・タクシー数                           GAI 氏

 ラマヌジャンのタクシーナンバーとして有名な「1729」は、確かに、

  1729=1^3+12^3=9^3+10^3

と2通りの自然数の立方数の和で表せる最小数である。これを更に探していくと、

4104=2^3+16^3=9^3+15^3
13832=2^3+24^3=18^3+20^3
20683=10^3+27^3=19^3+24^3
・・・・・・・・・・・

となるが、「1729」で起こったような互いに素であるような(x,y)の組で、x^3+y^3=M を2通りで
表せるものは、かなり離れるが、M=20683 の時であることになる。

 そこでバージョンアップを考え、互いに素である自然数の組(x,y)において、

  x^3+y^3=M

が異なる3通りの表現が可能となる最小のMは如何なるものなのか?

 更に4通りは発見可能か(または存在可能か)?


 らすかるさんからのコメントです。(平成29年2月12日付け)

 答えは「A080642」とか「タクシー数」にありますね。

(→ 参考:「1729という数」)


(追記) 「素数でのタクシー数」と題して、GAI さんからの続報です。
                                       (令和3年11月7日付け)

 タクシー数とかハーディ・ラマヌジャン数として知られるTa(2)(2通りに2個の立方数の和で
表せる数)で、その最小数として、

  1729=10^3+9^3=12^3+1^3

が有名ですが、他にこのような数を探すと、

  4104=15^3+9^3=16^3+2^3
  13832=20^3+18^3=24^3+2^3
  20683=24^3+19^3=27^3+10^3
   ・・・・・・・・・・・

の様に偶数と奇数の組合せは色々と起こる。調べてみると、そのほとんどには偶数が含ま
れて来る。

 そこで、この4つの数が全て奇数の立方数となるものを探すと、

  137^3+121^3=163^3+23^3 (23,137,163;素数)
  231^3+167^3=257^3+21^3  (167,257;素数)
   ・・・・・・・・・・・

などが探せる。

 そこで、すべてが素数で構成されるTa(2)を探し出してほしい。


 Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。(令和3年11月7日付け)

 いくつか解があるようですけれども、そのうちのひとつを覆面算にしてみました。

  AB^3 +BCDE^3 = AFE^3 +BCDB^3

すなわち、

(A*10+B)^3 +(B*1000+C*100+D*10+E)^3 = (A*100+F*10+E)^3 +(B*1000+C*100+D*10+B)^3


 GAI さんからのコメントです。(令和3年11月8日付け)

 丸2日間、10000までの素数総当たりで検索しましたら、

 31^3+1867^3=397^3+1861^3 (これが覆面算に相当するようでした。)

 61^3+1823^3=1049^3+1699^3 、71^3+2741^3=977^3+2699^3

の3タイプありそうです。(2桁素数の一桁目が1が揃うのが面白い。)

 素数範囲をもっと広げると、もっと見つかるんでしょうけどね。


 Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。(令和3年11月8付け)

 GAIさん、「A046894」に、お望みのものがありました。


 GAI さんからのコメントです。(令和3年11月8日付け)

 いつも思うことなんだが、世の中誰かが、こちらがふと思う疑問に既に明確に調べ尽くして
いることに驚かされます。

 しかし、ここに載せられている2013個のものを見つけ出すために、どれほどの時間が費や
されているかと思うと溜息が出ます。

 よく見ると、「私的数学塾」のある常連さんが一役買ってあるではないか!これだけ多くの
ものを見つけ出すにはプログラムを十分使いこなせないと不可能です。


 らすかるさんからのコメントです。(令和3年11月8日付け)

 プログラムの実行時間は約50分でした。



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