自然対数の底                        戻る

 自然対数の底 e(Napier の数)は、  により定義される。
高校では、  で定義されることが多いが、前者の級数は非常に速く収束する

ので、e の値を計算するのに便利である。2項定理を用いて、容易に

 

であることが示される。実際に、2項定理を用いて展開して整理すると、

(1+1/n)=1/0!+1/1!+(1-1/n)/2!+(1-1/n)(1-2/n)/3!+・・・

  +(1-1/n)(1-2/n)・・・(1-(n-1)/n)/n!

ここで、n → ∞ とすると、 limn→∞ (1+1/n)=Σn=0 (1/n!) が成り立つ。


 ところで、自然対数の底eは「Napier(ネイピア)の数」と呼ばれるが、発見したのはオイラ
ーで、ネイピアではない。「e」はEulerの「e」なのである。

 eπが超越数であることは、1873年にシャルル・エルミートにより示されている。

   が収束する速さは、次のような不等式を用いて評価される。
    とおくとき、



 よって、     ・・・・・ (*)  が成り立つ。

 e =2.7182818284590452353・・・・・ に対して、

 s10=2.718281・・・・・

 

であることを考えれば、収束の速さは明らかである。

 s の収束が非常に速いので、電卓を用いて計算してみようという気になる方もおられよう。

たとえば、s10 の計算は、広島工業大学の大川研究室によれば、

  [・・・{{(1/10+1)/9+1}/8+1}・・・]/1+1

と考え、前から順番にキーを叩けば、紙にメモすることなく計算できるとのことだ。
                                 (→参考:「面白い電卓の使い方」)

 また、評価式 (*) を用いると、e が無理数であることが容易に示される。

 今、e が有理数と仮定すると、

 

と書ける。ただし、p 、 q は、互いに素な正の整数である。

 このとき、 (*) より、

 

なので、

 

 ここで、 q!e および q!s はともに整数なので、 q≧1 より、0 と 1 の間に整数

が存在することになり、これは矛盾である。よって、 e は無理数である。


(参考文献 : Walter Rudin 著 Principles of Mathematical Analysis (McGRAWHILL))


(追記) 平成28年6月4日付け

 e の近似分数として、19/7、193/71、2721/1001などが知られている。

 実際に、 19/7=2.71428・・・

 193/71=2.718309・・・

 2721/1001=2.718281718・・・

 また、e については、次のモローの不等式

 e/(2n+2)<e-(1+1/n)<e/(2n+1)  ただし、nは正の整数

が知られている。次のように式変形されることも多い。

 {2n/(2n+1)}e<(1+1/n)<{(2n+1)/(2n+2)}e


 高校生でも十分解きうる問題として、数学検定(1級レベルかな?)や大学入試などで、こ
の不等式を題材とする問題が出題されている。

 古くは、次の学習院大学 理学部(1989)の問題が有名だろう。

学習院大学 理学部(1989)

 次の不等式が成り立つことを証明せよ。ただし、eは自然対数の底である。

(1) x>0 のとき、 (1/x)log(1+x)>1+log(2/(x+2))

(2) nが正の整数のとき、 e-(1+1/n)<e/(2n+1)


(解)(1) x>0 なので、 log(1+x)>x(1+log(2/(x+2))) を示せばよい。

 F(x)=log(1+x)-x(1+log(2/(x+2))) とおくと、

 F’(x)=1/(x+1)-(1+log(2/(x+2)))+x/(x+2)

 F”(x)=-1/(x+1)2+1/(x+2)+2/(x+2)2=x(x2+5x+5)/(x+1)2(x+2)2

よって、F”(x)>0 より、F’(x)は単調増加で、 F’(0)=1-1+0=0 より、

 x>0 のとき、 F’(x)>0 で、F(x)は単調増加

 F(0)=0-0=0 なので、 x>0 のとき、 F(x)>0

したがって、 log(1+x)>x(1+log(2/(x+2))) より、

 (1/x)log(1+x)>1+log(2/(x+2))

が成り立つ。

(2) (1)で、x=1/n(>0) とおくと、 nlog(1+1/n)>1+log(2n/(2n+1))

すなわち、 log(1+1/n)>loge(2n/(2n+1)) より、

 (1+1/n)>e(1-1/(2n+1)) より、 e-(1+1/n)<e/(2n+1)  (終)


 学習院大学の問題で、モローの不等式の右辺は示されたので、左辺を示すのも同様に出
来る。

 e/(2n+2)<e-(1+1/n) より、 (1+1/n)<e(2n+1)/(2n+2) の両辺の対

数をとって、nlog(1+1/n)<1+log(2n+1)/(2n+2) となるので、n=1/x とおいて

 (1/x)log(1+x)<1+log((x+2)/(2x+2)) (x>0)

そこで、 G(x)=log(1+x)-x(1+log((x+2)/(2x+2))) とおくと、

 G’(x)=1/(x+1)-(1+log((x+2)/(2x+2)))-x(1/(x+2)-1/(x+1))

 =-log((x+2)/(2x+2)))-x/(x+2)

 G”(x)=-1/(x+2)+1/(x+1)-2/(x+2)2=-x/((x+1)(x+2)2)<0

 よって、G’(x)は単調減少で、G’(0)=0 より、 x>0 のとき、 G’(x)<0

 このとき、G(x)は単調減少で、G(0)=0 より、 x>0 のとき、 G(x)<0

 したがって、 (1/x)log(1+x)<1+log((x+2)/(2x+2)) が成り立ち、

 x=1/n(>0) とおくと、 nlog(1+1/n)<1+log(2n+1)/(2n+2)

すなわち、 (1+1/n)<e(2n+1)/(2n+2) より、

 e/(2n+2)<e-(1+1/n)

が成り立つ。


 高知県土佐高校の藤岡優太先生が数研通信No.85で、モローの不等式をスッキリ証明
されている。それを参考にしながら、モローの不等式の図形的意味を考えてみよう。

 モローの不等式 e/(2n+2)<e-(1+1/n)<e/(2n+1) から示される不等式

 {2n/(2n+1)}e<(1+1/n)<{(2n+1)/(2n+2)}e

の両辺の対数をとって式変形すると、

 log(n(n+1))-log(n+1/2)<(n+1)log(n+1)-nlogn-1<log(n+1/2)

となる。ここで、

 ∫n+1 log x dx=(n+1)log(n+1)-nlogn-1

より、S=(n+1)log(n+1)-nlogn-1は、y=log x とx=n、x=n+1、x軸で囲まれた
面積となっている。

 さらに、点(n,logn)と点(n+1,log(n+1))を結ぶ線分とx=n、x=n+1、x軸で囲まれ
た台形の面積Tは、

 T=(logn+log(n+1))/2=(1/2)logn(n+1)

で与えられる。

 さらに、y=log(n+1/2)とx=n、x=n+1、x軸で囲まれた長方形の面積Uは、

 U=log(n+1/2)

で与えられる。

 このとき、モローの不等式の図形的意味が明らかとなる。すなわち、

 2T-U<S<U

が成り立つ。


(コメント) SとUの関係は微妙な雰囲気なのですが、モローの不等式から、確実に、S<U
      と言えるわけですね。直感的には、y=log x が上に凸の曲線で勾配がだんだん
      緩やかになっていることを考えれば、S<Uであることは予想されますが...。


(追記) 令和6年11月23日付け

 Dengan kesaktian Indukmu さんから、「ネイピア数の近似」と題して、ご投稿いただきました。

 「棋士デビュー70年の加藤一二三九段(84)が詰め将棋出題65年間継続でギネス記録、って
全数字綺麗に出てるなぁ」という大発見がShiromaruさんによってX(旧ツイッター)で報告され話
題となりました。(→ URL

 このツイートをうけてサイエンスライター兼 vtuber の彩恵りり氏(@Science_Release)氏が紹
介したネイピア数の、0から9までをかぶらずにヒトモジづつ使った近似方法がとてつもなかっ
たので皆様にご紹介します。

=引用始め=  (引用は、こちら より。)

e≈(1+0.2^(9^(7×6)))^(5^(3^(84)))

 ネイピア数と小数点以下

 8368澗4289溝8906穣8425秭9438垓1759京0916兆4450億0188万7164桁

まで一致する近似値(Daniel Bamberger (2024) による)

=引用終わり=

 Daniel Bambergerによるオリジナルは、こちらで確認できますが、こちらはよりディープか
つ趣味的なデータベースになっています。

※ 0.2=1/5 だから、言い換えると、N=5^(3^84)に対して、e≒(1+1/N)^N ですね。
 との解説が @hironino さんによりツイッター上で披露されました。


 GAI さんからのコメントです。(令和6年11月23日付け)

 1~9にこだわってみました。

(15768/3942)×(12345/9876)=13485/2697 ・・・ 5

(18534/9267)×(17469/5823)=34182/5697 ・・・ 6

(17469/5823)×(31689/4527)×(65934/1782)=748251/963=615384/792 ・・・ 777

 なお昔、掲示板に投稿されていた記事をメモしていたノートを見直していたら、多分2017年
ごろ、DD++ さんが「e≈(1+.2^(3^84))^(5^(9^(6*7)))」を投稿されていたと思います。

 また、これを、(1+9^(-4^(6*7)))^(3^(2^85)) 、(1+2^(-76))^(4^38+.5) 等にもでき、円周率π
も、
 π≈2^5^.4-.6-(.3^9/7)^.8^.1
 (((2^7+8)/(90-1))^5.4+.6)*.3 (りらひい氏発見)
 (8-(1+.6/(.2*.5+9))/(.3+7))*.4 (らすかる氏発見)

などの常連さんの驚くべき技が紹介されていました。


 DD++ さんからのコメントです。(令和6年11月23日付け)

 「小町算で無理数近似」の記事ですかね。


 GAI さんからのコメントです。(令和6年11月24日付け)

 「小町算で無理数近似」を読み返していたら、ネイピア数と小数点以下8368澗4289溝8906穣
8425秭9438垓1759京0916兆4450億0188万7164桁まで一致する近似値の精度がどうやって導
けたのかの謎が、

マクローリン展開が

1/e*(1+x)^(1/x)=1-1/2*x+11/24*x^2-7/16*x^3+2447/5760*x^4-959/2304*x^5+O(x^6)

これから、 e-(1+x)^1/x≒1/2*e*x

 これに、x=.2^(3^84)=(1/5)^(3^84) なる微小な値を取ることで、両辺のlog[10]をとると右辺が

gp > log(exp(1)/2)/log(10)-3^84*log(5)/log(10)
%139 = -8368428989068425943817590916445001887164.5053429251

正にeとの誤差が 1/10^(8368428989068425943817590916445001887164) つまり、

 8368澗4289溝8906穣8425秭9438垓1759京0916兆4450億0188万7164桁まで一致

ということを示す、という計算なのですね。



  以下、工事中!