ピタゴラス音階　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　次の弦の長さにより決まる音階を、ピタゴラス音階という。音楽の歴史では、最も古い音階
だといわれる。古代ギリシャの数学者ピタゴラスは、鍛冶屋の槌の音に心地よく響き合う音が
あることに気づき、美しい協和音に秘められた「神のわざ」を探し求めようとした。

彼は、弦の長さの比に注目 　して、２対１、３対２　のとき、 　２つの音が最も美しい協和音 　になることを発見した。 　　今日、前者は完全８度、後 　者は完全５度の協和音とい 　われている。 　　また、４対３　のときは、完 　全４度の協和音という。 　　このような性質を持つ数の 　組として、 　　　　　１２　　８　　６ 　と、 　　　　　１２　　９　　６ 　が知られている。

　このとき、　１２　　９　　８　　６　に対応して、ド・ファ・ソ・ド　がまず決定される。

他の音は、この４音を基本として、次のようにして定められる。

「レ」の音　・・・　ソの音と完全４度の音
　　　　すなわち、Ｘ ： ８ ＝ ４ ： ３　より、Ｘ＝３２/３　として、弦の長さが定まる。

「ラ」の音　・・・　レの音と完全５度の音
　　　　すなわち、３２/３ ： Ｘ ＝ ３ ： ２　より、Ｘ＝６４/９　として、弦の長さが定まる。

「ミ」の音　・・・　ラの音と完全４度の音
　　　　すなわち、Ｘ ： ６４/９ ＝ ４ ： ３　より、Ｘ＝２５６/２７　として、弦の長さが定まる。

「シ」の音　・・・　ミの音と完全５度の音
　　　　すなわち、２５６/２７ ： Ｘ ＝ ３ ： ２　より、Ｘ＝５１２/８１　として、弦の長さが定まる。

　以上で定まる弦の長さをもとに、実際に楽器を作ってみたら、どんな風に聞こえるのだろう。
時間があったら、是非作ってみたいものだ。みなさんも、いかがですか？

　さらに、６、８、９、１２　の４つの数に、６の完全８度の数としての　３　を付け加えてみると、

　　　　　　　　３ 　 　６ 　 　８ 　 　９ 　　 １２

の５つの数の間に、数学的に美しい関係が成り立つ。

　６　は、３　と　１２　の相乗平均である。（相乗平均については、こちら）

　８　は、６　と　１２　の調和平均である。（調和平均については、こちら）

　９　は、６　と　１２　の相加平均である。（相加平均については、こちら）

　数学的に美しいということは、音として聞いても美しいということで、ピタゴラスがひたすら
求めた「宇宙の本質」というものの雰囲気が何となく伝わってくるような気がする。

（参考文献：船山良三　著　身近な数学の歴史（東洋書店））

（追記）　ピタゴラス音階は弦の長さで決められたが、我々が通常聞いている音階は振動数
　　　　の比で決められたものである。（弦の長さと振動数は反比例する！）

　１９３９年の国際会議で、「ラ＝Ａ」の振動数は、４４０Ｈｚと定められた。この「ラ」の振動数
をもとに

という振動数の比で定まる音階を純正律音階という。

　この音階では、「ドミソ」の和音の振動数の比が、　１ ： ５/４ ： ３/２ ＝ ４ ： ５ ： ６　という
美しい比になっている。

　ただ、純正律音階では転調するのが難しい。そこで、１オクターブあたり１２個の鍵盤で、
どのように転調しても振動数の比が変わらないように決められたのが平均律音階である。

　平均律音階では、振動数は半音上がる毎に一定の比率(＝約１．０６（正しくは、２^1/12））
で増えていく。即ち、（２^1/12）¹²＝２　より、１オクターブ上がると、振動数は２倍（弦の長さは
１/２倍）になる。

　数学者メルセンヌ（1588〜1648）によって１６３６年に、ほぼ完璧な１２平均律の計算が完成
したという。

　ピアノやギターなどの楽器のほとんどは平均律で調律されていて、一番馴染みがある音
階である。平均律の考えでは、弦の長さが指数関数 ｙ＝ａ・（１/２）^ｘ 的に変化するので、
グランドピアノを上から見ると、指数関数の、美しい単調減少のグラフが見て取れる。

　ただ、平均律は転調はしやすいという利点はあるが、和音の美しさという点で多少負い目
がある音階である。

（コメント）　昔から音楽と数学は関係が深いと言われていますが、これほど数学の理論が
　　　　　　使われているとは驚きです。１秒間に４４０回振動する音が「ラ」というのも面白い
　　　　　　し、「ラ」の音を基準にするのも面白いですね！何でも、赤ちゃんの産声が世界共
　　　　　　通で、この「ラ」の音だとか．．．。

（追々記）　平成１９年２月２８日付けで、当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、「おたぬき」さん
　　　　　　の書き込みがあった。「おたぬき」さんに感謝いたします。

　ギター、マンドリンと言ったフレット楽器は、平均律にしか調律できません。これは、フレット
が平均律で切られているからです。

　私自身、「フレットって何？」という状態だったので、いろいろ調べてみた。

　「フレット」というのは、ギターの細長い棒（この部分を「ネック」というらしい！）に平行に
何本かついている金属製の仕切り（？）のことということを知りました。

　確かに、各弦に共通の仕切りなので、「平均律で切られている」ことが分かりますね！

「Ｗｉｋｉｐｅｄｉａ」で、「フレット」の項をみると、弦毎にフレットの位置を変えて純正律の音階を
完全に演奏できるようにした「フレットボード」が考案されているとか．．．。

　音楽の世界は、まさに「こだわりの世界」ですね！