０７８	令和６年度前期	京都大学	理系	・・・	空間座標（数学Ｂ）	標準

京都大学　前期理系（２０２４）

第３問　座標空間の４点Ｏ、A、B、Cは同一平面上にないとする。線分OAの中点をP、線分
　　ABの中点をQとする。実数 ｘ 、ｙ に対して、直線OC上の点Xと、直線BC上の点Yを次の
　　ように定める。

　　OX＝xOC　、BY＝ｙBC

　このとき、直線QYと直線PXがねじれの位置にあるための ｘ 、ｙ に関する必要十分条件を
求めよ。

＃ねじれの位置　⇔　２直線が同一平面上にない（２直線は交わらず、平行でない）

　例えば、下図のような配置のとき、

　　

　ＰＱＯＢ　なので、ｘ＝ｙ のとき、ＰＱＸＹ となって、ＰＸとＱＹは同一平面上にあり、ねじれ
の位置にはないことが分かる。

　したがって、ねじれの位置にあるためには、「 ｘ ≠ ｙ 」であることが予想される。

　上記の立方体での状況を一般化すれば、次のような解答が書けるだろう。

（解）　座標空間の４点Ｏ、A、B、Cは同一平面上にないので、四面体ＯＡＢＣが存在する。

　線分OAの中点をP、線分ABの中点をQとすると、中点連結定理から、ＰＱＯＢ　である。

　ｘ、ｙ の定め方から、ｘ＝ｙ のとき、ＸＹＯＢ で、ＰＱＸＹ となって、ＰＸとＱＹは同一平面上

にあり、ねじれの位置にはない。

　したがって、直線QYと直線PXがねじれの位置にあるための必要十分条件は、ｘ ≠ ｙ で

ある。　　（終）



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