更に 、 a^2+(2a+5b)^2=(a+4)^2+(2a+3b)^2 から、2組の平方数の和の公式が得られます。
3組の平方数の和を生成する公式のひとつを教えてください。
らすかるさんからのコメントです。（令和２年１月１３日付け）
・2組の例 ・・・ (3a+4b)^2+(4a-3b)^2=(3a-4b)^2+(4a+3b)^2
・3組の例 ・・・ (2a+10b)^2+(11a+5b)^2=(5a-5b)^2+(10a+10b)^2=(5a+11b)^2+(10a+2b)^2
・4組の例 ・・・
(a+8b)^2+(8a-b)^2=(a-8b)^2+(8a+b)^2=(4a+7b)^2+(7a-4b)^2=(4a-7b)^2+(7a+4b)^2
・6組の例 ・・・
(a+18b)^2+(18a-b)^2=(a-18b)^2+(18a+b)^2=(6a+17b)^2+(17a-6b)^2=(6a-17b)^2+(17a+6b)^2
=(10a+15b)^2+(15a-10b)^2=(10a-15b)^2+(15a+10b)^2
・8組の例 ・・・
(4a+33b)^2+(33a-4b)^2=(4a-33b)^2+(33a+4b)^2=(9a+32b)^2+(32a-9b)^2=(9a-32b)^2+(32a+9b)^2
=(12a+31b)^2+(31a-12b)^2=(12a-31b)^2+(31a+12b)^2=(23a+24b)^2+(24a-23b)^2=(23a-24b)^2+(24a+23b)^2
ｋｓさんからのコメントです。（令和２年１月１３日付け）
らすかるさん、有難うございました。和と差を使うと上手くいきますね。立方数の和も有りそう。
どの次数、個数、組数も．．．。
ｋｓさんからのコメントです。（令和２年１月１６日付け）
次数が 3 以上は、まだ見つけていません。３組の平方数の和が等しいものを一つ見つけ
ました。
20^2+5^2=19^2+8^2=16^2+13^2
任意の個数に対して平方の和が等しく作れます。
(2n^2+n)^2+(2n^2+n+1)^2＋…＋(2n^2+n+n)^2＝(2n^2+2n+1)^2+…+(2n^2+3n)^2
（＝ｎ(n+1)(2n+1)(12n^2+12n+1)/6）
上の左辺は、ｎ＋１個、右辺は、ｎ個の平方の和で、z^2=x^2+y^2 を辺々足し合わせれば、
３個以上の平方の和が作れます。
ｋｓさんからのコメントです。（令和２年１月２３日付け）
有名なタクシー数 １７２９＝１＋１２＾3＝９＾3＋１０＾3 ですが、N^2倍すれば、いくらでも等式
が得られます。別の組合わせはありますか？ 立方数ですが、また、驚くべきことに（私的に）
どの次数でも、数の個数にこだわらければ自由に作ることができることがわかりました。
０〜A^k−１個の数字を、A個の組に分けて、それぞれの数の和を等しくできるだけでなく、
ｊ 乗和も等しくできる。ただし、ｊ ≦ｋ−１。
例えば、A=３、ｋ＝３ のとき、
A＝{０，５，７，１１、１３、１５、１９、２１、２６}
B＝{１，３，８，９，１４，１６，２０，２２，２４}
C＝{２，４，６，１０，１２，１７，１８，２３，２５}
各組の総和 117 および、二乗の総和 2067 が等しくなります。
らすかるさんからのコメントです。（令和２年１月２３日付け）
2数の立方和で2通りに表せるもの
1729=1^3+12^3=9^3+10^3 、4104=2^3+16^3=9^3+15^3 、13832=2^3+24^3=18^3+20^3
20683=10^3+27^3=19^3+24^3 、32832=4^3+32^3=18^3+30^3 、39312=2^3+34^3=15^3+33^3
40033=9^3+34^3=16^3+33^3 、46683=3^3+36^3=27^3+30^3 、64232=17^3+39^3=26^3+36^3
65728=12^3+40^3=31^3+33^3 、 ・・・
この左側の数は、「A001235」にあります。
2数の立方和で3通りに表せるもの
87539319=167^3+436^3=228^3+423^3=255^3+414^3
119824488=11^3+493^3=90^3+492^3=346^3+428^3
143604279=111^3+522^3=359^3+460^3=408^3+423^3
175959000=70^3+560^3=198^3+552^3=315^3+525^3
327763000=300^3+670^3=339^3+661^3=510^3+580^3
700314552=334^3+872^3=456^3+846^3=510^3+828^3
804360375=15^3+930^3=198^3+927^3=295^3+920^3
958595904=22^3+986^3=180^3+984^3=692^3+856^3
・・・
「2数の立方和で3通り以上に表せるもの(他のn倍を除く)」は、「A003825」にあります。
上記の 700314552、958595904 は、87539319、119824488 の2^3倍なので、上記ページに
は含まれません。
# タイトルでは「3通り“以上”」となっていますが、
「Ray Chandler, Table of n, a(n) for n=1..34204」の行のリンクの表には、4通りに表せる
6963472309248（Wikipediaの「タクシー数」から）が入っていませんので、この表はタイトルと
合っていないようです。
平方数の和に関して、ＨＮ「櫟井唯」さんから問題をご投稿いただきました。
（令和２年１月２６日付け）
１５００以下の整数ｎで正の整数ａ、ｂ (ａ≧ｂ) を用いて、ｎ＝ａ^2＋ｂ^2 と表す表し方が４通
り以上あるものがただ一つ存在する。ｎの値を求めよ。
（コメント） １５００の平方根を超えない最大の自然数は、３８なので、何とか手計算できるレ
ベルなので、挑戦してみた。
１１０５＝２４^2＋２３^2＝３１^2＋１２^2＝３２^2＋９^2＝３３^2＋４^2
と確かに４通り以上あるｎはただ一つしかありませんでした！驚きです。櫟井唯さんに感謝し
ます。
