小学校２年で九九を習って、数学への長く遠い茨の道が始まる。ある者は、できるまで
居残り指導なんていうのも昔はあった。最近新聞紙上では、日本の児童・生徒の学力低
下が叫ばれている。何をもって学力とするかは、判断の分かれるところだが、少なくとも、
計算力に限定すれば、確実に、その力は落ちている。繰り返しの計算練習、居残り指導
などが軽視され、児童・生徒は、その学年で学ぶことを完全に修得しないまま、上級学年
に進級している。その積もり積もったツケのために、結局は、本人が苦しむわけであるが、
気づくのが遅かったために、進路変更せざるをえない場合もある。
　誰が何と言おうと、計算の基本は、九九だろう。その九九が危機に瀕している。九九を
常習的に間違える高校生が少なからずいるのだ。
　日本では、「に〜いちがに、ににんがし、にさんがろく、にしがはち、・・・」と、口と耳を使
って、割と語呂よく覚えられるようになっている。多少いいにくい段もあるが、前後を変え
れば、何とか間違えずに全段いえる筈だ。九九の完全習得が、小学校卒業の最大の条
件だろうと、私は思う。　ところで、アメリカなどでは、日本のような覚え方はないそうだ。

　小学校２年相当で、「Ｔｉｍｅｓ　Ｔａｂｌｅ」なるものを使って九九を覚えると、知り合いのアメリカ
人の方から伺った。（上図参照）

　１個１個について、例えば、「２×３＝６」は、「Ｔｗｏ　ｔｉｍｅｓ　ｔｈｒｅｅ　ｉｓ　ｓｉｘ．」というが、
これでは、九九全部を覚えるのは容易でない、と感じるのは、私だけだろうか？


（追記）　令和元年１１月１９日付け
　九九というと、８１通りの式を覚えるものと相場が決まっているが、江戸時代の九九は省
力化が図られ、３６通りだけを覚えればよかったらしい。そんなことが、吉田光由　著の「塵
劫記」にまとめられている。覚える部分は太字になっているところだけである。

　世界には、もっとすごい国がある。インドでは、２２×２０までの、いわゆる「九九」の表が
ある。

　インドの人は、この４４０個の値を、本当に丸暗記するのだろうか？ここら辺の事情に詳しい
方、是非お教えください。（メールは、こちら）

　最近、「おみやげ算」と言われる、次のような速算術があることを知った。

　例えば、１８×１９ を計算する場合、
　１９の一位の数「９」をおみやげとして、１８に渡して、１８＋９＝２７ とし、おみやげを渡した
分を１９から引いて、１９−１０＝１０ とし、２７×１０＝２７０ と計算し、その結果に、一の位同
士の積 ８×９＝７２ を加えて、　２７０＋７２＝３４２ を得る。
　すなわち、　１８×１９＝（１８＋９）×１０＋８×９＝２７０＋７２＝３４２

　普通に計算して、１８×１９＝１８×９＋１８×１０＝１６２＋１８０＝３４２　とする場合に比べ
て、３桁同士の足し算が、３桁と２桁の足し算に改良されているところが、若干「速い」ところ
なのだろう。

　数学の学習では、平方数の計算が頻出である。（平方根の計算、三平方の定理、余弦定
理、・・・）　インドのように、２２×２０までの「九九」を覚えることは必要ないと思うが、１１から
１９までの平方数については、私自身の経験から言えば、多分知らないよりは知っている方
が得する場合が多いだろう。（速算術を用いると、容易に覚えられると思う。）
（→　参考：「平方数を秒算する技」）

　おみやげ算を用いて、

　１１×１１＝１２１　・・・・・　（１１＋１）×１０＋１×１＝１２０＋１＝１２１
　１２×１２＝１４４　・・・・・　（１２＋２）×１０＋２×２＝１４０＋４＝１４４
　１３×１３＝１６９　・・・・・　（１３＋３）×１０＋３×３＝１６０＋９＝１６９
　１４×１４＝１９６　・・・・・　（１４＋４）×１０＋４×４＝１８０＋１６＝１９６
　１５×１５＝２２５　・・・・・　（１５＋５）×１０＋５×５＝２００＋２５＝２２５
　１６×１６＝２５６　・・・・・　（１６＋６）×１０＋６×６＝２２０＋３６＝２５６
　１７×１７＝２８９　・・・・・　（１７＋７）×１０＋７×７＝２４０＋４９＝２８９
　１８×１８＝３２４　・・・・・　（１８＋８）×１０＋８×８＝２６０＋６４＝３２４
　１９×１９＝３６１　・・・・・　（１９＋９）×１０＋９×９＝２８０＋８１＝３６１

（参考文献：樺　旦純　著　数学がらくにわかる本（三笠書房））


（追記）　令和２年１２月２９日付け
　平方数の覚え方を考えてみた。

　　１１×１１＝１２１　・・・　１１（トイ）に１１（トイ）重ねて、１２１（イチニイチ）
　　１２×１２＝１４４　・・・　人に、人に、お人好し
　　１３×１３＝１６９　・・・　意味重ねて重ロック
　　１４×１４＝１９６　・・・　いよいよ一苦労
　　１５×１５＝２２５　・・・　一個一個は不都合
　　１６×１６＝２５６　・・・　いろいろニコリ
　　１７×１７＝２８９　・・・　いいないいなに妬く
　　１８×１８＝３２４　・・・　いやいや、ミニよ
　　１９×１９＝３６１　・・・　トックリ重ねて寒い

　１４×１４＝１９６　を知っていれば、１５×１３＝（１４＋１）（１４−１）＝１９６−１＝１９５　と
簡単に求められる。


（追記）　平成１９年５月６日付け

　５月５日、何とはなしにＴＶを見ていたら、インドの九九の話題が取り上げられていた。

　例えば、１４×１９　の計算を上述のおみやげ算を用いて、
　　（１４＋９）×１０＋４×９＝２３０＋３６＝２６６
と説明されていた。（ただ、原理の説明に四苦八苦していたような．．．。）

（参考：日本テレビ系　ウェークアップぷらす　５日（土）　８時〜９時２５分）


（追記）　令和４年１２月１１日付け

　上記の「１４×１９＝（１４＋９）×１０＋４×９＝２３０＋３６＝２６６」のようなおみやげ算は、
３７×３４などのように、十の位が同じ２桁同士の掛け算にも有効である。

例　３７×３４＝（３７＋４）×３０＋７×４＝１２３０＋２８＝１２５８

（おみやげ算の原理）

　（１０ａ＋ｂ）（１０ａ＋ｃ）＝（１０ａ）²＋（ｂ＋ｃ）・１０ａ＋ｂｃ＝（１０ａ＋ｂ＋ｃ）・１０ａ＋ｂｃ

　この手法を用いると、インド式九九もスラスラ出来そう．．．。

例　１６×１８＝（１６＋８）・１０＋６×８＝２４０＋４８＝２８８

　暗算でこの計算をするには、まず「６×８」を計算し、それに「１６＋８」を１０倍したものを
加えればよい。

例　１９×１４＝（１９＋４）・１０＋９×４＝２３０＋３６＝２６６

　頭の中では、　３６＋２３０＝２６６　と計算している。


（追記）　平成１９年９月２８日付け

　私の大好きな番組「ためしてガッテン」（NHK）の９月２６日放送で、速算術の話題が取り上
げられた。その中で、上記では述べていない次のような計算に心が引かれた。

　十の位が同じで、一の位の和が１０である２桁同士のかけ算の場合

例えば、２６×２４＝６２４　　（（２＋１）×２＝６、後は６×４＝２４）
　６３×６７＝４２２１　　（（６＋１）×６＝４２、後は３×７＝２１）
　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　十の位が同じで、一の位の和が１０である２桁同士のかけ算に有効な方法である。

その原理は、
　（１０ａ＋ｂ）（１０ａ＋ｃ）＝１００ａ²＋１０ａ（ｂ＋ｃ）＋ｂｃ＝１００ａ（ａ＋１）＋ｂｃ
である。　（　←　これは、よく知られた速算術ですね！）

　もちろん、おみやげ算的に計算してもよい。
　（１０ａ＋ｂ）（１０ａ＋ｃ）＝（１０ａ＋ｂ＋ｃ）・１０ａ＋ｂｃ

　２６×２４＝（２６＋４）・２０＋２４＝６２４
　６３×６７＝（６３＋７）・６０＋２１＝４２２１

練習問題　　６４×６６　を計算せよ。

（解）　６４×６６＝４２００＋２４＝４２２４　　（終）

　一の位が同じで、十の位の和が１０である２桁同士のかけ算の場合

例えば、７４×３４＝４×４＋（７×３＋４）×１００＝２５１６

同様に、
　７６×３６＝２７３６　　（７×３＝２１に６を足して２７、後は、６×６＝３６）
　４２×６２＝２６０４　　（４×６＝２４に２を足して２６、後は、２×２＝０４）
　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　一の位が同じで、十の位の和が１０である２桁同士のかけ算に有効な方法である。

その原理は、
　　（１０ａ＋ｃ）（１０ｂ＋ｃ）＝１００ａｂ＋１０（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ²＝１００（ａｂ＋ｃ）＋ｃ²
である。　（　←　これは、初見でした！）

練習問題　　７６×３６　を計算せよ。

（解）　７６×３６＝（２１＋６）×１００＋６×６＝２７３６　　（終）

　また、番組では、格子掛け算の話題も取り上げられていた。
（番組では、三角マス目計算法として紹介されていた。）

　出演されていたインド人のニャンタさんが
　　このような計算法は学校では教えない、国家機密である
と仰っていた。番組を見ていて、インドの方々の抜群の計算力に圧倒されました！

（追記）　ドイツ語では、次のような数詞が使われている。

数	数　詞	読み方	数	数　詞	読み方	数	数　詞	読み方
０	ｎｕｌｌ	ヌル	１０	ｚｅｈｎ	ツェーン	２０	ｚｗａｎｚｉｇ	ツヴァンツィッヒ
１	ｅｉｎｓ	アインス	１１	ｅｌｆ	エルフ	３０	ｄｒｅｉβｉｇ	ドライスィッヒ
２	ｚｗｅｉ	ツヴァイ	１２		ツヴェルフ	４０	ｖｉｅｒｚｉｇ	フィアツィッヒ
３	ｄｒｅｉ	ドライ	１３	ｄｒｅｉｚｅｈｎ	ドライツェーン	５０		フュンフツィッヒ
４	ｖｉｅｒ	フィア	１４	ｖｉｅｒｚｅｈｎ	フィアツェーン	６０	ｓｅｃｈｚｉｇ	ゼヒツィッヒ
５		フュンフ	１５		フュンフツェーン	７０	ｓｉｅｂｚｉｇ	ズィープツィッヒ
６	ｓｅｃｈｓ	ゼクス	１６	ｓｅｃｈｚｅｈｎ	ゼヒツェーン	８０	ａｃｈｔｚｉｇ	アハツィッヒ
７	ｓｉｅｂｅｎ	ズィーベン	１７	ｓｉｅｂｚｅｈｎ	ズィープツェーン	９０	ｎｅｕｎｚｉｇ	ノインツィッヒ
８	ａｃｈｔ	アハト	１８	ａｃｈｔｚｅｈｎ	アハツェーン	１００	ｈｕｎｄｅｒｔ	フンダート
９	ｎｅｕｎ	ノイン	１９	ｎｅｕｎｚｅｈｎ	ノインツェーン

　ドイツ語の数詞は英語と同様な構造になっている。ただ、例えば、「２１」という数は、英語では、
　ｔｗｅｎｔｙ-ｏｎｅ
と上位の位から読んで簡明なのに対して、ドイツ語では、「１＋２０」、つまり、
　ｅｉｎｕｎｄｚｗａｎｚｉｇ
と表現され、多少分かりにくい印象を受ける。１００、２００、３００、・・・　などは、日本語に近い。

たとえば、３００＝ｄｒｅｉｈｕｎｄｅｒｔ

　しかし、一般にドイツ語で数字を読む場合、私など、ほぼ「目がテン！」になってしまう。

　４６８＝ｖｉｅｒｈｕｎｄｅｒｔａｃｈｔｕｎｄｓｅｃｈｚｉｇ
　（フィアフンダートアハトウントゼヒツィッヒ）
（ここは、やっぱり、「よんひゃく　ろくじゅう　はち」と読みたいですね！）

　さらに、日本では、桁数の多い数に対しては、３桁おきに、「カンマ」を打って、読みやすくする
のに対して、ドイツでは、「カンマ」は小数点を意味することから、日本のようなことはせず、わ
ずかに数字と数字の隙間を僅かに離して、読みにくい点を克服しているようである。

　４ ３８２＝ｖｉｅｒｔａｕｓｅｎｄｄｒｅｉｈｕｎｄｅｒｔｚｗｅｉｕｎｄａｃｈｔｚｉｇ

また、ドイツ語には、「万」という単位がないので、

１０ ０００＝ｚｅｈｎｔａｕｓｅｎｄ

と表現しなければならないという難点もある。

　このように、ドイツ語の数字の読みにくさから、日本の「九九」のような覚え方があるとは期
待できない。しかも、ドイツ語では、乗算の「×」、除算の「÷」の記号は用いないらしい。

２・４＝８　は、　Ｚｗｅｉｍａｌ　ｖｉｅｒ　ｉｓｔ　ａｃｈｔ．（２ 倍の ４ は ８ である）

１８：３＝６　は、
　Ａｃｈｔｚｅｈｎ　ｄｕｒｃｈ　ｄｒｅｉ　ｉｓｔ　ｓｅｃｈｓ．（３ によって分たれた １８ は ６ である）

　フランス語は、ドイツ語以上にすごいようだ。たとえば、「８１」などは、「２０　×　４　＋　１」
と読むので、フランス語にも、日本の「九九」のような覚え方など、到底期待できない。

　以上の観点からみると、日本語においては、十、百、千、万、・・・などの位を用いて、数字の
読み方を易しくしているところが、ほかの言語と違う点である。奈良時代から使われ始めたと
される日本の「九九」は、その後も不動の地位を占め、小学校教育の根幹として、現在に至っ
ている。日本の小学生の計算力が優れているのは、まさしく「九九」の覚えやすさにあると思う。

　このページは、全く私の独断と偏見で書かれているので、ドイツ語・フランス語に詳しい方で
「これは、違うぞ！」という点がありましたら、こちらにメールをお願いします。

（参考文献：藤原正彦　著　父の威厳　数学者の意地（新潮文庫）
　　　　　　　藤田五郎　著　現代ドイツ文典（郁文堂）
　　　　　　　田島　宏　著　初歩のフランス語（昇龍堂））


（追記）　当ＨＰの読者の方から、数字の区切りについて、ご意見を頂いた。貴重なご意見に
　　　感謝いたします。（平成１７年４月２３日付け）

　上記で、「日本では、桁数の多い数に対しては、３桁おきに、「カンマ」を打って、読みやす
くする」と書いたが、この流儀は、もともとは英語圏の発想とのことである。たしかに、英語圏
では　thousand、million、billion、trillion（米）というように３桁ずつ数詞が変わるので、
　２５７８６５４２３５８４５６　を、２５trillion７８６billion５４２million３５８thousand４５６　と読むと
ころを、２５，７８６，５４２，３５８，４５６　と表記するのはとても合理的に感じる。
　日本ではむしろ４桁おきに、「カンマ」を打った方が読みやすいかもしれない。
　２５７８６５４２３５８４５６　を、２５兆７８６５億４２３５万８４５６　と読まなければならないが、
　２５，７８６５，４２３５，８４５６　と区切られていると、右側から、万、億、兆で読みやすい。
　私が小学生の頃は、このように４桁ずつ区切るように教わった覚えがあるのだが、いつし
か３桁ずつ区切ることに慣らされてしまった。


（追々記）　平成２０年６月８日付け

　朝日新聞　７日付け夕刊で、「九九の秘密を探れ」という記事が目に止まった。
杉並区立高井戸第三小学校の吉田映子さんの授業実践報告である。
　下図のような「九九ジオボード」を用意して、「０」から順次、九九の掛け算で答えの一の位
の数字に紐をかけていく。

　　　

　そうすると、同じような文様になるものが出来るという。面白そうなので、実際にやってみた。

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　上図から、１の段と９の段、２の段と８の段、３の段と７の段、４の段と６の段　が同じ
文様になる。　今までこのようなことをしたことがなかったので、とても新鮮だ！

　上記の性質を一般化すれば、

　一桁の自然数 ｎ に対して、　ｎ の段と　１０−ｎ の段　は同じ文様になる

（証明）　自然数 ｋ （１≦ｋ≦９）に対して、ｎ・ｋ＋（１０−ｎ）・ｋ＝１０ｋ≡０　（ｍｏｄ　１０）
　よって、　ｎ の段の一位の数と １０−ｎ の段の一位の数は足すと必ず １０ になる。
　したがって、ｎ の段の一位の数と １０−ｎ の段の一位の数それぞれの取り得る値は一致
する。　（証終）