「三角形の辺の長さをａ、ｂ、ｃとするとき」という条件がある問題を解くとき、その背後には、
３つの不等式が仮定される。（三角形の存在条件）

　　ａ＋ｂ−ｃ＞０　、ｂ＋ｃ−ａ＞０　、ｃ＋ａ−ｂ＞０

　あと、もちろん、　ａ＞０、ｂ＞０、ｃ＞０ も必要だが、これは、上記の３つの不等式から導か
れる。

　このようなとき、次のような変換をすると問題が解きやすくなるということを、

　　�d松　祐介　著　「三角形に潜む不等式の一般化」　数研通信　No．９７　（数研出版）

で知ることが出来た。

　　ａ＋ｂ−ｃ＝２ｙ、ｂ＋ｃ−ａ＝２ｚ、ｃ＋ａ−ｂ＝２ｘ　とおくと、　ｘ＞０、ｙ＞０、ｚ＞０　という

単純な条件に置換できる。

　このとき、　ａ＝ｘ＋ｙ　、ｂ＝ｙ＋ｚ　、ｃ＝ｚ＋ｘ　なる変換を、Ｒａｖｉ変換というようだ。

　このＲａｖｉ変換の幾何学的意味は、三角形の内接円を考えるとき、各頂点からの接線の
長さ ｘ、ｙ、ｚ で、三角形の３辺の長さを表すことに等しい。

例（ヘロンの公式）　三角形の三辺 a 、b 、c が分かっているとき、

　　　ヘロンの公式　　　　ただし、２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ

は、とても複雑そうに見えるが、Ravi変換をすると、とても簡単な形になる。

　２ｓ＝２（ｘ＋ｙ＋ｚ）　より、　ｓ＝ｘ＋ｙ＋ｚ　で、さらに、

　ｓ−ａ＝（ｂ＋ｃ−ａ）/２＝ｚ　、ｓ−ｂ＝（ｃ＋ａ−ｂ）/２＝ｘ　、ｓ−ｃ＝（ａ＋ｂ−ｃ）/２＝ｙ

なので、ヘロンの公式は、　Ｓ＝√（ｘｙｚ（ｘ＋ｙ＋ｚ））　と書ける。


問題　　三角形の辺の長さをａ、ｂ、ｃとし、ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｓ　とおくとき、次の不等式を証明せ
　　　　よ。

　　　　　　ａ/（ｓ−ａ）＋ｂ/（ｓｰｂ）＋ｃ/（ｓ−ｃ）≧６

（出典：大分医科大学（現大分大学医学部））

（解）　ａ＝ｘ＋ｙ　、ｂ＝ｙ＋ｚ　、ｃ＝ｚ＋ｘ　とおくと、三角形が存在する条件は、

　　　　ｘ＞０　、ｙ＞０　、ｚ＞０

　このとき、　ｓ＝ｘ＋ｙ＋ｚ　で、　ｓ−ａ＝ｚ　、ｓ−ｂ＝ｘ　、ｓ−ｃ＝ｙ　より、

　左辺＝（ｘ＋ｙ）/ｚ＋（ｙ＋ｚ）/ｘ＋（ｚ＋ｘ）/ｙ

　　　　＝（ｘ/ｙ＋ｙ/ｘ）＋（ｙ/ｚ＋ｚ/ｙ）＋（ｚ/ｘ＋ｘ/ｚ）

　相加平均と相乗平均の関係より、　ｘ/ｙ＋ｙ/ｘ≧２　、ｙ/ｚ＋ｚ/ｙ≧２　、ｚ/ｘ＋ｘ/ｚ≧２

　よって、　（ｘ/ｙ＋ｙ/ｘ）＋（ｙ/ｚ＋ｚ/ｙ）＋（ｚ/ｘ＋ｘ/ｚ）≧６　すなわち、

　　　ａ/（ｓ−ａ）＋ｂ/（ｓｰｂ）＋ｃ/（ｓ−ｃ）≧６

が成り立つ。等号成立は、　ｘ＝ｙ＝ｚ　すなわち、　ａ＝ｂ＝ｃ　のときに限る。　　（終）


（コメント）　Ｒａｖｉ変換を用いると、簡単に解けてしまいましたね！感動です。


問題　　三角形の周の長さが一定のとき、面積が最大となるのは正三角形であることを示
　　　　せ。（→　参考：「周の長さ一定な図形」）

（解）　三角形の辺の長さをａ、ｂ、ｃとし、周の長さ　ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｓ　が一定であるとする。

　ａ＝ｘ＋ｙ　、ｂ＝ｙ＋ｚ　、ｃ＝ｚ＋ｘ　とおくと、三角形が存在する条件は、

　　　　ｘ＞０　、ｙ＞０　、ｚ＞０

　このとき、　ｓ＝ｘ＋ｙ＋ｚ　で、　ｓ−ａ＝ｚ　、ｓ−ｂ＝ｘ　、ｓ−ｃ＝ｙ　より、

　三角形の面積をＳとおくと、　Ｓ²＝ｓｘｙｚ

　相加平均と相乗平均の関係から、　ｓ＝ｘ＋ｙ＋ｚ≧３³√（ｘｙｚ）

　すなわち、　ｓ³/２７≧ｘｙｚ＝Ｓ²/ｓ　から、　ｓ⁴/２７≧Ｓ²

　よって、面積Ｓの最大値は、　ｓ²/（３）　で、等号が成立するとき、最大。

　このとき、　ｘ＝ｙ＝ｚ　すなわち、　ａ＝ｂ＝ｃ　のときで、正三角形である。　　（終）