自然対数の底　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　戻る

　自然対数の底 ｅ（Ｎａｐｉｅｒ の数）は、 　により定義される。
高校では、 　で定義されることが多いが、前者の級数は非常に速く収束する

ので、ｅ の値を計算するのに便利である。２項定理を用いて、容易に

　　　　　　　　　　　　　　　　
であることが示される。

　実際に、２項定理を用いて展開して整理すると、

（１＋１/ｎ）ｎ＝１/０！＋１/１！＋（１−１/ｎ）/２！＋（１−１/ｎ）（１−２/ｎ）/３！＋・・・

　　＋（１−１/ｎ）（１−２/ｎ）・・・（１−（ｎ−１）/ｎ）/ｎ！

　ここで、ｎ → ∞ とすると、　ｌｉｍｎ→∞ （１＋１/ｎ）ｎ＝Σｎ=0∞ （１/ｎ！）　が成り立つ。


　ところで、自然対数の底ｅは「Ｎａｐｉｅｒ（ネイピア）の数」と呼ばれるが、発見したのはオイラ
ーで、ネイピアではない。「ｅ」はＥｕｌｅｒの「ｅ」なのである。

　ｅπが超越数であることは、１８７３年にシャルル・エルミートにより示されている。

　 　が収束する速さは、次のような不等式を用いて評価される。
　　 　とおくとき、

　　　　

　　　　　　　　

　よって、 　　 　・・・・・　(*)　　が成り立つ。

　ｅ ＝２．７１８２８１８２８４５９０４５２３５３・・・・・　に対して、

　　　　ｓ10＝２．７１８２８１・・・・・

　　　　

であることを考えれば、収束の速さは明らかである。

　ｓｎ の収束が非常に速いので、電卓を用いて計算してみようという気になる方もおられよう。

たとえば、ｓ10 の計算は、広島工業大学の大川研究室によれば、

　　［・・・{｛（１/１０＋１）/９＋１｝/８＋１}・・・］/１＋１

と考え、前から順番にキーを叩けば、紙にメモすることなく計算できるとのことだ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（→参考：「面白い電卓の使い方」）

　また、評価式 (*) を用いると、ｅ が無理数であることが容易に示される。

　今、ｅ が有理数と仮定すると、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

と書ける。ただし、ｐ 、 ｑ は、互いに素な正の整数である。

　このとき、 (*) より、
　　　　　　　　　　　　　　

なので、
　　　　　　　　

　ここで、　ｑ！ｅ　および　ｑ！ｓｑ　はともに整数なので、　ｑ≧１　より、０ と １ の間に整数

が存在することになり、これは矛盾である。よって、 ｅ は無理数である。


（参考文献 ： Ｗａｌｔｅｒ Ｒｕｄｉｎ　著　Principleｓ ｏｆ Mathematical Analysis　（McGRAWHILL））


（追記）　平成２８年６月４日付け

　ｅ の近似分数として、１９/７、１９３/７１、２７２１/１００１などが知られている。

　実際に、　１９/７＝２．７１４２８・・・

　　　　　１９３/７１＝２．７１８３０９・・・

　　２７２１/１００１＝２．７１８２８１７１８・・・

　また、ｅ については、次のモローの不等式

　e/（２ｎ＋２）＜e−（１＋１/ｎ）ｎ＜e/（２ｎ＋１）　　ただし、ｎは正の整数

が知られている。次のように式変形されることも多い。

　｛２ｎ/（２ｎ＋１）｝ｅ＜（１＋１/ｎ）ｎ＜｛（２ｎ＋１）/（２ｎ＋２）｝ｅ


　高校生でも十分解きうる問題として、数学検定（１級レベルかな？）や大学入試などで、こ
の不等式を題材とする問題が出題されている。

　古くは、次の学習院大学　理学部（１９８９）の問題が有名だろう。

学習院大学　理学部（１９８９）

　次の不等式が成り立つことを証明せよ。ただし、ｅは自然対数の底である。

（１）　ｘ＞０　のとき、　（１/ｘ）ｌｏｇ（１＋ｘ）＞１＋ｌｏｇ（２/（ｘ＋２））

（２）　ｎが正の整数のとき、　ｅ−（１＋１/ｎ）ｎ＜ｅ/（２ｎ＋１）


（解）（１）　ｘ＞０　なので、　ｌｏｇ（１＋ｘ）＞ｘ（１＋ｌｏｇ（２/（ｘ＋２）））　を示せばよい。

　　Ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ（１＋ｘ）−ｘ（１＋ｌｏｇ（２/（ｘ＋２）））　とおくと、

　Ｆ’（ｘ）＝１/（ｘ＋１）−（１＋ｌｏｇ（２/（ｘ＋２）））＋ｘ/（ｘ＋２）

　Ｆ”（ｘ）＝−１/（ｘ＋１）2＋１/（ｘ＋２）＋２/（ｘ＋２）2＝ｘ（ｘ2＋５ｘ＋５）/（ｘ＋１）2（ｘ＋２）2

　　よって、Ｆ”（ｘ）＞０　より、Ｆ’（ｘ）は単調増加で、　Ｆ’（０）＝１−１＋０＝０　より、

　ｘ＞０　のとき、　Ｆ’（ｘ）＞０　で、Ｆ（ｘ）は単調増加

　Ｆ（０）＝０−０＝０　なので、　ｘ＞０　のとき、　Ｆ（ｘ）＞０

　したがって、　ｌｏｇ（１＋ｘ）＞ｘ（１＋ｌｏｇ（２/（ｘ＋２）））　より、

　　　（１/ｘ）ｌｏｇ（１＋ｘ）＞１＋ｌｏｇ（２/（ｘ＋２））

が成り立つ。

（２）　（１）で、ｘ＝１/ｎ（＞０）　とおくと、　ｎｌｏｇ（１＋１/ｎ）＞１＋ｌｏｇ（２ｎ/（２ｎ＋１））

　　すなわち、　ｌｏｇ（１＋１/ｎ）ｎ＞ｌｏｇｅ（２ｎ/（２ｎ＋１））　より、

　　　（１＋１/ｎ）ｎ＞ｅ（１−１/（２ｎ＋１））　より、　ｅ−（１＋１/ｎ）ｎ＜ｅ/（２ｎ＋１）　　（終）


　学習院大学の問題で、モローの不等式の右辺は示されたので、左辺を示すのも同様に出
来る。

　e/（２ｎ＋２）＜e−（１＋１/ｎ）ｎ　より、　（１＋１/ｎ）ｎ＜ｅ（２ｎ＋１）/（２ｎ＋２）　の両辺の対

数をとって、ｎｌｏｇ（１＋１/ｎ）＜１＋ｌｏｇ（２ｎ＋１）/（２ｎ＋２）　となるので、ｎ＝１/ｘ　とおいて

　　（１/ｘ）ｌｏｇ（１＋ｘ）＜１＋ｌｏｇ（（ｘ＋２）/（２ｘ＋２））　（ｘ＞０）

　そこで、　Ｇ（ｘ）＝ｌｏｇ（１＋ｘ）−ｘ（１＋ｌｏｇ（（ｘ＋２）/（２ｘ＋２）））　とおくと、

　Ｇ’（ｘ）＝１/（ｘ＋１）−（１＋ｌｏｇ（（ｘ＋２）/（２ｘ＋２）））−ｘ（１/（ｘ＋２）−１/（ｘ＋１））

　　　　　＝−ｌｏｇ（（ｘ＋２）/（２ｘ＋２）））−ｘ/（ｘ＋２）

　Ｇ”（ｘ）＝−１/（ｘ＋２）＋１/（ｘ＋１）−２/（ｘ＋２）2＝−ｘ/（（ｘ＋１）（ｘ＋２）2）＜０

　よって、Ｇ’（ｘ）は単調減少で、Ｇ’（０）＝０　より、　ｘ＞０　のとき、　Ｇ’（ｘ）＜０

　このとき、Ｇ（ｘ）は単調減少で、Ｇ（０）＝０　より、　ｘ＞０　のとき、　Ｇ（ｘ）＜０

　したがって、　（１/ｘ）ｌｏｇ（１＋ｘ）＜１＋ｌｏｇ（（ｘ＋２）/（２ｘ＋２））　が成り立ち、

　ｘ＝１/ｎ（＞０）　とおくと、　ｎｌｏｇ（１＋１/ｎ）＜１＋ｌｏｇ（２ｎ＋１）/（２ｎ＋２）

　すなわち、　（１＋１/ｎ）ｎ＜ｅ（２ｎ＋１）/（２ｎ＋２）　より、

　　e/（２ｎ＋２）＜e−（１＋１/ｎ）ｎ

が成り立つ。


　高知県土佐高校の藤岡優太先生が数研通信Ｎｏ．８５で、モローの不等式をスッキリ証明
されている。それを参考にしながら、モローの不等式の図形的意味を考えてみよう。

　モローの不等式　e/（２ｎ＋２）＜e−（１＋１/ｎ）ｎ＜e/（２ｎ＋１）　から示される不等式

　　｛２ｎ/（２ｎ＋１）｝ｅ＜（１＋１/ｎ）ｎ＜｛（２ｎ＋１）/（２ｎ＋２）｝ｅ

の両辺の対数をとって式変形すると、

　ｌｏｇ（ｎ（ｎ＋１））−ｌｏｇ（ｎ＋１/２）＜（ｎ＋１）ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎｌｏｇｎ−１＜ｌｏｇ（ｎ＋１/２）

となる。ここで、

　∫ｎｎ+1 ｌｏｇ ｘ ｄｘ＝（ｎ＋１）ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎｌｏｇｎ−１

より、Ｓ＝（ｎ＋１）ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎｌｏｇｎ−１は、ｙ＝ｌｏｇ ｘ とｘ＝ｎ、ｘ＝ｎ＋１、ｘ軸で囲まれた
面積となっている。

　さらに、点（ｎ，ｌｏｇｎ）と点（ｎ＋１，ｌｏｇ（ｎ＋１））を結ぶ線分とｘ＝ｎ、ｘ＝ｎ＋１、ｘ軸で囲まれ
た台形の面積Ｔは、

　Ｔ＝（ｌｏｇｎ＋ｌｏｇ（ｎ＋１））/２＝（１/２）ｌｏｇｎ（ｎ＋１）

で与えられる。

　さらに、ｙ＝ｌｏｇ（ｎ＋１/２）とｘ＝ｎ、ｘ＝ｎ＋１、ｘ軸で囲まれた長方形の面積Ｕは、

　Ｕ＝ｌｏｇ（ｎ＋１/２）

で与えられる。

　このとき、モローの不等式の図形的意味が明らかとなる。すなわち、

　　　２Ｔ−Ｕ＜Ｓ＜Ｕ

が成り立つ。


（コメント）　ＳとＵの関係は微妙な雰囲気なのですが、モローの不等式から、確実に、Ｓ＜Ｕ
　　　　　　と言えるわけですね。直感的には、ｙ＝ｌｏｇ ｘ が上に凸の曲線で勾配がだんだん
　　　　　　緩やかになっていることを考えれば、Ｓ＜Ｕであることは予想されますが．．．。



　　以下、工事中！