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| ０６３ | 令和３年度 | 防衛医科大学 | 医学部 | ・・・ | 種々の問題 | 標準 |
０６２で初めて防衛医科大学校の入試問題を拝見して、もっと問題を解きたくなった。令和
４年度では、Ⅰ．～Ⅵ．が短答式の問題、Ⅶ．が記述式の問題であったが、令和３年度まで
は、短答式の数学（１）と記述式の数学（２）に分かれていた。
択一式の数学（１）では１５題９０分、記述式の数学（２）では４題１００分で、それほど易しく
ない問題が並んでいる印象で、相当な計算力が要求されているように感じる。
防衛医科大学校 医学教育部（２０２１）
（択一式）
Ⅰ． ａ＝√（１４－６
） と正の実数 ｋ について、４/（ｋａ）の整数部分が１になるような
ｋ の値の範囲は、α＜ｋ≦βである。また、４/（ｋａ）の整数部分が２で小数部分が０
以上０．５以下になるような ｋ の値の範囲は、γ≦ｋ≦δである。
このとき、以下の問いに答えよ。
（１） 積αβの積を求めよ。
（２） 積γδの値を求めよ。
（解）（１） ａ＝３－ より、 １/ａ＝（３＋）/４ から、 ４/ａ＝３＋
題意より、 １≦４/（ｋａ）＜２ すなわち、 ２/ａ＜ｋ≦４/ａ
したがって、 α＝２/ａ 、β＝４/ａ より、 αβ＝（３＋）2/２＝７＋３
（２） 題意より、 ２≦４/（ｋａ）≦２．５ すなわち、 ８/（５ａ）≦ｋ≦２/ａ
したがって、 γ＝８/（５ａ）＝（６＋２）/５ 、δ＝２/ａ＝（３＋）/２ より、
γδ＝（３＋）2/５＝（１４＋６）/５ （終）
（コメント） 「整数部分」「小数部分」の処理の仕方がポイントかな？
Ⅱ． AB＝３の△ABCにおいて、点Aから直線BCにおろした垂線と直線BCの交点をDとす
る。DC＝３－３
/２、∠ABC＝２θ、∠CAD＝θとするとき、以下の問いに答えよ。
（１） 辺ACの長さをθで表せ。
（２） △ADCの３辺の長さの和を求めよ。
（解）（１） ＡＤ＝３ｓｉｎ２θ＝６ｓｉｎθｃｏｓθ より、ＡＣ＝ＡＤ/ｃｏｓθ＝６ｓｉｎθ
（２） △ADCの３辺の長さの和は、 ６ｓｉｎθｃｏｓθ＋６ｓｉｎθ＋３－３/２
ここで、 ６ｓｉｎθ・ｓｉｎθ＝６ｓｉｎ2θ＝３－３/２＝（６－３）/２ より、
ｓｉｎ2θ＝（６－３）/１２＝（１２－２√２７）/２４
よって、 ｓｉｎθ＝（３－）/２
、ｃｏｓθ＝（３＋）/２ より、
ｓｉｎθｃｏｓθ＝１/４ なので、
△ADCの３辺の長さの和は、
３/２＋（３－３
）/２＋３－３/２＝３（３－－＋）/２ （終）
（コメント） 単純な三角比の計算で難しくはない。
Ⅲ． 実数 ｘ の関数 Ｆ（ｘ）＝８ｘ－５・４ｘ＋２ｘ+2＋ｋ（５・２ｘ－４ｘ－４） (ｋは正の定数)につ
いて、以下の問いに答えよ。
（１） ｘ の方程式 Ｆ（ｘ）＝０ の実数解がちょうど２つになるようなｋの値は２つ存在する。
この２つのｋの値の和を求めよ。
（２） ｘ の方程式 Ｆ（ｘ＋１）＝０ の実数解がちょうど２つになるとき、その２解の積を求めよ。
（解）（１） ２ｘ＝Ｘ とおくと、 Ｘ3－５Ｘ2＋４Ｘ＋ｋ（５Ｘ－Ｘ2－４）＝０ より、
（Ｘ－ｋ）（Ｘ－１）（Ｘ－４）＝０
題意より、 ｋ＝１、４ なので、その和は、 １＋４＝５
（２） ２ｘ+1＝Ｙ とおくと、 （Ｙ－ｋ）（Ｙ－１）（Ｙ－４）＝０
題意より、 Ｙ＝１、４ なので、 ２ｘ+1＝１、４ より、 ｘ＝－１、１
よって、２解の積は、 （－１）×１＝－１ （終）
Ⅳ． 関数Ｆ（ｘ）＝ｘ4－（２ａ－６）ｘ3＋（ａ2－６ａ＋１０）ｘ2－（２ａ－６）ｘ＋１ （aは実数の定数)
について、以下の問に答えよ。
（１） ｘ が０ではない実数であるとき、数式 ｘ＋１/ｘ の取りうる値の範囲を求めよ。
（２） ｘ の方程式 Ｆ（ｘ）＝０ の解がすべて実数になるような ａ の値の範囲を求めよ。
（解）（１） ｘ＞０ のとき、相加平均と相乗平均の関係から、 ｘ＋１/ｘ≧２
ｘ＜０ のとき、ｘ＝－ｔ とおくと、ｔ＞０ なので、ｔ＋１/ｔ≧２ 即ち、（－ｔ）＋１/（－ｔ）≦－２
よって、 ｘ＋１/ｘ≦－２
以上から、 ｘ＋１/ｘ ≦－２、２≦ｘ＋１/ｘ
（２） ｘ4－（２ａ－６）ｘ3＋（ａ2－６ａ＋１０）ｘ2－（２ａ－６）ｘ＋１＝０ において、ｘ≠０ なので、
ｘ2－（２ａ－６）ｘ＋ａ2－６ａ＋１０－（２ａ－６）/ｘ＋１/ｘ2＝０
すなわち、 （ｘ＋１/ｘ）2－（２ａ－６）（ｘ＋１/ｘ）＋ａ2－６ａ＋８＝０
ｘ＋１/ｘ＝Ｘ とおくと、 Ｘ2－（２ａ－６）Ｘ＋ａ2－６ａ＋８＝０
（Ｘ－（ａ－２））（Ｘ－（ａ－４））＝０ より、 Ｘ＝ａ－２ 、ａ－４
（１）より、Ｘ≦－２、２≦Ｘ なので、題意を満たすためには、
ａ－４＜ａ－２≦－２ または、 ２≦ａ－４＜ａ－２
よって、 ａ≦０ または ６≦ａ （終）
Ⅴ． 座標空問上の点Pは、実数θを用いて、Ｐ（cosθ，sinθ，０) と表され、点Qは実数 s と
ｔ を用いて、Ｑ(３ｓ2，ｔ，３ｓ－ｓ3) と表される。このとき、以下の問いに答えよ。
（１） ｓ が －
≦ｓ≦ の範囲の値を取りながら変化するとき、Qの z 座標の最大値
を求めよ。
（２） θ＝π/６ とする。ｓ が －≦ｓ≦ の範囲の値を取りながら変化し、ｔ が実数の
範囲の値を取りながら変化するとき、.PとQの距離の最小値を求めよ。
（解）（１） ｙ＝３ｓ－ｓ3 とおくと、 ｙ’＝３－３ｓ2＝０ から、ｓ＝±１
このとき、ｓ＝± で、ｙ＝０ なので、ｓ＝１で、ｙ は極大かつ最大になる。最大値は、２
（２） θ＝π/６ のとき、Ｐ（/２，１/２，０) である。.PとQの距離をＬとおくとき、
Ｌ2＝（３ｓ2－/２）2＋（ｔ－１/２）2＋（３ｓ－ｓ3）2
＝（ｔ－１/２）2＋ｓ6＋３ｓ4＋（９－３）ｓ2＋３/４
ここで、ｓ2＝ｕ とおくと、 ０≦ｕ≦３ で、 ｙ＝ｕ3＋３ｕ2＋（９－３）ｕ＋３/４
微分して、 ｙ’＝３ｕ2＋６ｕ＋（９－３）
さらに、微分して、 ｙ”＝６ｕ＋６ となるが、０≦ｕ≦３ において、 ｙ”＞０ から、
ｙ’は単調に増加する。ｕ＝０ のとき、 ｙ’＝９－３＞０ から、０≦ｕ≦３ において、
ｙ’＞０ で、ｙは単調に増加する。ｕ＝０ のとき、 ｙ＝３/４ から、 ｙ≧３/４
また、（ｔ－１/２）2≧０ なので、 Ｌ2≧３/４ となり、Ｌの最小値は、/２ （終）
Ⅵ． 次の問いに答えよ。ただし、ｉ は虚数単位とする。
（１） 複素数ω＝（－１＋ｉ）/２ とする。複素数 ａ、ｂ が、ａ＝３ω2＋ω、ｂ＝ω2＋３ω
であるとき、ａ3＋ｂ3 の値を求めよ。
（２） ｛（２－＋ｉ）/（２－－ｉ）｝12 の値を求めよ。
（３） 複素数 ａｎ＝（（－）/２＋ｉ・（＋）/２）ｎ が実数となる自然数ｎの最小値
を求めよ。
（解）（１） ωは１の３乗根なので、 ω2＋ω＋１＝０ 、ω3＝１ が成り立つ。このとき、
ａ＋ｂ＝４ω2＋４ω＝－４
ａｂ＝（３ω2＋ω）（ω2＋３ω）＝３ω＋９＋１＋３ω2＝１０－３＝７
なので、 ａ3＋ｂ3＝（ａ＋ｂ）3－３ａｂ（ａ＋ｂ）＝－６４＋８４＝２０
（２） （２－＋ｉ）/（２－－ｉ）＝（－１＋ｉ）/（－１－ｉ）＝（－１＋ｉ）/
よって、 与式＝（ｃｏｓ（３π/４）＋ｉ・ｓｉｎ（３π/４））12＝ｃｏｓ（９π）＋ｉ・ｓｉｎ（９π）＝－１
（３） ａｎ＝２ｎ（ｃｏｓ（５ｎπ/１２）＋ｉ・ｓｉｎ（５ｎπ/１２）） が実数となるためには、
ｓｉｎ（５ｎπ/１２）＝０ であればよい。
すなわち、ｎは１２の倍数なので、最小値は、１２ （終）
Ⅶ． 座標平面上に、原点Ｏ、点Ａ(１，０)、Ｂ(１，１)、Ｃ(０，１) を頂点とする正方形ＯＡＢＣが
ある。ＯＡＢＣの内部(境界を含む)をＳとする。また、曲線 ｙ＝－ｘ2＋ａ2 (ａ≧０） と ｘ 軸
で囲まれる領域(境界を含む)をＴ(ａ)、ＳとＴ（ａ）の共通部分の面積をｈ（ａ）とする。このとき、
以下の問いに答えよ。
（１） ∫01 ｈ（ａ）ｄａ の値を求めよ。
（２） ∫1
ａｈ（ａ）ｄａ の値を求めよ。
（解）（１） ｈ（ａ）＝∫0ａ （－ｘ2＋ａ2）ｄｘ＝[－ｘ3/３＋ａ2ｘ]0ａ＝２ａ3/３ なので、
∫01 ｈ（ａ）ｄａ＝（２/３）∫01 ａ3ｄａ＝１/６
（２） －ｘ2＋ａ2＝１ のとき、 ｘ＝√（ａ2－１） なので、
ｈ（ａ）＝１－∫√（ａ2－１）1 （１＋ｘ2－ａ2）ｄｘ
＝１－[ｘ3/３＋（１－ａ2）ｘ]√（ａ2－１）1＝ａ2－１/３－（２/３）（ａ2－１）√（ａ2－１）
よって、
∫1 ａｈ（ａ）ｄａ
＝∫1 （ａ3－（１/３）ａ－（２/３）ａ（ａ2－１）√（ａ2－１））ｄａ
＝∫1 （ａ3－（１/３）ａ）ｄａ－（２/３）∫1ａ（ａ2－１）√（ａ2－１））ｄａ
ここで、 ∫1 （ａ3－（１/３）ａ）ｄａ＝[ａ4/４－（１/６）ａ2]1＝７/１２
∫1ａ（ａ2－１）√（ａ2－１））ｄａ において、ａ2－１＝ｔ とおくと、２ａｄａ＝ｄｔ で、
∫1ａ（ａ2－１）√（ａ2－１））ｄａ＝（１/２）∫01ｔ√ｔｄｔ＝１/５
よって、∫1 ａｈ（ａ）ｄａ＝７/１２－２/１５＝９/２０ （終）
（記述式）
１．以下の問いに答えよ。
(1) ２345 を３０で割った余りはいくらか。
(2) ａ1＝３、ａn＋ａn+1＝ｎ2＋２ｎ＋３ （ｎ＝１、２、３、・・・） で定義される数列｛ａn｝について、
ａ2m－ａ2m-1 をｍを用いて表せ。ただし、ｍは自然数である。
(3) AB＝６、BC＝４、CA＝８ である△ABCの内心を I とする。また、△ABCの内接円と
辺BCの接点をDとする。このとき、△ＡＤＩ の面積はいくらか。
（解）（１） ２5＝３２≡２ （ｍｏｄ ３０） なので、
２345＝（２5）69≡２69＝（２5）13・２4≡２17＝（２5）3・２2≡２5≡２ （ｍｏｄ ３０）
よって、２345 を３０で割った余りは、２
（２） ａ1＝３、ａn＋ａn+1＝ｎ2＋２ｎ＋３ より、ａ2＝３、ａ3＝８ である。
ｂｎ＝ａn+1－ａn とおくと、 ｂ1＝０ 、ｂ2＝５ で、 ｂn＋ｂn+1＝２ｎ＋３
ｃｎ＝ｂn+1－ｂn とおくと、 ｃ1＝５ で、 ｃn＋ｃn+1＝２
よって、 ｃn+1－１＝－（ｃn－１） を解いて、 ｃn－１＝４（－１）n-1
すなわち、 ｃn＝１＋４（－１）n-1 である。
ｎ≧２ のとき、 ｂn＝ｂ1＋Σk=1n-1 ｃｋ＝ｎ＋１－２（－１）n-1
この式は、ｎ＝１のときも成り立つ。
ｎ≧２ のとき、 ａn＝ａ1＋Σk=1n-1 ｂｋ＝（ｎ2＋ｎ＋２）/２＋（－１）n-1
この式は、ｎ＝１のときも成り立つ。
このとき、 ａ2m＝２ｍ2＋ｍ 、ａ2m-1＝２ｍ2－ｍ＋２ なので、
ａ2m－ａ2m-1＝２ｍ－２ となる。
（３） 題意より、下図を得る。
ｓ＝（６＋４＋８）/２＝９ より、△ＡＢＣ＝√（９・３・５・１）＝３
よって、内接円の半径 ｒ は、 ９ｒ＝３ より、 ｒ＝/３
また、ＢＤ＝ｘ とおくと、 ８－（６－ｘ）＋ｘ＝４ より、 ｘ＝１
このとき、四角形ＡＢＤＩ の面積＝６ｒ/２＋ｒ/２＝７/６
また、ｃｏｓＢ＝（３６＋１６－６４）/４８＝－１/４ なので、 ｓｉｎＢ＝/４
よって、△ＡＢＤ＝（１/２）・６・１・/４＝３/４ なので、
△ＡＤＩ ＝（四角形ＡＢＤＩ の面積）－△ＡＢＤ＝７/６－３/４＝５/１２ （終）
２．A、B、C、D の４人で、すペて種類の異なる果物ｋ個を分ける。ただし、果物をもらえない
者が現れる分け方についても、果物を４人で分けたと考える。
このとき、以下の問いに答えよ。
（１） ｋ＝５ のとき、果物の分け方は何通りあるか。
（２） ｋ＝９ のとき、A、B、C、D の４人のうち、１人が０個、残りの３人は少なくとも２個以上
もらえる果物の分け方は何通りあるか。
（３） ｋ＝６ のとき、A、B、C、D の４人のうち、１人が０個、残りの３人は少なくとも１個以上
もらえる果物の分け方は何通リあるか 。
（４） A、B、C、D、E の５人で、すべて種類の異なる果物ｋ0個を分けるとする(ｋ0＞４)。
このとき、５人のうち、１人が０個、残りの４人は少なくとも１個以上もらえる果物の分け方
の総数を Σｉ=14 ａi・iｋ0 と表すとする。ここで、ａi （ｉ = 1、2、3、4) はｋ0に無関係な値で、た
だ１通りに定まる。このとき、ａ3 の値はいくらか。
（解）（１） ４個から重複を許して５個選ぶ場合の数は、 ４5＝１０２４（通り）
（２） Ａ＝０ のとき、 Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝９ より、起こり得る場合は、
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（２，２，５）、（２，３，４）、（２，４，３）、（２，５，２）、（３，２，４）、（３，３，３）、
（３，４，２）、（４，２，３）、（４，３，２）、（５，２，２）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（２，２，５）のとき、 9Ｃ2・7Ｃ2・5Ｃ5＝７５６（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（２，３，４）のとき、 9Ｃ2・7Ｃ3・4Ｃ4＝１２６０（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（２，４，３）のとき、 9Ｃ2・7Ｃ4・3Ｃ3＝１２６０（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（２，５，２）のとき、 9Ｃ2・7Ｃ5・2Ｃ2＝７５６（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（３，２，４）のとき、 9Ｃ3・6Ｃ2・4Ｃ4＝１２６０（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（３，３，３）のとき、 9Ｃ3・6Ｃ3・3Ｃ3＝１６８０（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（３，４，２）のとき、 9Ｃ3・6Ｃ4・2Ｃ2＝１２６０（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（４，２，３）のとき、 9Ｃ4・5Ｃ2・3Ｃ3＝１２６０（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（４，３，２）のとき、 9Ｃ4・5Ｃ3・2Ｃ2＝１２６０（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（５，２，２）のとき、 9Ｃ5・4Ｃ2・2Ｃ2＝７５６（通り）
以上の合計は、１１５０８通り
Ｂ＝０、Ｃ＝０、Ｄ＝０ の場合も同様で、求める場合の数は、１１５０８×４＝４６０３２（通り）
（３） Ａ＝０ のとき、 Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝６ より、起こり得る場合は、
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（１，１，４）、（１，２，３）、（１，３，２）、（１，４，１）、（２，１，３）、（２，２，２）、
（２，３，１）、（３，１，２）、（３，２，１）、（４，１，１）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（１，１，４）のとき、 6Ｃ1・5Ｃ1・4Ｃ4＝３０（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（１，２，３）のとき、 6Ｃ1・5Ｃ2・3Ｃ3＝６０（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（１，３，２）のとき、 6Ｃ1・5Ｃ3・2Ｃ2＝６０（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（１，４，１）のとき、 6Ｃ1・5Ｃ4・1Ｃ1＝３０（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（２，１，３）のとき、 6Ｃ2・4Ｃ1・3Ｃ3＝６０（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（２，２，２）のとき、 6Ｃ2・4Ｃ2・2Ｃ2＝９０（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（２，３，１）のとき、 6Ｃ2・4Ｃ3・1Ｃ1＝６０（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（３，１，２）のとき、 6Ｃ3・3Ｃ1・2Ｃ2＝６０（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（３，２，１）のとき、 6Ｃ3・3Ｃ2・1Ｃ1＝６０（通り）
（Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（４，１，１）のとき、 6Ｃ4・2Ｃ1・1Ｃ1＝３０（通り）
以上の合計は、５４０通り
Ｂ＝０、Ｃ＝０、Ｄ＝０ の場合も同様で、求める場合の数は、５４０×４＝２１６０（通り）
（４） Ａ＝０ のとき、 Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＝ｋ0 で、起こり得る場合は、Ｎ＝４ｋ0（通り）である。
Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅは少なくとも１個以上もらえるので、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅのそれぞれが１個ももらえない
場合を、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ で表すと、求める場合の数は、Ｎ－ｎ（ｂ∪ｃ∪ｄ∪ｅ） （通り）
ここで、個数定理から、
ｎ（ｂ∪ｃ∪ｄ∪ｅ）
＝ｎ（ｂ∪ｃ∪ｄ）＋ｎ（ｅ）－ｎ（（ｂ∪ｃ∪ｄ）∩ｅ）
＝ｎ（ｂ）＋ｎ（ｃ）＋ｎ（ｄ）－ｎ（ｂ∩ｃ）－ｎ（ｃ∩ｄ）－ｎ（ｂ∩ｄ）＋ｎ（ｂ∩ｃ∩ｄ）＋ｎ（ｅ）
－ｎ（（ｂ∪ｃ∪ｄ）∩ｅ）
＝ｎ（ｂ）＋ｎ（ｃ）＋ｎ（ｄ）－ｎ（ｂ∩ｃ）－ｎ（ｃ∩ｄ）－ｎ（ｂ∩ｄ）＋ｎ（ｂ∩ｃ∩ｄ）＋ｎ（ｅ）
－ｎ（（ｂ∩ｅ）∪（ｃ∩ｅ）∪（ｄ∩ｅ））
＝ｎ（ｂ）＋ｎ（ｃ）＋ｎ（ｄ）－ｎ（ｂ∩ｃ）－ｎ（ｃ∩ｄ）－ｎ（ｂ∩ｄ）＋ｎ（ｂ∩ｃ∩ｄ）＋ｎ（ｅ）
－ｎ（ｂ∩ｅ）－ｎ（ｃ∩ｅ）－ｎ（ｄ∩ｅ）＋ｎ（ｂ∩ｃ∩ｅ）＋ｎ（ｃ∩ｄ∩ｅ）＋ｎ（ｂ∩ｄ∩ｅ）
－ｎ（ｂ∩ｃ∩ｄ∩ｅ）
＝ｎ（ｂ）＋ｎ（ｃ）＋ｎ（ｄ）＋ｎ（ｅ）
－ｎ（ｂ∩ｃ）－ｎ（ｃ∩ｄ）－ｎ（ｂ∩ｄ）－ｎ（ｂ∩ｅ）－ｎ（ｃ∩ｅ）－ｎ（ｄ∩ｅ）
＋ｎ（ｂ∩ｃ∩ｄ）＋ｎ（ｂ∩ｃ∩ｅ）＋ｎ（ｃ∩ｄ∩ｅ）＋ｎ（ｂ∩ｄ∩ｅ）
－ｎ（ｂ∩ｃ∩ｄ∩ｅ）
ここで、ａ3・３ｋ0 を求めるには、ｋ0 個を４人のうちの３人に分ける場合を考えればよいので、
－（ｎ（ｂ）＋ｎ（ｃ）＋ｎ（ｄ）＋ｎ（ｅ））＝－４・３ｋ0 である。
よって、 ａ3＝－４×５＝－２０ となる。 （終）
以下、工事中！