・直接計算　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

　数学の問題で、公式を使わないで直接的に手計算で解ききる強者を時々見かける。公
式を用いれば短時間で済むのに、「やってみよう」という好奇心から大変な直接計算を楽
しむという「ゆとり」に感動したという記事（朝日新聞　平成２２年４月２７日付け朝刊の「声」
欄）を見て、日本の高校生も捨てたものではないなと感じ入った。

　次のような問題だったらしい。　「２⁶³ を３で割った余りを求めよ。」

　２⁶³＝（３−１）⁶³≡（−１）⁶³＝−１≡２　（ｍｏｄ　３）　なので、答えが「２」であることは、ほ
とんど暗算であるが、その生徒は、

　２⁶³＝９２２３３７２０３６８５４７７５８０８

と計算しきったという。これだけ計算が出来る生徒だったら、「３で割った余り」を求めること
も容易いかな？

　このことについて、よおすけさんは（４月２７日付け）

　「２⁶³ を手計算って・・・僕も困難です。因みに、関数電卓で表示できるのは、
　２³³（＝8589934592） までです。」

　また、ｚｋ４３さんは（４月２８日付け）

　「ｌｏｇ₁₀２＝０．３０１０　だから、　ｌｏｇ₁₀２⁶³＝１８．・・・　で、　２⁶³ は１９桁の数ですか。
　ｍｏｄ を使えば一瞬で分かりますが、いろいろ考えるのも面白いですね。しかし、計算を実
　行する気にはなりませんが…、若者のパワーはすごいですね。」

　らすかるさんは、別解を考えられた。（４月２８日付け）

　　２⁶³ の直接計算も、２進法なら簡単です。

　２⁶³ を２進法で表すと、　１０００…０００（６３個の０）

　これを３で割った余りを求めるには、２進数 １１０００…０００　（←３の倍数）を次々と引い
ていけばよい。

において、２数の差は、　１０００…０００（６１個の０）　となり、２桁減る。

　この演算を続けると、「２⁶³→２⁶¹→２⁵⁹→…→２¹」となり、余りは、２と分かる。

（コメント）　２進数で、３の倍数「１１０００…０００」を順次引くという手法にしびれました！


　また、ＦＮさんも、２⁶³ の直接計算をやられたそうである。（４月２８日付け）

　「まずごく素直に、２、４、８、１６、・・・・と順に２倍していく。１５分強かかりました。結果は
　間違ってました。次は、２¹⁰ ＝１０２４　からスタートして、２²⁰ 、２⁴⁰ 、２²³ と計算して、
　２⁶³ に至る。10分弱でしたが、やはり間違ってました。間違わないように確認しながら
　やれば、２０分以上かかりそうです。因みに確認は「Maxima」を使いました。」


　上記のように、いろいろな方が、「２⁶³ の直接計算」に果敢に挑戦されました。皆さんに
感謝します。

　それでは「私は．．．？」というと、「２⁶³ の直接計算」は「やりたくないな．．．」というのが
本音です。

　問題の趣旨が、「２⁶³ の直接計算」にあるのではなく、その結果を「３で割った余り」を求
めることが眼目なので、その解法に当然目がいってしまいます。「直接計算」ももちろん大
切なことですが、もう一歩足を踏み込んで、３でわった余りを求める工夫を考えることも高
校生に身につけて欲しい課題解決能力と考えます。

　冒頭にある ｍｏｄ を用いる解法は高校ではあまりお目にかからないことなので、もっと素
朴な解法を考えてみました。

　２¹⁰＝１０２４　は、３で割ると １ 余る数である。

　そこで、　２¹⁰＝３ｎ＋１　（ｎ は自然数）　とおく。

　このとき、　２²⁰＝（３ｎ＋１）²＝９ｎ²＋６ｎ＋１＝３ｎ（３ｎ＋２）＋１　より、２²⁰ も３で割ると

１ 余る数である。そこで、　２²⁰＝３ｍ＋１　（ｍ は自然数）　とおく。

　このとき、　２⁶⁰＝（３ｍ＋１）³＝２７ｍ³＋２７ｍ²＋９ｍ＋１＝９ｍ（３ｍ²＋３ｍ＋１）＋１

　より、２⁶⁰ も３で割ると １ 余る数である。そこで、　２⁶⁰＝３ｋ＋１　（ｋ は自然数）　とおく。

　このとき、　２⁶³＝２³×２⁶⁰＝８（３ｋ＋１）＝２４ｋ＋８＝３（８ｋ＋２）＋２　となり、

　　　　　　２⁶³ を ３ で割った余りは、　２

である。


　「一の位の数字」と題して、ＨＮ「よおすけ」さんからの投稿です。（平成２５年６月９日付け）

　１、２の数字を全部使って作られる２桁の数のすべての和は、１２＋２１＝３３　となり、そ
の数の一の位の数字は「３」となります。

　また、１、２、３の数字を全部使って作られる３桁の数のすべての和は、

　１２３＋１３２＋２１３＋２３１＋３１２＋３２１＝１３３２

となり、その数の一の位の数字は「２」となります。

　同じようにして、１〜９の数字を全部使って作られる９桁の数をすべて足したとき、その数
の一の位にくる数字を答えなさい。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２５年６月９日付け）

　全部で９！通りで、一の位が１〜９となるのがそれぞれ８！＝４０３２０通りだから、合計の
一の位は、０。


　よおすけさんからのコメントです。（平成２５年６月９日付け）

　らすかるさん、解答ありがとうございます。この問題は、数学感動秘話の「直接計算」を読
んだのがきっかけで投稿しました。ただ、あちらが「余り」に対し、こちらは「一の位の数字」
ですが・・・。


（コメント）　１、２、３の数字を全部使って作られる３桁の数のすべての和は、

　　　　　　（１００＋２００＋３００）・２！＋（１０＋２０＋３０）・２！＋（１＋２＋３）・２！

　　　　　＝６６６×２＝１３３２　となり、その一の位の数字は、「２」となります。

　　　　でも、このような解き方は、よおすけさんの趣旨に反するのかな？３桁の数を直接的
　　　に書き上げて、それらを足すみたいな．．．。


　よおすけさんからのコメントです。（平成２５年６月１１日付け）

　自分が投稿した問題は簡単にいえば「一の位の数字を答えろ」ですから、ヤマ勘でも答え
られるような設定にしてあります。問題の趣旨などは関係ありません。問題文に「！」を使わ
なかったのは単に「！」を使える問題とは知らなかった・・・というだけの話なので… 。


　攻略法さんからのコメントです。（平成２５年６月１１日付け）

　１〜Ｎ　（Ｎ＝１、２、・・・、９）の数字を全部使って作られる９桁の数をすべて足したとき、そ
の数の一の位にくる数字を計算してみました。

　　1: 1　　→　一の位は「１」
　　2: 33　　→　一の位は「３」
　　3: 1332　　→　一の位は「２」
　　4: 66660　　→　一の位は「０」
　　5: 3999960　　→　一の位は「０」
　　6: 279999720　　→　一の位は「０」
　　7: 22399997760　　→　一の位は「０」
　　8: 2015999979840　　→　一の位は「０」
　　9: 201599999798400　　→　一の位は「０」


　この発展問題が、問題集「順列・組合せの問題に挑戦！」の第４問、第６問にあります。


（コメント）　Ｎ＝４〜９　については全て一の位は「０」になるんですね！

　Ｎ＝４のときは、　１＋２＋３＋４＝１０　だから。
　Ｎ＝５のときは、　１＋２＋３＋４＋５＝１５　が５の倍数で、４！＝２４が２の倍数だから。
　Ｎ＝６のときは、　５！＝１２０　だから。
　Ｎ＝７のときは、　６！＝７２０　だから。
　Ｎ＝８のときは、　７！＝５０４０　だから。
　Ｎ＝９のときは、　８！＝４０３２０　だから。