等式 Ｘ3＋Ｙ3＋Ｚ3＝Ｎ3 において、整数 Ｘ、Ｙ、Ｚ を与えたとき、整数 Ｎ が存在する
場合としない場合がある。
例 Ｘ＝２５、Ｙ＝２０、Ｚ＝１５ に対して、
Ｘ3＋Ｙ3＋Ｚ3＝１５６２５＋８０００＋３３７５＝２７０００＝３3×１０3
なので、Ｎ＝３０ と定まる。
例 Ｘ＝４、Ｙ＝３、Ｚ＝２ に対して、
Ｘ3＋Ｙ3＋Ｚ3＝６４＋２７＋８＝９９＝３2×１１
なので、等式を満たす整数 Ｎ は存在しない。
このページでは、整数 Ｎ が存在したときの、Ｎ を求める裏技を紹介したい。
もちろん、冒頭で計算したように直接的に求める方法が一番堅実だと思うが、次のような
方法も知っていて損はしないだろう。
（例） 等式 ２５3＋２０3＋１５3＝Ｎ3 を満たす整数 Ｎ が存在するとき、Ｎの値を求めよ。
Ｎ3＝２５3＋２０3＋１５3≡１3＋(−１)3＋０3＝０ （ｍｏｄ ３）
（記号 ｍｏｄ については、こちらを参照）
Ｎ3＝２５3＋２０3＋１５3≡０3＋０3＋０3＝０ （ｍｏｄ ５）
よって、Ｎ3 すなわち、Ｎ は、３ かつ ５ の倍数、すなわち、１５ の倍数である。
したがって、条件から、Ｎ＞２５ であるので、Ｎの値の可能な場合は、
３０、４５、６０、７５、・・・・・・
いま、Ｎ＝４５ とすると、
４５3＝２５3・(45/25)3＝２５3・(9/5)3＞２５3・(3/2)3＞２５3・３＞２５3＋２０3＋１５3
したがって、Ｎ≧４５ に対して、等式は満たされない。
等式を満たす Ｎ は存在するので、Ｎ＝３０ となる。