ある数 Ｎ を平方すると非常に大きな数が得られるが、この平方数 Ｎ2 にはどのような数
理が潜んでいるだろうか？
たとえば、 Ｎ＝１１１ のとき、 Ｎ2＝１２３２１ である。（ → 参考：「連綿と続く１」）
また、 Ｎ＝１１１１１１１１１ のとき、 Ｎ2＝１２３４５６７８９８７６５４３２１ である。
このとき、平方数の各位の数の和に着目すると、
Ｎ2＝１２３２１ の場合は、 １＋２＋３＋２＋１＝９
Ｎ2＝１２３４５６７８９８７６５４３２１ の場合は、
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝４５＋３６＝８１
となり、何れも９の倍数となっている。
これは、 Ｎ＝１１１が３の倍数であること、Ｎ＝１１１１１１１１１が９の倍数であることから
当たり前のことだろう。
Ｎ＝１１１１ のとき、 Ｎ2＝１２３４３２１ であり、 １＋２＋３＋４＋３＋２＋１＝１６ から、
脆くも、平方数 Ｎ2 に潜む数理は予想だにできない．．．雰囲気。
それでは、電卓では求められない平方数 Ｎ2 の各位の数の和を求めることに専心するこ
とにしよう。
Ｎ＝３３３３・・・・・・３３ （３が１００個並ぶ数） に対して、その平方数 Ｎ2 の各位の
数の和を求めよ。
（解） ３Ｎ＝９９９９・・・・・・９９＝１０100−１ なので、
９Ｎ2＝（１０100−１）2＝１０200−２・１０100＋１＝１０200−１−２（１０100−１）
よって、 Ｎ2＝１０199＋１０198＋・・・＋１０2＋１０＋１
−２（１０99＋１０98＋・・・＋１０2＋１０＋１）
＝１０199＋１０198＋・・・＋１０100−（１０99＋１０98＋・・・＋１０2＋１０＋１）
＝１１１１・・・・・・１１０８８８８・・・・・・８８９
（１が９９個、０が１個、８が９９個、９が１個）
したがって、Ｎ2 の各位の数の和は、
１×９９＋０＋８×９９＋９＝９００
である。
（コメント） Ｅｘｃｅｌ さんに、 ３３３３３３３×３３３３３３３ を計算してもらうと、
１１１１１１０８８８８８８９
となり、上記の計算の理論と一致する。
（追記） 令和４年８月２２日付け
整数Ｎに対して、その各位の数の和をＳ（Ｎ）とする。
例 Ｎ＝１１１ のとき、 Ｓ（Ｎ）＝３
Ｓ（Ｎ）＝３ が３の倍数なので、 Ｎは３の倍数である。
Ｓ（Ｎ）＝１ となるＮは、Ｎ＝１ 、１０ 、１００ 、・・・ がある。
Ｓ（Ｎ）＝２ となるＮは、 Ｎ＝２ 、１１ の他に、Ｎ＝２０、２００、・・・ や、Ｎ＝１０１、・・・
などがある。
上限に限りがないので、 Ｎ≦２０２２ と制限を設ける必要がある。さらに、ＮはＳ（Ｎ）で
割り切れるという条件を設定すると、Ｎは数えられる領域になるだろう。
問題 Ｓ（Ｎ）＝３ となるＮを全て求めよ。
（解） Ｎ＝３ 、３０ 、３００
Ｎ＝１２ 、１２０ 、１０２ 、１２００ 、１０２０ 、１００２
Ｎ＝２１ 、２１０ 、２０１ 、２０１０ 、２００１
Ｎ＝１１１ 、１１１０ 、１１０１ 、１０１１
以上から、Ｎは全部で、１８個ある。
問題 Ｓ（Ｎ）＝４ となるＮを全て求めよ。
（解） Ｎ＝４ 、４０ 、４００
Ｎ＝１３００
Ｎ＝２２０ 、２０２０
Ｎ＝１１２ 、１１２０ 、１０１２
以上から、Ｎは全部で、９個ある。
問題 Ｓ（Ｎ）＝５ となるＮを全て求めよ。
（解） Ｎ＝５ 、５０ 、５００
Ｎ＝１４０ 、１４００ 、１０４０
Ｎ＝２３０
Ｎ＝３２０
Ｎ＝４１０
Ｎ＝１１３０
Ｎ＝１３１０
Ｎ＝１２２０
以上から、Ｎは全部で、１２個ある。
（コメント） 全ての場合を数え上げるしか方法はないのだろうか？何かしらの公式は存在し
ないのだろうか？
上記では、虱潰しに数え上げたが、次のように計算すると楽かもしれない。
問題 Ｓ（Ｎ）＝５ となるＮを全て求めよ。
（別解） Ｎは５の倍数なので、一の位は、０または５である。
Ｎ＝０**０ のタイプについて、 *＋*＝５ より、Ｎは６通りできる。
Ｎ＝０**５ のタイプについて、 *＋*＝０ より、Ｎは１通りできる。
Ｎ＝１**０ のタイプについて、 *＋*＝４ より、Ｎは５通りできる。
Ｎ＝１**５ のタイプについて、Ｓ（Ｎ）≧６で不適。
Ｎ＝２**０ のタイプについて、 *＋*＝３ より、Ｎ≦２０２２を満たすものはない。
Ｎ＝２**５ のタイプについて、Ｓ（Ｎ）≧７で不適。
以上から、求める場合の数は、 ６＋１＋５＝１２（通り）
（コメント） Ｎ＝０**０ のタイプは、 ５０ 、５００ 、１４０ 、２３０ 、３２０ 、４１０
Ｎ＝０**５ のタイプは、 ５
Ｎ＝１**０ のタイプは、１４００ 、１０４０ 、１１３０ 、１３１０ 、１２２０
と分類することができる。
Ｓ（Ｎ）に関する問題は、中学入試で散見される。
東大寺学園中学の入試問題（２０２２）では、
問題（一部改題）
整数Nに対して、Nの各位の数の和をS(N)と表す。.整数Nについて、次のような【特性】を
考える。
【特性】 NはＳ(N)で割り切れる
この【特性】をもつ整数について、次の問いに答えよ。
(1) 整数Nは【特性】をもち、1以上2022以下とする。このような整数Nの中で、Ｓ（Ｎ) = 5 と
なる Nは全部で何個あるか。
(2) 整数Nは【特性】をもち、1以上2022以下とする。このような整数Nの中で、Ｓ（Ｎ) = 9 とな
る Nは全部で何個あるか。
(3) 整数Nは【特性】をもち、1以上2022以下とする。このような整数Nの中で、Ｓ（Ｎ) = 18 と
なる Nは全部で何個あるか。
(4) 整数Nは【特性】をもち、1以上2022以下とする。Ｓ（Ｎ）の値として考えられるものの中で、
大きいものから 3 番目の値を求め、そのときのNをすべて求めよ。
この東大寺学園中学の問題は、その前年の灘中学の入試問題（２０２１）が背景にあるよ
うに感じる。
問題（一部改題）
各位の数の和が 5 である 4 桁の整数は、2021 を含めて全部で何個あるか。そして、それ
らの整数の中で、2021 は小さい方から数えて何番目であるか。
灘中学の問題を考えてみよう。
（解） Ｎ＝１*** のタイプについて、 *＋*＋*＝４ より、Ｎは、6Ｃ2＝１５（通り）できる。
Ｎ＝２*** のタイプについて、 *＋*＋*＝３ より、Ｎは、5Ｃ2＝１０（通り）できる。
Ｎ＝３*** のタイプについて、 *＋*＋*＝２ より、Ｎは、4Ｃ2＝６（通り）できる。
Ｎ＝４*** のタイプについて、 *＋*＋*＝１ より、Ｎは、3Ｃ2＝３（通り）できる。
Ｎ＝５*** のタイプについて、 *＋*＋*＝０ より、Ｎは、１通りできる。
以上から、求める場合の数は、 １５＋１０＋６＋３＋１＝３５（通り）
また、２０００以上の数で、小さい順に ２００３ 、２０１２ 、２０２１ なので、
２０２１は、小さい方から数えて１５＋３＝１８（番目）である。 （終）
次に、東大寺学園中学の問題を考えてみよう。
（解） (1)については既に上記で解いてある。
(2) Ｓ（Ｎ）＝９のとき、Ｎは９の倍数である。
Ｎ＝０*** のタイプについて、 *＋*＋*＝９ より、Ｎは、11Ｃ2＝５５（通り）できる。
Ｎ＝１*** のタイプについて、 *＋*＋*＝８ より、Ｎは、10Ｃ2＝４５（通り）できる。
Ｎ＝２*** のタイプについて、 ２００７ 、２０１６ の２通りできる。
以上から、求める場合の数は、 ５５＋４５＋２＝１０２（通り）
(3) Ｓ（Ｎ）＝１８のとき、Ｎは９の倍数かつ偶数である。
Ｎ＝０**０ のタイプについて、 *＋*＝１８ すなわち、１８−（*＋*）＝０ より、
（９−*）＋（９−*）＝０ と考えて、これを満たす ** は９９のみで、Ｎは、１通りできる。
Ｎ＝０**２ のタイプについて、 １８−（*＋*）＝２ より、Ｎは、3Ｃ1＝３（通り）できる。
Ｎ＝０**４ のタイプについて、 １８−（*＋*）＝４ より、Ｎは、5Ｃ1＝５（通り）できる。
Ｎ＝０**６ のタイプについて、 １８−（*＋*）＝６ より、Ｎは、7Ｃ1＝７（通り）できる。
Ｎ＝０**８ のタイプについて、 １８−（*＋*）＝８ より、Ｎは、9Ｃ1＝９（通り）できる。
Ｎ＝１**０ のタイプについて、 １８−（*＋*）＝１ より、Ｎは、2Ｃ1＝２（通り）できる。
Ｎ＝１**２ のタイプについて、 １８−（*＋*）＝３ より、Ｎは、4Ｃ1＝４（通り）できる。
Ｎ＝１**４ のタイプについて、 １８−（*＋*）＝５ より、Ｎは、6Ｃ1＝６（通り）できる。
Ｎ＝１**６ のタイプについて、 １８−（*＋*）＝７ より、Ｎは、8Ｃ1＝８（通り）できる。
Ｎ＝１**８ のタイプについて、 １８−（*＋*）＝９ より、Ｎは、10Ｃ1＝１０（通り）できる。
以上から、求める場合の数は、 １＋３＋５＋７＋９＋２＋４＋６＋８＋１０＝５５（通り）
(4) Ｓ（Ｎ）≦２８ である。
Ｓ（Ｎ）＝２８ となるＮは、１９９９で、これはＳ（Ｎ）＝２８の倍数でないから不適
Ｓ（Ｎ）＝２７ となるＮのうち、９９９はＳ（Ｎ）＝２７の倍数なので、適
Ｓ（Ｎ）＝２６ となるＮのうち、１８９８はＳ（Ｎ）＝２６の倍数なので、適
Ｓ（Ｎ）＝２５ となるＮは、７９９、９７９、９９７、８８９、８９８、９８８、１６９９、１９６９、１９９６、
１７８９、１７９８、１８７９、１８９７、１９７８、１９８７、１８８８で、これはＳ（Ｎ）＝２５の倍数でな
いから不適
Ｓ（Ｎ）＝２４ となるＮのうち、１８９６はＳ（Ｎ）＝２４の倍数なので、適
Ｓ（Ｎ）＝２４ となるＮは、６９９、７８９、７９８、８７９、８８８、９６９、９７８、９８７、１５９９、
１６８９、１６９８、１７７９、１７８８、１７９７、１８６９、１８７８、１８８７、１８９６、１９５９、１９６８、
１９７７、１９８６、１９９５
このうち、Ｓ（Ｎ）＝２４で割り切れるものは、８８８、１８９６、１９６８ の３個である。
以上から、Ｓ（Ｎ）の値として考えられるものの中で、大きいものから 3 番目の値は、２４で、
そのときのNの値は、８８８、１８９６、１９６８ の３個である。 （終）
（コメント） 定数で割り算が出来る電卓を用いても結構大変な作業量であった。小学生達は
受験会場でどんな匠の技を駆使して計算しているのだろうか？
Ｓ（Ｎ）＝２４ で割り切れるということは、４の倍数なので、下２桁が４の倍数
この事実を用いれば、
１７８８、
の取消線の数は除外され、
８８８、１７８８、１８９６、１９６８、１９８６
の５個だけを調べればよいことが分かる。この方がずっと簡単でしたね！
さらに、Ｓ（Ｎ）＝２４ で割り切れるということは、８の倍数なので、
８８８、１７８８、１８９６、１９６８、１９８６
から８の倍数を探すと、 ８８８ 、１８９６ 、１９６８ が直ぐ見いだせる。
Ｓ（Ｎ）の値に対して、Ｎを求める問題は、順列組合せの問題のいい練習となるだろう。
上記で設けた制限：「Ｎ≦２０２２」のもとで、「ＮはＳ（Ｎ）で割り切れる」という条件で、次の
問題を考えていこう。
問題 Ｓ（Ｎ）＝６ となるＮを全て求めよ。
（解） Ｓ（Ｎ）＝６ のとき、Ｎは、３の倍数で、かつ、偶数である。
Ｎ＝０**０ のタイプについて、 *＋*＝６ より、Ｎは、7Ｃ1＝７（通り）できる。
Ｎ＝０**２ のタイプについて、 *＋*＝４ より、Ｎは、5Ｃ1＝５（通り）できる。
Ｎ＝０**４ のタイプについて、 *＋*＝２ より、Ｎは、3Ｃ1＝３（通り）できる。
Ｎ＝０**６ のタイプについて、 *＋*＝０ より、Ｎは、１通りできる。
Ｎ＝１**０ のタイプについて、 *＋*＝５ より、Ｎは、6Ｃ1＝６（通り）できる。
Ｎ＝１**２ のタイプについて、 *＋*＝３ より、Ｎは、4Ｃ1＝４（通り）できる。
Ｎ＝１**４ のタイプについて、 *＋*＝１ より、Ｎは、2Ｃ1＝２（通り）できる。
Ｎ＝２０*０ のタイプについて、 *＝４ は不適
Ｎ＝２０*２ のタイプについて、 *＝２ より、Ｎは、１通りできる。
Ｎ＝２０*４ のタイプについて、 *＝０ より、Ｎは、１通りできる。
以上から、求める場合の数は、 ７＋５＋３＋１＋６＋４＋２＋１＋１＝３０（通り）
以下、工事中！