・　絶妙な点の配置　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

座標平面上の２点Ａ（１，０）、Ｂ（２，０）を考える。 　原点Ｏを通る直線 Ｌ は座標軸には重ならないよ 　うに動くものとする。

直線 Ｌ に関して点Ｂと対称な点をＣとし、 線分ＡＣと直線 Ｌ の交点をＤとする。

　このとき、直線 Ｌ がどのように動いても、ＣＤ ： ＤＡ は一定であることを示せ。


　上記の問題設定で、直線 Ｌ が動くことは全くのまやかしである。

　この問題に対する解答は種々考えられて、とても面白い。

（１）　角の２等分の性質を利用するもの

　　上図から角の２等分を思いつく方はそんなにいないことと思う。


　　　左図の△ＯＡＢにおいて、

　　　　ＯＣ＝ＯＢ＝２ＯＡ　である。

　　線分ＯＤは∠ＡＯＣの２等分線であるので、

　　　ＣＤ ： ＤＡ＝ＯＣ ： ＯＡ＝２ ： １

　　が成り立つ。






（２）　中点連結の定理を利用するもの

　　私が最初に思いついた解法。息子からは、「よくそんな発想が浮かぶね！」と言われて
　しまった。そんなに突拍子もなく、ごく自然な解法だと思うのだが．．．。

　　　直線 Ｌ に点Ａより垂線の足Ｅを下ろす。

　　このとき、中点連結の定理より、

　　　　ＡＥとＢＨは平行で、　ＢＨ＝２ＡＥ

　　が成り立つ。　また、△ＣＤＨ∽△ＡＤＥ　なので、

　　　ＣＤ ： ＤＡ＝ＣＨ ： ＡＥ＝ＢＨ ： ＡＥ＝２ ： １

　　が成り立つ。





（３）　重心の性質を利用するもの

　　この解法が最も簡単で、感動的ですらある．．．。


　　　点Ｄは、△ＯＢＣの重心なので、

　　　　ＣＤ ： ＤＡ＝２ ： １

　　である。










（４）　メネラウスの定理を利用するもの

　　（３）の解法を見せられると、とても恥ずかしくて表に出せないような．．．予感。

　　　左図の△ＡＢＣにおいて、

　　メネラウスの定理より、

　　　　　　

　　なので、　ＣＤ＝２ＤＡ　が成り立つ。

　　　すなわち、　ＣＤ ： ＤＡ＝２ ： １

　　である。




　もしかしたら、上記以外にももっと別な求め方があるかも知れない。何か問題作成の宝庫
となりそうな．．．そんな雰囲気である。

　別解を考えられた方は、是非こちらにお教え下さい。


（追記）　平成２０年１０月２６日付け

　当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、１０月２４日付けで、Ｓ(Ｈ)様が上記の問題の一般化に
ついて書き込みをされた。Ｓ(Ｈ)様に感謝します。

　ＯＡ ＝ ｓ 、ＡＢ ＝ ｔ　とすると、　ＣＤ ： ＤＡ ＝ ｓ＋ｔ ： ｓ　が成り立つことを、実際に、点Ｃ、
Ｄの座標を計算することによって示されている。

　上記の（４）におけるメネラウスの定理を活用すれば、ＣＤ ： ＤＡ ＝ ｓ＋ｔ ： ｓ　が成り立つ
ことは明らかなわけであるが、私自身、正直に告白すると、当初この問題を考えたときに、
強引にＣの座標、Ｄの座標を計算して線分の比を求めようとして、あまりの計算の煩雑さに
嫌気がさして途中で計算を打ち切り、挫折した経験がある。

　ここでは、Ｓ(Ｈ)様の計算を参考にしながら、再度、その計算に挑戦してみようと思う。

　原点を通る直線 Ｌ の方程式は、一般的には、　ａｘ＋ｂｙ＝０　で与えられるが、題意より、

座標軸と重なることはないので、ここでは、　ｙ＝ｍｘ　を考えれば十分である。

　直線 ｙ＝ｍｘ　に関する対称移動は一次変換で、行列

　　　　　

で表される。よって、点Ｂ（ ｓ＋ｔ ， ０ ）の直線 Ｌ に関する対称点Ｃの座標は、

　　　　　

となる。この点Ｃと、点Ａ（ ｓ ， ０ ）を通る直線の方程式は、

　　　　　

なので、点Ｄの ｘ 座標は、
　　　　　　　　　　　　　　　　
となる。

　このとき、
　　　　　　　

　　　　　　　

から、　ＣＤ ： ＤＡ ＝ ｓ＋ｔ ： ｓ　であることが分かる。

　上記の計算では一次変換を利用したが、Ｓ(Ｈ)様は、ベクトルを利用して計算されたよう
である。

　実際に、　直線 ｙ＝ｍｘ　の法線ベクトルは、　（ ｍ ， −１ ） なので、点Ｂを通り、直線 Ｌ

に垂直な直線のベクトル方程式は、　（ ｘ ， ｙ ）＝（ ｓ＋ｔ ， ０ ）＋ｋ（ ｍ ， −１ ） となる。

　ｘ＝ｓ＋ｔ＋ｋｍ　、　ｙ＝−ｋ　を、　ｙ＝ｍｘ　に代入して、

　　　　　

が得られるので、　（ ｘ ， ｙ ）＝（ ｓ＋ｔ ， ０ ）＋２ｋ₀（ ｍ ， −１ ） より、点Ｃの座標は、

　　　　

となる。以下は、多分上記と同様の計算だろう。

（コメント）　私が途中で計算を打ち切った原因は、計算方針（ＣＤ、ＤＡの計算）に誤りがあ
　　　　　　ったようです。

（追記）　平成２０年１０月２７日付け

　２６日付けのＳ(Ｈ)様からの情報によると、

　直線 Ｌ を ｙ＝ｍｘ　とする.とき、点Ｄの軌跡を考察する

という問題もあり得るという。

　このとき、直線 Ｌ は、２点Ａ、Ｂを焦点とする楕円に接し、点Ｄは接点になる。

　このことは、下図において、焦点Ａを発した光線が点Ｄで反射して、他の焦点Ｂに達する
という事実から理解されるだろう。（→　参考：「楕円」）

　　　　　　　　　

　点Ｄの軌跡自体は、２定点Ａ、Ｂからの距離の比が等しいので、線分ＡＢを、 ｓ＋ｔ ： ｓ　に
内分、外分する点を直径の両端とする円（アポロニウスの円）となる。但し、軌跡から ｘ 軸と
の交点は除かれる。

　また、Ｓ(Ｈ)様からの情報によると、この問題は、

　定点Ａ（１，０）、Ｂ（２，０）とし、直線 ｙ＝ｍｘ　（ｍ≠０）にy=mx(m≠0）を Ｌ とする。

また、直線 Ｌ 上に点Ｄを、AＤ＋ＢＤ が最小になるようにとる。このとき、ｍ の変化に

よって、点Ｄはどのような図形を描くか。

とも言い直せるとのこと。こういう状況では、直線 Ｌ に関して、点Ｂと対称な点Ｃを考えるこ
とは、受験テクニックに限らず当然の対応ですね！

（追記）　　平成２０年１０月２９日付け

　２６日付けで、Ｓ(Ｈ)様から次のような問題と、その解答の指針が提示された。

　Ａ（１，０）、Ｂ（２，０）を焦点とし、直線 ｙ＝ｍｘ に接する楕円Ｅ_ｍの接点Ｄの軌跡を
求めよ。

　この問題を、次の手法で考察せよ。

　Ａ（１，０）、Ｂ（２，０）を焦点とする楕円を　　とし、
この楕円と直線　ｙ＝ｍｘ について、次の問いに答えよ。

　（１）　唯一の交点をもつように関数 Ｋ＝Ｇ（ｍ） を定めよ。

　（２）　ｘ 、ｙ の連立方程式

　　　　　　　、　ｙ＝ｍｘ

　　を解き、　ｘ＝ｆ_ｘ（ｍ）、ｙ＝ｆ_ｙ（ｍ）　となる関数 ｆ_ｘ、ｆ_ｙ　を定めよ。

　（３）　上から　ｍを消去せよ。特に、【シルベスター行列を用いる発想】は必ず実行せよ。

　（４）　ｍを消去して得られた Ｆ（ｘ ，ｙ）＝０　から ｘ 軸との交点を除外したものが、軌跡で
　　　ある。

　（５）　Ｆ（ｘ ，ｙ）＝０　は ２超平面 ： ４ −３ｘ − ３ｍｙ ＝０　、 −ｍｘ ＋ｙ ＝０　 からも得
　　　られる。これを示せ。

　（６）　 ４ −３ｘ − ３ｍｙ ＝０　、   −ｍｘ ＋ｙ ＝０  の成り立ちを述べよ。

追伸　　楕円族 ： 　において許容されるＫの範囲
　　　を求めよ。


　平面上の２点Ａ（ １ ， ０ ）、Ｂ（ ２ ， ０ ）を焦点とする楕円に、原点を通る直線Ｌ ： ｙ＝ｍｘ
が接するとき、楕円の方程式は、ｍ を用いてどう書けるだろうか。

　興味ある問題なので、計算してみた。対称性から、ｍ＞０　として考えることにする。

　楕円の中心は、点（ ３/２ ， ０ ）なので、全体を ｘ 軸方向に −３/２ だけ平行移動して考

える。　このとき、Ｏ’（ −３/２ ， ０ ）、Ａ’（ −１/２ ， ０ ）、Ｂ’（ １/２， ０ ）　となる。

　求める楕円の長軸の長さを Ｋ（＝２ａ）とすると、楕円の方程式は、

　　　　　

と書ける。ただし、４ａ²−４ｂ²＝１　である。

　この楕円の補助円の方程式は、　ｘ²＋ｙ²＝ａ²　である。

　点Ｏ’（ −３/２ ， ０ ）を通る直線が、円 ｘ²＋ｙ²＝ａ²　に接するとき、その接点の座標

（ ｘ₁ ， ｙ₁ ）は、連立方程式　（−３/２）ｘ₁＝ａ²　、　ｘ₁²＋ｙ₁²＝ａ²　を解くことにより得られ

る。実際に解くと、
　　　　　　　　　　　　

である。この点を ｙ 軸方向に ｂ/ａ 倍した点が、直線 Ｌ と楕円との接点となる。すなわち、

　　　　　　　　　　　　

（→　参考：「楕円の接線」）

このとき、直線 Ｌ の傾き ｍ について、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
となる。これを ａ について解き直せば、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
となる。このとき、

　　　　　　　　　　　

　このことから、ｍ の値が分かれば楕円の方程式は確定する。

　例えば、ｍ＝１ に対して、その楕円を求めて図示すると下図のようになる。

　　　　　　　　　

　接点 Ｐ の座標も ｍ の関数として表される。実際に、上記の結果から、

　　　　　　　　　

となる。

　また、直線 Ｌ ： ｙ＝ｍｘ　に接する楕円上の点と２つの焦点からの距離の和 Ｋ の値は、

　　　　　　　　　

で与えられる。これはＳ(Ｈ)様の解答の指針（１）の答えである。

（コメント）　横方向に平行移動しなくてもよかったような．．．予感。

　また、上記の点Ｐを ｘ 軸方向に３/２だけ平行移動させれば、Ｓ(Ｈ)様の解答の指針（２）
の答えが得られる。

　　　　

　これより、ｍ を消去する手順は、軌跡の計算では定石的な方法であろう。

　実際に、　ｍ＝ｙ/ｘ　を代入して整理すると、円の方程式

　　　　ｘ²＋ｙ²−（4/3）ｘ＝０

が得られる。ただし、求める軌跡からは、２点（ ０ ， ０ ）、Ｂ（ ４/３ ， ０ ）は除かれる。これ
はＳ(Ｈ)様の解答の指針（３）（４）の答えである。

　上記では、文字 ｍ を消去するのに受験テクニックを用いたが、正統的な消去法（シルベ
スターの消去法）を用いるとすれば、次のように計算される。

　　　　

より、　　　３ｘｍ²＋３ｘ−４＝０　　、　　３ｙｍ²−４ｍ＋３ｙ＝０　　なので、

　　　　　　　　　　　

が成り立つ。

　この行列式を計算すれば、円の方程式　ｘ²＋ｙ²−（4/3）ｘ＝０　が得られる。

また、連立方程式　３ｘｍ²＋３ｘ−４＝０　、３ｙｍ²−４ｍ＋３ｙ＝０　において、後者は前者と

ｙ＝ｍｘ　から得られるので、連立方程式　３ｘｍ²＋３ｘ−４＝０　、ｙ＝ｍｘ　を考えてもよい。

　すなわち、連立方程式　３ｍｙ＋３ｘ−４＝０　、ｙ＝ｍｘ　から ｍ を消去しても、円の方程式

ｘ²＋ｙ²−（4/3）ｘ＝０　が得られる。これは、Ｓ(Ｈ)様の解答の指針（５）の答えである。

　問題は、Ｓ(Ｈ)様の解答の指針（６）である。具体的に接点を求めてしまえば、

　　　　　　　３ｍｙ＋３ｘ−４＝０

という式は出現するのだが、それでは多分Ｓ(Ｈ)様の意図することと違うことになってしまう

ことだろう。　多分、図形的に追究してみると解決しそうな．．．予感！

　点Ｄは△ＯＢＣの重心なので、ＣＤ ： ＤＡ＝２ ： １　であった。さらに、直線Ｌ に垂直で点Ｄ

を通る直線は、∠ＡＤＢの２等分線となる。しかも、△ＤＢＣは、ＤＢ＝ＤＣの２等辺三角形な

ので、ＤＡ ： ＤＢ＝１ ： ２　となる。角の２等分線の性質より、∠ＡＤＢの２等分線と ｘ 軸と

の交点の座標は、ｍ の値によらず一定で、点（４/３ ，０）である。（←　美しすぎる！）

　よって、∠ＡＤＢの２等分線の方程式は、

　　　　　　　ｙ＝（−１/ｍ）（ｘ−４/３）　すなわち　３ｍｙ＋３ｘ−４＝０

となる。この直線の方程式は、点Ｄの座標が分からなくても求められるところが素晴らしい。

しかも、ｙ＝ｍｘ　と連立すれば、点Ｄの軌跡の方程式が簡単に求められる。

（コメント）　このような問題は以前より見慣れたものの筈だったが、Ｓ(Ｈ)様から頂いた解
　　　　　　答の指針に従って考えてみると、これまで抱いていた感覚とは違う新鮮な息吹
　　　　　　を感じざるを得ない。このような機会を与えて頂いたＳ(Ｈ)様に感謝いたします。

　Ｓ(Ｈ)様の追伸の問題　：

　　　　　

の取り得る値の範囲を求めることも容易だろう。簡単な計算から、　１＜Ｋ＜３　であること
が分かる。