから！！・・・と、その不確定な可能性に縋ってデータを取りますか？　それとも、堅実に
、100組調査してその平均を取りますか？

　改めて、（１）、（２）、（３）のどれが信頼に値するかを問います。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月２８日付け）

　恐らくは、Nの数値によっては波打ちながら、しかし、全体的には下降していくようなグラフ
になることでしょう。

は、yangmaskさんの予想に過ぎません(証明されていない)。証明への指摘への反論につい
ては、意見(予想)を入れるなとお願いしたのですが、聞いてくれないのですか？

　これまで何度も指摘しているように、証明においては、個別の小さいN(N=10^10のときも含
む)での議論は意味がありません。

　そのような意味において、提出してくださったデータでは少し足りないように思えます。もし
可能であれば、提出してくださったデータの間にあるデータを短い間隔で、もう少し集めてい
ただけるとありがたいです。

　yangmaskさんは、「任意のNについて、これこれ(yangmaskさんは証明できたという(Nを含
む)命題を数学的に述べてください)」と主張しているわけですから、こちらはその反例を小さ
いNについて具体的に与えているだけです。反例なので、少なくとも１個あれば十分です。

　重要なので、もう一度言います。

　これまで何度も指摘しているように、証明においては、個別の小さいN(N=10^9,10^10,10^11
のときも含む)での議論は意味がありません。

　データの追加を希望します。

　任意のNについての命題の証明に対しては、これらのデータは全く意味がないと何度も指
摘しています。これらのデータは反例には使えますが、証明には全く使えません。以下の通
りです。

(事実8)　N=10^9のとき、

   q(10^9)=31607
   #U(10^9)=3424019
   #V(10^9)=166661396
   S(10^9)=3424019/166661396≒0.020544763707607489379244129216342337610
   R(10^9)=(3/5)*(5/7)*・・・*(31605/31607)=(注4)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≒0.02324339598027907543313783426771980737
   (R(10^9)-S(10^9))/S(10^9)≒0.13135377515548225090925491928485818366

(事実9)　N=10^10のとき、

   q(10^10)=99991
   #U(10^10)=27411455
   #V(10^10)=1666650000
   S(10^10)=27411455/1666650000≒0.016447037470374703747037470374703747038
   R(10^10)=(3/5)*(5/7)*・・・*(99989/99991)=(注5)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≒0.018829258676008651868948636652844537589
   (R(10^10)-S(10^10))/S(10^10)≒0.14484196378374732889528283987345248808

(事実10)　N=10^11のとき、

   q(10^11)=316223
   #U(10^11)=224372915
   #V(10^11)=16666613962
   S(10^11)=224372915/16666613962≒0.013462417471933523145941573948120464662
   R(10^11)=(3/5)*(5/7)*・・・*(316221/316223)=(注6)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≒0.015568123562743426193658289959419117003
   (R(10^11)-S(10^11))/S(10^11)≒0.15641366754521493836696720410615991177

(注4)、(注5)、(注6)は誤差無しで計算できるが、長くなるので、(注5)、(注6)は省略する。

(注4)は、こちらを参照


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月２８日付け）

　・・・ということは、データとしては、（１）が一番信頼に値するとお考えなのですか？本当に？

　はい。yangmask さんが使用している、世間一般の定義と異なる「近似値」の意味でなら当
然そうなると考えます。だって、真値に近い方が正義だと言うなら、99 人や 101 人という結
果は 100 人という結果に劣るのでしょう？

　あと、2倍誤差が生じる可能性があるかないかについて答えてください。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１０月２８日付け）

▼第三話

アリス：「双子素数について調べたよ。双子素数の組、{17, 19} には面白い性質があって、
　　　　17 +19 = 36 = 6^2　となってる。
　　　　双子素数の組{p, q} について、(p +q) が平方数になるのは、{17, 19} に限ることを証
　　　　明できたよ。」
ボリス：「へえっ、そいつは凄いな」
クリス：「どんな証明なの？」
アリス：「表計算ソフトの計算能力の限界まで数値実験したけど、双子素数どうしの和が平方
　　　　　数になったのは、{17, 19} を除いては、ひとつもなかったわよっ」
ボリス：「それ証明になってないよ。」
クリス：「証明じゃないよね、それ」
アリス：「違うというなら反例を出してみなさいよ、あなたたちには絶対に反例は出せないわよ」
ボリス：「証明になっていないものに反例を要求されてもね。先ずは証明を出してみたまえ」
クリス：「たった 有限個 のサンプル調査でしょ？任意の n 番目の双子素数についてはどうな
　　　　　の？」
アリス：「だって、私の限界まで数値実験したけど…今度こそ正しいと思うの。申し訳ないけど
　　　　　反例があるなら教えてもらえませんか。」
ボリス：「あなたが正しいと思っていることは理解しているよ。問題はあなたが証明できている
　　　　　かどうかなんだよ。まっ、証明を分析して欠点があるかどうか調べることには、やぶ
　　　　　さかではないんだけどね。」
クリス：「うーん、どうして私たちがアリスの単なる想いに反例を出す義務があるのかなあ？ 」
ドリス：「あっ。反例を掲げているウェブサイトがあった！……でもこれ…」
ボリス：「へえっ、そいつは凄いな」
クリス：「どんな反例なの？」
ボリス：「この反例自体の検証は面白そうだな」
クリス：「（おなかが減ってきた）」


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年１０月２９日付け）

17,19=>6^2
71,73=>12^2
881,883=>42^2
1151,1153=>48^2
2591,2593=>72^2
3527,3529=>84^2
4049,4051=>90^2
15137,15139=>174^2
20807,20809=>204^2
34847,34849=>264^2
46817,46819=>306^2
69191,69193=>372^2
･････････

　結構たくさんあるんですが･･･。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１０月２９日付け）

　全く仰る通りです。無駄な計算をさせてしまって申し訳ありませんでした。つまらぬ会話劇
で申し訳ありませんでした。

　「私はこう思う」だけでは証明としては足りないことの説明…を狙った作り話なのでした。そ
れゆえ、すぐにみつかる反例をお話しの上では秘匿しています。下手な作り話はもうおしまい
にいたします。このたびはコメントを誠に有り難うございました。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月３０日付け）

　仮に、双子素数の組 (p, q) について、(10^4までの範囲で調べて)、 (p+q) が立方数になる
のは、　(3,5)　、(107,109)　の２組だけだと予想したとします。

　しかし、もっと先(10^10)まで調べてみると、他にも２２組あります。

(2634011,2634013), (29659499,29659501), (57395627,57395629),(104792291,104792293),
(271669247,271669249), (485149499,485149501),(568946591,568946593),
(588791807,588791809), (752530067,752530069),(863999999,864000001),
(2032678367,2032678369), (2772616499,2772616501),(2945257307,2945257309),
(3505869971,3505869973), (4473547487,4473547489),(4670303507,4670303509),
(5470523999,5470524001), (6911999999,6912000001),(7498065347,7498065349),
(8646803027,8646803029), (8828622431,8828622433),(8951240447,8951240449)

　続けて、10^11まで調べてみると、他に１３組あります。

(10240432127,10240432129), (12784043267,12784043269), (13019808671,13019808673),
(15717410207,15717410209), (17100765467,17100765469), (23211554291,23211554293),
(29796600707,29796600709), (33362903807,33362903809), (39311389151,39311389153),
(44837381087,44837381089), (53248211999,53248212001), (85200014591,85200014593),
(94362064127,94362064129)

　同様に、2*10^11まで調べてみると、他に5組あります。

(105110165267,105110165269), (111603347747,111603347749),
(156246957827,156246957829),(169013118347,169013118349),
(183838613471,183838613473)

　さらに、その先はどうなっているかについては、何とも言えません。つまり、小さい範囲で調
べて予想することはできても、その予想は、自然数全体に対する正しい予想とは限らないこ
とが分かります。

　また、双子素数の組 (p, q) について、(10^11までの範囲で調べて)、 (p+q) が完全４乗数に
なるのは、

　　(253124999,253125001), (10871635967,10871635969), (14688294407,14688294409)

の３組でした。続けて、2*10^11まで調べると、他に２組あります。

　　(168573727367,168573727369), (196730062847,196730062849)

　さらに。調査範囲を広げたときに、他にもあるかどうかは分かりません。


　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１０月３１日付け）

　私もいろいろな値でデータを取ってみました。やはり、相対誤差の数値は、Nの値によって
ギザギザに波打っているようです。

　例えば、

N=49, -14.3%
N=55, -3.5%
N=61, -14.3%
N=67, -5.7%
N=73, -14.3%
N=79, -7.1%
N=85, ±0%
N=91, +7.1%
N=97, +14.2%
N=103, +4.0%
N=109, -3.5%
N=115, +17.7%

　それに、先日示してくださったデータで、（以下、記事より引用）

N=10^5のとき、 +1.8846%
N=10^6のとき、 +6.3149%
N=10^7のとき、 +8.5678%
N=10^8のとき、+11.1985%

のように、縮まるどころか、ますます増えている。（引用終わり）。

ということだったのですが、例えば、上記のように、既に、N=97や115などで、+14.2%や+17.7%
という数値が出ていますので、提出されたデータをもって、Rnの誤差はどんどん大きくなって
いく（そして、最終的には、誤差が大きくなりすぎて近似値としては用をなさなくなる）と断言す
ることはできませんね。

　よければ、提出してくださった10^xの周辺のNも同時に調べてみるとよいと思います。数値
は一律に大きくなってはいないでしょう。

　つまり、提出してくださったデータでは、私の説は否定できない。これでよいですか？

　それから、先日のデータの出し方について一言。数値に大差はないのですが、一応。

�@V(N)の正しい範囲は、q(N)〜Nです。

�AS(N)の確率の出し方は、（q(N)〜Nの双子素数の組数）/（1〜Nの候補）であるべきです。
　あるいは、Rnと真値を直接対比させてもよいかと。


　DD++さん、すみません、話の途中ですが、元に戻します。そもそもの話かもしれませんが、
Rnの数値は、グラフにすると、一直線に伸びる『坂道』のようですが、一方、真値の方は、1
ずつ上がる『階段』のようになりますよね。

　例えば、R=3/5 × 5/7　の場合、1〜35組までを見ると、Rnは、傾きが15/35の正比例の
『上り坂』になりますし、一方、真値の方は、2,3,5,7,10,12,17,18,23,25,28,30,32,33,35 で1ずつ
上がる『上り階段』のようになりますね。

　これらの『坂道』と『階段』の間には一定の相関関係があるとみなせると思うのですが、そ
の点はどう思いますか？一定の相関関係はある？　ない？


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月３１日付け）

　yangmaskさんの「一定の相関関係はある？　ない？」について、

　知りません。私も知りませんし、今現在地球上にいる誰も知りません。その相関係数がゼ
ロ収束しない証明を誰かがしているなら、とっくに双子素数問題は解決となっているはずで
すから。

　で、確率論で得た数値が真値から2倍3倍狂う可能性の有無は答えられないのですか？


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月３１日付け）

　yangmaskさんの、そんな小さい個別のNについての事実は、任意のNについての証明には
何の役にも立たない。必要なのは、(十分大きい)任意のNについて、どうなるかを証明するこ
とです。

ということだったのですが、例えば、上記のように、既に、N=97や115などで、+14.2%や+17.7%
という数値が出ていますので、提出されたデータをもって、Rnの誤差はどんどん大きくなって
いく（そして、最終的には、誤差が大きくなりすぎて近似値としては用をなさなくなる）と断言す
ることはできませんね。

　反例は１つあれば十分である。従って、これ以上のデータは必要ない。

　よければ、提出してくださった10^xの周辺のNも同時に調べてみるとよいと思います。数値
は一律に大きくなってはいないでしょう。

　では、yangmaskさんが10^xの周辺のNも同時に調べてみたら良いのでは？
(しかし、全く意味は無い！)

　調べてもいないこと(証明もしていないこと)をなぜ主張するのか？だれも、yangmaskさんの
意見(予想)は聞いていない。

　つまり、提出してくださったデータでは、私の説は否定できない。これでよいですか？

　何度も言っているように、yangmaskさんの意見(予想)は不要。yangmaskさんの説を主張し
たければ、一般のNについて、その説を証明してください。
(yangmaskさんの説を証明するのは、yangmaskさんの役目である。)

　それから、先日のデータの出し方について一言。数値に大差はないのですが、一応。
�@V(N)の正しい範囲は、q(N)〜Nです。

　任意のNについて、sqrt(N)以上の双子素数が存在すると主張(証明)するためには、
sqrt(N)〜Nとした方が、以下の理由により、都合が良いので、そのように定義した。

(1)「任意のNに対して、sqrt(N)以上の双子素数が存在する」ならば、「任意のNに対して、
　　N以上の双子素数が存在する」ことが簡単に導ける。

(2)それを元にして、「任意のNについて、N以上の双子素数が存在する」がうまく証明できる
　　ならば、sqrt(N)の代わりに、N^(1/4)でも良いし、N/(10^10)でも良い。

(3)q(N)はNの(簡単な)初等関数で表現できないので、「任意のNより大きい双子素数が存在
　する」との間には、論理的なGap(隔たり)がある。そのGapを埋めるのが難しそうなので、
　V(N)をq(N)〜Nの範囲の(6x-1,6x+1)の組とは定義しなかった。

(4)篩の定義から、sqrt(N)未満の(6x-1,6x+1)の組は、素数5,...,q(N)のいずれかによる篩で
　必ず落ちるので、sqrt(N)〜Nとする方が合理的である。

�AS(N)の確率の出し方は、（q(N)〜Nの双子素数の組数）/（1〜Nの候補）であるべきです。
　あるいは、Rnと真値を直接対比させてもよいかと。

　そのように定義しても良いが、真値とRnの関係を全く議論していない(証明もない)ので、
Rnは(任意のNについての証明においては)意味が無い。

★最も重要なお願い★

　証明への指摘について反論する前に、「証明の書き直しと、その証明の客観的レビュー、
レビュー者の許諾を得ること」を先に実施してください。または、yangmaskさんは「双子素数
が無限に存在する」をまだ証明できていないと認めてください。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月３１日付け）

　yangmaskさんとNakaoさんの議論に割り込むのはよろしくないかもしれませんけれども、

　Rnの誤差はどんどん大きくなっていく（そして、最終的には、誤差が大きくなりすぎて近似
値としては用をなさなくなる）と断言することはできませんね。

について、一般的には誤差が明らかな収束となっていない時点で「近似値として用をなさな
くなる」と断言するには充分な論拠ですね。まあ、yangmask さんが近似値だと思い込んでい
る「近似値モドキ」の世界ではどうなのか知りませんけれども。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月３１日付け）

　yangmaskさんのいう証明は、全く証明になっていないし、yangmaskさんの証明への指摘に
ついての反論も、全く根拠(証明または既知の定理の参照)が無く、これまで全く議論にもなっ
ていないので、DD++さんは気にせず、ご自由に割り込みください。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１０月３１日付け）

　H．Nakaoさん、面白い計算結果をまことに有り難うございました。

　双子素数についてのクレメントの定理について、先ほど知りまして驚いている最中です。
色々な表現があるようですが、下記が好きです。

　３以上の自然数について、関数 δ を

　　δ(n) = (4*(n-2)! +n +3)/(n^2 -1)

と定義します。このとき、

「δ(n) の値が整数である」ことと、「(n -1)、(n +1) の両者が共に素数である」ことと
は同値

　「A014574 Average of twin prime pairs.」を、δにほうりこんでみました。

δ(4)=1
δ(6)=3
δ(12)=101505
δ(18)=259105757127
δ(30)=1356566605613854774200240267
δ(42)=1851197466245939272480116323530608949000567215
δ(60)=26124604960076449811941927318867181815269378
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　36266899610359210796599055293137

　整数にならないものの一例を。

δ(58)=(482032940884653187697658066077101660838
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　30371449570742961860816271186440679)/(57)

　クレメントさん、どうやってみつけて、どうやって証明したのだか……。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月３１日付け）

　上記の気づきはさておいて、証明だけなら、

　ウィルソンの定理から、

　n±1 が双子素数

⇔ (n-2)! ≡ -1 (mod (n-1))　かつ　n! ≡ -1 (mod (n+1))

⇔ (n-2)! ≡ -1 (mod (n-1))　かつ　2*(n-2)! ≡ -1 (mod (n+1))

で、あとは、中国剰余定理を解くだけなのでは。


（コメント）　解いてみました。

　ｘ＝(ｎ−２)！　とおくと、　ｘ≡−１　（ｍｏｄ　ｎ−１）　かつ　２ｘ≡−１　（ｍｏｄ　ｎ＋１）

　ｘ≡−１　（ｍｏｄ　ｎ−１）　から、　ｘ＝（ｎ−１）ｍ−１　（ｍは整数）

　このとき、　２（（ｎ−１）ｍ−１）≡−１　（ｍｏｄ　ｎ＋１）

　すなわち、　−４ｍ−２≡−１　（ｍｏｄ　ｎ＋１）　より、　４ｍ≡−１　（ｍｏｄ　ｎ＋１）

　よって、　４ｘ＝４（（ｎ−１）ｍ−１）＝（ｎ−１）・４ｍ−４≡−ｎ−３　（ｍｏｄ　ｎ＋１）　より、

　　４ｘ＋ｎ＋３≡０　（ｍｏｄ　ｎ＋１）

　また、　４ｘ＋ｎ＋３≡−４＋ｎ＋３＝ｎ−１≡０　（ｍｏｄ　ｎ−１）

よって、　ｎ−１ と ｎ＋１ は互いに素なので、　４ｘ＋ｎ＋３≡０　（ｍｏｄ　ｎ²−１）

　すなわち、　δ(n) = (4*(n-2)! +n +3)/(n^2 -1)　は整数となる。


＃δ（ｎ）の式が少し込み入っていて最初違和感を感じたが、こう証明してみると、すごく必然
　だなと納得しました。


　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１１月２日付け）

　今、「統計学」について調べています。私が提唱しているRnという「平均値に基づいた確率
的な計算方法」を否定するということは、同時に、「統計学」をも否定することにはなりません
か？

　「標準誤差」の計算の仕方も解説されていたので、それに基づいて計算してみました。

例えば、R= 3/5 × 5/7 で、n=8（N=49）の時、

　標準誤差＝√[{(35-8)/(35-1)}×{(0.428(1-0.428))/8}]＝0.155

で、R=0.428の時の誤差は、95%の確率で±0.155×2　・・・となりました。

　そして、どのR、nで計算しても、この「R= 3/5 × 5/7 で、n=8（N=49）」の時が最高値で、そ
れ以上の誤差は生じないことも確認できました。

　0.428÷0.118＝3.628　・・・と、その結果、どんなに誤差があったとしても、Rnは真値の3.627
倍以上にはならない・・・と出ました。

　この点はどう思いますか？　それとも、「統計学」を否定する派？？

　それから、H.Nakaoさんからのデータの「波打つ」件は、Nがどんなに大きくなっても生じる
現象です。Nが小さい時だけの話ではありません。

　ですから、実際に、そうかどうか、提出してくださった10^xの周辺も同時にデータを出して
みるべきです。出さないうちに結論を出すのはちと性急かと。出してみて、その上で間違っ
ていれば、またご叱責ください。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１１月２日付け）

　「データの「波打つ」現象は、Nがどんなに大きくなっても生じる」は証明されていません。
そう主張したかったら、まず証明してください。
(たとえ証明できたとしても、「双子素数が無限に存在する」の証明では、無意味です。)

　ですから、実際に、そうかどうか、提出してくださった10^xの周辺も同時にデータを出して
みるべきです。出さないうちに結論を出すのはちと性急かと。出してみて、その上で間違っ
ていれば、またご叱責ください。

　yangmaskさんの証明に必要なデータを出すのは、yangmaskさんの役目です。(私の役目
ではない！)

　★最も重要なお願い★は、無視するのですか？

　「証明の書き直し」「証明の客観的レビュー」「レビュー者の許諾」はどうなったのですか？
不毛な議論を避けるため、これらの3条件が満たされるまでは、yangmaskさんの証明への
指摘についての反論は一切認めません。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１１月２日付け）

　確率的な計算方法そのものを否定なんて、私も Nakao さんも一度もしてませんよ？これま
で私や Nakao さんが何に対して不備を指摘しているのか読み返してみてはいかがですか？

　逆に、yangmask さんが私や Nakao さんの言うことをどれだけちゃんと読んでくれているか
確認させてください。

　以下の主張には問題点が 2 つあります。その 2 つを指摘してください。片方は私がずっと
指摘していることで、片方が Nakao さんがずっと指摘していることです。

　「トランプが無限に積み上がっている。各 n 枚目のトランプがハートである確率は 1/4 であ
るので、上から N 枚のうち約 N/4 枚がハートのカードである。実際、上から 10000 枚のトラ
ンプを確認したら、2520 枚がハートであったので、この論理は正しい。よって、このトランプ
にはハートのカードが無限に存在する。」


　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１１月３日付け）

　H．Nakaoさんの

　「データの「波打つ」現象は、Nがどんなに大きくなっても生じる」は証明されていません。

について、では、先に私が挙げた（実際に波打っている）データをどう説明できますか？　自
分に都合の悪いデータは無視？

　逐一書きませんでしたが、nとRとRnと真値との誤差値を並べて書けば、その原理は明ら
かなのですが、別途説明が必要でしょうか？

　それとも原理が分からない？（すみません、ちょっと挑発します。数学者なら、人から説明
を受けるまでもなく、自分から進んで計算・探求しましょうよ）。

　あるいは、ちょちょいとこの前みたいに10^x周辺のデータを挙げれば済むことなのに・・・。
実際データ取ってみたけども、自分の説とは異なっているので掲載できない？（すみません。
これも挑発です。でも、怒らないでください。私の能力ではデータを挙げられませんので、是
非、指定したデータの掲載を切にお願いいたします！）。

　それから、ご要望の件については、ここの掲示板で、一方的な要求を受け入れる必要を感
じませんので、スルーさせていただいております（笑）。

　DD++さんの「その 2 つを指摘してください。」について、うーん。分からないですが、そもそ
も、トランプの1/4はハートだから・・・という話から始まっているので、別に、サンプリング標
本調査をしなくても、ハートが無数にあるのは自明のようにも思えるのですが。

　例えると、全整数の1/2は2の倍数ですが、標本調査をしても、しなくても、そもそも、2の倍
数は無数にあるのでは？うーん。意図とは違っていたらごめんなさいですが。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１１月３日付け）

　yangmaskさんの

　では、先に私が挙げた（実際に波打っている）データをどう説明できますか？　自分に都合
の悪いデータは無視？

について、説明する必要はない。なせなら、「双子素数が無限にある」の証明に全く関係ない
から。
(しかも、「双子素数が無限にある」を証明したと言い張るのは、yangmaskさんであるので)

　自分に都合の悪い質問に答えないのは、yangmaskさんです。宿題はどうしたの？忘れた
の？

　逐一書きませんでしたが、nとRとRnと真値との誤差値を並べて書けば、その原理は明ら
かなのですが、別途説明が必要でしょうか？
　それとも原理が分からない？（すみません、ちょっと挑発します。数学者なら、人から説明
を受けるまでもなく、自分から進んで計算・探求しましょうよ）。

について、そのような原理があるというのであれば、その原理を数学的に記述してください。
その原理は証明されていますか？だれかによって証明されているなら、どの書籍や論文に
記述されていますか？

　とにかく、yangmaskさんは証明を書くこと。yangmaskさんの証明が完成するまで、余計な
投稿は不要。

　あるいは、ちょちょいとこの前みたいに10^x周辺のデータを挙げれば済むことなのに・・・。
実際データ取ってみたけども、自分の説とは異なっているので掲載できない？（すみません。
これも挑発です。でも、怒らないでください。私の能力ではデータを挙げられませんので、是
非、指定したデータの掲載を切にお願いいたします！）。

について、10^11までの双子素数を求めるCプログラム"tp64.c"(GPL V3に従う)は、以下の
URL（資料１、資料２）で公開しているので、それを使って、自分で計算すれば良いのでは？

　この程度のプログラムを参考にしなくても、プログラムはご自分で作成されても良いのですよ。

　それから、ご要望の件については、ここの掲示板で、一方的な要求を受け入れる必要を感
じませんので、スルーさせていただいております（笑）。

について、「yangmaskさんが証明とは何かを全く理解していない」のが明らかなので、当然の
要求です。yangmaskさんは他人には平気で要求するのに、自分に要求されたことは拒否す
るのですか？これが改善されない限り、こちらもyangmaskさんの一切の要求を拒否します。


　yangmaskさんが回答していない質問一覧(古い順)です。以下の質問にはまだ回答があり
ません。忘れ去られるのを待っているの？たとえyangmaskさんに都合の悪い質問であって
も、誠実に答えてください。

■宿題１■投稿者：H.Nakao  投稿日：2021年10月16日(土)07時08分35秒

　ところで、★双子素数に関する過去の論文を調べましたか？★

(注釈！)Noなら、Noだけで結構です。Yesなら、その論文の著者とタイトルを挙げてください。

■宿題２■投稿者：H.Nakao  投稿日：2021年10月16日(土)15時22分1秒

(2)(1)で用意した分の(6x-1,6x+1)のリストを篩にかけた後に、★10桁以上(あるいは、100桁
以上)の双子素数が残っていることをどう証明するのですか？★
(残ったリスト中の双子素数の組数の期待値が1より十分大きいからなんてことはないですよ
ね。)

(注釈！)yangmaskさんは、これまで10桁(100桁)以上の双子素数が残ることを全く証明して
　　　　　いない。

■宿題３■投稿者：H.Nakao  投稿日：2021年10月20日(水)18時13分7秒

yangmaskさんの議論は、★例えば、N=10^100の場合でも通用しますか？★
つまり、★篩にかけた後、sqrt(N)=10^50以上の双子素数(6x-1,6x+1)が必ず残りますか？★

(注釈！)yangmaskさんは、これまでN=10^100のときの議論は全くしていない。

■宿題４■投稿者：H.Nakao  投稿日：2021年10月22日(金)12時16分23秒

仮に、yangmaskさんのいう
　「任意のNについて、真値S(N)と近似値R(N)とでは、2倍も3倍もの誤差はない」
の意味が、
　(*)　「任意のNについて、1/3 <= S(N)/R(N) <= 3　である」
という主張であったとしても、そのように主張するためには、(*)を証明する必要があります。

　yangmaskさんは、これまでR(N)については議論していますが、S(N)あるいはS(N)とR(N)の
関係について全く議論していないのに、(任意のNについての証明が必要である)主張(*)に
ついて、★どこで(どのように)証明したのですか？★

(注釈！)yangmaskさんは、これまでS(N)の議論を全くしていない。

■宿題５■投稿者：H.Nakao  投稿日：2021年10月22日(金)13時30分27秒

> これ以上、yが大きくなったとしても、Rnは近似値として有効（少なくとも、真値の2倍以下の
　誤差）であると言えると思います。

「思います」では、証明になりませんよ。必要なのは、説明ではなく、その証明です。★証明
はどこにある？★

■宿題６■投稿者：H.Nakao  投稿日：2021年10月22日(金)13時36分36秒

> 素数定理で素数の数の近似が得られるというのであれば、NR´でも、そして、その同じ理
　論に基づくRnも「近似値」と言い得るのでないかと。

その根拠は？★証明はどこにある？★証明できるまでは、yangmaskさんの予想に過ぎま
せん。

■宿題７■投稿者：H.Nakao  投稿日：2021年10月31日(日)13時15分32秒

> よければ、提出してくださった10^xの周辺のNも同時に調べてみるとよいと思います。数値
　は一律に大きくなってはいないでしょう。

では、yangmaskさんが10^xの周辺のNも同時に調べてみたら良いのでは？(しかし、全く意
味は無い！)
★調べてもいないこと(証明もしていないこと)をなぜ主張するのか？★

(注釈！)だれもyangmaskさんの意見(予想)は聞いていない。

> ★つまり、提出してくださったデータでは、私の説は否定できない。これでよいですか？

何度も言っているように、yangmaskさんの意見(予想)は不要。★yangmaskさんの説を主張
したければ、一般のNについて、その説を証明してください。★
(yangmaskさんの説を証明するのは、yangmaskさんの役目である。)

(注釈！)yangmaskさんによる「一般のNについて、その説(数値は一律に大きくなってはいな
　　　　　い)の証明」はまだ無い。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１１月３日付け）

　うーん。分からないですが、そもそも、トランプの1/4はハートだから・・・という話から始まっ
ているので、別に、サンプリング標本調査をしなくても、ハートが無数にあるのは自明のよう
にも思えるのですが。

　自明というのは相手も自分も充分な理解があり、証明を省略しても構わないと思っている
場合に使う言葉であり、自分の不理解を誤魔化す言葉ではありません。

　一人でも疑わしいと主張する人がいれば自明という言葉を取り下げて証明する義務がある
というのに、先に私が間違っていると明言したものに対して、後から自明と主張するのはいか
がなものでしょうか。

　 例えると、全整数の1/2は2の倍数ですが、標本調査をしても、しなくても、そもそも、2の倍
数は無数にあるのでは？

　表面が似ているだけで、問題としては「無数にあるものから条件に合致するものの個数を
調べる話である」というくらいしか共通点がない問題ですね。

　偶数かどうかに関して標本調査する意味がないのは、決定論的に議論可能な周期数列
の問題に確率や統計を持ち出す必要がないからです。
（トランプの問題も別の理由で標本調査する価値が微塵もないですが）。

　何にせよ yangmask さんがこれらを類題として扱っている理由がよくわかりません。

　私の提示したトランプの問題は、

　「上から2520枚はハートで、そこから先は全てスペードのカードである」

という可能性がありますので、ハートが無限にあるという主張は明確に誤りです。

　一見、各カードについてハートの確率が 1/4 であることと矛盾しそうですが、「途中から全
てダイヤの可能性」「途中から全てクラブの可能性」そして「途中から全てハートの可能性」
が同等にあるので、特定の 1 枚に注目してそれがどのマークなのかは同様に確からしく、
n 枚目がハートである確率はちゃんと 1/4 であり、何も矛盾はしていません。

　つまり、1 つは確率論的誤りで「確率は均質であることを保証しない」、もう 1 つは統計学
的誤りで、「有限範囲で得られた結果はあくまで推定値であり、他の部分も似たような結果
だというのは予想でしかない」ということですね。

　確率論は確率論、統計学は統計学、どちらも現実を確定するものではないのです。

　まずはこのトランプの問題の主張に、上記 2 点の問題があることを確認してください。

　それができたら今までの議論を読み直して、私や Nakao さんが指摘したことに対して返答
してください。

　次の返信は、期間が空いてもいいので、このトランプの問題の誤りを理解してからにしてく
ださい。あるいは、少なくとも、yangmask さんに不理解な部分があると認めた上で、これが
誤りであることの理解を深めようとする質問であってください。

　それ以外での返信は yangmask さんは自分の証明を正しいものにする努力を放棄したと
見做し、対話を終了します。


　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１１月４日付け）

　H.Nakaoさんの

　そのような原理があるというのであれば、その原理を数学的に記述してください。

について、では、説明します。

　記事でも触れたとおり、Rnと真値との関係は、「上り坂」と「上り階段」のような関係にあり
ます。つまり、Rnはアナログで、真値はデジタルだということです。これは、グラフを書いてみ
れば明白です。

　例えば、R=3/5 × 5/7　の場合、1〜35組までを見ると、Rnは、傾きが15/35の正比例の
『上り坂』になりますし、一方、真値の方は、2,3,5,7,10,12,17,18,23,25,28,30,32,33,35 で、1ず
つ上がる『上り階段』のようになりますね。

　それで、その二つが「上り坂」と「上り階段」である以上、近づいたり、遠くなったりを繰り返
します。両者が全く同じ値の場合が±0%で、Rnの「上り坂」が真値の「上り階段」をY軸方向
に追い越したり追い越されたりすることで、誤差が＋、−に触れ動きます。

　そして、このRnの「上り坂」と真値の「上り階段」の関係は、Nがどんなに大きくなっても続き
ます。ゆえに、誤差がギザギザに「波打つ現象」は、Nがどんなに大きくなっても生じると言え
るわけです。

　この事実は、実際に、グラフを書いてみれば明らかです。

　DD++さんへ、茶々を入れるようですが、そもそも、

　　「各 n 枚目のトランプがハートである確率は 1/4 であるので・・・」

とある、その「1/4」という数値を一体どこで手に入れた？・・・という話だったのですが。

　Rnの場合では、例えば、R= 3/5 × 5/7の時、「35組中15組が候補である」という明確な根
拠となる数値がありますよね。

　では、トランプの場合の「1/4」とは何を根拠にそう言っているのか？？　まずは、その点、
質問よいですか？


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１１月４日付け）

　上記の説明は、「双子素数が無限にある」の証明とは無関係である。もし(仮に)双子素数
が有限であったら、双子素数の上り階段は有限段で止まってしまい、誤差の+.-は意味が無
くなる。Nが最大の双子素数を超えた時点で、誤差がギザギザに「波打つ現象」は発生しなく
なる。

　yangmaskさんは、「双子素数の上り階段が無限に続く」ことをどこで証明したのか？

　yangmaskさんは、暗黙の内に「双子素数が無限にある」を仮定して、議論をしていることが
明白である。このような議論を循環論法と呼び、証明においては(数学においても)全く意味
が無い。


（コメント）　ＨＰ管理者です。yangmask さんの投稿内容は、yangmask さんの思い込みによ
　　　　　　るものが多く、第三者の理解が得られず、証明とはなっていないように感じます。
　　　　　　きちんと客観的な証明をご投稿いただきますよう、お願いいたします。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１１月４日付け）

　yangmaskさんの

　では、トランプの場合の「1/4」とは何を根拠にそう言っているのか？？　まずは、その点、
質問よいですか？

に回答します。

　高校で習う確率の定義を思い返してください。

・n 通りの根元事象がある
・それらのうちどれか 1 つは必ず起こる
・それらのうちどの 2 つも同時に起こることはない
・同様に確からしい、すなわち、どの 2 つを比べても起こりやすさに差が生じるような制限がない
・根元事象のうち a 個が条件を満たす

これらに当てはまるとき、「確率が a/n である」と称します。

　今、n 枚目のカードのマークが何かを考えます。

・「スペード」「ハート」「ダイヤ」「クラブ」の 4 つの根元事象があります。
・全てのカードは何かのマークを持っていますので、どれか 1 つは必ず起こります。
（問題に「ジョーカーを含まない」というのを明記し忘れたのは手落ちでした。失礼しました）
・複数のマークを持つカードは存在しませんので、複数の根元事象が同時に起こることはあ
　りません。
・各マーク間で差異を生じる情報がそもそもありませんので、起こりやすさに差が生じること
　はありません。
・根元事象のうち 1 つが「ハート」に該当します。

　よって、確率の定義により、n 枚目がハートである確率は 1/4 です。

　明確さというなら、「定義通りに求めた」というのは、掛け算をこねくり回すよりもはるかに
明確ですよ。


　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１１月５日付け）

　H．Nakaoさんの

　yangmaskさんは、「双子素数の上り階段が無限に続く」(この命題は「双子素数が無限にあ
る」と同値！)ことをどこで証明したのか？

　ふーん。誤解がありますね。

　そのRnの「上り階段」とは、例えば、R=3/5の場合、6n-1と6n+1のペアから5の倍数を含む
ペアを除いた「候補」に関するものです。Rnは「双子素数」の組数を示すものではありません。
（そのうち、双子素数が確定できるのは、((y^2)-1)/6組目から((z^2-1)-1)/6組目まで（zはy
の次の素数）のみ）。

　そして、そのRnの「上り階段」は、Rの値が変わるごとに傾きが変わります。例えば、
R=3/5なら、傾きが3/5。R=3/5 × 5/7なら、傾きが15/35ですね。

　ですから、Rnの「上り階段」は事実上、永遠に続きます。つまり、「候補」なら、無限に存在
します。

　その点はOKですか？

　ＨＰ管理者さんへ、はじめまして。最近、こちらで発言させていただいています。運営ご苦
労様です。

　「思い込み」と、そうお感じになるのは自由ですが、数学者であれば、やはり、私の説が
「思い込み」であることを「証明」すべきであるかと。

　でなければ、私の説が「思い込み」だという主張も、実は「思い込み」である可能性もある
わけですので。実際、上のH.Nakaoさんは、私の説明を誤解していたでしょう。

　DD++ さんの

　よって、確率の定義により、n 枚目がハートである確率は 1/4 です。

について、つまり、マークが4種類なので、出る確率は1/4だろう・・・と。

　例えば、箱の中には2種類のコインが入っている。だから、引いて出る確率は1/2である・・・
と、あまりにも安直な結論では？

　極端な話、1円玉がたった1枚、100円玉は1000枚入っていても、それでも、1円玉が出る確
率は1/2？？定義はどうか知りませんが、その話にはちょっと無理がありますね。

　それとも、私の誤解でしょうか？　「マークが4種類なので、出る確率は1/4」というのが、1/4
の根拠なのでは？　違う？　誤解だったらごめんなさいですが。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１１月５日付け）

　yangmaskさん、こちらの投稿を熟読した上で、良く考えてから、投稿したら良いですよ。

　★誤差がギザギザに「波打つ現象」の話は、どうなったのか？★

　だれもRnの「上り階段」の話はしていない。双子素数の組数の上り階段が無限に続くかど
うかの話をしている。仮に双子素数の組数の上り階段が上がらなくなったら、誤差はどうな
るのか考えてみれば、直ちに分かることです。
(Nが大きくなると、最大の双子素数の2乗を超えたところからは、#V(N)は増え続けるが#U(N)
は0になるので、S(N)=0となり、誤差R(N)-S(N)が「波打つ現象」は発生しない)。

　★「Nが十分大きいとき、Nが増加するに連れて、誤差R(N)-S(N)が波打つ(符号が変わる)」
　　ことの証明は、どこにある？★

　双子素数の候補の組数が有限であろうが無限であろうが、双子素数の組数には全く関係
無い(yangmaskさんによって、R(N)とS(N)に関係があることは一度も証明されていない)。
真値S(N)の近似値にも該当しないR(N)ではなく、真値であるS(N)そのものについて、議論し
てください。

　何度も指摘しているように、「双子素数が無限にある」ことを証明するためには、RもRnも全
く役に立たないし、不要である(既にR(N)にはレッドカードを出している)。

　必要になるのは、#U(N)またはS(N)の下からの評価である。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１１月５日付け）

　yangmaskさんの

　 極端な話、1円玉がたった1枚、100円玉は1000枚入っていても、それでも、1円玉が出る
　確率は1/2？？

について、「100 円玉の方が枚数が多い」という情報は起こりやすさに差異を生む制限でしょ
う？条件を満たしていないのだから 1/2 とは断言できない。このレベルだと高校どころか中
学の数学ですよ。

　そして、数学者なら云々と言っていますが、定義の否定は議論で何よりやっちゃいけないこ
とでしょう。

　もう yangmask さんは、議論をする気がなく数学を冒涜したいだけということが確定しました
ので、対話を打ち切ります。この発言に対する返信も不要です。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１１月６日付け）

　yangmaskさん、余計な投稿よりも宿題が優先ですよ(宿題は古いものから提出してください)。
できれば、まとめてくれると助かるけれど、一つずつ処理でも良いです。

　ここで強調しておきますが、「証明の書き直し」が宿題よりもさらに優先です。なぜなら、
yangmaskさんのいう証明は、証明になっていない(数学の答案としては0点！)からです。

　yangmaskさんが宿題の提出をしない(余計な投稿をする)ので、宿題がどんどん増えていき
ますよ。


■宿題８■投稿者：H.Nakao  投稿日：2021年11月 2日(火)13時33分48秒

> データの「波打つ」件は、Nがどんなに大きくなっても生じる現象です。Nが小さい時だけの
話ではありません。

　「データの「波打つ」現象は、Nがどんなに大きくなっても生じる」は証明されていません。
★そう主張したかったら、まず証明してください。★
(たとえ証明できたとしても、「双子素数が無限に存在する」の証明では、無意味です。)

(注釈！)yangmaskさんによって、誤差や誤差の精度(相対誤差)が0に収束すること、つまり、
　　　　　lim_{N→∞}(R(N)-S(N))=0とlim_{N→∞}(R(N)-S(N))/S(N)=0のどちらも証明されてい
　　　　　ない。

■宿題９■投稿者：H.Nakao  投稿日：2021年11月 4日(木)11時49分39秒

　yangmaskさんは、暗黙の内に(まさに証明したい命題である)「双子素数が無限にある」を
仮定して、議論をしていることが明白である。このような議論を循環論法と呼び、証明にお
いては(数学においても)全く意味が無い。

　★yangmaskさんの「双子素数が無限にある」の証明の根拠(原理)は、突き詰めていくと、
「双子素数の上り階段が無限に続く」からということですか？★

(注釈！)「循環論法ではない」ことを示すか、または、別の根拠(原理)を示すことを求めてい
　　　　　る。

■宿題１０■投稿者：H.Nakao  投稿日：2021年11月 5日(金)13時12分12秒

　こちらの投稿を熟読した上で、良く考えてから、投稿したら良いですよ。★誤差がギザギザ
に「波打つ現象」の話は、どうなったのか？★

　だれもRnの「上り階段」の話はしていない。双子素数の組数の上り階段が無限に続くかど
うかの話をしている。

　仮に双子素数の組数の上り階段が上がらなくなったら、誤差はどうなるのか考えてみれ
ば、直ちに分かることです。
(Nが大きくなると、最大の双子素数の2乗を超えたところからは、#V(N)は増え続けるが#U(N)
は0になるので、S(N)=0となり、誤差R(N)-S(N)が「波打つ現象」は発生しない)。

　★「Nが十分大きいとき、Nが増加するに連れて、誤差R(N)-S(N)が波打つ(符号が変わる)」
ことの証明は、どこにある？★

(注釈！)yangmaskさんのいう証明には、(任意の)Nについての議論が全く含まれていない。
　　　　　これでは、N→∞のときにどうこうとは言えない。


　yangmask さんからのコメントです。（令和３年１１月６日付け）

　H．Nakaoさんの

　仮に双子素数の組数の上り階段が上がらなくなったら、誤差はどうなるのか考えてみれば、
直ちに分かることです(Nが大きくなると、最大の双子素数の2乗を超えたところからは、#V(N)
は増え続けるが#U(N)は0になるので、S(N)=0となり、誤差R(N)-S(N)が「波打つ現象」は発生
しない)。

について、今、私は、「H.Nakaoさんが先日提出してくださったデータによっては私の説を否定
できない」という点について説明しているわけです。

　H.Nakaoさんから、データに基づき、R(N)と真値の誤差はどんどん大きくなっている（つまり、
最終的には誤差が大きくなりすぎて近似値としては用をなさなくなる）・・・というご指摘をいた
だきましたので、それに対して、私は、そのデータでは不備があるという点を今、反証してい
ます。

　もちろん、この説明では、Nが永遠に大きくなった場合の議論には至りませんが、少なくと
も、H.Nakaoさんが示してくださった10^10以下あたりのデータには十分有効な論理であるは
ずです。実際に、その周辺でも尚、双子素数が存在することは確認されているのですから。

　もう一度。私が「波打つ現象」説で言いたかったのは、『H.Nakaoさんのデータでは「ほら、
R(N)と真値の誤差はどんどん大きくなっているよ」とは言えない。なぜなら、「その誤差は、
少なくとも、そのデータの範囲内であれば、依然「波打っている」から』・・・というものです。

　その上でご再考を。

　DD++さんの

　もう yangmask さんは議論をする気がなく数学を冒涜したいだけということが確定しました
ので、対話を打ち切ります。この発言に対する返信も不要です。

について、すみませんでした。昨日、今日、その点について茶々を入れずに一応素直に考
えてきたところです。

　スペードが1回目に出る確率は1/4ですね。次に、2回目にもスペードが出る確率も1/4。

ゆえに、2回連続でスペードが出る確率は1/4 × 1/4 = 1/(4)^2。

　同様に、スペードが連続してn回出る確率は、1/(4)^n。

　これは、n が大きくなるごとにどんどん 0 に近づいていきますので、事実上、スペードが連
続して「永遠」に出る確率は「ない」と考えてよいでしょう。

　次に、ハート以外のマークの出る確率について考えます。

　1回目にハート以外のカードが出る確率は、3/4ですね。2回目も3/4。

したがって、n番目まで連続してハート以外のカードが出る確率は、(3/4)^n

　これも、Nが大きくなるにしたがい限りなく0に近づきますので、「永遠に」ハート以外のカー
ドが出ることは「ない」と言えます。

つまり、言い換えれば、それは、どこかの時点で必ずハートのカードが出ることを意味してい
ます。そして、その後も連続してハート以外のカードのみが出ることはなく、ちょくちょくハート
は出てくる・・・。

　ゆえに、ハートは「無数に存在する」と言えます。ちなみに、これは、サンプリング調査をし
なくても得られる結論です。

　何か感ずるところがありましたら、どうぞ、懲りずにご返信ください。できれば、こういう数学
の議論を「楽しみ」ませんか？　言い争いとかではなく。


　H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１１月６日付け）

　yangmaskさんの

　今、私は、「H.Nakaoさんが先日提出してくださったデータによっては私の説を否定できな
い」という点について説明しているわけです。

　証明を書き直すまでは、余計な投稿は不要と言っています。★宿題はどうしたのか？★

　H.Nakaoさんから、データに基づき、R(N)と真値の誤差はどんどん大きくなっている（つまり、
最終的には誤差が大きくなりすぎて近似値としては用をなさなくなる）・・・というご指摘をいた
だきましたので、それに対して、私は、そのデータでは不備があるという点を今、反証してい
ます。

　そんな大それたことは言っていない。

「N=10^5,...,10^11のとき、[S(N)に対する]R(N)の誤差の精度(相対誤差)は、

(R(10^5)-S(10^5))/S(10^5)   ≒0.018846602048776201727991420319967484402
(R(10^6)-S(10^6))/S(10^6)   ≒0.063149632756390497486557042224138092806
(R(10^7)-S(10^7))/S(10^7)   ≒0.085678459653018856835526040094713342222
(R(10^8)-S(10^8))/S(10^8)   ≒0.11198565667169808668732352396943936816
(R(10^9)-S(10^9))/S(10^9)   ≒0.13135377515548225090925491928485818366
(R(10^10)-S(10^10))/S(10^10)≒0.14484196378374732889528283987345248808
(R(10^11)-S(10^11))/S(10^11)≒0.15641366754521493836696720410615991177

のように、縮まるどころか、ますます増えている。」と事実を述べただけである。
(事実なので、上記データの不備はどこにも無い。)

　Nがもっと大きくなった(N>=10^12)ときにどうなるかについては、確認できていないので、何
も主張していない。

　 もちろん、この説明では、Nが永遠に大きくなった場合の議論には至りませんが、少なくと
も、H.Nakaoさんが示してくださった10^10以下あたりのデータには十分有効な論理であるは
ずです。実際に、その周辺でも尚、双子素数が存在することは確認されているのですから。

　こちらが聞いているのは、「そのNがもっともっと大きくなった場合の議論」(例えば、
N>10^1200のとき)ですよ。10^10以上(実際に10^600以上)の双子素数が存在することは、
記事で報告済みです。

★上記記事を読んでいないのか？★

　よって、個別のN<=10^1200についての議論は、「双子素数が無限にある」の証明では、全
く意味が無い(無関係)ですよ。

　もう一度。私が「波打つ現象」説で言いたかったのは、『H.Nakaoさんのデータでは「ほら、
R(N)と真値の誤差はどんどん大きくなっているよ」とは言えない。なぜなら、「その誤差は、
少なくとも、そのデータの範囲内であれば、依然「波打っている」から』・・・というものです。

　★誤差R(N)-S(N)がデータの範囲内(N=10^5〜10^11)のどこで波打っている(符号が変わる)
のか？具体的なデータで、S(N)>R(N)となるN>=10^5を示してください。★

　その上でご再考を。

　再考は必要無い。理由は上記で述べた通り。yangmaskさんが「証明の書き直し」をしない
以上、yangmaskさんとの議論には全く意味が無いので、これで対話を打ち切ります。


　N=10^5近辺のS(N),R(N)の比較表を作成してみました。これを見ると、N>=10^5の範囲で、
Nが増加するときに、R(N)-S(N)が波打つ(符号が変化する)現象は起こりそうにないことが分
かります。

　R(N)の相対誤差[=(R(N)-S(N))/S(N)]は、多少の増減はありますが、おおむね増加傾向に
あることが分かります。

（コメント）　ＨＰ管理者からの連絡です。（令和３年１１月６日付け）

　令和３年１０月１４日付けで始まった、ＨＮ「yangmask」さんの「双子素数」に関するご投稿
について、新たな進展もなく、yangmask さんと他の方の議論がかみ合わず平行線となって
おります。当ＨＰとしましては、yangmask さんのきちんとした証明が上梓されるのを待ち、そ
れまでは、このページを凍結したいと思います。議論に参加された方々、お疲れ様でした！

　yangmask さん、きちんとした証明が上梓されましたら、お手数でも当ＨＰ宛てにご連絡いた
だければ幸いです。