０６５	平成２４年度前期	新潟大学	文系	・・・	対数（数学�U）	標準

　新潟大学の数学は、良問が多いという印象。易しすぎず、難しすぎずで、問題集で取り組
んだことのあるような典型問題の出題が多い。そのためか、大問４題を９０分で解かなけれ
ばならないというハードさだ。


新潟大学　前期文系（２０１２）

（１）　ｌｏｇ₁₀ ３ は無理数であることを示せ。

（２）　６/１３＜ｌｏｇ₁₀ ３＜１/２　を示せ。

（３）　３²⁶ の桁数を求めよ。

（注）　前期理系（２０１２）でも、類題が出題された。　（→　参考：「カレンダー」）

（解）（１）　ｌｏｇ₁₀ ３ が有理数であると仮定すると、ｌｏｇ₁₀ ３＝ｐ/ｑ　（ｐ、ｑは互いに素）

　このとき、　１０^ｐ/ｑ＝３　から、　１０^ｐ＝３^ｑ　で、左辺は偶数、しかるに、右辺は奇数

　これは矛盾である。よって、ｌｏｇ₁₀ ３ は無理数である。

（２）　自然数ｎに対して、　（１＋１/ｎ）^ｎ＜３　が成り立つ。

　実際に、２項定理より、　（１＋１/ｎ）^ｎ＝Σ_k=0ⁿ _ｎＣ_k（１/ｎ）^k＝１＋Σ_k=1ⁿ _ｎＣ_k/ｎ^k

　ここで、　_ｎＣ_k/ｎ^k＝ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）/（ｎ^k・ｋ！）≦１/ｋ！≦１/２^k-1 なので、

　（１＋１/ｎ）^ｎ≦１＋Σ_k=1ⁿ （１/２）^k-1＝１＋２（１−（１/２）^ｎ）＝３−（１/２）^ｎ-1＜３

が成り立つ。この不等式で、ｎ＝９を代入して、　（１＋１/９）⁹＜３

　（１＋１/９）⁶＜（１＋１/９）⁹　なので、　（１＋１/９）⁶＜３

　両辺の１０を底とする対数をとって、　６ｌｏｇ₁₀ （１０/９）＜ｌｏｇ₁₀ ３　より、

　６−１２ｌｏｇ₁₀ ３＜ｌｏｇ₁₀ ３　なので、　６/１３＜ｌｏｇ₁₀ ３

　また、９＜１０　より、　２ｌｏｇ₁₀ ３＜１　から、　ｌｏｇ₁₀ ３＜１/２

　以上から、　６/１３＜ｌｏｇ₁₀ ３＜１/２

（３）　（２）より、　１２＜ｌｏｇ₁₀ ３²⁶＜１３　なので、　３²⁶ は１３桁の数である。　　（終）



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