１０３	令和６年度前期	大阪大学	理系	・・・	空間図形（数学Ｂ）	標準

大阪大学　前期理系（２０２４）

第３問　空間内の２直線Ｌ、Ｋはねじれの位置にあるとする。ＬとＫの両方に直交する直線
　　がただ１つ存在することを示せ。

＃何となく当たり前のようなことを証明することの難しさかな？

（解）　直線Ｌ、Ｋのベクトル方程式をそれぞれ、　ｐ＝ａ＋ｔｄ　、ｑ＝ｂ＋ｓｅ　とおく。

　２直線Ｌ、Ｋはねじれの位置にあるので、ｄ と ｅ は平行でない。このとき、

　ｄ と ｅ のなす角をθとすると、　０＜θ＜π　すなわち、　−１＜ｃｏｓθ＜１　である。

　直線Ｌ上の点Ｐ（ａ＋ｔｄ）、直線Ｋの点Ｑ（ｂ＋ｓｅ）　とおくと、　ＰＱ＝ｓｅ−ｔｄ＋ｂ−ａ

　ここで、ＰＱ・ｄ＝ｓ（ｄ・ｅ）−ｔ（ｄ・ｄ）＋（ｂ−ａ）・ｄ

　ＰＱ・ｅ＝ｓ（ｅ・ｅ）−ｔ（ｄ・ｅ）＋（ｂ−ａ）・ｅ

において、

　−（ｄ・ｅ）²＋（ｄ・ｄ）（ｅ・ｅ）

＝−（ｄ・ｄ）（ｅ・ｅ）ｃｏｓ²θ＋（ｄ・ｄ）（ｅ・ｅ）＝（ｄ・ｄ）（ｅ・ｅ）（１−ｃｏｓ²θ）＞０

すなわち、−（ｄ・ｅ）²＋（ｄ・ｄ）（ｅ・ｅ）≠０　から、

　ＰＱ・ｄ＝０　、ＰＱ・ｅ＝０　を満たす実数 ｓ₀、ｔ₀ がただ一つ存在する。

このとき、Ｐ（ａ＋ｔ₀ｄ）、Ｑ（ｂ＋ｓ₀ｅ）に対して、 ＰＱ⊥Ｌ　、ＰＱ⊥Ｋ　となり、

ＬとＫの両方に直交する直線がただ１つ存在することが示された。　　（終）


（コメント）　「ねじれの位置」に関する問題は、、京都大学前期理系（２０２４）でも出題されま
　　　　　した。京大の方は、純粋に「ねじれの位置」を示す問題でしたが、阪大の方は、「ねじ
　　　　　れの位置」にある２直線の特徴ある性質を問うものでした。今まで自明としていた事
　　　　　実を示せという問題で、なかなか受験生にとっては厳しい試練となりました。

　大阪大学前期文系（２０２４）では、次のように条件を設定して出題された。

第２問　座標空間内の直線Ｌと z 軸はねじれの位置にあるとする。Ｌと z 軸の両方に直交す
　　　　る直線がただ1つ存在することを示せ。

　証明は、理系と同様に行えばよい。



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