当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和６年１月１１日付け）
整式 Ｆ(x) が次の恒等式を満たすとき、（１）、（２）のそれぞれについて、Ｆ(x) を求めよ。
（１） Ｆ（ｘ）＋∫-11（ｘ−ｙ）2Ｆ（ｙ）ｄｙ＝２ｘ2＋ｘ＋５/３
（２） Ｆ（ｘ）Ｆ’（ｘ）＋∫1ｘＦ（ｔ）ｄｔ＝（４/９）ｘ−４/９
（出典）(1)は、京都大学前期文系（２０２３）、(2)は、京都大学前期文系・理系（１９７６）
補足：(2)の Ｆ’(x) は、Ｆ(x) の導関数
（答）（１） Ｆ（ｘ）＋∫-11（ｘ−ｙ）2Ｆ（ｙ）ｄｙ＝２ｘ2＋ｘ＋５/３ より、
Ｆ（ｘ）＋ｘ2∫-11Ｆ（ｙ）ｄｙ−２ｘ∫-11ｙＦ（ｙ）ｄｙ＋∫-11ｙ2Ｆ（ｙ）ｄｙ＝２ｘ2＋ｘ＋５/３
ここで、∫-11Ｆ（ｙ）ｄｙ＝ａ、∫-11ｙＦ（ｙ）ｄｙ＝ｂ、∫-11ｙ2Ｆ（ｙ）ｄｙ＝ｃ とおくと、
Ｆ（ｘ）＋ａｘ2−２ｂｘ＋ｃ＝２ｘ2＋ｘ＋５/３ から、Ｆ（ｘ）＝（２−ａ）ｘ2＋（２ｂ＋１）ｘ＋５/３−ｃ
このとき、
ａ＝∫-11（（２−ａ）ｙ2＋（２ｂ＋１）ｙ＋５/３−ｃ）ｄｙ
＝２∫01（（２−ａ）ｙ2＋５/３−ｃ）ｄｙ＝２（２−ａ）/３＋２（５/３−ｃ）
よって、 ５ａ＋６ｃ＝１４ ・・・ (*)
ｂ＝∫-11（（２−ａ）ｙ3＋（２ｂ＋１）ｙ2＋（５/３−ｃ）ｙ）ｄｙ
＝２∫01（２ｂ＋１）ｙ2ｄｙ＝２（２ｂ＋１）/３
よって、 ｂ＝−２
ｃ＝∫-11（（２−ａ）ｙ4＋（２ｂ＋１）ｙ3＋（５/３−ｃ）ｙ2）ｄｙ
＝２∫01（（２−ａ）ｙ4＋（５/３−ｃ）ｙ2）ｄｙ＝２（２−ａ）/５＋２（５/３−ｃ）/３
よって、 ６ａ＋２５ｃ＝８６/３ ・・・ (**)
(*)×６−(**)×５ より、 ｃ＝２/３ 、ａ＝２ である。
したがって、 Ｆ（ｘ）＝−３ｘ＋１ である。
（２） Ｆ（ｘ）Ｆ’（ｘ）＋∫1ｘＦ（ｔ）ｄｔ＝（４/９）ｘ−４/９ において、Ｆ（ｘ）の最高次の項を ａｘｎ と
すると、（ｎ次）（ｎ−１次）＋（ｎ＋１次）＝（１次） から、ｎ＝１は矛盾するので、
Ｆ（ｘ）は、定数関数、または、２次関数である。
よって、求めるＦ（ｘ）は、 Ｆ（ｘ）＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ とおける。
このとき、
（ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ）（２ａｘ＋ｂ）＋ａ（ｘ3−１）/３＋ｂ（ｘ2−１）/２＋ｃ（ｘ−１）＝（４/９）ｘ−４/９
すなわち、
（２ａ2＋ａ/３）ｘ3＋（３ａｂ＋ｂ/２）ｘ2＋（ｂ2＋２ｃａ＋ｃ−４/９）ｘ＋ｂｃ−ａ/３−ｂ/２−ｃ＋４/９＝０
ｘ の恒等式なので、
２ａ2＋ａ/３＝０ ・・・ (*)
３ａｂ＋ｂ/２＝０ ・・・ (**)
ｂ2＋２ｃａ＋ｃ−４/９＝０ ・・・ (***)
ｂｃ−ａ/３−ｂ/２−ｃ＋４/９＝０ ・・・ (****)
(*)より、 ａ＝０ 、ａ＝−１/６
ａ＝０ のとき、 (**)から、ｂ＝０ 、(***)から、ｃ＝４/９ 、これは、(****)も満たす。
ａ＝−１/６ のとき、 (**)からは、ｂは定まらない。(***) および (****)より、
ｂ2＋２ｃ/３−４/９＝０ 、ｂｃ−ｂ/２−ｃ＋１/２＝０
第１式より、 ｃ＝２/３−（３/２）ｂ2 なので、これを第２式に代入して、
（２/３）ｂ−（３/２）ｂ3−ｂ/２−２/３＋（３/２）ｂ2＋１/２＝０
（３/２）ｂ3−（３/２）ｂ2−（１/６）ｂ＋１/６＝０
すなわち、 ｂ3−ｂ2−（１/９）ｂ＋１/９＝０ より、 ９ｂ3−９ｂ2−ｂ＋１＝０
因数分解して、 （ｂ−１）（３ｂ＋１）（３ｂ−１）＝０ より、ｂ＝１、−１/３、１/３
ｂ＝１ のとき、 ｃ＝２/３−（３/２）ｂ2＝−５/６
ｂ＝−１/３ のとき、 ｃ＝２/３−（３/２）ｂ2＝１/２
ｂ＝１/３ のとき、 ｃ＝２/３−（３/２）ｂ2＝１/２
以上から、求める関数Ｆ（ｘ）は、
Ｆ（ｘ）＝４/９ 、（−１/６）ｘ2＋ｘ−５/６ 、（−１/６）ｘ2−（１/３）ｘ＋１/２ 、
（−１/６）ｘ2＋（１/３）ｘ＋１/２ （終）
（コメント） なかなか計算がハードでしたね！関数の恒等式から、関数の次数を求めることは
一昔前の大学入試の定番問題でした。
以下、工事中！