３辺の長さと面積が整数であるような三角形は、ヘロン三角形と言われる。このとき、
ヘロン三角形の面積は、６の倍数である
これはどのようにすれば証明できるでしょうか。Wikipediaにあるヘロン三角形の３辺の長さ
の一般形を使えば証明できますが、これを使わない証明を考えています。
３の倍数であることは証明できました。（平成２６年４月７日付け）
ヘロンの公式を使います。ただし、s=(a+b+c)/2 は使わないで、a、b、c のみで表す形です。
即ち、
16S2=2(a2･b2+b2･c2+c2･a2)-(a4+b4+c4) （→ 参考：「三角形の面積の公式」）
Sが3の倍数でないとすると、この式は、mod 3で成立しない。
実際に、Sが3の倍数でないとして、移項して、mod 3 で考える。16S2≡1、-2≡1だから
1+a2･b2+b2･c2+c2･a2+a4+b4+c4≡0 (mod 3)
mod 3で、a2、b2、c2 は、0か1にしかなれないから次の4通りがありうる。
(a) a2、b2、c2 は、すべて0
(b) a2、b2、c2 は、すべて1
(c) a2、b2、c2 は、のうち2つが0で1つが1
(d) a2、b2、c2 は、のうち2つが1で1つが0
それぞれの場合で、左辺(mod 3)の値は、(a)のとき1、(b)のとき1、(c)のとき2、(d)のとき1
いずれの場合も0にはならない。
よって、ヘロン三角形の面積は3の倍数である。
※Sが偶数であることの証明は、もっと細かく調べる必要があるようです。Sが奇数であると
すると、16S2≡16 (mod 64)です。右辺≡16 (mod 64)は成り立たないと言えるのかなと思い
ますができてません。
偶数であることの証明はできませんでした。（平成２６年４月９日付け）
例えば、32を法としてすべての場合を調べればもちろんできるでしょうが、証明と言えるか
どうかという気がします。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年４月９日付け）
証明はできていましたが、もっと綺麗なやり方がありそうかなと考え直していました。かっこ
悪い証明かもしれませんが、以下に書いておきます。
先に、５つほど自然数や有理数についての補題を証明しておきます。有名なものもあります
が一応．．．。
（補1） 正の実数 a、b について、
a2、b2、a+b（≠0） が全て有理数ならば、a、b はともに有理数。
（証明） a={(a+b)2+a2-b2}/2(a+b) は有理数。よって、b=(a+b)-a も有理数。 （証終）
（補2） 正の有理数 a、b について、a2+b2 が自然数ならば、a、b を既約分数で書いた分母
は一致する。
（証明） a=p/q（p、q は互いに素な自然数）、b=r/s（r、s は互いに素な自然数）とすると、
a2+b2 = (p/q)2+(r/s)2 は自然数で、これに、自然数 q2 をかけると、 p2+(qr/s)2 は自然
数で、p2は自然数だから、(qr/s)2も自然数。r、s は互いに素であったから、(q/s)2 は自然
数。一方で、これに自然数 s2 をかけると、 (ps/q)2+r2 は自然数で、r2は自然数だから、
(ps/q)2も自然数。p、q は互いに素であったから、(s/q)2 は自然数。
よって、 (q/s)2=(s/q)2=1 より、q=s （証終）
（補3） 自然数 a、b、c について、a2+b2=c2 ならば、a、b のいずれかは3の倍数。
（証明） 合同式は全て mod 3 とする。任意の自然数ｎについて、n2≡0、1 である。
a2≡1 かつ b2≡1 とすると、c2≡2 となり、矛盾。
よって、 a2≡0 または b2≡0 より、a≡0 または b≡0 （証終）
（補4） 自然数 a、b、c について、a2+b2=c2 ならば、a、b のいずれかは4の倍数。
（証明） 合同式は断りのない限り全て、mod 16 とする。任意の自然数ｎについて、
n2≡0、1、4、9 である。
a2≡1、4、9 かつ b2≡1、4、9 とすると、c2≡2、5、8、10、13 となり、矛盾。
よって、 a2≡0 または b2≡0 （mod 16）より、a≡0 または b≡0 （mod 4） （証終）
（補5） ３辺の長さが自然数である直角三角形の面積は、６の倍数。
（証明） 三平方の定理と（補3）、（補4）より、直角を挟む2辺のいずれかは3の倍数でいずれ
かは4の倍数。したがって、その積は12の倍数なので、面積は、6の倍数。 （証終）
いよいよ本題です。 「ヘロン三角形の面積は6の倍数である」の証明です。
（証明） 三角形の最大角をA、他の2つの角をB、Cとし、△ABCの面積をSとする。△ABCが
ヘロン三角形であるとき、AB、BC、CA、Sは全て自然数である。
AからBCに引いた垂線の足を点Dとする。AD=2S/BC で、SとBCは整数だから、ADは有理数。
このとき、BD2=AB2-AD2は有理数、CD2=AC2-AD2は有理数、BD+CD=BCは有理数、
よって、（補1）より、BDとCDは、ともに有理数。
そして、AD2+BD2=AB2 と AD2+CD2=AC2 は自然数なので、（補2）より、AD、BD、CD を既約
分数で書いた分母は全て一致する。この分母を ｒ とする。
△ABCをｒ倍に拡大した△A’B’C’を考え、点Dと対応する点D’もとる。
A’B’=ｒAB 、B’C’=ｒBC 、C’A’=ｒCA は、全て自然数。
また、A’D’=ｒAD 、B’D’=ｒBD 、C’D’=ｒCD はそれぞれAD、BD、CD を既約分数で書いた
ときの分子なので、これらは全て ｒ と互いに素な自然数。
ここで、 A’D’2+B’D’2=A’B’2 について、（補3）から、A’D’とB’D’のいずれかは３の倍数。
しかし、ｒ は、A’D’とB’D’のいずれとも互いに素であるから、ｒ は３の倍数ではない。
同様に、A’D’2+B’D’2=A’B’2 について、（補4）から、A’D’とB’D’のいずれかは４の倍数。
しかし、ｒ は、A’D’とB’D’のいずれとも互いに素であるから、ｒ は、２の倍数ではない。
また、（補5）より、△A’B’D’の面積と△A’C’D’の面積はどちらも６の倍数なので、
△A’B’C’の面積 S’=ｒ2・S は、６の倍数となる。
しかし、ｒ は、2の倍数でも3の倍数でもないのだから、Sが６の倍数となる。 （証終）
（コメント） なるほど！分かりやすい証明ですね。DD++さんに感謝します。
ＡＢＣＤＥＦさんからのコメントです。（平成２６年４月１０日付け）
有難うございます。
