０６６	令和６年度前期	東京大学	理系	・・・	整数（数Ａ）	やや難

東京大学　前期理系（２０２４）

第６問　２以上の整数で、１とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という。以下の
　問いに答えよ。

（１）　Ｆ（ｘ）＝ｘ³＋１０x²＋２０ｘ　とする。Ｆ（ｎ）が素数となるような整数ｎをすべて求めよ。

（２）　ａ、ｂを整数の定数とし、Ｇ(x)＝x³＋ａx²＋ｂｘ　とする。Ｇ(ｎ)が素数となるような整数ｎ
　の個数は、３個以下であることを示せ。


＃京都大学前期文・理系の類題ではと、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さん
　からご指摘いただきました。（令和６年３月２日付け）

　確かに、京都大学では頻出の問題形式ですね！

（解）（１）　Ｆ（ｎ）＝ｎ³＋１０ｎ²＋２０ｎ＝ｎ（ｎ²＋１０ｎ＋２０） が素数であることから、

　ｎ＝±１　または、　ｎ²＋１０ｎ＋２０＝±１

が成り立つ。

　ｎ＝１のとき、　Ｆ（１）＝３１　は素数

　ｎ＝−１のとき、　Ｆ（−１）＝−１１　は負数となり、素数にはならない。

　ｎ²＋１０ｎ＋２０＝１　すなわち、　ｎ²＋１０ｎ＋１９＝０　のとき、

　判別式Ｄ/４＝２５−１９＝６　より、ｎ²＋１０ｎ＋１９＝０　は整数解を持たない。

　ｎ²＋１０ｎ＋２０＝−１　すなわち、　ｎ²＋１０ｎ＋２１＝０　のとき、

　（ｎ＋３）（ｎ＋７）＝０　より、　ｎ＝−３、−７

　このとき、Ｆ（−３）＝３、Ｆ（−７）＝７　はともに素数である。

以上から、求めるｎは、　ｎ＝１、−３、−７

（２）　（１）と同様にして、

　Ｇ（ｎ）＝ｎ³＋ａｎ²＋ｂｎ＝ｎ（ｎ²＋ａｎ＋ｂ） が素数であることから、

　ｎ＝±１　または、　ｎ²＋ａｎ＋ｂ＝±１

が成り立つ。

　ｎ＝１　のとき、　Ｇ（１）＝ａ＋ｂ＋１　が素数となる場合がある。

　ｎ＝−１　のとき、　Ｇ（−１）＝ａ−ｂ−１　が素数となる場合がある。

　ｎ²＋ａｎ＋ｂ＝１　すなわち、ｎ²＋ａｎ＋ｂ−１＝０　を満たす素数 ｎ＞０ がある場合がある。

　ｎ²＋ａｎ＋ｂ＝−１　すなわち、ｎ²＋ａｎ＋ｂ＋１＝０　を満たす素数 ｍ＞０ があれば、

　ｎ＝−ｍ　と書ける。すなわち、　ｍ²−ａｍ＋ｂ＋１＝０

ここで、　ｎ²＋ａｎ＋ｂ−１＝０　、ｍ²−ａｍ＋ｂ＋１＝０　がともに成り立つと仮定すると、

　ｎ²＋ａｎ＋ｂ−１−（ｍ²−ａｍ＋ｂ＋１）＝０　即ち、（ｎ＋ｍ）（ｎ−ｍ）＋ａ（ｎ＋ｍ）−２＝０

より、　（ｎ＋ｍ）（ｎ−ｍ＋ａ）＝２　が言える。

ところが、　ｎ＋ｍ≧４　より、上式を満たす整数 ｎ、ｍ、ａ は存在しない。

　以上から、ｎ²＋ａｎ＋ｂ−１＝０　、ｍ²−ａｍ＋ｂ＋１＝０　がともに成り立つことはない。

ここで、

　Ｈ（ｎ）＝ｎ²＋ａｎ＋ｂ−１＝０　を満たす２以上の正数解が２個存在する場合、

　　Ｈ（−１）＝−ａ＋ｂ＞０　から、ａ−ｂ＜０　なので、ａ−ｂ−１　が素数となることはない。

　Ｈ’（ｍ）＝ｍ²−ａｍ＋ｂ＋１＝０　を満たす２以上の正数解が２個存在する場合、

　　Ｈ’（１）＝−ａ＋ｂ＋２＞０　から、ａ−ｂ＜２　なので、ａ−ｂ−１　が素数となることはない。

　以上から、Ｇ(ｎ)が素数となるような整数ｎの個数は、３個以下である。　　（終）



　　以下、工事中！