いま訳があって、立方数について調べている。（→立方数の和を立方数で表す方法）
その計算途中で、１７２９ という数の面白さに気づかされた。
立方数の和を求めていくと、１７２９ という数は、２通りの表現が可能である。
１７２９＝９3＋１０3＝１２3＋１3
しかも、このように２通りに表現される数のうちで最小の数が、１７２９ である。
因みに、２番目に小さい数は、４１０４ である。
４１０４＝９3＋１５3＝１６3＋２3
（追記） 当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからご投稿いただきました。
（令和２年１２月２４日付け）
次の問題が、一橋大学前期（２００９）で出題されました。
２以上の整数ｍ、ｎは、ｎ3＋１3＝ｍ3＋１０3 をみたす。ｍ、ｎを求めよ。
（解） ｎ3＋１3＝ｍ3＋１０3 より、 ｎ3−ｍ3＝１０3−１3＝９９９ なので、
（ｎ−ｍ）（ｎ2＋ｎｍ＋ｍ2）＝９・１１１＝３3・３７
よって、 ｎ−ｍ＝１、３、９、２７、３７、１１１、９９９ の場合が起こり得る。
ここで、ｎ−ｍ≧９ とすると、 ｎ≧１１、ｍ≧２ となり、
ｎ2＋ｎｍ＋ｍ2≧１２１＋２２＋４＝１４７ から、
（ｎ−ｍ）（ｎ2＋ｎｍ＋ｍ2）≧１３２３ で、（ｎ−ｍ）（ｎ2＋ｎｍ＋ｍ2）＝９９９ に矛盾
よって、 ｎ−ｍ＝１、３ の場合を考えればよい。
ｎ−ｍ＝１ のとき、 ｎ2＋ｎｍ＋ｍ2＝９９９
ここで、 （ｍ＋１）2＋（ｍ＋１）ｍ＋ｍ2＝３ｍ2＋３ｍ＋１ なので、
右辺は３の倍数であるが、左辺は３で割り切れず、矛盾である。
よって、ｎ−ｍ＝１ は起こり得ない。
ｎ−ｍ＝３ のとき、 ｎ2＋ｎｍ＋ｍ2＝３３３
このとき、 （ｍ＋３）2＋（ｍ＋３）ｍ＋ｍ2＝３ｍ2＋９ｍ＋９＝３３３ より、
ｍ2＋３ｍ−１０８＝０ なので、 （ｍ＋１２）（ｍ−９）＝０
よって、 ｍ＝９ で、 ｎ＝１２ （終）
（コメント） このページは、２００３年１２月２８日付けでアップされたものなので、一橋大学の
出題者の方は何かしら参考にされたのかな？ちょっと嬉しいかも！？
ここで、「１７２９」は、「タクシー数」と呼ばれる。療養所で療養していた数学者ラマヌジャン
を見舞ったラマヌジャンの恩師ハーディが、「今日乗ったタクシーのナンバーは１７２９で、何
の面白みもない、つまんない数だった。」と言ったことに対して、ラマヌジャンは、「そんなこと
ないです。１７２９という数は、３乗＋３乗の形で２通りに表せる最小の数です。」 と即答した
ことに由来する。何となく「博士の愛した数式」の世界ですね！（→ 参考：「タクシー数」）
スモークマンさんから解答をいただきました。（令和２年１２月２４日付け）
考えてみました ^^
n^3-m^3=999 より、 (n-m)(n^2+nm+m^2)=3^3*37
(1) n-m=1 のとき、 (m+1)^3-m^3=m^2+m(m+1)+1=999 より、 2m^2+m=998
m(2m+1)=2・499 で、解なし
(2) n-m=3 のとき、 (m+3)^3-m^3=9m^2+27m+27=9(m^2+3m+3)=3^3*37 より、
m^2+3m=111-3=108 すなわち、 m^2+3m-108=(m-9)(m+12)=0
よって、 m=9 、n=12
(3) n-m=9 のとき、 (m+9)^3-m^3=27m^2+3*9^2m+9^3=27(m^2+9m+27)=3^3*37 より、
m^2+9m=10 すなわち、 m(m+9)=10 を解いて、m=1（＜2） で不適
(4) mod 3 で、n、mは同じなので、 n-m=3*37
(m+3*37)^3-m^3=333(m^2+111m+4107)
明らかに、m^2+111m+4107>3^2 でなし
これ以上も同じなので、 (m,n)=(9,12) だけね ^^
＃もっとスマートにできないのか知らん ^^;
らすかるさんから解答をいただきました。（令和２年１２月２５日付け）
n^3-m^3=999 において、19^3-18^3=1027 から、 n≦18
さらに、 10^3-1^3=999 から、 n≧11 なので、 11≦n≦18
999≡5 (mod 7) であり、
a≡1、2、4 (mod 7) のとき、 a^3≡1 (mod 7)
a≡3、5、6 (mod 7) のとき、 a^3≡6 (mod 7)
a≡0 (mod 7) のとき、a^3≡0 (mod 7)
なので、 n^3≡6 (mod 7)、m^3≡1 (mod 7) の場合を考えればよいから、
n≡3、5、6 (mod 7) で、かつ、 11≦n≦18 なので、 n=12、13、17
n=13、17 のとき、13^3≡17^3≡1^3=1 (mod 4)、999≡3 (mod 4) なので、
m^3≡2 (mod 4) となるが、 m^3≡0、1 (mod 4) なので、これは起こり得ない。
よって、 n=12 で、 m^3=12^3-999=729 から、 m=9
（コメント） らすかるさんの合同式を駆使した推論に感動しました。
スモークマンさんからのコメントです。（令和２年１２月２５日付け）
うまくやれば、こうもあっさりと求められるのですねぇ☆勉強になりました♪
but...わたしじゃとっても思いつけませんですけど...^^;;
