いろいろな平均があるが、このページでは相加平均の一般化である加重平均について
考え、その応用を見てみたいと思う。
実数 Ａ、Ｂ、Ｃ に対して、
（ただし、ｐ、ｑ、ｒ は非負の実数で少なくとも一つは ０ でない）
を、Ａ、Ｂ、Ｃ の加重平均といい、ｐ、ｑ、ｒ をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃ の重みという。
ｎ 個の実数に対しても同様に加重平均は定義される。
例 実数 Ａ、Ｂ、Ｃ の相加平均（算術平均）は、
であるが、これは上記の加重平均で、ｐ＝ｑ＝ｒ＝１ の場合である。
例 ６人のテスト（５点満点）の結果、得点が ２、４、５、４、４、５ であるとき、
得点合計＝２＋４＋５＋４＋４＋５＝２４ を出して、２４÷６＝４ と人数で割って得られ
る平均が相加平均である。
これに対して、
得点２のものが１人、４のものが３人、５のものが２人なので、得点合計を
２×１＋４×３＋５×２＝２＋１２＋１０＝２４ と出してから、２４÷６＝４ と人数で割って
得られる平均が加重平均である。
この例からも分かるように、加重平均は普段からお馴染みのものだろう。
加重平均については次の定理が基本的である。
定理 実数 Ａ、Ｂ、Ｃ の加重平均を、ＷＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ）と書くとすると、
Ｍｉｎ（Ａ，Ｂ，Ｃ）≦ＷＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ）≦Ｍａｘ（Ａ，Ｂ，Ｃ）
が成り立つ。
平均という意味を考えれば当然だろうし、証明は易しい。
（証明） Ｍｉｎ（Ａ，Ｂ，Ｃ）≦Ａ 、 Ｍｉｎ（Ａ，Ｂ，Ｃ）≦Ｂ 、 Ｍｉｎ（Ａ，Ｂ，Ｃ）≦Ｃ より、
ｐＭｉｎ（Ａ，Ｂ，Ｃ）≦ｐＡ 、 ｑＭｉｎ（Ａ，Ｂ，Ｃ）≦ｑＢ 、 ｒＭｉｎ（Ａ，Ｂ，Ｃ）≦ｒＣ
３式を辺々加えて、 （ｐ＋ｑ＋ｒ）Ｍｉｎ（Ａ，Ｂ，Ｃ）≦ｐＡ＋ｑＢ＋ｒＣ
ｐ＋ｑ＋ｒ＞０ なので、 Ｍｉｎ（Ａ，Ｂ，Ｃ）≦ＷＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ） が成り立つ。
同様にして、 ＷＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ）≦Ｍａｘ（Ａ，Ｂ，Ｃ） が成り立つ。 （証終）
例題 実数 Ａ、Ｂ と正の数 ｐ、ｑ に対して、次の不等式が成り立つことを示せ。
（解） 実数 Ａ/ｐ 、 Ｂ/ｑ の重みをそれぞれ ｐ、ｑ とすると、定理から明らかに成り立つ。
（終）
この事実を用いて、比例式で重要な「加比の理」が説明される。
すなわち、Ａ/ｐ ＝ Ｂ/ｑ のとき、 Ｍｉｎ（Ａ/ｐ ， Ｂ/ｑ）＝Ｍａｘ（Ａ/ｐ ， Ｂ/ｑ） なので、
が成り立つ。
例 Ｙ/Ｘ＝２ ならば、 （Ｙ＋２）/（Ｘ＋１）＝２である。
このような考え方は数学のいろいろな場面で登場することだろう。
応用問題 正の数 ｘ 、 ｙ 、 ｚ に対して、等式 （ｘ＋ｙ＋ｚ）2＝ｘ＋２ｙ＋３ｚ が成り立つとき、
１＜ｘ＋ｙ＋ｚ＜３ であることを示せ。
（解） ｘ＋ｙ＋ｚ＝（ｘ＋２ｙ＋３ｚ）/（ｘ＋ｙ＋ｚ） は、１ と ２ と ３ の加重平均だから、
１＜ｘ＋ｙ＋ｚ＜３ が成り立つことは明らか。 （終）
（コメント） この問題で加重平均を使わないとしたら、どんな解答になるのだろう？
２変数の場合について考えてみよう。
応用問題 正の数 ｘ 、 ｙ に対して、等式 （ｘ＋ｙ）2＝ｘ＋２ｙ が成り立つとき、
１＜ｘ＋ｙ＜２ であることを示せ。
（解） ｘ＋ｙ＝（ｘ＋２ｙ）/（ｘ＋ｙ） は、１ と ２ の加重平均だから、
１＜ｘ＋ｙ＜２ が成り立つことは明らか。 （終）
下図のように、放物線 （ｘ＋ｙ）2＝ｘ＋２ｙ に対して、直線 ｘ＋ｙ＝ｋ が交わるとき、
ｘ＞０ 、ｙ＞０ に注意して、 １＜ｋ＜２ であることが明瞭に理解される。
（コメント） 放物線 （ｘ＋ｙ）2＝ｘ＋２ｙ のグラフを描くことがかなり大変そう！加重平均の
有難味がヒシヒシと伝わってくる。
読者のために練習問題を一つ置いておこう。
練習問題 平面上の４点
Ｐ（ｘ1，ｙ1）、Ｑ（ｘ2，ｙ2）、Ｒ（ｘ3，ｙ3）、Ｓ（ｘ4，ｙ4） （ただし、 ｘ1＜ｘ2＜ｘ3＜ｘ4）
に対して、線分 ＰＱ、ＱＲ、ＲＳ の傾きを、それぞれ ｍ1、ｍ2、ｍ3 とおく。
このとき、
Ｍｉｎ（ｍ1、ｍ2、ｍ3）≦線分 ＰＳ の傾き≦Ｍａｘ（ｍ1、ｍ2、ｍ3）
であることを示せ。
（図形的に考えて、上記の成り立つことは明らかだろう。問題はどのように示すかである。）
（解）
なので、例題で示した公式を用いて、
が成り立つ。 （終）
この加重平均の考え方は当然、相加平均と相乗平均の関係にも適用される。
広島工業大学の大川研究室のＨＰの「数学の問題コーナー」で、次のような問題が提起
されている。
問題３１６ 数列 { (１＋１/ｎ)ｎ } は単調増加、 { (１＋１/ｎ)ｎ＋1 } は単調減少であ
ることを対数やネイピアの数以前の高校１年程度の数学で証明せよ。
この証明に加重平均の考え方が有効に用いられる。
大川研究室の証明を参考にしながら．．．。
（証明） １＋１/ｎ と 1 の重みをそれぞれ ｎ と １ として加重平均をとると、
このとき、相乗平均は、
よって、
（等号は不成立！）すなわち、
このことは、数列 { (１＋１/ｎ)ｎ } が単調増加であることを示す。
同様にして、後半部分も示される。
を示すために、
の両辺の逆数をとって
を示せばよい。
そこで、ｎ/（ｎ＋１） と 1 の重みをそれぞれ ｎ＋１ と １ として加重平均をとり、相乗
平均との関係を考えれば上記の不等式は直ちに示される。 （証終）
（コメント） 数列 { (１＋１/ｎ)ｎ } が単調増加であることは書籍等では下記のように示されの
が通常である。
上記２式の各項を比較することにより、
であることが分かる。
また、関数
が、ｘ＞０ において増加関数であることを、微分法を用いて示す方法もある。
対数微分法により、 ｌｏｇ Ｆ（ｘ）＝ｘ（ｌｏｇ （ｘ＋１）−ｌｏｇ ｘ ） から、
Ｆ’（ｘ）/Ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ （ｘ＋１）−ｌｏｇ ｘ ＋ ｘ（１/（ｘ＋１）−１/ｘ）
＝ｌｏｇ （ｘ＋１）−ｌｏｇ ｘ − １/（ｘ＋１）
ここで、 Ｇ（ｘ）＝ｌｏｇ （ｘ＋１）−ｌｏｇ ｘ − １/（ｘ＋１） とおいて、さらに微分すると、
Ｇ’（ｘ）＝１/（ｘ＋１）−１/ｘ ＋ １/（ｘ＋１）2＝−１/ｘ（ｘ＋１）2＜０
より、関数 Ｇ（ｘ） は単調に減少する。
ｘ → ∞ のとき、 Ｇ（ｘ）＝ｌｏｇ（１＋１/ｘ）− １/（ｘ＋１） → ０
なので、 ｘ＞０ のとき、 Ｇ（ｘ）＞０ である。
よって、 Ｆ’（ｘ）/Ｆ（ｘ）＞０ 、 Ｆ（ｘ）＞０ より、 Ｆ’（ｘ）＞０
よって、関数 Ｆ（ｘ） は単調に増加する。
（コメント） 微分を使った、こういう証明も味があっていいですね！
これらの証明を見て分かるように、加重平均を用いた方が証明がスッキリしていて分か
りやすいと思う。この証明を授けていただいた大川研究室に感謝したい。