1729=1^3+12^3=9^3+10^3
と２通りの自然数の立方数の和で表せる最小数である。これを更に探していくと、
4104=2^3+16^3=9^3+15^3
13832=2^3+24^3=18^3+20^3
20683=10^3+27^3=19^3+24^3
･･･････････
となるが、「1729」で起こったような互いに素であるような(x，y)の組で、x^3+y^3=M を２通りで
表せるものは、かなり離れるが、M=20683 の時であることになる。
そこでバージョンアップを考え、互いに素である自然数の組(x，y)において、
x^3+y^3=M
が異なる３通りの表現が可能となる最小のMは如何なるものなのか？
更に４通りは発見可能か（または存在可能か）？
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年２月１２日付け）
答えは「A080642」とか「タクシー数」にありますね。
（→ 参考：「１７２９という数」）
（追記） 「素数でのタクシー数」と題して、ＧＡＩ さんからの続報です。
（令和３年１１月７日付け）
タクシー数とかハーディ・ラマヌジャン数として知られるTa(2)（2通りに２個の立方数の和で
表せる数)で、その最小数として、
1729=10^3+9^3=12^3+1^3
が有名ですが、他にこのような数を探すと、
4104=15^3+9^3=16^3+2^3
13832=20^3+18^3=24^3+2^3
20683=24^3+19^3=27^3+10^3
･･･････････
の様に偶数と奇数の組合せは色々と起こる。調べてみると、そのほとんどには偶数が含ま
れて来る。
そこで、この４つの数が全て奇数の立方数となるものを探すと、
137^3+121^3=163^3+23^3 (23,137,163;素数)
231^3+167^3=257^3+21^3 (167,257;素数)
･･･････････
などが探せる。
そこで、すべてが素数で構成されるTa(2)を探し出してほしい。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１１月７日付け）
いくつか解があるようですけれども、そのうちのひとつを覆面算にしてみました。
AB^3 +BCDE^3 = AFE^3 +BCDB^3
すなわち、
(A*10+B)^3 +(B*1000+C*100+D*10+E)^3 = (A*100+F*10+E)^3 +(B*1000+C*100+D*10+B)^3
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年１１月８日付け）
丸２日間、10000までの素数総当たりで検索しましたら、
31^3+1867^3=397^3+1861^3 (これが覆面算に相当するようでした。）
61^3+1823^3=1049^3+1699^3 、71^3+2741^3=977^3+2699^3
の３タイプありそうです。（２桁素数の一桁目が1が揃うのが面白い。）
素数範囲をもっと広げると、もっと見つかるんでしょうけどね。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１１月８付け）
GAIさん、「A046894」に、お望みのものがありました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年１１月８日付け）
いつも思うことなんだが、世の中誰かが、こちらがふと思う疑問に既に明確に調べ尽くして
いることに驚かされます。
しかし、ここに載せられている2013個のものを見つけ出すために、どれほどの時間が費や
されているかと思うと溜息が出ます。
よく見ると、「私的数学塾」のある常連さんが一役買ってあるではないか！これだけ多くの
ものを見つけ出すにはプログラムを十分使いこなせないと不可能です。
らすかるさんからのコメントです。（令和３年１１月８日付け）
プログラムの実行時間は約50分でした。
（追記） ＧＡＩ さんからの問題提起です。（令和５年２月２０日付け）
x^3＋y^3＝ｍ
ｍを自然数で、(x，y)が２通りの自然数解の組合せを持つ最小のものとして、話題になるラ
マヌジャンのエピソードとして有名な ｍ＝1729(＝1^3+12^3＝9^3+10^3)から派生させて、次
のような条件に変えると何が対応するか考えて欲しい。
(1) x^2＋y^2＝ｍ1 を満たす自然数の組(x，y)が２通り存在する最小の自然数ｍ1は何？
(2) x^2＋y^2＝ｍ2 を満たす素数の組(x，y)が３通り存在する最小の自然数ｍ2は何？
(3) x^4＋y^4＝m3 を満たす自然数の組(x，y)が２通り存在する最小の自然数ｍ3は何？
(4) x^3＋y^3＝1729 を満たす正の有理数の組(x，y)は何？(分母は1でないものとする。)
（参考） 「１７２９ という数」、「平方数の和」
らすかるさんからのコメントです。（令和５年２月２１日付け）
プログラムで調べると面白くないので、手計算で検討しました。
(1) a^2＋b^2＝c^2＋d^2＝ｍ1 （a＜c＜d＜b） として、自然数の平方数の階差は、
3、5、7、9、11、13、15、… であり、 3＋5＋7＝15 なので、
c^2−a^2＝3＋5＋7 から、 a^2＝1 、c^2＝16
b^2−d^2＝15 から、b^2＝64 、d^2＝49 つまり、1^2＋8^2＝4^2＋7^2＝65 がすぐに見
つかります。考え落としがなければこれが最小だと思います。
(2) (1)と同様に、a^2＋b^2＝c^2＋d^2＝e^2＋f^2＝ｍ2 （a＜c＜e＜f＜d＜b） と考えます
が、mod ６ から、素数は５以上の奇数ですから、５以上の奇数の平方数の階差
24、32、40、48、56、… の1/8 すなわち、3、4、5、6、7、… から、
c^2−a^2＝b^2−d^2 、e^2−c^2＝d^2−f^2 となるものを探します。
ただし、素数でない奇数も含まれていることにも留意します。
3＋4＝7 → c＝9 で合成数なので不適
3＋4＋5＝12 → a＝5、c＝11、b＝25、d＝23 となり、b が合成数なので不適
※ちなみに両辺の端の数にその隣の数を加算すれば、a、b、c、d はすぐに出ます。
※3＋4＋5＝12 では、a＝2＋3＝５、c＝5＋6＝11、b＝12＋13＝25、d＝11＋12＝23 とな
ります。
4＋5＝9 → a＝7、c＝11、b＝19、d＝17 となるが、間が 6、7、8 しかないので不適
（多分素数で２通りなら、7^2＋19^2＝11^2＋17^2＝410 が最小だと思います）
3＋4＋5＋6＝18 → a＝5、c＝13、b＝37、d＝35 となり、d が合成数なので不適
4＋5＋6＝15 → a＝7、c＝13、b＝31、d＝29
このとき、間が 7、8、9、10、11、12、13、14 なので、
14＜7＋8＜7＋8＋9＜14＋13＜7＋8＋9＋10＜14＋13＋12＜7＋8＋9＋10＋11 から不適
5＋6＝11 → a＝9 で合成数なので不適
3＋4＋5＋6＋7＝25 → c＝15 で不適(同様に、「＋7」で終わるものはすべて不適)
3＋4＋5＋6＋7＋8＝33 → a＝5、c＝17、b＝67、d＝65 となり、d が合成数なので不適
3＋4＋5＋6＋7＋8＝11＋12 → b＝25で不適(間が 9、10 しかないので、そもそも無理)
4＋5＋6＋7＋8＝30 → a＝7、c＝17、b＝61、d=59
このとき、間が 9、10、11、…、29 なので、
9＋10＜29＜9＋10＋11＜9＋10＋11＋12＋13＜28＋29＜9＋10＋11＋12＋13＋14
＜9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＝27＋28＋29 から、e＝31、f＝53 で成り立つ。つまり、
7^2＋61^2＝17^2＋59^2＝31^2＋53^2＝3770
これが最小かどうかわからないので、5＋6＋7＋8、6＋7＋8、7＋8 も要検討
5＋6＋7＋8＝26 → a＝9 で不適
6＋7＋8＝21 → a＝11、c＝17、b＝43、d＝41 このとき、間が 9、10、11、…、20 だが
9＋10＜20＜9＋10＋11＜19＋20＜9＋10＋11＋12＜9＋10＋11＋12＋13＜18＋19＋20
＜9＋10＋11＋12＋13＋14＜17＋18＋19＋20＜9＋10＋11＋12＋13＋14＋15
＜16＋17＋18＋19＋20 なので不適
7＋8＝15 → a＝13、c＝17、b＝31、d＝29 このとき、間が 9、10、11、12、13、14 だが
14＜9＋10＜13＋14＜9＋10＋11＜12＋13＋14 なので不適
従って、条件を満たす最小解は、考え落としがなければ、
7^2＋61^2＝17^2＋59^2＝31^2＋53^2＝3770
＃(3)、(4)は大変そうなので、とりあえずパス。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年２月２１日付け）
私には当然どこが見落としなのか判断できませんが、
29^2＋37^2＝23^2＋41^2＝19^2＋43^2 (＝2210)
があることに、検索プログラムを走らせて発見していたので、これが最小？と思って出題して
いました。
らすかるさんならプログラムを組めば一発で発見できるものを、この様に思考を使って探
される姿に感心します。(1)などの解法は思ってもいませんでした。
らすかるさんからのコメントです。（令和５年２月２１日付け）
なるほど。上記で、4＋5＋6＋7＋8＝30 を元にしましたが、右辺の最大値が30未満のも
のは、さらに検討する必要がありますね。答えがわかっていますので、続きを検討するのは
やめますが、
19^2＋43^2＝23^2＋41^2＝29^2＋37^2 ということは、
10＋11＝21 、12＋13＋14＝19＋20 から、
a＝9＋10＝19、c＝11＋12＝23、b＝21＋22＝43、d＝20＋21＝41、e＝14＋15＝29、
f＝18＋19＝37
となるわけですね。ちなみに、私が書いた「3770」は２番目に小さい解でした。
それから、プログラムを作ってみましたが、
(1)の最小解は、 1^2＋7^2＝5^2＋5^2＝50 でした。
(3)は、「A046881」にあるように、「635318657」ですね。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和５年２月２１日付け）
(1) の ｍ1 は 5 の倍数ですか？というクイズが……。
50 = 1^2 + 7^2 = 5^2 + 5^2
65 = 1^2 + 8^2 = 4^2 + 7^2
85 = 2^2 + 9^2 = 6^2 + 7^2
125 = 2^2 + 11^2 = 5^2 + 10^2
130 = 3^2 + 11^2 = 7^2 + 9^2
145 = 1^2 + 12^2 = 8^2 + 9^2
170 = 1^2 + 13^2 = 7^2 + 11^2
185 = 4^2 + 13^2 = 8^2 + 11^2
205 = 3^2 + 14^2 = 6^2 + 13^2
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年２月２１日付け）
11^2+10^2=14^2+5^2=221
29^2+11^2=31^2+1^2=962
18^2+13^2=22^2+3^2=493
23^2+15^2=27^2+5^2=754
25^2+19^2=31^2+5^2=986
16^2+11^2=19^2+4^2=377
27^2+23^2=33^2+13^2=1258
23^2+10^2=25^2+2^2=629
何でもありですね。
らすかるさんからのコメントです。（令和５年２月２２日付け）
221、962、493、754、986、377、1258、629 はすべて 4n+1型の相異なる素因数を二つ持つ
数ですね。
4n+1型の素数は必ず唯一の２平方和で表され、相異なる二つの4n+1型の素数の積は二
通りの２平方和で表されます。
なぜならば、p＝a^2＋b^2、q＝c^2＋d^2 のとき、
pq＝(ad＋bc)^2＋(ac−bd)^2＝(ad−bc)^2＋(ac＋bd)^2
となるからです。これを繰り返せば、相異なるｍ個の 4n+1型の素数の積を２平方和で表す
方法は、２^(m-1)通りとわかりますね。
例 5×13×17＝1105＝4^2＋33^2＝9^2＋32^2＝12^2＋31^2＝23^2＋24^2
ちなみに上記の数のうち偶数のものは、相異なる二つの 4n+1型の素数の積の２倍です
が、
p＝a^2＋b^2 ⇔ 2p＝(a＋b)^2＋(a−b)^2
から、２倍しても表す方法は増えたり減ったりしません。
例えば、 962＝2×13×37 は、
13＝2^2＋3^2 、37＝1^2＋6^2 なので、
13×37＝(2×6＋3×1)^2＋(2×1−3×6)^2＝15^2＋16^2 から
2×13×37＝(15−16)^2＋(15＋16)^2＝1^2＋31^2
13×37＝(2×6−3×1)^2＋(2×1＋3×6)^2＝9^2＋20^2 から
2×13×37＝(9−20)^2＋(9＋20)^2＝11^2＋29^2
のように機械的に算出できます。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年２月２３日付け）
相異なるｍ個の 4n+1型の素数の積を２平方和で表す方法は、２^(m-1)通りとわかります
ね。
・そのような方法で作った ２^(m-1) 通りのなかに重複がないこと
・そのような方法で作ったもの以外に平方和に表す方法がないこと
まで示さないと、「わかります」とまでは言えないと思いますがどうでしょう。
ヤコビの二平方定理から結果自体は正しいと言えますが、定理の証明が難しいのが難点。
高校範囲内くらいで上の２点を示せないものでしょうか？
以下、工事中！
