らの円の半径の組合せは如何に？
カルピスさんからのコメントです。（平成２８年１月１８日付け）
「整数」というのがヒントに、一番小さい円の半径は「１」。「１」「５」「７」「１０」かな？かなり、
あてずっぽーです。
らすかるさんからのコメントです。（平成２８年１月１８日付け）
適当に式を立てて半径1000以下について検索したところ、以下のような結果になりました。
（4円の半径の最大公約数が1のもののみ）
(3,8,22,264),(4,11,33,132),(5,21,30,70),(6,23,46,69),(7,18,56,504),(9,28,63,252),(10,24,135,216),
(13,45,72,520),(14,63,77,198),(15,35,160,672),(15,38,190,285),(15,58,87,290),(17,72,136,153),
(21,47,282,658),(21,70,125,750),(21,70,189,270),(21,102,119,238),(22,75,200,264),(22,77,126,693),
(22,78,143,429),(23,52,276,897),(28,81,252,567),(29,120,145,696),(33,132,196,539),
(34,77,561,714),(35,160,168,672),(39,110,390,715),(39,165,286,390),(42,115,483,690),
(42,141,329,658),(56,210,399,760),(60,231,385,924),(68,357,420,595),(74,312,481,888),
(91,429,572,924)
# 半径 1、2、3 の円が互いに外接しているとき、中心の隙間にちょうど入る円の半径は6/23
という有理数になるんですね。こんな計算は今までにしたことがなく、初めて知りました。いろ
いろ間違いがあったりして、さんざん編集し直しました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２８年１月１８日付け）
算額についての問題が出題されたとき、空舟さんが反転の概念でまったく鮮やかに解決し
ていたのに驚いて、いろいろ調べるうちに、「曲率の真実」の記事の中でソディの公式とやら
に巡り会った。
よくよく読んでみると４つの円の半径（a,b,c,d)の逆数（曲率）（A,B,C,D）を用いると、どの２円
もただ１点でのみ接するとき（出題していたパターンと大円の中に３つの円が接しながら収ま
るパターン）では、
2(A2+B2+C2+D2)=(A+B+C+D)2
が成立する、と謳っているではないか！しかも後者のパターンではDの符号を単にマイナス
にせよとある。半径だけで追い求めているだけでは決して辿り着けない境地である。
逆にこれが成立するなら、A、B、Cを与えればDは上記の方程式から解けばいい。（ちなみ
に後者のパターンの代表である靴屋のナイフ（アルベロス）＜たまたま２円が大円の直径上
に並んだもの。＞に対して、これを利用したら見事に第三の円の半径がピタリと出るではな
いか！）
これを使う手はないとD、即ち、dについて解いてみると
d=abc/(ab+bc+ca+2sqrt(abc(a+b+c)))
まあ何と美しい。あとは適当に a、b、c を動かし、d が整数になるものを拾い集めてみまし
た。らすかるさんの結果とピタリ一致です。
# 半径 1、2、3 の円が互いに外接しているとき、中心の隙間にちょうど入る円の半径は6/23
という有理数になるんですね。こんな計算は今までにしたことがなく、初めて知りました。
これも、上記の公式で現れてきます。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２８年１月１９日付け）
中国は遼寧省、昔、故宮博物館にて長らく修復作業を手掛けてきたという世界一手先が
器用ともっぱら評判の王徹技さんが、紙に一本の直線に沿って接して並べられた２つの１
円玉と直線の隙間（内側に曲がったような三角形状）に、２つ円と直線にも接するようにフ
リーハンドで器用に円を描いた。（半径0.25cmに相当）
周りで見ていた人達は流石と言わんばかり感嘆の声を上げた。
王さんは当たり前と言わんばかりに更に今描いた円と１円玉と直線に接する円を直線に
沿う向きと２つの１円玉の間を積み上がっていく２つの方向に、それぞれ次々と更に小さな
円を書き込んでいった。
余りにも小さな手作業であるため周りに居る人達にはもはや今何が行われているのか皆
目検討がつかない様子であった。
２時間ほど過ぎた頃、突然王さんが「終わりました。」と声を上げた。
王さん曰く、「ちょうど１００個ずつ横方向と、縦方向に円が描かれています。」
周りの人達は争って見ていたが、なにやらモヤッとした模様にしか見えずスッキリしない様
子であった。
後日、王さんが描いたという紙をハイテク技術を駆使し、確認作業を科学院がしたところ、
正しく王さんが言った通り、100個ずつの円（それもフリーハンドで真円に近い。）がきれいに
描かれていたという。
さて、この世界一神技をもつ王さんが描いたであろう、横に並んだ100番目の円CR-100と
２つの１円玉に接しながら上に積重ねていった100番目の円CU-100のそれぞれの円の半径
r1、r2 はどんなものであったか？
なお、どちらも最初に描いた半径0．25cmの円を1番目の円としてカウントすることにする。
また、１円玉の直径は、2cmとする。
以下、工事中！
