１３４	令和５年度前期	京都大学	文系	・・・	積分法（数学�U）	標準

京都大学　前期文系（２０２３）

第５問　整式Ｆ（ｘ）が恒等式　Ｆ（ｘ）＋∫_-1¹ （ｘ−ｙ）²Ｆ（ｙ）ｄｙ＝２ｘ²＋ｘ＋５/３　を満たすと
　　き、Ｆ（ｘ）を求めよ。

（解）　恒等式より、

　Ｆ（ｘ）＋ｘ²∫_-1¹ Ｆ（ｙ）ｄｙ−２ｘ∫_-1¹ ｙＦ（ｙ）ｄｙ＋∫_-1¹ ｙ²Ｆ（ｙ）ｄｙ＝２ｘ²＋ｘ＋５/３

　ａ＝∫_-1¹ Ｆ（ｙ）ｄｙ　、ｂ＝∫_-1¹ ｙＦ（ｙ）ｄｙ　、ｃ＝∫_-1¹ ｙ²Ｆ（ｙ）ｄｙ　とおくと、

　Ｆ（ｘ）＋ａｘ²−２ｂｘ＋ｃ＝２ｘ²＋ｘ＋５/３

すなわち、　Ｆ（ｘ）＝（２−ａ）ｘ²＋（２ｂ＋１）ｘ＋５/３−ｃ

このとき、

　ａ＝∫_-1¹ （（２−ａ）ｙ²＋（２ｂ＋１）ｙ＋５/３−ｃ）ｄｙ＝２∫₀¹ （（２−ａ）ｙ²＋５/３−ｃ）ｄｙ

より、　ａ＝２（２−ａ）/３＋２（５/３−ｃ）　すなわち、　５ａ＋６ｃ＝１４

　ｂ＝∫_-1¹ （（２−ａ）ｙ³＋（２ｂ＋１）ｙ²＋（５/３−ｃ）ｙ）ｄｙ＝２∫₀¹ （２ｂ＋１）ｙ²ｄｙ

より、　ｂ＝２（２ｂ＋１）/３　すなわち、　ｂ＝−２

　ｃ＝∫_-1¹ （（２−ａ）ｙ⁴＋（２ｂ＋１）ｙ³＋（５/３−ｃ）ｙ²）ｄｙ

　＝２∫₀¹ （（２−ａ）ｙ⁴＋（５/３−ｃ）ｙ²）ｄｙ

より、　ｃ＝２（２−ａ）/５＋（２/３）（５/３−ｃ）　すなわち、　１８ａ＋７５ｃ＝８６

　これらを解いて、　ｃ＝２/３　で、　ａ＝２

したがって、　Ｆ（ｘ）＝−３ｘ＋１　　（終）


　よおすけさんからのコメントです。（令和６年６月７日付け）

　この問題、お茶の間クイズ＆パズル「多項式の微分・積分」で僕も提供しました。
令和６年１月１２日付けアップだったと思います。



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