統計の分野で、よく使われる統計量としては、平均、分散、標準偏差が有名どころで、こ
れらの数値から資料のおおよその雰囲気が伝わる。
標準偏差は分散の平方根なので、分散が求まれば標準偏差は直ちに求められる。
平均は、すべての資料の数値を加えて資料数で割れば直ぐに求められる。一般の方に
最も馴染みがある統計量だろう。
それに対して、分散は、
偏差（資料の数値と平均の差）の２乗の平均
ということもあり、何となく計算することが億劫になりそうな．．．雰囲気。
最近、この分散に関して、次のような計算法があることを知った。
この方法を用いて、暗算で分散でも求めてみようかという気にさせられるから不思議だ。
例 データ数が２個の場合 データ ： ｘ1 、ｘ2
平均 ｍ＝（ｘ1＋ｘ2）/２
分散 Ｖ＝｛（ｘ1−ｍ）2＋（ｘ2−ｍ）2｝/２＝（ｘ1−ｘ2）2/４
例 データ数が３個の場合 データ ： ｘ1 、ｘ2 、ｘ3
平均 ｍ＝（ｘ1＋ｘ2＋ｘ3）/３
分散 Ｖ＝｛（ｘ1−ｍ）2＋（ｘ2−ｍ）2＋（ｘ3−ｍ）2｝/３ が定義であるが、
分散＝（２乗の平均）−（平均の２乗）
という公式を用いる方が計算がスッキリするだろう。
すなわち、 Ｖ＝（ｘ12＋ｘ22＋ｘ32）/３−｛（ｘ1＋ｘ2＋ｘ3）/３｝2
＝（２ｘ12＋２ｘ22＋２ｘ32−２ｘ1ｘ2−２ｘ2ｘ3−２ｘ3ｘ1）/９
＝｛（ｘ1−ｘ2）2＋（ｘ2−ｘ3）2＋（ｘ3−ｘ1）2｝/３2
この公式を知っていれば、たとえば、データ ： ２ 、４ 、５ の分散は暗算で求められるか
も．．．。
すなわち、 Ｖ＝（４＋１＋９）/９＝１４/９
（コメント） 平均の計算を経由せず、データから直に求められる点が素晴らしいですね！
もっと、データの個数を増やそう。
例 データ数が４個の場合 データ ： ｘ1 、ｘ2 、ｘ3 、ｘ4
Ｖ＝（ｘ12＋ｘ22＋ｘ32＋ｘ42）/４−｛（ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4）/４｝2
＝（３ｘ12＋３ｘ22＋３ｘ32＋３ｘ42−２ｘ1ｘ2−２ｘ1ｘ3−２ｘ1ｘ4−２ｘ2ｘ3−２ｘ2ｘ4−２ｘ3ｘ4）/１６
＝｛（ｘ1−ｘ2）2＋（ｘ1−ｘ3）2＋（ｘ1−ｘ4）2＋（ｘ2−ｘ3）2＋（ｘ2−ｘ4）2＋（ｘ3−ｘ4）2｝/４2
上記の計算から、一般化することは容易だろう。
すなわち、
となる。
（コメント） 分散の計算式から「平均」の言葉が消えて、こんなにも分かりやすい式になると
は！始めから「この式で分散を求めます」と言ってくれた方が統計嫌いが減らせる
かも．．．。
ただ、この公式は、データの個数が増えると計算量は２乗に比例して増大するので、あま
りデータ数が多い場合は実用的ではない。せいぜい５個ぐらいまでか．．．な？
例 データ ： ４ 、６ 、 ３ 、６ 、４ の分散を求めよ。
Ｖ＝（４＋１＋４＋０＋９＋０＋４＋９＋１＋４）/２５＝３６/２５
なお、参考までに、標準偏差は分散の平方根なので、 ６/５ となる。
（追記） 平成２６年１月１８日付け
分散は、偏差（資料の数値と平均の差）の２乗の平均 で計算されるが、なぜ平均との偏
差を考えるのだろう。今までは、平均からの散らばり方を数量化するためと思っていたが、
最近、別な意味があることを知った。
例えば、３個のデータ ａ、ｂ、ｃ を考え、その平均をｍとする。
関数 Ｆ（ｘ）＝｛（ａ−ｘ）2＋（ｂ−ｘ）2＋（ｃ−ｘ）2｝/３ とおく。このとき、
Ｆ（ｘ）＝｛３ｘ2−２（ａ＋ｂ＋ｃ）ｘ＋ａ2＋ｂ2＋ｃ2｝/３
＝｛ｘ−（ａ＋ｂ＋ｃ）/３｝2−（ａ＋ｂ＋ｃ）2/９＋（ａ2＋ｂ2＋ｃ2）/３
＝｛ｘ−（ａ＋ｂ＋ｃ）/３｝2＋（２ａ2＋２ｂ2＋２ｃ2−２ａｂ−２ｂｃ−２ｃａ）/９
＝（ｘ−ｍ）2＋｛（ａ−ｂ）2＋（ｂ−ｃ）2＋（ｃ−ａ）2｝/９
よって、関数 Ｆ（ｘ）は、ｘ＝ｍのとき最小で、最小値は、
Ｆ（ｍ）＝｛（ａ−ｍ）2＋（ｂ−ｍ）2＋（ｃ−ｍ）2｝/３＝｛（ａ−ｂ）2＋（ｂ−ｃ）2＋（ｃ−ａ）2｝/９
このように計算を進めると、なぜ分散の定義で平均が登場するのかとか、上記の平均を
使わない計算公式の意味が明確になってくる。
（追記） 標準偏差についての話題を、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＹＩ」さんより頂
いた。（平成２６年５月２８日付け）
３個の自然数 ａ、ｂ、ｃ があるとき、ａ、ｂ、ｃ の標準偏差は多くの場合無理数になります。
ａ、ｂ、ｃ の標準偏差が、０以外の整数になることはあるでしょうか。
ａ、ｂ、ｃ が 100以下のときに、解はありませんでした。
平均を求めて、偏差を出して、・・・と計算が長く、証明は大変そうな気がします。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年５月２８日付け）
ないと思います。以下で証明できていると思いますのでご確認ください。
ａ、ｂ、ｃ の標準偏差をσとすると、σ2=(a2+b2+c2)/3-(a+b+c)2/9 で、これを整理、変形
して、
9σ2=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 …… (1)
(1)を満たす自然数 ａ、ｂ、ｃ およびσが存在しないことを背理法で証明する。
いま、σが最小の自然数になる場合を考える。
(a-b)+(b-c)+(c-a)=0 より、(a-b)、(b-c)、(c-a)は、1つが偶数で2つが奇数、または全て偶数。
仮に、(a-b)、(b-c)、(c-a) の1つは偶数で2つは奇数だとすると、
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≡2 (mod 4) となり、9σ2≡0 または 1 (mod 4) と矛盾。
仮に、(a-b)、(b-c)、(c-a) が全て偶数 かつ ａ が偶数とすると、ｂ も ｃ も偶数、σも偶数で、
ａ=2ａ'、ｂ=2ｂ'、ｃ=2ｃ'、σ=2σ' とおくと、9σ'2=(ａ'-ｂ')2+(ｂ'-ｃ')2+(ｃ'-ａ')2 かつ σ'＜σ
これはσの最小性に矛盾。
仮に、(a-b)、(b-c)、(c-a) が全て偶数 かつ ａ が奇数とすると、ｂ と ｃ は奇数で、σは偶数
ａ=2ａ'-1、ｂ=2ｂ'-1、ｃ=2ｃ'-1、σ=2σ' とおくと、9σ'2=(ａ'-ｂ')2+(ｂ'-ｃ')2+(ｃ'-ａ')2 かつ σ'＜σ
これはσの最小性に矛盾。
よって、(1)を満たす自然数 ａ、ｂ、ｃ およびσは存在しない。すなわち、３つの自然数の標
準偏差が自然数になることはない。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年５月２８日付け）
DD++さんとちょっと違う証明です。途中までは、DD++さんと同じ計算になりますので省略し
ます。
(標準偏差)=√{(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}/9 において、ａ-ｂ=ｕ、ｂ-ｃ=ｖ とおくと、
ｃ-ａ=-(ｕ+ｖ) だから、(標準偏差)=√{ｕ2+ｖ2+(ｕ+ｖ)2}/9=√{2(ｕ2+ｖ2+ｕｖ)}/9
ｕ、ｖ のいずれかが奇数だと、ｕ2+ｖ2+ｕｖ が奇数となり不適。
よって、ｕ と ｖ は、両方とも偶数なので、両方とも２で割り、√の外に２を出すことができる。
この操作で、ｕ、ｖ のいずれかが奇数になると、ｕ2+ｖ2+ｕｖ が奇数となり不適なので、ｕ、ｖは
何回割っても偶数、すなわち、ｕ=ｖ=0。
従って、標準偏差が０以外の整数になることはない。
（コメント） なるほど．．．。
ＹＩ さんからの続報です。（平成２６年５月３１日付け）
数を増やして、４つの数の標準偏差について考えてみると、何らかの ｎ で、
n-s 、n-s 、n+s 、n+s
の標準偏差は明らかに、s になるので、自明解として除外。すると、以下のようになります。
3:1 3 3 9 、5:1 7 9 15 、6:1 5 5 17 、7:1 3 9 19 、9:1 1 7 23 、10:1 13 17 29
11:1 1 3 27 、12:1 9 9 33 、13:1 3 19 33 、14:1 5 17 37 、15:1 11 11 41
17:1 3 9 43 、18:1 1 13 45 、19:1 1 23 47
と続き、作れないのは、1、2、4、8、16、32、64、・・・ と、２の累乗になるようです。
（ちなみに、これらは見つかった中で合計が一番小さいものを選んでいます。）
ＹＩ さんからのコメントです。（平成２６年６月１日付け）
６４も作れないことを確認しました。
（追記） 令和２年６月１１日付け
平均と分散に関する問題をまとめてみました。（参考：裏技の記録 「平均と分散を求める」）
問題 ２０人の生徒が、問題が２問（１問１点で２点満点）のテストを受けた。２０人の得点を
合計すると、２８点であった。
（１） 平均点を求めよ。
（２） １点の生徒が８人のとき、０点と２点の生徒の人数を求め、得点の分散と標準偏差を
求めよ。
（解）（１） ２８÷２０＝１．４（点）
（２） ２８−１×８＝２０ で、２０÷２＝１０ より、２点の生徒は、１０人、０点の生徒は、２人
よって、得点の２乗の平均は、（０2×２＋１2×８＋２2×１０）÷２０＝４８÷２０＝２．４
したがって、 分散＝２．４−１．４2＝２．４−１．９６＝０．４４ で、
標準偏差＝√０．４４＝０．６６ （終）
問題 生徒１０人に対して、１０点満点の数学の小テストを２回行った。１回目の小テストの
成績は平均点５（点）、標準偏差２（点）であった。
２回目の小テストでは、成績が１回目３点から２点上がって５点になった生徒が３人、５点
から３点上がって８点になった生徒が２人、逆に７点から１点下がって６点になった生徒が
２人いた。
他の３人の成績は、それぞれ１回目と変わらなかった。
このとき、１回目の小テストの成績の分散と２回目の小テストの平均、標準偏差を求めよ。
（出典） 立命館大学 薬学方式（２０２０）
（解） １回目の小テストの成績で標準偏差２（点）より、分散＝（標準偏差）2＝４
３点→５点 ・・・ ３人
５点→８点 ・・・ ２人
７点→６点 ・・・ ２人
ａ点 ・・・ １人
ｂ点 ・・・ １人
ｃ点 ・・・ １人
題意より、 （３×３＋５×２＋７×２＋ａ＋ｂ＋ｃ）/１０＝５ なので、 ａ＋ｂ＋ｃ＝１７
また、（３2×３＋５2×２＋７2×２＋ａ2＋ｂ2＋ｃ2）/１０−５2＝４ なので、
ａ2＋ｂ2＋ｃ2＝１１５
よって、２回目の小テストの成績で、平均は、
（５×３＋８×２＋６×２＋ａ＋ｂ＋ｃ）/１０＝（４３＋１７）/１０＝６
分散は、 （５2×３＋８2×２＋６2×２＋ａ2＋ｂ2＋ｃ2）/１０−６2＝３９０/１０−６2＝３
よって、標準偏差は、 √３ （終）
（コメント） 高校時代にチラッと統計を学ぶ機会があり、そこで学んだ公式が、
（分散）＝（２乗の平均）−（平均の２乗）
で、これ以外学んだ記憶がない。かなり重宝する公式で、計算の軽減化に威力を発揮する。
問題 Ａ君は小テスト（１回当たり１０点満点）を５回受けた。１回目は１０点、２回目は４点
で、Ａの５回の平均点と中央値は、ともに６点で、標準偏差は２√２であった。
このとき、３〜５回目の点数を求めよ。（２、６、８）
（解） ３〜５回目の点数を、ａ、ｂ、ｃ （ａ≦ｂ≦ｃ）とすると、題意より、
１０＋４＋ａ＋ｂ＋ｃ＝６×５＝３０ なので、 ａ＋ｂ＋ｃ＝１６
（１０2＋４2＋ａ2＋ｂ2＋ｃ2）/５−６2＝（２√２）2 なので、 ａ2＋ｂ2＋ｃ2＝１０４
データの個数が奇数個で、中央値が６であることから、 ｂ＝６
よって、 ａ＋ｃ＝１０ 、 ａ2＋ｃ2＝６８ を解くと、 ａ＝２ 、ｃ＝８
以上から、３〜５回目の点数は、 ２点、６点、８点 である。 （終）
問題 ３６ のすべての正の約数の平均をｍ、分散をｖ とするとき、ｖ/ｍ の値を求めよ。
（解） ３６ のすべての正の約数は、
１、２、３、４、６、９、１２、１８、３６
よって、 ｍ＝（１＋２＋３＋４＋６＋９＋１２＋１８＋３６）/９＝９１/９
ｘ2の平均＝（１＋４＋９＋１６＋３６＋８１＋１４４＋３２４＋１２９６）/９＝１９１１/９＝６３７/３
よって、 ｖ＝６３７/３−８２８１/８１＝８９１８/８１
ｖ/ｍ＝８９１８/８１÷（９１/９）＝９８/９ （終）
（追記） 令和３年３月７日付け
私の高校時代は、統計の問題というと、
（分散）＝（２乗の平均）−（平均の２乗）
を知っていれば十分だったような気がするが、最近は、大学入試センター試験などでも、相
関係数を求めさせる問題が散見されるようになった。相関係数は、
相関係数＝（ｘ、ｙの共分散）/（ｘの標準偏差）（ｙの標準偏差）
で求められ、正の相関、負の相関などを数値的に表現する量である。
相関係数は、−１以上で１以下の数で、
相関係数が１に近い数であれば、強い正の相関
相関係数が−１に近い数であれば、強い負の相関
があると言われ、相関係数が０に近い数の場合は、ほとんど相関はないと言われる。
ところで、上式の共分散とは何だろうか？定義は次の通りである。
ｘ1、ｘ2、・・・、ｘＮ の平均値は、
＝（Σｋ=1〜Ｎ ｘｋ）/Ｎ で求められる。このとき、ｘｋ−
を偏差といい、σｘ2＝（Σｋ=1〜Ｎ （ｘｋ−）2）/Ｎ を分散という。標準偏差は、σｘとなる。
共分散は、データの組 （ｘ1，ｙ1）、（ｘ2，ｙ2）、・・・、（ｘN，ｙN） について考える量である。
ｙ1、ｙ2、・・・、ｙＮ の平均値を、
とおくと、偏差は、ｙｋ− となる。このとき、共分散 σｘｙ は、 σｘｙ＝（Σｋ=1〜Ｎ （ｘｋ−
）（ｙｋ−））/Ｎ で定義される。具体例で計算してみよう。
、σｘｙ＝−０．６ なので、