１０５	令和６年度前期	大阪大学	理系	・・・	整数（数学Ａ）	やや難

大阪大学　前期理系（２０２４）

第５問　自然数 １、２、３、・・・、ｎ のうち、ｎと互いに素であるものの個数をＦ（ｎ）とする。

（１）　自然数 ａ、ｂ、ｃ および相異なる素数 ｐ、ｑ、ｒ に対して、等式

　　　Ｆ（ｐ^ａｑ^ｂｒ^ｃ）＝ｐ^ａ-1ｑ^ｂ-1ｒ^ｃ-1（ｐ−１）（ｑ−１）（ｒ−１）

　が成り立つことを示せ。

（２）　Ｆ（ｎ）がｎの約数となる５以上１００以下の自然数ｎをすべて求めよ。

（解）（１）　ａ より小さい数で、ａ と互いに素な数は、Ｆ（ａ）個あり、その一つを、α とおく。

このとき、　ｂ 個の数　α、α＋ａ、α＋２ａ、・・・、α＋（ｂ−1）ａ　を考える。

これらは、何れも ｂ を法として合同でない。

したがって、ａｂ と互いに素な数は全部で、Ｆ（ａ）×Ｆ（ｂ）個あるので、Ｆ（ａｂ）＝Ｆ（ａ）Ｆ（ｂ）

が成り立つ。

　また、Ｆ（ｐ^ａ）＝ｐ^ａ−ｐ^ａ-1＝ｐ^ａ-1（ｐ−１）　が成り立つ。

以上から、

Ｆ（ｐ^ａｑ^ｂｒ^ｃ）＝Ｆ（ｐ^ａ）Ｆ（ｑ^ｂ）Ｆ（ｒ^ｃ）＝ｐ^ａ-1（ｐ−１）ｑ^ｂ-1（ｑ−１）ｒ^ｃ-1（ｒ−１）

＝ｐ^ａ-1ｑ^ｂ-1ｒ^ｃ-1（ｐ−１）（ｑ−１）（ｒ−１）　が成り立つ。

（２）　５以上１００以下の自然数ｎは、高々３個の異なる素因数を持つ。

・ｎ＝ｐ^ａ　のとき、Ｆ（ｐ^ａ）＝ｐ^ａ-1（ｐ−１）　が ｎ＝ｐ^ａ の約数となるためには、

　ｎ＝ｐ^ａ が Ｆ（ｐ^ａ）＝ｐ^ａ-1（ｐ−１） で割り切れなければならない。すなわち、

　ｐ/（ｐ−１） は正の整数である。よって、ｐ−１＝１　より、ｐ＝２

　したがって、ｎ＝２^ａ で、５以上１００以下の自然数ｎは、ａ＝３、４、５、６ から、

　ｎ＝８、１６、３２、６４

・ｎ＝ｐ^ａｑ^ｂ　（ｐ＜ｑ）　のとき、Ｆ（ｐ^ａｑ^ｂ）＝ｐ^ａ-1ｑ^ｂ-1（ｐ−１）（ｑ−１）　が ｎ＝ｐ^ａｑ^ｂ の約数

　となるためには、ｎ＝ｐ^ａｑ^ｂ が Ｆ（ｐ^ａｑ^ｂ） で割り切れなければならない。

すなわち、　ｐｑ/（（ｐ−１）（ｑ−１）） は正の整数である。

このとき、　ｐ＝２　で、２ｑ/（ｑ−１） が正の整数であるためには、　ｑ−１＝２　すなわち、

ｑ＝３　である。

　したがって、ｎ＝２^ａ３^ｂ で、５以上１００以下の自然数ｎは、

　ａ＝１　のとき、　ｂ＝１、２、３

　ａ＝２　のとき、　ｂ＝１、２

　ａ＝３　のとき、　ｂ＝１、２

　ａ＝４　のとき、　ｂ＝１

　ａ＝５　のとき、　ｂ＝１

から、　ｎ＝６、１８、５４、１２、３６、２４、７２、４８、９６　すなわち、

　ｎ＝６、１２、１８、２４、３６、４８、５４、７２、９６

・ｎ＝ｐ^ａｑ^ｂｒ^ｃ　（ｐ＜ｑ＜ｒ） のとき、Ｆ（ｐ^ａｑ^ｂｒ^ｃ）　が ｎ＝ｐ^ａｑ^ｂｒ^ｃ の約数となるためには、

　ｎ＝ｐ^ａｑ^ｂｒ^ｃ　が Ｆ（ｐ^ａｑ^ｂｒ^ｃ） で割り切れなければならない。

すなわち、　ｐｑｒ/（（ｐ−１）（ｑ−１）（ｒ−１）） は正の整数である。

このとき、上と同様に、　ｐ＝２、ｑ＝３ で、　３ｒ/（ｒ−１） は正の整数でなければならない。

すなわち、　ｒ−１＝３　より、ｒ＝４　となるが、これは、ｒ が素数であることに矛盾。

　したがって、ｎ＝ｐ^ａｑ^ｂｒ^ｃ　（ｐ＜ｑ＜ｒ） のときは、題意を満たさず、起こらない。

以上から、求める自然数ｎの値は、

　ｎ＝６、８、１２、１６、１８、２４、３２、３６、４８、５４、６４、７２、９６　　（終）


（コメント）　オイラーの関数の性質を問う問題でした。



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